CC BY
6некоторыми своими элементами а = Л^ • 1 ф Сг г = 1,..., т, т = т(С), Сг € С, А^ € к. Но тогда съ • • •, ст € С порождают С. Теорема 2 полностью доказана.
Авторы считают своим долгом выразить глубокую благодарность И. Р. Шафаревичу за его неизменный интерес к результатам наших исследований и поддержку в работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: .\IIUI.\K). 2007.
2. Герасимова О.В., Погудин Г.А., Размыслов Ю.П. Rolling simplexes and their commensurability, III (Соотношения Капелли и их применения в дифференциальных алгебрах) // Фунд. и прикл. матем. 2014. 19, вып. 6. 7^24.
Поступила в редакцию 05.09.2016
УДК 517.1; 530.1
ДВОЙСТВЕННАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ В НЕОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ
B.C. Зарубин1 , Г. Н. Кувыркин2 , И.Ю. Савельева3
Для применения создаваемых перспективных диэлектрических материалов в различных современных электротехнических и электрофизических приборах и устройствах необходим надежный прогноз достижимости требуемого уровня выходных характеристик, зависящих от свойств этих материалов. Такой прогноз опирается (в том числе) на решение задач электростатики в неоднородной анизотропной среде, позволяющее расчетным путем оценить реальность выполнения предъявляемых требований к эффективным характеристикам создаваемых материалов. Для решения этих задач в работе использована двойственная вариационная формулировка задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике.
Ключевые слова: задача электростатики, анизотропный диэлектрик, тензор диэлектрической проницаемости.
The use of developed prospective dielectric materials in various modern electrotechnical and electrophysical devices requires reliable forecast of attainability of the required level of final characteristics depending on properties of those materials. Such forecast is based (among others) on solution of electrostatic problems in an inhomogeneous anisotropic medium allowing one to estimate the ability to satisfy the qualifying standards for effective characteristics of created materials. A dual variational formulation of an electrostatic problem in an inhomogeneous anisotropic dielectric is used to solve these problems.
Key words: problem of electrostatics, anisotropic dielectric, tensor dielectric constant.
Введение. Во многих электротехнических и электрофизических приборах и устройствах в качестве диэлектриков используют неоднородные анизотропные материалы. Значительную часть таких материалов составляют композиты, в которых, как правило, изотропная диэлектрическая матрица (полимерная или керамическая [1-4]) армирована включениями различной формы, обладающими в общем случае анизотропными диэлектрическими характеристиками [5-7].
1 Зарубин Владимир Степанович — доктор техн. наук, проф. каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: ZarubinQbmstu.ru.
2Кувыркин Георгий Николаевич — доктор техн. наук, зав. каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: Fn2Qbmstu.ru.
3Савельева Инга Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: Inga.SavelyevaQgmail.com.
Путем подбора свойств матрицы и включений, а также формы, расположения и объемной концентрации включений возможно в широком диапазоне изменять эффективные диэлектрические характеристики композитов. Прогнозирование достижимого уровня этих характеристик связано в том числе с решением соответствующих задач по определению электростатических полей в неоднородной анизотропной среде. Определенными преимуществами перед обычно используемыми при этом постановками краевых задач электростатики в дифференциальной форме обладают вариационные подходы [8].
Построенная в настоящей работе двойственная вариационная формулировка задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике позволяет не только получить решение этой задачи с применением численных и приближенных аналитических методов, но и оценить интегральную среднеквадратичную погрешность решения. Эта формулировка включает два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), принимающие на истинном решении задачи одинаковые экстремальные значения. На приближенном решении задачи значения этих функционалов можно использовать для установления верхней и нижней границ, в пределах которых расположены истинные значения искомых эффективных диэлектрических характеристик рассматриваемого неоднородного анизотропного композита.
Основные соотношения. Пусть неоднородный анизотропный диэлектрик занимает односвяз-ную область V, в которой отсутствуют свободные электрические заряды. Тогда из полной системы уравнений Максвелла [9] следуют уравнения электростатики в виде [10]
V х Е(М) = О, У-Б(М) = 0 УМ € V, (1)
где V — векторный дифференциальный оператор Гамильтона; Е и О — векторы напряженности электростатического поля и электрического смещения (электрической индукции) соответственно, зависящие от положения точки М в области V; 0 — нулевой вектор (точка между сомножителями означает операцию свертки по одинаковым индексам этих сомножителей при их координатном представлении [11]). Из первого уравнения (1) следует, что векторное поле Е(М) потенциально. Это позволяет соотношением
Е(М) = -УС/(М) УМ € V, (2)
тождественно удовлетворяющим этому уравнению, ввести скалярный электрический потенциал II [10] (далее для краткости слово "скалярный" опустим).
Для неоднородного анизотропного диэлектрика векторы О и Е, не являющиеся коллинеарными, связаны равенством [9,11]:
Б(М) = еоЦМ)-В(М) УМ € V, (3)
где £о = 8,8542 • Ю-12 А-с/(В-м) — электрическая постоянная; е — тензор второго ранга диэлектрической проницаемости, компоненты которого являются функциями координат точки М € V. Из второго уравнения (1) и равенств (2) и (3) следует дифференциальное уравнение второго порядка
У-(е(М)-УС/(М)) = 0 УМеУ (4)
относительно электрического потенциала II.
Для однозначного решения уравнения (4) необходимо располагать граничными условиями на поверхности Б области V. Выделим на этой поверхности участки Би С Б и — На участках
Би примем известными распределения электрического потенциала, определяемые равенством
и(М) = ¡и(М) УМ € Би, (5)
где /с/(Л0 — заданная функция, зависящая от положения точки N на участках Би- На участках Б в граничные условия примем в виде
п(ЛГ)-е-УС/(ЛГ) + /д(ЛГ) = 0 е (6)
где п(ТУ) — единичый вектор внешней нормали к поверхности Б в точках N € а /д(Л^) — заданная функция, зависящая от положения точки N на участках
Уравнение (4) и граничные условия (5) и (6) составляют дифференциальную формулировку задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике, расположенном в рассматриваемой области V. Этой формулировке можно поставить в соответствие вариационную формулировку задачи, содержащую функционал, достигающий на решении задачи наименьшего значения.
Построение минимизируемого функционала. Из граничных условий (5) следует, что в силу фиксированных значений электрического потенциала U в точках N € Su вариация 5U на участках Su поверхности S рассматриваемой области V тождественно равна нулю. Умножая уравнения
(4) на вариацию 5U(M), М € V, интегрируя полученное произведение по области V и используя первую формулу Грина [12], с учетом граничных условий (6) запишем
J(VU)-s-VU dV + 6 J fDUdS = 0,
V SD
что соответствует условию 5J[U, 5U] = 0 стационарности функционала
J[U\ = \ J(VU)-e-VUdV + J fDUdS. (7)
v sD
Функционал (7) допустимо рассматривать на множестве непрерывных и кусочно-дифференцируемых в области V функций U(М), М € V, удовлетворяющих в качестве дополнительного условию
(5) на участках Su поверхности S. Этот функционал, являясь строго выпуклым (вниз) [11,13,14], в стационарной точке U*(M) (М € V = V U S) достигает наименьшего значения
J[U*] = \ J(VU*)-s-VU* dV + J fDU*dS. (8)
у sD
В случае достаточной гладкости функции U*(M) она будет удовлетворять дифференциальной формулировке задачи, включающей дифференциальное уравнение (4) и граничные условия (5) и (6). При этом для любой допустимой для функционала (7) функции U(M) = U*(M) + 5U(M), М € V, не совпадающей полностью с функцией U*(M), можно записать
J[U]-J[U*] = ^ J [iyU)-e-VU-{VU*)-e-VU*^jdV + J fDSUdS.
v sD
Если теперь преобразовать интеграл по области V в правой части последнего равенства с использованием первой формулы Грина [12], то с учетом соотношений (4)-(6) получим
J[U] - J[U*] = ^ J (V5U)-s-V5U dV > 0,
у
поскольку подынтегральная функция в этом соотношении является положительно-определенной квадратичной формой [15] в силу положительной определенности матрицы третьего порядка, соответствующей тензору второго ранга е диэлектрической проницаемости. Отсюда следует, что функционал (7) на распределении потенциала U*(M) (М € V ) действительно достигает наименьшего значения.
В частном случае идеально электроизолированных участков Se в граничном условии (6) будем иметь /d(-/V) = 0 ViV € Se- Тогда формула (8) примет вид
[ VU*
J[U*] = / —¿--e-vu*dv. (9)
у
Подынтегральная функция в равенстве (9) пропорциональна объемной плотности энергии электростатического поля в области V. Если Su = S'jj U Sц и S*jj П S^ — 0, а также
U{N) = Ui= const VN <e S'u, U(N) = U2 = const ViV € S'u,
то значение интеграла в (9) будет пропорционально суммарной энергии W условного электрического конденсатора [10] с неоднородным анизотропным диэлектриком в объеме V, заключенном между
двумя электродами на участках Бц и Бц поверхности этой области с заданными электрическими потенциалами [Д и [У2 соответственно. Введя емкость С такого конденсатора, можно записать
= Т /= и2)2- (10)
у
Построение максимизируемого функционала. Для построения функционала, альтернативного по отношению к функционалу (7) и достигающего в стационарной точке наибольшего значения, равного ,1[и*], расширим область определения функционала (7) путем введения векторной функции О, удовлетворяющей дополнительному условию
Б(М) + е(М)-УС/(М) = 0, М еУ. (11)
Отсюда получим соотношение УС/(М) = — <?(М)-Б(М), где ? — тензор второго ранга, обратный к тензору е, после подстановки которого в минимизируемый функционал (7), запишем
,1[и, Б] = ^ I Б- ? -Б ёУ + У ¡вис1Б. (12)
С учетом условия (11) перепишем последнее сотношение:
,1[и, Б, Ь] = ,1[и, Б] - J Ь (Б + е-Чи)дУ, (13)
у
где Ь — векторный множитель Лагранжа. Равенство нулю вариации функционала (13) с учетом ее преобразования по первой формуле Грина [12] приводит к условиям стационарности этого функционала, в которые помимо условия (11) входят равенства
ЦМ) = Б(М), У-Ь(М) = 0 УМ € V; Ь(ЛГ)-п(ЛГ) = УЫ € Бв.
Используя последние равенства и соотношения (7), (12) и (13), получаем функционал
.Г [и, Б] = ,1[и] - ^(Б + е-УС/)2^, (14)
у
удовлетворяющий дополнительным условию (5) и условию стационарности (11), а также условиям
У-Б(М) = 0 УМ € V; Б(Ж)-п(Ж) = /д(ДГ) УЫ € Бв. (15)
Из соотношения (14) следует, что ./'[С/, Б] ^ </[С/], а при выполнении условия (11) стационарные значения функционалов совпадают: ,1'[и*, Б*] ^ <1[и*], причем
Б*(М) = -е(М)-УС/*(М), М еУ. (16)
Если потребовать выполнения условий стационарности (15), то с учетом функционала (7) и дополнительного условия (5) функционал (14) можно преобразовать к виду
/[Б] = ~ ! Т>-я-Т>ёУ - ! Ъ-ъ^йБ. (17)
у яи
Функционал (16) допустимо рассматривать на множестве непрерывно дифференцируемых в области V векторных функций Б(М), М € V, удовлетворяющих указанным выше дополнительным условиям, одно из которых совпадает со вторым уравнением (1), и интегрируемых на участках Б в поверхности ¿>. Этот функционал является строго выпуклым вверх [11,13,14] и в стационарной точке Б *(М) (М € V и Б в) достигает наибольшего значения /[Б*], совпадающего со значением
Альтернативные функционалы (7) и (17) в сочетании с цепочкой неравенств
,][и] ^ ,][1Р] = /[Б*] ^ /[Б] (18)
составляют двойственную вариационную формулировку задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике. Использование этой формулировки позволяет установить двусторонние границы, между которыми должны быть расположены эффективные значения характеристик такого диэлектрика, а также количественно оценить интегральную погрешность, возникающую при приближенном решении указанной задачи. В частности, с помощью неравенства (18) и формулы (10) можно получить двусторонние оценки емкости С условного конденсатора, соответствующего области V с неоднородным анизотропным диэлектриком.
Оценка интегральной погрешности. Рассмотрим совместное использование функционалов (7) и (17) для количественной оценки интегральной погрешности приближенного решения задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике. Из формулы (14) следует, что разность этих функционалов равна
А,1[и, Б] = .1[11] - /[Б] = ± |(Б + в -УС/)2 (IV. (19)
у
Правая часть равенства (19) также является функционалом с единственным условием стационарности (11). В стационарной точке равный нулю функционал достигает минимального значения, причем этот минимум единственный. Поэтому значение такого функционала при допустимых распределениях II {М) и Б(М) (М € V) можно рассматривать в качестве критерия, характеризующего степень близости этих распределений к истинному решению задачи. Функционал (19) совпадает с интегральной среднеквадратичной погрешностью при выполнении условия (11), причем истинное решение задачи можно получить минимизацией этой погрешности не на произвольных, а лишь на допустимых распределениях С/(М) и Б(М), М € V, удовлетворяющих дополнительным для функционалов (7) и (17) условиям (5) и (15).
Линейность дифференциальной формулировки задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике, включающей уравнение (4) и граничные условия (5) и (6), позволяет оценить среднеквадратичное отклонение приближенного решения этой задачи от истинного. Представим истинное решение в виде II*(М) = С7|"(М) + С/|(М), М € V, где 11%(М) — произвольная функция, дважды дифференцируемая в открытой области V и удовлетворяющая граничным условиям (5) и (6). Тогда уравнение (4) примет вид
У-(е(М)-УС/*(М)) + /(М) = 0 УМ € V, (20)
где /(М) = V- ( е(М)-УС/|(М)^, а искомая функция С/{*(М) должна удовлетворять однородным
граничным условиям [/^(ТУ) = 0 € Би и п(Ж)- е -УС/^Л^) = 0 € Б в-
Уравнению (20) соответствуют минимизируемый функционал [13]
Миг] = 11 ((УС/О-е-УС/1 - 2/Сл) (IV, (21)
у
который допустимо рассматривать на множестве непрерывных и кусочно-дифференцируемых в области V функций 11\, принимающих в точках N € Бц нулевое значение, и максимизируемый функционал
/1[Б1] = "^У Бг?-БкгУ, (22)
у
для которого допустимыми являются векторные функции, удовлетворяющие уравнению У-Б^М) = = /(М) УМ € V и граничному условию Б(Л^)-п(Ж) = 0 \/ЛС £ Бг>. Уравнение (20) является операторным уравнением [12,13] А([1£) = / с положительно-определенным оператором А = —У-1 е(М)-У)
(в силу положительной определенности матрицы, соответствующей тензору е диэлектрической проницаемости) и областью определения D(A) С TL в гильбертовом пространстве TL со скалярным произведением [12]
(u,v) = j u(M)v(M)dV(M),
и. г ■■ Н.
v
В этом пространстве функционал (21) является квадратичным с областью определения D(J) сИи достигает минимума в единственной стационарной точке Uf € D(J). Если Uf € D(A), то Uf = Uf.
Количественную оценку интегральной среднеквадратичной погрешности приближенного решения U\(M) (М € V) уравнения (20) можно представить в виде квадрата нормы ||ги||2 = (10,10) элемента w = IJ\ — IJl € 'Н. В силу линейности оператора А и свойств скалярного умножения [15] получим
AJi = Ji[£/i] - Ji[U¡] = (A(Ui - Ü¡), Ux - Ü¡) = (A(w),w).
Известно [13], что минимальное значение функционала J[w] = {A(w),w}/\\w\\2 является наименьшим собственным значением Ai > 0 положительно-определенного оператора А, соответствующим нетривиальному решению W\ ф 0 операторного уравнения A(w) = Xw. Положив J[w] = AJi, запишем
\\wf = jilh-ÜtfdV^^-, (23)
у
где квадрат нормы ||ги||2 является интегральной среднеквадратичной погрешностью приближенного решения IJ\ по сравнению с истинным решением С/*.
Приближенные методы решения задачи электростатики с использованием ее вариационной формулировки не позволяют найти значение AJi, а значение Ai обычно удается оценить лишь сверху. Чтобы получить достоверную оценку среднеквадратичной погрешности сверху, необходимо модифицировать соотношение (22), заменив AJ\ разностью Ji|t/i] — /1 [D1 ] ^ AJ\ альтернативных функционалов (21) и (22), a Ai попытаться оценить снизу значением Ai ^ Ai. Тогда вместо соотношения (23) получим
„ ||2< Ji[t/i]-/i[Di]
Ai
Оценку Ai можно найти различными способами (см. [12,16,17]). Приведем обоснование одного из них.
Пусть А — неотрицательный симметрический оператор со свойствами
<А(ги),ги> ^ 0, (A(w), v) = (w, A(v)), w, v € D(A) =U CH. (24)
Если для некоторого числа (3 > 0 отрезок [0, (3} не содержит собственных значений этого оператора, то оператор Ар = А — /31ц, где 1ц — тождественный оператор [12], будет положительным, т.е. (Ap(w),w) > 0 для любого ненулевого элемента w € U. Это означает, что для любого числа v* € [0, [3\ у оператора Av* = А — v*Iu существует обратный оператор Rv* = А~}. Положим д = Ap(w), где w € W — любой ненулевой элемент. Тогда д также не будет нулевым элементом, поскольку в противном случае w был бы собственным элементом оператора А [12], а (3 — собственным значением этого оператора.
Пусть v = v(v*) = Rv*{g) — решение операторного уравнения Av*(v) = д. Введем вспомогательную функцию 4>(v*) = (g,v) = (Av*(v),v). В частном случае v* = /3 имеем v = w и ф{(3) = (Ap(w),w). Таким образом, положительность оператора Ар эквивалентна выполнению условия ф{(3) > 0 для любого ненулевого элемента w € D(A).
Обозначим через v\ = f(z^i) = Rv*{g) и г>2 = "K^l) = решения операторного уравнения
Av*(v) = д для двух значений uf, z/| € [0, (3]. Тогда д = Av*(v2) = Av*(v\) и Av*(v2 — V\) = A„*(v2) — = (^2 — ui)v2, или г>2 — vi = (г/| — Vi)Rv*{v2)- С учетом неравенства треугольника [12] для нормы имеем
11^2 - vi|| ^ К -v¡\ 11^4*11 IHI = К ~v¡\ ll^íll 11^2 - vi +vi\\ ^
^y2-V¡\\\RvMv2-Vl\\ + \\Vl\\). (25)
Поскольку не является собственным значением оператора А, при г/| —>■ справедливо неравенство |г/| — ||-йг/*|| < 1/2. Тогда из соотношения (25) следует ||г>2 — ^Ц ^ 2|г/| — \\В,и Отсюда заключаем, что г>2 У\ при г/| —> и поэтому {У2,У\} 11^1112 ПРИ и2 ~~^ Учитывая свойства (24) и свойства операции скалярного умножения, получим
Ф№) -Ф№) = 2) - (д,у 1) = (Л^Ы,^) - (Л^Ы,^) =
= (А(у1),у2) -»¡(У1,У2) - (А(У2),У 1) = (у2 ~ ^1) (^2,
Заменяя и^ на и* и на v и используя то, что {у2,у) —> ||г>||2 при г/| определением производной находим
ф'(и*)= Jim Y[U2i J = Jim (v2,v) =
\v
12
Так как g — ненулевой элемент, то и и не является нулевым элементом, а значит, фЧу*) > 0 при v* € [0, /3] и функция ф(у*) возрастает на отрезке [0, /3]. Для неотрицательного оператора А имеем ф(0) = (A(v),v) ^ 0 для любого элемента v € D(A). Следовательно, ф(/3) > 0 для любого ненулевого элемента w € D(A).
Если А — симметрический оператор, действующий в гильбертовом пространстве и отрезок [Л, /У не содержит собственных значений этого оператора, то композиция операторов А^ о Дд2 = (А — (i\Iu)° о(Л — folu) является положительным оператором. Для доказательства этого введем оператор Wv* = Ат++гУ* = А — (m+ + v*)Iu, где = (/3i + /Зг)/2. Так как г/* е [—ш_] (ш_ = (/З2—/3i)/2) не является собственным значением оператора Wo = Ат+, то оператор Wv* = Wq—v*Iu, а также оператор И^оТУ-г,* = Wq—{u*)2Iu имеют обратные операторы W~J и (Wv*oW-v*)~l соответственно. Это означает, что отрезок [0, т2_] не содержит собственных значений оператора Wq , который, являясь квадратом симметрического оператора Ат+ = A — m^Iu, будет неотрицательным, так как {W$(w),w} = (Am+(Am+(w)),w) = (Am+(w), Am+(w)) = \\Am+(w)\\2 ^ 0 для любого w € D(A). Таким образом, для оператора Wq на отрезке [0, m2 ] выполнены условия предыдущего утверждения о положительности оператора Av*. Поэтому оператор Wq — m2_Iu = Wm_ о W-m_ = А/д1 о Ар2 является положительным.
Пусть А — симметрический оператор с областью определения D(A) = Ы С а для элемента w € % элемент A(w) не является нулевым. Если число Ai = (A(w),w)/\\w\\2 принадлежит интервалу (/3i, /З2) и в этом интервале находится только одно собственное значение Л оператора А, то справедливо неравенство
ФШ^А^ФШ, (26)
где ф(х) = (x(A(w),w) — ||А(«;)||2)/(ж||«;||2 — (A(w),w)). Отрезки [/3i, А—е] и [Л+е, /З2] при малом е > 0 не содержат собственных значений оператора А. Поэтому операторы А\=Ар1оА\_е = (А—Р\1и)о(А—(А—е)1и) и A2=A\+eoA^2=(A—(\+e)Iu)o(A—fÍ2lu) являются положительными. Следовательно,
{Ai (w),w) = ((А2 - (/3i + А - ё)А + /3i(A - e)Iu)(w),w) = = \\A(w)||2 — (/3i + А — e)(A(w),w) + А(А - e)\\w\\2 = = (A-e)(/3i|MI2 - (A(w),w)) - (Pi(A(w),w) - ||A(w)||2) > 0
и аналогично
(A2(w),w) = ((A2 - (f32 + \ + e)A +f32(\ + e)iu)(w),w) =
= \\A(w)\\2 - (fj2 + X + e){A(w),w) + fMX + e)\\w\\2 =
= (A + e)(/32|N|2 " {A(w),w)) - (fMA(w),w) - ||A(w)||2) > 0.
Из этих неравенств, учитывая, что (5\ < \\ < /З2, т.е. /3i||«;||2 < (A(w),w) и /ЗгЦгоЦ2 > (A(w),w), находим
Переходя к пределу при е —> 0, получаем неравенство (26).
Если известна гарантированная оценка Л2 снизу собственного значения z/|, следующего за наименьшим собственным значением Ai симметрического оператора А, такая, что Л2 < > ^ь т0 неравенство (26) можно применить для оценки снизу значения Ai. Так как это неравенство справедливо для любого значения ß\, то
x(A(w),w) -\\A(w)\\2 (A(w),w) т
ip{-оо) = Um --—^-, , .—Г— = —м—¡То— = М,
х^-оо x\\w\\z — {A{W),W) \\w\\
и поэтому
A2|NI 2-{A(w),w) J J
В случае положительного оператора А имеем (A(w),w) > 0 и Ai > 0, поэтому вместо соотношения (27) получаем
дЛ^ЦЛ^А,, * = JÄ. (28)
V А2—Ai / (A(w),w)
Ясно, что эта оценка имеет смысл при условии Ai ^ я, выполняющемся в силу неравенства Коши — Буняковского |(А(«;),«;)| ^ ||А(«;)|| ||го|| [14]. Поскольку для положительного оператора Ai > 0, то использование оценки (28) эффективно только при условии к < А2, так как в противном случае левая часть в цепочке неравенств (28) не будет положительной.
Оценки (27) и (28) сохраняют силу и в том случае, когда собственное значение Ai кратное, но изолированное. Тогда под А2 следует понимать гарантированную оценку снизу наименьшего собственного значения А2 > Ai. Аналогично можно получить двустороннюю оценку для и т.д.
Заключение. Использование построенной двойственной вариационной формулировки задачи электростатики применительно к неоднородному анизотропному диэлектрику позволяет получить решение такой задачи численными или приближенными аналитическими методами и оценить сверху интегральную среднеквадратичную погрешность этого решения. Кроме того, с помощью значений альтернативных функционалов, входящих в эту формулировку, можно установить двусторонние оценки главных значений тензора диэлектрической проницаемости анизотропного диэлектрического материала, в том числе композита с произвольно ориентированными анизотропными включениями различной конфигурации.
Работа выполнена в рамках государственного задания по проекту 9.2122.21)17 114 и государственного задания по проекту 9.7784.2017/БЧ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Электрические свойства полимеров / Под ред. Б.И. Сажииа. Л.: Химия, 1986.
2. Калинин Д.Ю., Резник С.В., Суздальцев Е.И., Шуляковский A.B. Стекло и керамика // Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее: В 3 т. Т. 2. Передовые технологии производства / Под ред. С.В. Резника. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
3. Суздальцев Е.И. Радиопрозрачные высокотермостойкие материалы XXI века // Огнеупоры и техн. керамика. 2002. № 3. 42-50.
4. Ромашин А.Г., Гайдачук В.Е., Карпов Я.С., Русин М.Ю. Радиопрозрачные обтекатели летательных аппаратов. Харьков: Нац. аэрокосм, ун-т "Харьк. авиац. ин-т", 2003.
5. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: Эдиториал УРСС, 2001.
6. Физика композиционных материалов / Под общ. ред. H.H. Трофимова: В 2 т. Т. 2. М.: Мир, 2005.
7. Сарычев А.К., Шалаев В.М. Электродинамика метаматериалов / Пер. с англ. М.: Научный мир, 2011.
8. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 3. 50-64.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992.
10. Толмачев В.В., Головин A.M., Потапов B.C. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1988.
11. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.
12. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
13. Вапько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. М.: Изд-во Л ПТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.
14. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
15. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.
16. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978.
17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / Пер. с англ. М.: Мир, 1985.
Поступила в редакцию 10.11.2015
УДК 519.7
СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ БУЛЕВЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРОГРАММАМИ С ОГРАНИЧЕННОЙ ПАМЯТЬЮ
А. В. Чашкин1
В работе изучается среднее время вычисления значений булевых операторов невет-вягцимися программами с условной остановкой, объем памяти которых не превосходит параметра D. При растущем числе переменных п для почти всех булевых операторов с то компонентами установлена асимптотически точная формула среднего времени вычисления для большого диапазона значений Dam.
Ключевые слова: булевы операторы, среднее время вычисления, вычисления с ограниченной памятью.
The average time of computing the values of Boolean operators by straight-line programs with a conditional stop and storage of at most D is studied. As the number n of variables grows, for almost all Boolean operators with то components, an asymptotically tight formula for the average computation time is obtained in a wide range of D and то.
Key words: Boolean operators, average computation time, computation with bounded storage.
В работе изучается среднее время вычисления значений булевых операторов неветвящимися программами с условной остановкой и ограниченной памятью. Аналогичная задача без ограничений на память рассматривалась ранее в [1, 2]. Далее п-местные операторы с т компонентами будем называть (т, п)-операторами.
Пусть X = {х\,...,хп} — множество независимых булевых переменных, Y = {¡Ji, ■ ■ ■ ,yi} — множество внутренних переменных, Z = — множество выходных переменных. Невет-
вящейся программой с условной остановкой Р назовем список pi,...,pL последовательно выполняемых команд двух видов — вычислительных команд и команд остановки. Пусть А € Y U Z, В, С G 1 U У U Z, h — двухместная булева функция. Вычислительной командой р с выходом А и входами В ж С назовем выражение
р : А = h(B, С).
Такая команда вычисляет значение h(B,C) и присваивает его переменной А. Пусть далее А € X U У U Z. Выражение
р : Stop (А)
назовем командой остановки, где А — вход этой команды. Команда остановки прекращает работу программы, если А = 1. Если А = 0, то выполняется следующая команда программы.
Число команд программы Р назовем ее сложностью, а сумму числа внутренних и выходных переменных — объемом памяти этой программы. Временем работы Тр(х) программы Р на наборе
1 Чашкин Александр Викторович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chashkinQinbox.ru.
