Диэлектрическая проницаемость композита, армированного сеткой анизотропных волокон Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиооптика

>ДК 517.1;530.1

Диэлектрическая проницаемость композита, армированного сеткой анизотропных волокон

Зарубин В. С.1'*, Кувыркин Г. Н.1, Савельева И. Ю.1 *fti2@bmstu.ru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

На основе построенной двойственной вариационной формулировки задачи электростатики в неоднородном анизотропном твердом теле установлены двусторонние границы областей, в которых возможно расположение значений компонент тензора диэлектрической проницаемости ортотроп-ного композита, армированного сеткой с прямоугольными ячейками из трансверсально изотропных волокон. Эта формулировка включает два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), принимающих на истинном решении задачи одинаковые экстремальные значения. Рассмотрение представительного элемента структуры композита как электрического конденсатора с неоднородным диэлектриком в межэлектродном пространстве позволило при построении двусторонних границ учесть взаимное расположение волокон. Проведен количественный анализ полученных расчетных зависимостей, которые дают возможность прогнозировать диэлектрические характеристики рассматриваемого композита

Ключевые слова: композит; тензор диэлектрической проницаемости; сетка армирующих волокон

Введение

Применение композиционных материалов (композитов) в различных технических областях связано с возможностью в широком диапазоне изменять их механические, теплофизи-ческие и электрофизические характеристики путем подбора свойств матрицы и включений, а также формы, расположения и объемной концентрации включений. Наряду с использованием композитов в виде конструкционных и теплозащитных материалов, они находят применение и как функциональные материалы в большом числе различных электротехнических и электрофизических приборов и устройств, в том числе в качестве диэлектриков. Для композита, используемого в этом качестве, основной характеристикой является эффективная относительная диэлектрическая проницаемость (далее для краткости слово "относительная" опущено) [1, 2, 3].

Среди различных форм включений достаточно широкое распространение получили волокна, расположение которых в композите зависит от принятой схемы его армирования [4, 5].

Ссылка на статью:

//Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №6. С. 88-104.

Б01: 10.7463/^ор1.0615.0816600

Представлена в редакцию: 19.10.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

Одной из возможных схем армирования композита, используемого в качестве функционального материала в электротехнических и электрофизических устройствах, является расположение в диэлектрической изотропной матрице анизотропнык и в общем случае проводящих волокон в виде ортогональной многослойной сетки. Такая сетка состоит из параллельных слоев параллельно расположенных волокон, причем в каждом слое волокна ориентированы перпендикулярно волокнам соседнего слоя. Композит с такой структурой будет обладать анизотропией по отношению к диэлектрическим свойствам. При этом две главные оси тензора диэлектрической проницаемости композита будут параллельны волокнам.

Для оценки главных значений тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита можно использовать двойственную вариационную формулировку задачи электростатики в неоднородном твердом теле [6, 7], модифицированную применительно к проявлению свойств анизотропии такого тела. Эта формулировка включает два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), принимающих на истинном решении задачи одинаковые экстремальные значения. На любом из приближенных решений задачи значение минимизируемого функционала будет не меньше, чем на истинном, а значение максимизируемого — не больше, чем на истинном решении. Такое свойство двойственной вариационной формулировки задачи позволяет установить двусторонние границы возможных значений эффективных диэлектрических характеристик рассматриваемого композита как неоднородного анизотропного твердого тела и оценить наибольшую погрешность, если в качестве таких характеристик принять полусумму установленных граничных значений.

Второй подход, реализованный в данной работе, связан с рассмотрением представительного элемента структуры композита как электрического конденсатора с неоднородным диэлектриком в межэлектродном пространстве. Этот подход дает возможность непосредственно учесть расположение армирующих волокон и в зависимости от предполагаемых в межэлектродном пространстве распределения электрического потенциала или векторного поля электрического смещения (электрической индукции) также приводит к двусторонним оценкам искомых диэлектрических характеристик рассматриваемого композита.

1. Двойственная вариационная формулировка задачи электростатики

Пусть композит как неоднородное твердое тело занимает односвязную область V. При отсутствии в этом теле свободных электрических зарядов из полной системы уравнений Максвелла [8] следуют уравнения электростатики в виде [9]

V х Е(М) = 0, У-Б(М) = 0, М е V, (1)

где V — векторный дифференицальный оператор Гамильтона; Е и Ю — векторы напряженности электростатического поля и электрического смещения соответственно, зависящие от положения точки М в области V; 0 — нулевой вектор (точка между сомножителями означает

операцию свертки по одинаковым индексам этих сомножителей при их координатном представлении [10]). Из первого уравнения (1) следует, что векторное поле Е(М) потенциально. Это позволяет соотношением

Е(М) = (М), М е V, (2)

тождественно удовлетворяющим это уравнение, ввести скалярный электрический потенциал и.

Для неоднородного анизотропного твердого тела векторы Ю и Е не являются коллинеар-ными и связаны равенством [9, 10]

Б(М) = е0и(М)-Е(М), М е V, (3)

л—12 ^ ' с

где е0 = 8,8542 ■ 10 12--электрическая постоянная, и — тензор второго ранга диВ ■ м

электрической проницаемости, компоненты которого являются функциями координат точки М е V .Из второго уравнения (1) и равенств (2) и (3) следует дифференциальное уравнение второго порядка

V-(и(М)^и(М)) =0, М е V. (4)

Выделим на поверхности Б рассматриваемой области V участки 51 и Б2, на которых заданы значения соответственно и' и и" электрического потенциала:

и(Р1) = иь Р е 51; и(Р2) = и2, Р2 е Б2; Б1 и Б2 с Б, Б1 П Б2 = 0. (5)

Это означает, что вариация ¿и электрического потенциала на этих участках тождественно равна нулю:

¿и(Р) = 0, Р е Б1; ¿и(Р2) = 0, Р2 е Б2. (6)

Остальные участки Б0 = Б \ (Б' и Б'') поверхности Б примем идеально электроизолированными, т.е.

VU(Р) ■ п(Р) = 0, Р е Бо с Б, (7)

где п — единичный вектор внешней нормали в точках Р.

После умножения уравнения (4) на вариацию ¿и(М), М е V, интегрирования полученного произведения по области V и использования первой формулы Грина в виде [11] (обозначение точек М, Р1 и Р2 опущено)

I (V- (и^и)) ¿и^ = У п-и^¿и^Б - I(VU)• и•V(¿U) dV с учетом равенств (6) и (7) запишем

¿1 ^ )■и •VUdV = 0,

V

что соответствует условию $3[и, ] = 0 стационарности функционала

3 [Ц]=У(Уи )■ и-Уи^К (8)

Функционал (8) допустимо рассматривать на множестве непрерывных в области V и кусочно дифференцируемых в ней функций и(М), М € V, удовлетворяющих условиям (5) на участках $1 и $2 поверхности $. Этот функционал является строго выпуклым (вниз) [10, 12] и в стационарной точке и*(М) (М € V) достигает наименьшего значения

3[и*] = I(Уи*)■ и-Уи* ¿V = и^ / п-и-Уи* + и2 У п-и-Уи* (9)

V 51 52

В случае достаточной гладкости функции и*(М) она будет удовлетворять дифференциальной форме математической модели, включающей дифференциальное уравнение (4) и граничные условия (5) и (7).

Подынтегральная функция в средней части равенства (9) пропорциональна объемной плотности энергии электростатического поля в области V, а значение интеграла в этой части равенства пропорционально суммарной энергии Ш условного электрического конденсатора [9] с неоднородным анизотропным диэлектриком в объеме области V, заключенным между двумя электродами на участках $1 и $2 поверхности этой области с заданными электрическими потенциалами и1 и и2 соответственно. Введя емкость С такого конденсатора, можно записать

ш = ^ У (Уи *)-и-Уи * ¿V = С (и - и2)2. (10)

V

Область определения функционала (8) можно расширить путем введения векторной функции Б(М)= — и(М)-Уи(М), М€ V и $0. Если затем наложить на эту функцию дополнительные условия, определяемые вторым уравнением (1) и равенством Б(Р) ■ п(Р) = 0,

Р

€ $о, то получим альтернативный по отношению к функционалу 3[и] максимизируемый функционал

I[Б] = — ^Бу(М)-Б¿V — ^У Б ■ п— ^У Б ■ п(11)

V 51 52

где V — тензор второго ранга, обратный тензору и. Функционал (11) допустимо рассматривать на множестве непрерывно дифференцируемых в области V векторных функций Б(М), М € V, удовлетворяющих указанным выше условиям и интегрируемых на участках $1 и $2 поверхности $. Этот функционал является строго выпуклым вверх [10, 12] ив стационарной точке Б*(М) (М € V) достигает наибольшего значения I[Б*], совпадающего со значением 3[и*].

Альтернативные функционалы (8) и (11) в сочетании с цепочкой неравенств

3[и] ^ 3[и*] = I[Б*] ^ I[Б]. (12)

составляют двойственную вариационную формулировку задачи электростатики в неоднородном анизотропном твердом теле. Использование этой формулировки позволяет установить двусторонние границы, между которыми должны быть расположены истинные значения диэлектрических характеристик композита, а также оценить наибольшую возможную погрешность, которая возникает в случае приравнивания этих характеристик полусумме установленнных граничных значений.

2. Представительный элемент структуры композита

В качестве представительного элемента структуры рассматриваемого композита в силу свойств симметрии достаточно рассматривать прямоугольный параллелепипед со сторонами 6Ь 62 и 63 (рис. 1) объемом V] = Ь1626з, в котором волокнам соответствуют два включения, каждый в виде четвертой части цилиндра радиусом г и длиной 61 и 62. Чтобы исключить непосредственный контакт проводящих волокон и избежать проявления эффекта перколя-ции [2, 3, 13], связанного с образованием в композите непрерывного проводящего кластера, необходимо одновременное выполнение условий г < 61, г < 62 и 2г < 63, что приводит к ограничению для объемной концентрации С волокон в композите в виде неравенства

пбз (61 + 62) п

°У < 166162 ^ 4,

причем значение п/4 соответствует равенству 61 = 62 = 63/2. При выбранном радиусе волокна

С = пг2 (61 + 62) V 4616263 .

Остальной объем представительного элемента занимает изотропный материал матрицы композита с диэлектрической проницаемостью е°. Волокна примем трансверсально изотропными относительно их продольной оси с диэлектрическими проницаемостями ец параллельно этой оси и е± в поперечном направлении.

Рис. 1. Представительный элемент структуры композита

Выбранный представительный элемент структуры композита в силу принятого расположения фрагментов волокон обладает анизотропными свойствами, идентичными эффективным характеристикам композита в целом. Главные оси тензора диэлектрической проницаемости этого элемента совпадают с координатными осями прямоугольной декартовой системы координат Ох1х2х3 (см. рис. 1).

Для получения верхней оценки е+ одного из главных значений е* тензора диэлектрической проницаемости композита примем предположение о расположении в представительном элементе эквипотенциальных поверхностей в виде плоскостей, параллельных одной из координатных плоскостей, например плоскости х3 = 0 (см. рис. 1). Этому расположению соответствует распределение электрического потенциала и (х3), допустимое для минимизируемого функционала (8), входящего в двойственную вариационную формулировку задачи электростатики в рассматриваемом представительном элементе структуры композита. Но такое распределение в силу возмущений, вызванных наличием фрагментов волокон, не совпадает с истинным, на котором этот функционал достигает минимума. Следовательно, вычисленная по такому распределению диэлектрическая проницаемость этого элемента будет выше истинной, что и приводит к верхней оценке эффективного значения диэлектрической проницаемости (в данном случае, к неравенству е+ ^ е*).

Нижняя оценка е- эффективного значения е3 соответствует предположению о перпендикулярности вектора Б электрического смещения эквипотенциальным плоскостям, т.е. параллельности этого вектора координатной оси Ох3. Такое векторное поле является допустимым для максимизируемого функционала (10), но отличается от истинного, на котором этот функционал достигает максимума. Поэтому вычисленная с использованием этого поля диэлектрическая проницаемость будет ниже истинной (в данном случае будет справедливо неравенство е- ^ е*).

Описанная процедура аналогичным образом может быть использована и для установления двусторонних оценок эффективных значений е* и е* диэлектрической проницаемости представительного элемента структуры композита. Таким путем удается получить двусторонние границы возможного изменения всех трех главных значений диэлектрической проницаемости рассматриваемого анизотропного композита. Перейдем к последовательному выводу расчетных зависимостей для этих границ.

3. Построение двусторонних оценок

На гранях х3 = 0 и х3 = Ь3 (см. рис. 1) представительного элемента структуры композита зададим соответственно значения и = 0 и и3 > 0 электрического потенциала, предполагая его линейную зависимость и(х3) = и3ж3/63 вдоль координатной оси Ох3. Остальные грани этого элемента примем идеально электроизолированными. Тогда напряженность электростатического поля в элементе будет определять вектор Е, паралельный этой координатной оси и имеющий составляющую Е3 = — и3/Ь3. Если представительный элемент структуры композита заменить однородным параллелепипедом с искомым тензором и диэлектрической проницаемости композита при условии, что ориентация главных осей этого тензора, соответствующих его главным значениям е*, V = 1, 2, 3, совпадает с ориентацией координатных осей Ох^, то заданное распределение электрического потенциала будет соответствовать ис-

тинному, минимизирующему функционал (8). Тогда, согласно равенству (9), получим

з = е3 и|Уо = ^Ц2^

Для неоднородного представительного элемента функционал (8) на допустимом распределении и (х3) будет равен

/3 = и| ((^0 - 4г2(Ь1 + 62))в° + 4Г2(б1 + = ^(1 - Су + Су),

где Су = пг (Ь1 + — объемная концентрация фрагментов волокон в представительном

4 Уо

элементе структуры композита, совпадающая с объемной концентрацией волокон в рассма-

триваемом композите, а £± =

Главные значения тензора v в функционале (11), обратного тензору и, для изотропной матрицы одинаковы и равны 1/е°, а для фрагментов волокна главным значениям ец и е± отвечают соответственно главные значения ^ц = 1/ец и = 1/е± • Для функционала (11) в качестве допустимого распределения вектора D примем постоянное значение D3 единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной плоскости x3 = 0, и запишем

1з = -(l - Cv + ^) -

Значение D3 следует из необходимого условия d/3/dD3 = 0 максимума функционала (11) и равно

D = e°(U3/b3)

D3 = — _

1 - Cy + Cy /е±'

В итоге получим

/3

e°ufM2

е+ = 1 - Cy + Cye± ^ в3 ^-^ , ^ ,_ = е-, (13)

2Ьз(1 - Су + Су/ё±)"

В соответствии с цепочкой неравенств (12) имеем ^ ^ /3, что с учетом найденных значений функционалов приводит к двусторонним оценкам

1

1 - Су + Су /ё±

где = е+/е°, £3 = е3/е° и е- =

Для построения двусторонних оценок эффективного значения е3 в напрвлении координатной оси Ох1 на гранях х1 = 0 и х1 = Ь1 представительного элемента структуры композита зададим соответственно значения и = 0 и и1 > 0 электрического потенциал, полагая остальные грани этого элемента идеально электроизолированными. Линейному распределению и (х1) = и1ж1/61 электрического потенциала, допустимому для минимизируемого функционала (8), будет отвечать значение

т е°и2У> Л С + ецпг2ь1 + е^г2^\ е°и|Ь2Ь3 (1 С + _ С, + _ С/)

Л = "Ж" 11 - Су + + = (1 - Су + е 11 Су + Су)'

где е, = ец/е°; Су = ——— и СV = ллг = ^ — Су — объемные концентрации волокон, ориентированных параллельно координатным осям Ох1 и Ох2 соответственно.

Если для функционала (11) в качестве допустимого распределения вектора Б принять постоянное значение единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной плоскости х1 = 0, то процедура, аналогичная использованной выше, приведет к значению

е°и|б2бз

2Ь1(1 — ^ + Су /е, + Су /б!)'

При замене представительного элемента структуры композита однородным параллелепипедом с прежней ориентацией главных осей искомого тензора и диэлектрической проницаемости композита принятое распределение и (х1) электрического потенциала будет истинным для функционала (8). Тогда минимальное значение этого функционала, согласно формуле (9), будет равно

е1 ^0 _е^и^бз

3

* _ _

1 = 26? = 261

1

Используя цепочку неравенств (12) в виде 31 * 3* * 11 и полученные значения функционалов, приходим к двусторонним оценкам

= 1 — С + ^е + ^* * * 1 — а- + С7е, + СУ/е! = ^ (14)

где е+ = е+/е°, е'1 = е*/е° и е- = е-/е°.

Аналогичным путем находим двусторонние границы для главного значения е* тензора и:

4 =1 — сv + с;.+ од, * .2 * 1 — + ек + о?/е, =(15)

где е+ = е+/е°, е2 = е*/е° и е- = е-/е°. Полученные оценки в виде соотношений (13)-(15) не содержат в явной форме информации о радиусе волокон и их взаимном расположении в представительном элементе структуры композита. В явной форме такая информация может быть учтена, если этот элемент рассматривать как электрический конденсатор с неоднородным диэлектриком между парами электродов, расположенных на противоположных гранях параллелепипеда.

4. Учет расположения армирующих волокон

Снова на гранях х3 = 0 и х3 = 63 представительного элемента структуры композита (см. рис. 1) зададим соответственно значения и = 0 и и3 > 0 электрического потенциала, считая остальные грани этого элемента идеально электроизолированными. Такой элемент можно рассматривать как электрический конденсатор емкостью С с неоднородным диэлектриком между электродами на гранях х3 = 0 и х3 = 63, пропорциональной, согласно формуле (10), энергии электростатического поля в этом элементе. Для оценки значения

С можно использовать эквивалентную схему из трех последовательно соединенных конденсаторов с емкостями С', С" и С'" (рис. 2, а). Диэлектрик конденсатора емкостью С" соответствует однородному слою материала матрицы композита с диэлектрической проницаемостью в°, имеющему толщину 63 — 2г и площадь 6162. Поэтому С'' = е^бгДЬз — 2г).

а б в г

Рис. 2. Эквивалентные схемы

Диэлектрик конденсаторов емкостью С' и С''' является неоднородным, поскольку соответствующие слои представительного элемента структуры композита (см. рис. 1), ограниченные парами плоскостей х3 = 0, х3 = г и х3 = 63 — г, х3 = 63, наряду с материалом матрицы включают и фрагменты анизотропных волокон. Оценим значения С' и С3'', приняв допущение о линейном распределении электрического потенциала по толщине этих слоев, т.е. о постоянстве значений составляющих напряженности векторного электростатического поля в пределах этих слоев. В этом случае для построения оценок можно применить аналогию между диэлектрической проницаемостью, электропроводностью и теплопроводностью [14, 15]. Тогда для емкости С' получим оценку

Г

1 1 г ^х3

С' е°б2

61 + — 1)у г2 — х

и аналогичным путем вычислим оценку для емкости С''' в виде

1

С"7

1

^х3

е°61 о 62 + (ё± — 1)ут2 —

2

х3

Следует отметить, что интегралы в этих равенствах можно представить достаточно громоздкими соотношениями, содержащими элементарные функции [16]. Поскольку такая возможность отсутствует для некоторых из далее записанных интегралов и их значения необходимо находить численно, при количественном анализе для вычисления всех интегралов в полученных расчетных зависимостях использованы квадратурные формулы.

Учитывая в эквивалентной схеме (см. рис. 2, а) последовательное соединение конденсаторов, для оценки емкости С получаем

1

1/С' + 1/С'' + 1/С''

д 6162

вз

6

(16)

где вд — оценка главного значения в3 тензора диэлектрической проницаемости композита в направлении координатной оси Ох3 при сформулированных выше допущениях. Эти допущения соответствуют допустимому для минимизируемого функционала (8) распределению

Г

электрического потенциала в представительном элементе структуры композита. Поэтому значение е^ будет верхней оценкой по отношению к истинному значению е3.

Для конденсатора с электродами на гранях х3 = 0 и х3 = 63 представительного элемента структуры композита можно использовать альтернативную эквивалентную схему из четырех параллельно соединенных конденсаторов с емкостями Сь С2, С3 и С4 (см. рис. 2, б). Диэлектрик конденсатора емкостью С4 соответствует однородному слою материала матрицы композита с диэлектрической проницаемостью е°, имеющему толщину 63 и площадь (61 —г)(62 — г). Поэтому С4 = е°(61 — г)(62 — г)/63.

Диэлектрик остальных конденсаторов в принятой эквивалентной схеме является неоднородным. Оценим емкости этих конденсаторов, приняв допущение об однородности векторного поля электрического смещения в слое диэлектрика каждого конденсатора. Тогда для емкости С1 конденсатора с площадью (61 — г)г слоя диэлектрика получим оценку

С = (61 — г) / 7-,__ -.

о (63 — ^г2 — ХМ /е° + г2 — ж2/е±

а для емкости С2 с площадью (62 — г)г слоя диэлектрика — оценку С2 = (62 — г)С1/(61 — г). Для емкости С3 конденсатора с площадью г2 слоя диэлектрика оценка

С = } }_¿Х^Х_

о о (^63—^г2—— //г2—^ /е° + ^г2—х2 + //г2—^ /е±

содержит двойной интеграл, вычисление которого требует использование квадратурных формул.

Для параллельного соединения конденсаторов (см. рис. 2, б) из оценки емкости С при принятых допущениях следует равенство

66

С + С2 + С3 + С4 = е^ , (17)

3 63

где е^7 — соответствующая оценка главного значения е3 тензора диэлектрической проницаемости композита в направлении координатной оси Ох3. При принятых допущениях векторное поле электрического смещения в представительном элементе структуры композита является допустимым для максимизируемого функционала (11). Поэтому значение е^7 будет нижней оценкой по отношению к истинному значению е^.

Перейдем к оценкам главного значения е^ тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита. С этой целью расположим электроды условного конденсатора с неоднородным диэлектриком на гранях х1 = 0 и х1 = 61 (см. рис. 1) представительного элемента структуры композита. Такому конденсатору соответствует эквивалентная схема с тремя конденсаторами емкостью С1, С" и С'{' (см. рис. 2, в). Диэлектрики параллельно соединенных конденсаторов однородны и поэтому их емкости равны

= е°(6263 — ^ и = е,пг»

С1 =-1—:- и С1 =

61 — г 4(61 — г)

Для емкости С"' конденсатора с неоднородным диэлектриком получим оценку

С

1 о Ь2Ь3 — пг2/4 — уг2 — + ецпг2/4 + е^Ь2уг2 — ж2 С учетом принятой эквивалентной схемы находим для значения еЦ верхнюю оценку в виде

д

е1 =

Ь1

1 1 С1 + С1' + С77

&2&3

(18)

Для построения нижней оценки значения еЦ используем эквивалентную схему с параллельно соединенными конденсаторами емкостью СО, СО и С3 (см. рис. 2, г). Диэлектрики конденсаторов с площадью слоев Ь2(Ь3 — г) — пг2/4 и пг2/4 однородны и поэтому

СО = (Ь2 (Ь3 — г) — —^ ) и С2 = т^ . Для емкости С3 конденсатора с неоднородным

01 V 4 ) 01 4

диэлектриком получим оценку

Со

е°Ь2 Ь1

0 1 + О- — 1

у2 — х"2

Ь1

В итоге для значения еЦ находим нижнюю оценку

.V _ (со + С2 + С3)Ь1

е

М:

(19)

2Ь3

Оценки главного значения е2 тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита можно получить аналогичным путем.

г

1

г

5. Результаты расчетов

В целях сокращения объема исходных данных количественный анализ полученных расчетных зависимостей проведем при условии Ь1 = Ь2, что соответствует свойству трансвер-

сальной изотропии композита относительно координатной оси Ох3 с главным значением е3

пг2

тензора диэлектрической проницаемости и равенствам еЦ = е2 и Су = С77 = Су/2 = .

40103

На рис. 3 в полулогарифмических координатах с использованием соотношений (13) и (14) построены двусторонние границы возможных значений е3 и е1 в зависимости от объемной концентрации Су волокон при фиксированном значении е^ = 4 (штрихпунктирная линия для е" и пунктирная для е-) и двух значениях еЦ = 8 и 20 (штрихпунктирные линии для е" и пунктирные для е— соответственно со светлыми и темными квадратами). Эти границы явно не зависят от отношения Ь3/Ь1 = Ь, но построенные кривые сохраняют смысл лишь до предельного значения Су = п/4 « 0,7854, которому соответствует значение Ь =2. Зависимости от Су двусторонних оценок е1 = ед/е° и Т^7 = е^/е°, построенные соответственно

по формулам (16) и (17) при значении Ь = 2, представлены на рисунке сплошной и штриховой кривыми без символов. Сплошной и штриховой кривыми с ромбами приведены зависимости этих же оценок при значении Ь = 1,6, для которого предельной объемной концентрацией волокон будет Су = п/5 ~ 0,6283. Следует отметить, что сплошные и штриховые кривые с ромбами и без символов полностью расположены в области, ограниченной штрихпунктир-ной и пунктирной линиями, построенными с использованием соотношения (13).

с— с"Ь с— сД с^ 1' с1' 3' ь3'ь1» ь1> ь35 ь3

1 1

/У 1 1

Д ✓ г / (' 1 1

У щ / е V / 1 I 1

/г V ' 7 / ЛШ г' 1 ! / \'Л 1 1 1 1 ,1

/ ! у/ / / // /■ 1 / ¿1 // // // г т ' ^ 1 ф V 4> л г V г V V |

I! и ¡Г и и и и [ С и г м* 1 у/ . 1 // / Ж •У'' // г ' О«' Г** 'V' у' /у ' У •' 1 1 1 1 1 ¡71 !/5 1 1 1 1 1 1 1 1 ж! 40

]Су

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 3. Результаты количественного анализа расчетных зависимостей

Из рис. 3 видно, что область возможных значений е^ расширяется по мере увеличения параметра ёц при выбранном фиксированном значении параметра е± = 4. Но в отличие от графиков зависимостей ё^ и ёз от Су, расположенных равномерно между границами области возможных значений ё3, графики зависимостей ё^ и ё от Су, построенные по формулам (18) и (19), практически примыкают к верхним границам соответствующих областей возможных значений е!. Зависимости от Су верхней оценки ё^ при ё± = 4 и Ь = 2 представлены на рисунке сплошными кривыми со светлыми и темными квадратами соответственно для значений ёц =8 и 20, а зависимости нижней оценки ё — штриховыми линиями с такими же символами для тех же значений параметров. Сплошная и штриховая кривые со светлыми кружками отвечают зависимостям этих оценок от Су при е± = 4, ёц = 8 и Ь = 1,6, причем для Су предельным явлется значение п/5. При Ь =1,6 эти кривые (в отличие от кривых для ёЛ и ё^7) лежат ниже соответствующих кривых для параметра Ь =2.

Заключение

Использование двойственной вариационной формулировки задачи электростатики применительно к неоднородному анизотропному твердому телу позволило установить двусторонние оценки главных значений тензора диэлектрической проницаемости ортотропного композита, армированного сеткой с прямоугольными ячейками из трансверсально изотропных волокон. С целью учесть влияние взаимного расположения волокон в композите представительный элемент его структуры представлен как электрический конденсатор с неоднородным диэлектриком в межэлектродном пространстве. Полученные оценки электрической емкости такого конденсатора привели к уточнению границ областей, в которых должны быть расположены истинные значения диэлектрических характеристик рассматриваемого композита. Для частного случая сетки армирующих волокон с квадратными ячейками проведен количественный анализ влияния определяющих параметров на расположение границ указанных областей.

Работа выполнена по грантам НШ-1432.2014.8 и МК-6573.2015.8 программ Президента РФ государственной поддержки ведущих научных школ и молодых кандидатов наук, а также в рамках проекта 1712 в сфере научной деятельности в части государственного задания 2014/104 Минобрнауки РФ и государственного задания по проекту 1.2640.2014.

Список литературы

1. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материалов. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с.

2. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 208 с.

3. Физика композиционных материалов / Под общ. ред. Н.Н. Трофимова. В 2-х т. Т. 2. М.: Мир, 2005. 344 с.

4. Композиционные материалы. Справочник / Под ред. Д.М. Карпиноса. Киев: Наукова думка, 1985. 592 с.

5. Композиционные материалы. Справочник / Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарно-польского. М: Машиностроение, 1990. 512 с.

6. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. №3. С. 50-64. DOI: 10.18698/0236-3933-2015-3-50-64

7. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Оценки электрофизических характеристик композита с диэлектрической матрицей и дисперсными проводящими включениями // Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №3. С. 51-67. DOI: 10.7463/rdopt.0315.0800066

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

9. Толмачев В.В., Головин A.M., Потапов B.C. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. M.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 232 с.

10. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

11. Власова E.A., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 700 с.

12. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 488 с.

13. Электрические свойства полимеров / Под ред. Б.И. Сажина. Л.: Химия, 1986. 224 с.

14. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.

15. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Влияние взаимного расположения волокон на теплопроводность однонаправленного волокнистого композита // Известия вузов. Машиностроение. 2014. №2. С. 16-24. DOI: 10.18698/0536-1044-2014-2-16-24

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

Radiooptics of the Bauman MSTU, 2015, no. 6, pp. 88-104.

DOI: 10.7463/rdopt.0615.0816600

Received: 19.10.2015

© Bauman Moscow State Technical University

Dielectric Permeability of Anisotropic Fiber Mesh-Reinforced Composite

Zarubin V. S.1'*, Kuvyrkin G.N.1, Savel'eva I.Yu.1 * fn2@bmstu.ru

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: composite, dielectric tensor permeability, mesh reinforcing fibers

Composite materials (composites) find various engineering applications because of possibility to change their mechanical, thermal, and electrical characteristics in a wide range by adjusting the properties of matrix and inclusions, as well as the form, location and volume concentration of inclusions. Along with using the composites, as the structural and shielding materials, a large number of different electrical and electro-physical devices use them as the functional materials and, inter alia, as a dielectric. For the composite used in such a way the main characteristic is the effective relative permittivity (hereinafter, for brevity, the word "relative" is omitted).

Among the various forms of inclusions, fibers, arrangement of which in the composite depends on the accepted pattern of its reinforcement, are rather widespread. One of the possible patterns used for reinforcing composite as a functional material in electrical and electro-physical devices, is to arrange anisotropic and, in the general case, conducting fibers as a multilayer orthogonal mesh in dielectric isotropic matrix. This mesh consists of parallel layers of parallel-arranged fibers, wherein the fibers in each layer are perpendicular-oriented to fibers of the adjacent layer. A composite with such a structure will have anisotropy with respect to dielectric properties. Thus, two main axes of the dielectric tensor of the composite are parallel to fibers.

In order to assess the principal values of the composite permittivity tensor can be used dual variation formulation of the problem of electrostatics in an inhomogeneous solid, which is modified as applied to showing the anisotropy properties of such a body. This formulation includes two alternatives of functional (minimized and maximized), taking on the same extreme values at the true solution. At any of the approximate solutions a value of the minimized functional will be less than true, and the value of maximized functional will not be more than that at true solution. This property of a dual variation formulation of the problem allows us to define the two-sided limits of the possible values of the effective dielectric characteristics of the composite under consideration as an inhomogeneous anisotropic solid body, as well as to evaluate the greatest accuracy, if to admit half the sum of defined limits to be such characteristics.

Radiooptics

Electronic journal of the Bauman MSTU

http://radiooptics.ru

The second approach implemented in this paper considers the representative element of the composite structure as an electric condenser with non-uniform insulator in the inter-electrode space. This approach makes it possible to take directly into account the arrangement of reinforcing fibers and, depending on the intended distribution of electric potential or field vector of biasing (electric induction) in the inter-electrode space also leads to two-sided estimates of desired dielectric characteristics of the composite under consideration.

References

1. Tareev B.M. Fisika dielectricheskikh materialov [Physics of dielectric materials]. Moscow. EnergoatomizdatPubl., 1982. 320 p. (in Russian).

2. Vinogradov A.P. Electrodinamika kompozitnukh materialov [Electrodynamics of composites]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2001. 208 p. (in Russian).

3. Trofimov N.N., ed. Fisika kompozitsionnykh materialov. T.2. [The physics of composites. Vol. 2]. Moscow, Mir Publ., 2005. 344 p. (in Russian).

4. Karpinos D.M., ed. Kompozitsionnye materialy. Spravochnik [Composites. Handbook]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1985. 592 p. (in Russian).

5. Vasil'ev V.V., Tarnopol'skii Yu.M., et al. Kompozitsionnye materialy [Composites]. Moscow, Mashinostroenie, 1990. 512 p. (in Russian).

6. Zarubin VS., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Estimates of permittivity for composite with dispersed inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Instrument Engineering, 2015, no. 3, pp. 50-64. DOI: 10.18698/0236-3933-2015-3-50-64 (in Russian).

7. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Pugachev O.V. Estimating electrophysical characteristics of composite with dielectric matrix and dispersed conductive inclusions. Radiooptika = Radiooptics, 2015, no. 3, pp. 51-67. DOI: 10.7463/rdopt.0315.0800066 (in Russian).

8. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskay fizika. T. 8. Electrodynamika sploshnykh sred [Teo-retical physics. Vol. 8. Electrodynamics of continuous media]. Moscow, Nauka Publ., 1992. 664 p. (in Russian).

9. Tolmachev V.V., Golovin A.M., Potapov V.S. Termodinamika i electrodinamika sploshnoi sredy [Continuous media thermodynamics and electrodynamics]. Moscow, MSU Publ., 1988. 232 p. (in Russian).

10. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki splosh-noi sredy [Mathematical models of mechanics and electrodynamics for continuous media]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 p. (in Russian).

11. Vlasova E.A., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Priblijennye metody matematicheskoi fiziki [Approximate methods of mathematical physics]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2004. 700 p. (in Russian).

12. Van'ko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. Variatsionnoe ischislenie i optimal'noe upravle-nie [Variational calculus and optimal control]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2001. 488 p. (in Russian).

13. Sajhin B.I., ed. Electricheskie svoistvapolimerov [Polymers electric properties]. Leningrad, KhimiaPubl., 1986. 224 p. (in Russian).

14. Shermergor T.D. Teoriya uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity of micro non-homogeneous medium]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 400 p. (in Russian).

15. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. The influence of relative position of fibers on the thermal conductivity of unidirectional fiber composites. Izvestiia vyzov. Mashinostroenie = Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2014, no. 2, pp. 16-24. DOI: 10.18698/0536-1044-2014-2-16-24 (in Russian).

16. Gradshtein I.S., Ryjik I.M. Tablitsy integralov, summ, riadov i proizvedenii [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 1110 p. (in Russian).