Математическое моделирование диэлектрических характеристик композита с металлическими ленточными включениями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика к Математическое

моделирование

УДК 517.1;530.1

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №5. С. 64-82.

Б01: 10.7463/шаШш.0515.0815604

Представлена в редакцию: 16.10.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

Математическое моделирование диэлектрических характеристик композита с металлическими ленточными включениями

Зарубин В. С.1'*, Кувыркин Г. Н.1, Савельева И. Ю.1 *[email protected]

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Построена математическая модель представительного элемента структуры композита с диэлектрической матрицей и упорядоченным расположением металлических ленточных включений. Эта модель использована для оценки диэлектрической проницаемости такого композита в предположении электроизоляции включений с целью предотвращения эффекта перколяции при возможном контакте включений. Металлические включения позволяют увеличить диапазон возможного изменения диэлектрической проницаемости композита и таким путем расширить область его применения. На основе двойственной вариационной формулировки задачи электростатики в неоднородном твердом теле установлены двусторонние границы истинных значений диэлектрических характеристик композита и наибольшая возможная погрешность в случае, если в качестве этих характеристик выбрать полусумму граничных значений. Полученные расчетные зависимости позволяют прогнозировать эффективные значения диэлектрических характеристик рассматриваемого композита и оценивать наибольшую возможную погрешность, возникающую при использовании этих зависимостей.

Ключевые слова: композит; диэлектрическая проницаемость; ленточные включения

Введение

Среди свойств, которыми должны обладать функциональные материалы, используемые в различных электротехнических и радиофизических устройствах и приборах, важное место занимают диэлектрические характеристики, в том числе относительная диэлектрическая проницаемость (далее для краткости слово «относительная» опущено). Предъявляемые требования к уровню диэлектрической проницаемости могут быть выполнены, если в качестве функционального материала использовать композит с определенным сочетанием характеристик его матрицы и включений [1, 2, 3]. Применение металлических включений расширяет диапазон изменения диэлектрических характеристик композита и тем самым расширяет возможности его применения. Существенное влияние на диэлектрическую проницаемость композита оказывают также его структура, форма включений и их объемная концентрация.

Одним из вариантов структуры композита является дисперсная система, когда в дисперсионной среде (в данном случае — в матрице композита) распределена дисперсная фаза (включения) с сильно развитой поверхностью раздела между ними [4]. Форма дисперсных включений может быть различной. Одной из возможных форм включения является ленточная, когда его размеры в трех ортогональных направлениях существенно различны между собой. Для такого включения в качестве приемлемой геометрической модели, описывающей его форму, можно принять трехосный эллипсоид. Эта модель может быть использована, в частности, и для описания формы некоторых наноструктурных элементов, которые в последнее время рассматривают как включения для перспективных композитов различного назначения [5].

При увеличении в композите с диэлектрической матрицей объемной концентрации металлических включений возрастает вероятность непосредственного контакта между включениями, приводящего к образованию непрерывного проводящего кластера [3, 6]. В данной работе принято, что металлические ленточные включения покрыты достаточно тонким слоем электроизолирующего материала, что исключает возможность их непосредственного контакта и позволяет не рассматривать проявление так называемого эффекта перколя-ции [2, 7] во всем промежутке предполагаемого изменения объемной концентрации таких электроизолированных эллипсоидальных включений. В структурной модели композита эти включения заменены однородными эллипсоидальными включениями с эквивалентными анизотропными диэлектрическими характеристиками, что при упорядоченном расположении включений приводит к анизотропии эффективных диэлектрических характеристик композита в целом.

Известны различные подходы [1, 8, 9, 10] к построению математических моделей, позволяющих построить расчетные зависимости для определения диэлектрических характеристик композитов с включениями различной формы. При построении таких моделей возникает возможность применения аналогии между формулировками и решениями задач электростатики и установившейся теплопроводности [11, 12, 13, 14]. Использование вариационных подходов [15, 16, 17] к оценке эффективных диэлектрических характеристик композита дает возможность получить двусторонние границы, между которыми заключены их истинные значения, и оценить наибольшую возможную погрешность, возникающую при использовании той или иной математической модели. Такие границы можно установить на основе двойственной вариационной формулировки задачи для потенциального поля в неоднородном твердом теле [18]. Эта формулировка содержит два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), принимающих на истинном решении задачи одинаковые экстремальные значения.

1. Основные соотношения

Из полной системы уравнений Максвелла [10] при отсутствии в области V, занятой композитом, свободных электрических зарядов следуют уравнения электростатики в виде [ 19]

V х Е(М) = 0, У-Б(М) = 0, М е V, (1)

где V — дифференицальный оператор Гамильтона, Е и Ю — зависящие от положения точки М в области V векторы напряженности электростатического поля и электрического смещения (электрической индукции) соответственно, 0 — нулевой вектор. Первое уравнение (1) можно удовлетворить тождественно, если ввести соотношением

Е(М) = (М), М е V, (2)

скалярный электрический потенциал и.

Для неоднородной и в общем случае анизотропной среды векторы Ю и Е не являются коллинеарными и связаны равенством [ 10, 20]

Б(М )= е0й (М)-Е(М), (3)

А Л где £0 = 8,8542 ■ 10-12 —--электрическая постоянная, и — тензор второго ранга диВ ■ м

электрической проницаемости, компоненты которого являются функциями координат точки М е V, а точка между сомножителями означает операцию свертки по одинаковым индексам этих сомножителей при их координатном представлении [20]. Из второго уравнения (1) и равенств (2) и (3) следует дифференциальное уравнение второго порядка

V-(и(М)^и(М)) =0, М е V. (4)

Область V, занятую композитом, представим в виде прямого цилиндра высотой Н с площадью оснований ^. Боковую поверхность цилиндра примем электроизолированной, т.е. VU(Ж)-п(Ж) = 0, N е Б*, где п(Ж) — единичный вектор внешней нормали к поверхности в точке N е 5*. На основании Бн цилиндра зададим электрический потенциал и = ин, а на противоположном основании Б0 — и = 0. Задаче электростатики, сформулированной в дифференциальной форме, соответствует вариационная формулировка, содержащая минимизируемый функционал [17, 18]

3[и] = 1 / VU(М)■ и(М)^и(М) ¿V(М). (5)

Этот функционал допустимо рассматривать на распределениях и(М), М е V, удовлетворяющих на участках Би = 5н и 50 поверхности Б области V заданным выше граничным условиям и непрерывных в замкнутой области V = V и Б, а в открытой области V имеющих кусочно непрерывные производные.

Альтернативным по отношению к функционалу (5) является максимизируемый функционал [20]

I[Б] = -1 У Б(М(М)-Б(М) ¿V(М) - ин I Б(Ж)-п(Ж) ^Б(Ж), (6)

V ЯН

где V — тензор второго ранга, обратный тензору и. Функционал (6) допустимо рассматривать на непрерывных распределениях вектора Б(М), М е V, удовлетворяющих второму уравнению (1) и равенству Б(Ж)-п(Ж) = 0, N е Б*, которое следует из заданного граничного условия на боковой поверхности цилиндра. Из экстремальных свойств функционалов (5) и (6) и равенства их значений на истинном решении задачи следует цепочка неравенств

3[и] ^ 3[и*] ^ I[Б], (7)

где и*(М), М е V — истинное распределение электрического потенциала в замкнутой области V), на котором функционал (5) при заданных граничных условиях достигает своего наименьшего значения [18]

3 [и *] = иН У п(Ж )■ и (Ж )^и *(Ж) ^Б (Ж). (8)

Ян

Альтернативные функционалы (5) и (6) в сочетании с цепочкой неравенств (7) составляют двойственную вариационную формулировку задачи электростатики в неоднородном анизотропном твердом теле. Использование этой формулировки позволяет установить двусторонние границы, между которыми должны быть расположены истинные значения диэлектрических характеристик композита, а также оценить наибольшую возможную погрешность, которая возникает в случае приравнивания этих характеристик полусумме установленнных граничных значений.

2. Представительный элемент структуры композита

В качестве геометрической модели изотропного ленточного металлического включения примем трехосный эллипсоид с полуосями Ь1 > Ь2 > Ь3. Начало прямоугольной декартовой системы координат Ох1х2х3 выберем в центре эллипсоида, оси коодинат направим параллельно его соответствующих полуосей. Тогда поверхность эллипсоида будет удовлетворять уравнению

2 2 2 (•у» fy** /у»"

±1 + —2 + ±3 = ! (9)

b2 + b2 + Ь2 1 (9)

Включения могут иметь различные размеры, но являются геометрически подобными, т.е. b2/b1 = в2 = const < 1 и b3/bi = вз = const < в2. Каждое металлическое включение окружено достаточно тонким слоем электроизолирующего материала с диэлектрической

проницаемостью . Этот слой ограничен поверхностью трехосного эллипсоида, геометрически подобного форме включения. Если форму включения описывает уравнение (9), то этой поверхности будет соответствовать уравнение

/у2 /у2 /у2 1

Xl XO XO 1 ^ -V4

x+X+X= (2- (10)

где Z = const ^ 1 — отношение полуосей эллипсоидов вращения, ограничивающих поверхности соответственно включения и электроизолирующего слоя.

Рассматриваемый композит представим в виде множества составных частиц, каждая из которых содержит электроизолированное металлическое включение и покрывающий его слой материала матрицы с диэлектрической проницаемостью em. Форму составной частицы примем геометрически подобной форме входящего в эту частицу металлического включения. Тогда при описании формы включения уравнением (9) составная частица будет ограничена поверхностью эллипсоида с уравнением

222

1 2 3 /1 1\

b? + Ь2 + b3 = Z2' (11)

где Z < 1 = const — отношение полуосей трехосных эллипсоидов, ограничивающих поверхности включения и составной частицы соответственно. Таким образом, с учетом уравнений (10) и (11) объемная концентрация в композите электроизолированных включений будет равна CV = (Z/Z)3. Размеры составных частиц формально могут изменяться от некоторых конечных значений до бесконечно малых, что позволяет заполнить такими частицами весь объем, занимаемый композитом, и рассматривать изменение значения CV в промежутке от нуля до единицы. При этом каждую из трехфазных эллипсоидальных составных частиц, состоящих из металлического включения, электроизолирующего слоя и внешнего слоя из материала матрицы, допустимо считать представительным элементом структуры композита.

3. Диэлектрическая проницаемость эквивалеитеиого включения

При построении математической модели электрического взаимодействия структурных элементов композита целесообразно условно заменить электроизолированное металлическое включение равновеликим, но однородным трехосным эллипсоидом с эквивалентными диэлектрическими свойствами. Такая замена позволит упростить представительный элемент структуры композита, сведя этот элемент к двухфазному.

Для нахождения диэлектрических свойств эквивалентного включения поместим эллипсоидальное металлическое включение без слоя электроизолирующего покрытия в неограниченный объем однородной среды с диэлектрической проницаемостью es, совпадающей с диэлектрической проницаемостью материала слоя электроизоляции. На весьма большом расстоянии x1 по сравнению с полуосью Ь1/( трехосного эллипсоида, определяющего форму электроизолированного металлического включения, зададим однородное электростатическое поле с вектором E1 напряженности, направленным вдоль координатной оси

0x1 выбранной выше системы координат с началом в центре этого включения. С уменьшением расстояния х1 в этом поле будет нарастать возмущение, вызванное присутствием металлического включения. Тогда скалярный электрический потенциал векторного электростатического поля можно представить в виде и = —Е1х1 + Аи1, где Е1 = |Е1|, а функция Ди1 учитывает возмущение линейного распределения этого потенциала.

Электрический потенциал электростатического поля в однородной среде при отсутствии в ней свободных электрических зарядов удовлетворяет уравнению Лапласа

а2 и + д!и + д!и = 0 (12)

5ж2 8x1

записанному в выбранной системе координат. Если считать материал металлического включения идеальным проводником с электрической проводимостью а ^ то, то электрический потенциал в объеме такого включения будет иметь постоянное значение, которое можно принять равным нулю. Тогда по отношению к уравнению (12) равенство и = 0 будет выполнять роль граничного условия на поверхности металлического включения, описываемой уравнением (9), а известное решение соответствующей задачи электростатики [10], идентичное с решением аналогичной задачи установившейся теплопроводности [11], примет вид

и} = —Е1ХЧ1 — 0°)' 0 = "^У (и + Ь2)1/2(и + 62)1/2(и + Ь2) 1/2' (13)

где £ — положительный корень уравнения

222

гу1-1

1 2 3 1 /1 л \

ьТк + ьт+гё + ьг+Гё ' (14)

а 0° = 01 при значении £ = 0, соответствующем в эллипсоидальной системе координат [10] поверхности металлического включения.

Возмущение линейного распределения электрического потенциала в первом равенстве (13) описывает слагаемое Аи1 = е1х101/0°. Это возмущение останется неизменным, если рассматривать электроизолированное металлическое включение, ограниченное поверхностью эллипсоида, описываемой уравнением (2). Заменим электроизолированное включение эквивалентным, диэлектрическую проницаемость е1 которого найдем из сравнения Аи1 с возмущением распределения электрического потенциала, вызванным этой заменой и равным (по аналогии с решением соответствующей задачи установившейся теплопроводности [11])

Аи = ^1x1(61 — е8)01

1 = 1 Г (£1 — ев)С 1

при условии и = 0 в плоскости х1 = 0, где

0 = ь1ь2ь3 С_^__(15)

01 2(3 3 (и + ь?/с2)3/2(и + 62/С2)1/2(и + Ь3/с2)1/2' ( )

£ — положительный корень уравнения

2 2 2 /у» <-у-1 /у»

- + -Ж- + —- = 1, (16)

62/С2 + ё Ь2/С2 + ё Ь2/с2 + ё

а (50 = ( при значении £ = 0, соответствующем в эллипсоидальной системе координат внешней поверхности электроизолирующего покрытия, описываемой в выбранной выше прямоугольной декартовой системе координат уравнением (10).

Отношение А Ц/х / А Ц с увеличением расстояния от начала координат должно стремиться к единице, что при ж2 = ж3 = 0 можно представить в виде условия

А^ = (*. - *.)( Шп = 1, (17)

поскольку от х1 неявно зависит лишь отношение (5^/(.

При ж2 = ж3 = 0 из уравнения (14) для металлического включения без электроизолирующего слоя следует £ = ж2 — Ь2, а в случае эквивалентного включения из уравнения (16) получим ё = — 2, т.е £ ^ то и ё ^ то при ж1 ^ то и, согласно равенству (15) и второй формуле (10), оба интеграла в отношении (51/(1 стремятся к нулю. Предел в соотношении (17) вычислим путем раскрытия неопределенности типа 0/0, продифференцировав эти интегралы по нижнему пределу:

^ (и + Ь2)3/2(ц + Ь2)1/2(и + Ь3)1/2 _ 1

х11-т« (1 = с3 ™ (и + 62/с2)3/2(и + Ь2/С2)1/2(и + ьз/с2)1/2 = С3'

В итоге, учитывая, что для геометрически подобных эллипсоидов (51 = С, из соотношения (17) получим

£ = £ + с3£* ( = 7_—_ (18)

61 +(1 — с3)«0, ( 2 7(1 + и)3/2(и + в22)1/2(и + в!)1/2' (18)

Повторение рассмотренной процедуры, но при задании электростатического поля сначала с вектором Е2, параллельным координатной оси Ох2, а затем с вектором Е3, параллельным координатной оси Ох3, приведет к соотношениям

£ = £ + с(о = в2в3 7_^_ (19)

£2 ^ +(1 — С 3)( , ( 2 0 (1 + ц)1/2(ц + в22)3/2(и + в2)1/2, ( )

£ = £ + с(о = 7_^_ (20)

£3 +(1 — С3)С°, ( 2 7(1 + и)1/2(и + в22)1/2(и + в2)3/2'

Из первых равенств (18)-(20) следует, что эквивалентное эллипсоидальное включение несмотря на изотропию электроизоляционного материала приобретает по отношению к диэлектрической проницаемости анизотропные свойства, определяемые тензором второго ранга с главными осями, совпадающими с коодинатными осями выбранной системы координат

ОХ1Х2Х3.

Так называемые коэффициенты деполяризации [10], определяемые вторыми равенствами (18)-(20) и удовлетворяющие условию О1 + О2 + О3 = 1, зависят лишь от двух параметров в и вз ив общем случае представимы через эллиптические интегралы [21]. На рис. 1 и 2 представлены зависимости коэффициентов соответственно О^ и О2 от параметра вз при различных значениях параметра в2. При вз 0 и в2 1 лента вырождается в тонкую

с;

0,07

Вт=0,9

0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

\ 7

Л»

V

/

/ : У/

/ ¡V. / ' /'

'п. / / / /

/и / • / / /

/! //. '/.у ! / /

/'/. А*'/ у. / ./ / / / / / / /

л*' // / / / / /

'•у У '

г£

0,8 0,7 0,6 0,5

0,4

0,3

0,2 0,1

Рз

0,001 0,01 0,1 Рис. 1. Зависимость коэффициента деполяризации С\ от вз при различных значениях в2

С?

0.5

32=0,1

0,4

0.3

0,2

0.1

0

ч/ /

/ / /

/ /

/ /

/ /

/ / /

/ / ' ,

✓ ✓ / / /■ ✓ / /;

Шк -г

,2

,8 ,9

0,001 0,01 0,1 Рис. 2. Зависимость коэффициента деполяризации от вз при различных значениях в2

круглую пластинку. В этом случае (0 ^ ( ^ 0 и (0 ^ 1. Предельным случаем эллипсоида при в3 ^ в2 ^ 0 является тонкий круглый стержень и при этом (0 ^ 0, а (0 ^ (2 ^ 1/2.

4. Представительный элемент структуры с эквивалентным включением

Для нахождения эффективных диэлектрических свойств двухфазного представительного элемента структуры композита с анизотропным эквивалентным включением поместим это включение в неограниченный объем однородной среды с диэлектрической проницаемостью ет, совпадающей с диэлектрической проницаемостью материала матрицы. Если теперь на весьма большом расстоянии ж1 по сравнению с полуосью ^^ трехосного эллипсоида, определяющего форму представительного элемента структуры композита, задать однородное электростатическое поле с вектором Е1 напряженности, направленным вдоль координатной оси Ох1 выбранной выше системы координат, то с убыванием расстояния ж1 будет нарастать возмущение линейного распределения электрического потенциала, вызванное присутствием эквивалентного включения. Такое возмущение также должно удовлетворять уравнению (12) и при условии и = 0 в плоскости ж1 = 0 по аналогии с возмущением АЦ будет равно

ди / = е1ж1(е1 — ет)(°1

1 = 1 + (£1 — ет)С0 ,

причем оно не изменится, если рассматривать эквивалентное включение вместе со слоем материала матрицы, ограниченным поверхностью эллипсоида, описываемой уравнением (11), т.е. применительно к двухфазному представительному элементу структуры композита.

После замены указанного элемента равновеликим однородным эллипсоидом с искомым значением е^ диэлектрической проницаемости композита в направлении оси Ох1 возмущение линейного распределения электрического потенциала будет определять равенство

дЦ = е1ж1(е1 — ет) (1

1 = 1 + (е1 — ет)( ,

где

( = ь1ь2ь3 7_^__(21)

(1 2Z3 / (и + ь2^2)3/2(и + 62/г2)1/2(и + &3^2)1/2, ( )

«

£ — положительный корень уравнения

222 лу ** лу ^ гу^

-+-+-=1, (22)

б2/Z2 + £ 62^2 + £ б2^2 + £ , ' '

а (1 = (1 при значении £ = 0, соответствующем внешней поверхности слоя материала матрицы, описываемой уравнением (11).

Отношение А U1 / А U1 с увеличением расстояния от начала координат должно стремиться к единице, что при x2 = x3 = 0 можно представить в виде условия

lim А^ = (/* - ?")(1 + (£' - '-Г ^ lim G = 1, (23)

АС (£1 - /„,)(1 + (/; - em)G5) G, ' v '

так как от x1 неявно зависит лишь отношение G1/G1.

При x2 = x3 = 0 из уравнения (16) для эквивалентного включения получим - = xf-bf/Z2, а в случае замены представительного элемента структуры композита равновеликим эллипсоидом из уравнения (22) следует - = x2 - b2/Z2, т.е. U ^ то и - ^ то при x1 ^ то и, согласно формулам (15) и (21), оба интеграла в отношении Gz/Gz стремятся к нулю. Предел в соотношении (23) вычислим путем раскрытия неопределенности типа 0/0, продифференцировав эти интегралы по нижнему пределу:

G = Z3 r (u + b1 /z2)3/2(u + b2/z2)1/2(u + b2/z2)1/2 = Z3 = ±_

xi™» Gl Z3 ™ (u + b2/Z2)3/2(u + b2/Z2)1/2(u + b2/Z2)1/2 Z3 Cv '

В итоге, учитывая, что для геометрически подобных эллипсоидов G1 = G' = G', из соотношения (23) получим

= ^ = 1 + (£/1 - 1)CV (24)

1 +1 + (U - 1)(1 - cv)G5' ( )

где /1 = £1/ет.

Повторение аналогичной процедуры при задании на расстоянии x2, весьма большом по сравнению с размерами представительного элемента структуры композита, однородного электростатического поля с вектором E2 напряженности, параллельном координатной оси Ox2 выбранной выше системы координат, приведет к соотношению

= f! = + (/2 - 1)cV (25)

2 /m + 1 + (и - 1)(1 - cV)G5' ( )

где U2 = /2//m. Наконец, при задании на весьма большом расстоянии x3 по сравнению с полуосью b1/Z трехосного эллипсоида с поверхностью, определяемой уравнением (11), однородного электростатического поля с вектором E2 напряженности, параллельном координатной оси Ox3 и выполнении описанной выше процедуры получим

U = = 1 + (U - 1)cV (26)

3 /m + 1 + (U - 1)(1 - cV)G5' ( )

где /3 = £3/£m.

Из формул (24)-(26) следует, что при упорядоченном расположении в композите эллипсоидальных металлических включений, когда их наибольшие полуоси параллельны, его диэлектрические характеристики будет определять тензор второго ранга с главными осями, совпадающими с коодинатными осями выбранной системы координат Ox1x2x3. При хаотической ориентации включений, когда расположение осей вращения включений равновероятно по всем возможным направлениям, композит будет изотропным с эффективным значением диэлектрической проницаемости /* = (/1 + /2 + /3)/3.

5. Двусторонние границы

Используем двойственную вариационную формулировку рассмотренной выше задачи электростатики в неоднородном анизотропном твердом теле для построения двусторонних границ главных значений е* (V = 1, 2, 3) тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита. Сначала описанную выше цилиндрическую область V заполним однородной анизотропной средой, имеющей искомые диэлектрические характеристики композита При этом главную ось тензора и, соответствующую главному значению е*, направим перпендикулярно основаниям цилиндра. Затем в эту среду поместим половину двухфазного представительного элемента структуры композита так, чтобы координатная ось 0x1 также была перпендикулярна основаниям цилиндра, а плоскость х1 = 0 совпадала с основанием $0.

С учетом заданных на основаниях цилиндра граничных условий примем достаточно простое допустимое для функционала (5) распределение и(х1) = инх1/Н электрического потенциала, линейное по высоте замкнутой цилиндрической области V. Тогда, согласно формуле (5), получим

Л

и2

н

2Я2 \

(^Яе* - (е* - £т + £т - £1

Z3

С3

Главные значения тензора V в функционале (6), обратного тензору и, для однородной среды равны 1/е£, для изотропной матрицы — 1/ет, а для эквивалентного включения — 1 /е^. Для функционала (6) в качестве допустимого распределения вектора Ю примем постоянное значение О единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра, и запишем

11 =

О2/ ^Я 2пб1Мз (1/е1 - 1/ет , 1/ет - 1/е1

2е

3

Z3

+

С3

- ин^О.

Значение О следует из необходимого условия = 0 максимума функционала (6) и

равно

и ъ1рЯ 2пМ2бз (1/е1 - 1/ет , 1/ет - 1/е1

О = -ин ^----^-+-(3-

В итоге получим

-1

11

иН^Я 2^6263/ 1/е1 - 1/ет , 1/ет - 1/е1

2 V е1

3 V Z3

+

С3

1

Если в области V заменить половину представительного элемента структуры композита равновеликой половиной трехосного эллипсоида с искомыми диэлектрическими характеристиками композита, то среда в этой области станет однородной, а линейное распределение и(х1) = инх1/Я — истинным распределением и*(х1) для функционала (5), который, согласно формуле (8), примет минимальное значение = иН^еЦ/(2Я). В соответствии с

цепочкой неравенств (7) имеем 3\ ^ ^ Д, что с учетом найденных значений функционалов приводит к двусторонним оценкам

-+ = — = 1 — Су + Су£1 ^ ё{ = -1 ^

1

-

-т

-т " 1 - Су + Су /—1

1

-т

—, (27)

где —1 = -1/-т. Полученные оценки явно не зависят от формы включений, но она влияет на значения -1 и тем самым изменяет границы области возможных значений -д.

Изменим в цилиндрической области V ориентацию однородной анизотропной среды с искомыми диэлектрическими характеристиками рассматриваемого композита так, чтобы главная ось тензора и, соответствующая главному значению -д, была перпендикулярна основаниям цилиндра. Вместе с этим изменим и ориентацию половины двухфазного представительного элемента структуры композита, направив перпендикулярно основаниям цилиндра координатную ось Ох2 и совместим плоскость х1 = 0 с основанием Б0. Выбор в области V прежних распределений электрического потенциала и вектора электрического смещения, допустимых для функционалов соответственно (5) и (6), приведет к двусторонним оценкам значения -2, определяемым соотношением вида (27) с заменой индекса 1 индексом 2. Аналогичным путем можно получить двусторонние оценки главного значения -д тензора и в виде соотношения (27) после замены в нем индекса 1 индексом 3.

Верхняя -+ и нижняя -- оценки в соотношении (27) совпадают при значениях Су = 0 и Су = 1, но при промежуточных значениях Су € (0; 1) разность -+ — -- растет по мере отклонения отношения -"1 = -1 /-т от единицы. Отношение п = (-+ — -можно рассматривать как наибольшую возможную относительную погрешность при выборе в качестве эфективного значения -д полусуммы полученных оценок. На рис. 3 в полулогарифмических координатах представлены построенные с использованием соотношения (27)

Рис. 3. Зависимость щ от Су при различных значениях параметра £1 > 1

графики зависимости ц1 от Су при различных значениях е1 > 1 (кривые для пар значений е1 и 1/ё1 совпадают и каждая из кривых симметрична относительно абсциссы Су = 0,5).

Наибольших значений пт =1 ^ ^-2)78 относительная погрешность достигает

при Су = 0,5. Ясно, что представленные оценки относительной погрешности справедливы и по отношению к значениям е* и е3.

Отметим, что представленные в соотношении (27) равенства для е+ и е- совпадают с формулами, следующими из теории смесей [22], но в отличие от использованного выше вариационного подхода эта теория не дает оснований утверждать, что полученные оценки

являются соответственно верхней и нижней границами по отношению к истинному зна-

*

1-

чению е*.

6. Результаты расчетов

На рис. 4 по формулам (24)-(26) с использованием равенств (18)—(20) сплошными кривыми в полулогарифмических координатах представлены зависимости (V = 1, 2, 3) от объемной концентрации Су электроизолированных ленточных включений при значениях ( = 0,9, = 0,1, в = 0,01 и е3 = е8/ет = 0,5. Штрихпунктирные и пунктирные линии соответствуют верхним и нижним границам областей расположения возможных значений ёи, определяемым соотношениями вида (27). Видно, что для всех значений V сплошные кривые находятся в пределах этих границ, причем для V =1 такая область достаточно широкая, а для V = 3 является наиболее узкой. Следует отметить, что сплошные кривые при V =1 и V = 2 расположены ближе к верхней границе соответствующих областей, тогда как

1000 500

200 100 50

20 10

У"

>>

-

✓

///

/ ..а-"

1 /// / ____[ ------

1! рг"

^— / • -

¡1 и -■'ГО

II / г"' ^

|| / у'

I / « /

• / 1 /

е2

£з

с,-

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рис. 4. Результаты количественного анализа расчетных зависимостей

сплошная кривая при V = 3 практически совпадает с нижней границей области возможных значений -3.

Увеличение параметра (, соответствующее уменьшению относительной толщины электроизолирующего покрытия на ленточном металлическом включении и увеличению диэлектрической проницаемости эквивалентного включения в двухфазном представительном элементе структуры композита, приводит к возрастанию значений -V. Для сравнения на рис. 4 при ( = 0,92 и прежних значениях остальных параметров представлены зависимости -г, (тонкие сплошные кривые с темными кружками). Даже относительно небольшое увеличение параметра ( вызывает заметный рост всех значений .

Аналогично влияние параметра — на все компоненты тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита. На рис. 4 тонкие сплошные кривые со светлыми кружками построены при - 3 = 1 и прежних исходных значениях остальных параметров. Тонкая сплошная кривая с квадратами соответствует зависимости е2 от Су при сочетании значений параметров ( = 0,92, в2 = 0,1, в3 = 0,01 и -8 = 1. Из сравнения этой кривой с тонкими сплошными кривыми с темпными и светлыми кружками для V = 2 можно заключить, что влияние изменения параметров ( и — в данном случае является практически независимым. Из дополнительных расчетов следует, что уменьшение значений этих параметров приводит к убыванию значений всех компонент тензора тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита.

Необходимо отметить, что изменение значения любого из параметров вызывает изменение двусторонних границ областей, содержащих возможные значения . В качестве примера на рис. 4 приведены штрихпунктирные и пунктирные линии с квадратами, построенные по соотношению (27) с использованием равенств (19). Эти линии являются двусторонними границами области для возможных значений при сочетании значений ( = 0,92, в2 = 0,1, в3 = 0,01, — = 1 и полностью охватывают тонкую сплошную кривую с квадратами, построенную при тех же значениях параметров по формуле (25).

Проведенный количественный анализ полученных расчетных зависимостей дает представление о взаимном расположении графиков зависимостей диэлектрических характеристик анизотропного композита с электроизолированными ленточными металличесмкими включениями при их упорядоченном расположении.

Заключение

С использованием построенной структурной модели композита с электроизолированными ленточными металлическими включениями, содержащей двухфазный представительный элемент с эквивалентным включением, получены расчетные зависимости для вычисления компонент тензора диэлектрической проницаемости композита при упорядоченном расположении включений. На основе двойственной вариационной формулировки задачи электростатики в неоднородном анизотропном твердом теле установлены двусторонние оценки

истинных значений указанных компонент и наибольшая возможная относительная погрешность в случае, если в качестве их значений выбрать полусумму этих оценок.

Работа выполнена по грантам НШ-1432.2014.8 и МК-6573.2015.8 программ Президента РФ государственной поддержки ведущих научных школ и молодых кандидатов наук, а также в рамках проекта 1712 в сфере научной деятельности в части государственного задания 2014/104 Минобрнауки РФ и государственного задания по проекту 1.2640.2014.

Список литературы

1. Емец Ю.П. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой. Киев: Наукова думка, 1968. 192 с.

2. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 208 с.

3. Физика композиционных материалов / Под общ. ред. Н.Н.Трофимова. В 2-х т. Т. 2. М.: Мир, 2005. 344 с.

4. Политехнический словарь / Гл. ред. А.Ю. Ишлинский. М.: Сов. энциклопедия, 1989. 656 с.

5. Кац Е.А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей. М.: Изд-во ЛКИ, 2006. 296 с.

6. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материалов. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с.

7. Электрические свойства полимеров / Под ред. Б.И. Сажина. Л.: Химия, 1986. 224 с.

8. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Диэлектрическая проницаемость неоднородных материалов // Журнал теоретической физики. 1969. Т. 39, вып. 7. С. 1308-1313.

9. Челидзе Т.Л., Деревянко А.И., Куриленко О.Д. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем. Киев: Наукова думка, 1977. 230 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

11. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с.

12. ЗарубинВ.С., КувыркинГ.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. №3. С. 76-85.

13. Зарубин В.С., Савельева И.Ю. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита со сфероидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. №4. С. 116-126.

14. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с включениями в виде удлиненных эллипсоидов вращения // Тепловые процессы в технике. 2013. Т. 5, № 6. С. 276-282.

15. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys. 1962. Vol. 33. P. 3125-3132. DOI: 10.1063/1.1728579

16. Ермаков Г.А., Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Вычисление границ для эффективных диэлектрических проницаемостей неоднородных диэлектриков // Журнал теоретической физики. 1974. Т. 44, вып. 2. С. 249-255.

17. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №2. P. 37-49. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

18. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. №3(102). С. 50-64.

19. Толмачев В.В., Головин А.М., Потапов В.С. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 232 с.

20. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

21. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 248 с.

22. Головин Н.Н., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Смесевые модели механики композитов. Ч. 1. Термомеханика и термоупругость многокомпонентной смеси // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2009. №3. С. 36-49.

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 5, pp. 64-82.

DOI: 10.7463/mathm.0515.0815604

Received: 16.10.2015

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

Mathematical Modeling of Dielectric Characteristics of the Metallic Band Inclusion Composite

Zarubin V. S.1*, Kuvyrkin G.N.1, Savel' eva I.Yu. *[email protected]

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: composite, permittivity, band inclusions

Among the desirable properties of functional materials used in various electrical and radio physical equipment and devices, dielectric characteristics, including relative permittivity (hereinafter, permittivity) are of importance. The permittivity requirements can be met when a composite with a particular combination of its matrix characteristics and inclusions [1, 2, 3] is used as a functional material. The use of metallic inclusions extends a variation range of dielectric characteristics of the composite, and thereby enhances its application. The composite structure, form of inclusions, and their volume concentration has a significant impact on the permittivity.

One of the composite structure embodiments is a dispersion system when in the dispersion medium (in this case — in the composite matrix) a dispersed phase (inclusions) with highly extended interface between them [4] is distributed. There can be various forms of dispersed inclusions. Band is one of the possible forms of inclusion when its dimensions in three orthogonal directions are significantly different among themselves. For such inclusion, a tri-axial ellipsoid can be taken as an acceptable geometric model to describe its form. This model can be used, in particular, to describe the form of nanostructured elements, which recently are considered as inclusions for advanced composites for various purposes [5].

With raising volume concentration of metal inclusions in the dielectric matrix composite there is an increasing probability of direct contact between the inclusions resulting in continuous conductive cluster [3,6]. In this paper, it is assumed that metal band inclusions are covered with a sufficiently thin layer of the electrically insulating material, eliminating the possibility of direct contact and precluding consideration of the so-called percolation effect [2, 7] in the entire interval of the expectedly changing volume concentration of electrically ellipsoidal inclusions. The structural model of the composite these inclusions are replaced by the uniform ellipsoidal inclusions with equivalent anisotropic dielectric characteristics that with the ordered arrangement of the inclusions leads to anisotropy of effective dielectric characteristics of the composite as a whole.

There are known various approaches [1, 8, 9, 10] to the mathematical modeling that allow us to build calculated curves to determine dielectric characteristics of the composites having inclusions of different forms. When building such models, the analogy between the formulations and problem solutions of electrostatics and steady thermal conductivity [11, 12, 13, 14] can be used. Variation approaches [15,16,17] to estimate effective dielectric properties of the composite allow us to obtain bilateral borders between which there are their true values, and evaluate the maximum possible error occurring in using a particular mathematical model. Such borders can be set on the basis of the dual variation formulation of the problem for a potential field in an inhomogeneous solid [18]. This formulation contains two alternative functionals (minimized and maximized), taking the same extreme values in the true problem solving.

References

1. Emetz Yu.P. Elektricheskie harakteristiki kompozitsionnyh materialov s reguljarnoj strukturoj [The electrical characteristics of composite materials with a regular structure]. Kiev, Naukova dumkapubl., 1968. 192 p. (in Russian)

2. Vinogradov A.P. Electrodinamika kompozitnykh materialov [Electrodynamics of composites]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2001. 208 p. (in Russian).

3. Trofimov N.N., ed. Fizika kompozitsionnyh materialov. V 2 t. T. 2 [Physics of composite materials. In 2 vols. Vol. 2]. Moscow, Mir publ., 2005. 344 p. (in Russian)

4. Ishlinskii A.Yu., ed. Politekhnicheskii slovar [Politechnical dictionary]. Moscow, Sovetskaya entsiklopediyaPubl., 1989. 656 p. (in Russian).

5. Kats E.A. Fullereny, uglerodnye nanotrubki i nanoklastery. Rodoslovnaya form i idey [Fullerenes, carbon nanotubes and nanoclusters. Genealogy forms and ideas]. Moscow, LKI Publ., 2008. 296 p. (in Russian).

6. Tareev B.M. Fisika dielectricheskikh materialov [Physics of dielectric materials]. Moscow, EnergoatomizdatPubl., 1982. 320 p. (in Russian).

7. Sajhin B.I., ed. Electricheskie svoistvapolimerov [Polymers electric properties]. Leningrad, KhimiaPubl., 1986. 224 p. (in Russian).

8. Fokin A.G., Shermegor T.D. The permittivity of heterogeneous materials. Zhurnal technich-eskojfiziki = Journal of Applied Physics, 1969, vol. 39, iss. 7, pp. 1308-1313. (in Russian).

9. Chelidze T.L., Derevjanko A.I., Kurilenko O.D. Elektricheskaja spektroskopija geterogennyh sistem [Electric spectroscopy of heterogeneous systems]. Kiev, Naukova dumka publ.,, 1977. 230 p. (in Russian).

10. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskay fizika. V 10 t. T.8. Electrodynamika sploshnykh sred [Teoretical physics. In 10 vols. Vol. 8. Electrodynamics of continuous media]. Moscow, Nauka Publ., 1992. 664 p. (in Russian).

11. Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of Heat in Solids. 2nd ed. Oxford University Press, 1959. (Russ. ed.: Carslaw H.S., Jaeger J.C. Teploprovodnost' tverdykh tel. Moscow, Nauka Publ., 1964. 488 p.).

12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Effective Coefficients of Thermal Conductivity of a Composite with Ellipsoidal Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural sciences, 2012, no. 3, pp. 76-85. (in Russian).

13. Zarubin V.S., Savelyeva I.Yu. Effective Thermal Conductivity Coefficients of the Composites with Spheroidal Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural sciences, 2013, no. 4, pp. 116-126. (in Russian).

14. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Effective Thermal Conductance of the Composite with Inclusions in the Form of Elongated Ellipsoid of Revolution. Teplovye protsessy v tekhnike = Thermal Processes in Engineering, 2013, vol. 5, no. 6, pp. 276-282. (in Russian).

15. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials. J. Appl. Phys., 1962, vol.33, pp. 3125-3132. DOI: 10.1063/1.1728579

16. Ermakov G.A., Fokin A.G., Shermegor T.D. Calculation of bounds for the effective dielectric constants of heterogeneous dielectrics. Zhurnal technicheskoj fiziki = Journal of Applied Physics, 1974, vol. 44, iss. 2, pp. 249-255. (in Russian).

17. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Pugachev O.V. A Variational Approach to the Estimate of the Permittivity of a Composite with Dispersed Inclusions. Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana = Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no 2, pp. 37-49. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483 (in Russian).

18. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Evaluation of Dielectric Permittivity of Composite with Dispersed Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Instrument Engineering, 2015, №3(102), pp. 50-64. DOI: 10.18698/0236-3933-2015-3-50-64 (in Russian).

19. Tolmachev V.V., Golovin A.M., Potapov V.S. Termodinamika i electrodinamika sploshnoi sredy [Continuous media thermodynamics and electrodynamics]. Moscow, MSU Publ., 1988. 232 p. (in Russian).

20. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki splosh-noi sredy [Mathematical models of mechanics and electrodynamics for continuous media]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 p. (in Russian).

21. Eshelby J.D. The continuum theory of lattice defects. In: Seitz F., Turnbull D., eds. Progress in Solid State Physics. Vol. 3. New York, Academic Press, 1956, pp. 79-144. (Russ. ed.: Eshelby J.D. Kontinual'naia teoriia dislokatsii. Moscow, Inostrannaia literatura Publ., 1963. 248 p.).

22. Golovin N.N., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Mixture Models of Composite Mechanics. P. 1. Thermal Mechanics and Thermoelasticity of Multicomponent Mixture. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural sciences, 2009, no. 3, pp. 36-49. (in Russian).