Движение заряженной частицы в поле частотно-модулированной электромагнитной волны и постоянном магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.5862/JPM.230.15 УДК 539.12:537.63:537.868

Н.С. Акинцов, В.А. Исаев, Г.Ф. Копытов, А.А. Мартынов

Кубанский государственный университет, г. Краснодар

движение заряженной частицы в поле частотно-модулированной электромагнитной волны

и постоянном магнитном поле

В работе проведен анализ задачи о движении заряженной частицы во внешнем поле частотно-модулированной электромагнитной волны и в постоянном магнитном поле и представлены точные решения соответствующих уравнений. Указанная задача важна при исследовании взаимодействия лазерных импульсов большой интенсивности с твердыми мишенями, а также в связи с практической разработкой многочастотных лазеров и развитием техники модуляции лазерного излучения. Получены формулы для средней кинетической энергии релятивистской частицы в зависимости от начальных условий, амплитуды электромагнитной волны, интенсивности волны и ее параметра поляризации. Исследованы различные случаи начальных условий движения заряженной частицы и поляризации волны. Полученные результаты могут использоваться в исследованиях высокотемпературной плазмы, образующейся на поверхности мишени, и при поисках новых режимов взаимодействия лазер-плазма.

ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА, ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА, УЛЬТРАКОРОТКИЙ ЛАЗЕРНЫЙ ИМПУЛЬС.

Введение

Метод лазерного индуцированного ускорения заряженных частиц вызвал значительный интерес к пионерской работе Т. Таджима и Дж. Даусона [1] среди исследователей всего мира. В настоящее время представляется актуальной задача ускорения заряженных частиц плазмы ультракороткими лазерными импульсами большой интенсивности [2 — 5]. С развитием лазерных технологий стало возможным получение тераваттных и петаваттных лазерных импульсов [6 —10], которые можно использовать для исследования взаимодействия сильных остросфокусированных световых импульсов с заряженными частицами в плазме. Развитие таких физико-технических областей, как физика плазмы, астрофизика, мощная релятивистская СВЧ-электроника, ускорительная техника создают предпосылки для изучения взаимодействия заряженных частиц с частотно-модулированными электромагнитными

волнами. Особая роль в таких взаимодействиях принадлежит релятивистским заряженным частицам в сильных электромагнитных полях. Знание энергетических характеристик заряженной частицы в поле частотно-модулированной электромагнитной волны необходимо в связи с практической разработкой многочастотных лазеров и развитием техники модуляции лазерного излучения.

В настоящей работе рассматривается динамика электрона в интенсивном частотно-модулированном электромагнитном поле эллиптической поляризации при наличии постоянного однородного магнитного поля. Изучение особенностей взаимодействия заряженных частиц со сверхкороткими лазерными импульсами фемтосекундной длительности и с излучениями интенсивностью до 1022 Вт/см2 является одним из основных направлений лазерной физики в настоящее время.

задача о движении заряженной частицы в поле плоской частотно-модулированной

электромагнитной волны была сформулирована и решена для случая линейной и круговой поляризации в работе [11]. Однако авторы не провели усреднения скорости, импульса, кинетической энергии частицы по периоду колебаний в поле плоской частотно-модулированной электромагнитной волны при наличии постоянного однородного магнитного поля, что представляет несомненный научный и практический интерес.

Цель настоящей работы — анализ движения частицы во внешнем поле произвольно поляризованной частотно-модулированной электромагнитной

волны большой интенсивности при наличии внешнего постоянного однородного магнитного поля. В частности, необходим также вывод формул для средней кинетической энергии частицы, усредненной по периоду ее колебаний.

Постановка задачи

Уравнение движения заряженной частицы с массой т и зарядом q в высокочастотном лазерном электромагнитном поле при наличии постоянного однородного магнитного поля Н0 имеет следующий вид [9]:

тс

^ = qE + £ [V:

Ж с

Н.

(1)

где р — импульс заряженной частицы; Е — напряженность электрического лазерного поля излучения; НЕ =Н0 + Н — напряженность суммарного магнитного поля, включающего однородное постоянное магнитное поле и магнитную составляющую поля лазерного излучения; £ — заряд частицы.

Уравнение (1) дополняется начальными условиями для скорости и координат частицы:

^0) = V), г(0) = Го.

Импульс частицы и ее скорость связаны следующим равенством [9]:

Р

mV

1 -

V2

(2)

е =

1 -

V2

2 4 2 2

тс + р с

определяется уравнением

^ = qEV. еИ

(4)

Энергия, импульс и скорость частицы связаны соотношением

sV

р =

(5)

В данной работе полагается, что фаза несущей электромагнитной волны модулирована по гармоническому закону:

Ф = ц 8т(ю'£ + у),

где ц = До / ю' — индекс модуляции, равный отношению девиации частоты Дю к частоте модулирующей волны ю'; у — постоянная фаза;

£ = t - г / с.

Будем считать, что плоская частотно-модулированная электромагнитная волна распространяется вдоль оси г, а напряженность Н0 = кН0 постоянного однородного магнитного поля также направлена по оси г (к — орт оси г). В этом случае компоненты векторов электрического (Е) и магнитного (Н) полей для плоской частотно-модулированной электромагнитной волны определяются выражениями [11]:

Ех = Ну = Ьх ехр(-/(ю£ + а + + ц 8т(ю'£ + у))), Еу = -Нх = /Ьу ехр(-/(ю£ + а +

+ Ц 8Ш(ю'£, + у))),

Е7 = Н7 = 0,

г г '

(6)

изменение энергии частицы

где ю — частота несущей волны; а — постоянная фаза; оси х и у совпадают с направлением полуосей эллипса поляризации волны Ь и Ь , причем Ь > Ь > 0;

х у7 л- х у 7

/ = ± 1 — параметр поляризации, причем верхний знак для Еу соответствует правой поляризации, а нижний — левой [14, 15]. Если использовать преобразование Яко-

2

с

2

с

би — Ангера, то реальная часть выражений (6) принимает вид

Ех = Ну = А X Л(Ц)соз Фя,

п=-«

Еу =-Их = К X Л (Ц)соз Фя, (7)

п=-«

Е, = И, = 0,

где Лп (ц) функция Бесселя п-го порядка;

Фп = (ш + пш')£ + а + пу.

Как видно из формул (7), спектр частотно-модулированной электромагнитной волны симметричен по частоте:

шп = ш + пш'

и при этом не ограничен. Однако при п » ц функции Бесселя становятся пренебрежимо малыми, и поэтому ширину спектра можно ограничить. Практическая ширина спектра определяется из выражения

Дш = 2( ц + 1) ш',

т. е. в разложениях (7) индекс п можно менять в пределах от — N до N где число N « ц + 1. Так, при ц » 1, N = 1, ширина спектра Дш = 2ш' совпадает с шириной спектра амплитудно-модулированной электромагнитной волны [11], т. е. частотно-модулированная электромагнитная волна в этом случае переходит в амплитудно-модулированную. При значении ц»1, N = ц ширина спектра равна удвоенному значению девиации частоты:

Дш = 2Дшп.

Решение уравнения движения заряда

Решение уравнений (1) и (4) с Е и Н из выражений (7) имеет вид

п чЬх ^ Лп(ц^п фп + ч И + х

Рх =- X -+ " И 0 у + Х X ,

ш п=-N (1 + пц) с

Р /чЬу X *п (ц)£1п Фп Ч Их + х

Ру = - X -Ч---И 0 Х +Х у.

ш п""ж (1 + пц) с

(8)

где п = ш' / ш.

В уравнениях (8) перейдем к дифференцированию по £ :

. чЬ с N Л (ц)вт Фп с

XX = X -^ + ш у + ,

/ у /1 \ с* А-Х'

юу (1 + пц) у

. /ЧЬус N *п (ц)й1п Фп с

у =-— X -п - ш X + - X ,

юу n=-N (1 + пц) у у

где шс = чИ0 / у — циклотронная частота.

Постоянные хХ, X у и у в уравнениях (9) с учетом формул (3) и (7) определяются начальной фазой волны

Фп (0) = Ф п0 = -(1 + пц) к, 0 + а + пу

(к — волновое число) и начальной скоростью частицы У0 = 0 :

шУ,

ХХ

X 0

1 - I-

ЧЬх N *п (ц)51п Фп0 Ч Ил,

--X -л-ч---И0у0,

ш п=~ж (1 + пп) с

шУ,

X у

у 0

1 - У2-

(10)

IЧЬу_ X *п (ц)51п Фп0 +1ИоХо, ш п=~№ (1 + пц) с '

шс |1 -^

У = ■ '

1 - У2

Преобразуя систему дифференциальных уравнений (9), получаем следующий вид уравнений:

ЧА »

х + т х = ■

У n=-N

X Лп (ц)со5 Фп

+ /ЧшА X Л(цФп +®£с

ук (1 + пц) у у' (11)

.. 2 /чсЬу N т Ф

у + юсу =-^ X Л(ц)соз Фп -

У n=-N

_чшА X Л,(ц^ьФп .

ук п^ (1 + пц) у х'

Решение дифференциальных уравнений второго порядка (11) ищем в виде суммы решений однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения с учетом начальных условий. Для координат

х и у получаем следующее решения:

(^А ю п=Н юх

х =

у г- п=-д у

£ЬХ ю п=" юх > Zn +-

ук п=-м юс ук

/£Ьу ю П^

ук п=-ж

С08 Фс +

/£ЬУ юс

у Z яп Ф X

^ п с у к

Zn . _ £Ьхю

X у —-п-- 81П Ф„ - X

п=-Ы

(1 + пп)

п =N

У Zn фп +

ук

юХу .

у =

£Ьх ю

ук п

(/£Ьую У z , юхх ук п юс ук

юс ук

С08 Ф -

(12)

Л _ /£Ьу ю Л _ ф

У^, 8Ш фс УZn С08 фп +

£Ьх юс

у

Z„

8Ш Ф -

юХ х

ук п=-^ (1 + пп) п юс ук'

где к = ю / с; п — порядок функции Бесселя;

Фс = ю^; 2п = /п(ц) / (ю2(1 + пп)2 - юс).

Используя (8) и (12), получаем выражения для компонент рх и ру импульса частицы:

Рх = У А ^п Фп + в С08 Фс +

п=-Ы

N

+ С Фс + У БП С08 Фп,

п= -N

N

Ру = У Кп й1п Фп + Р С08 Фс +

п=-N

N

+ О Фс + У 1П С08 Фп,

(13)

где

Ап = + пп);

ю

N

в = /£Ьуюс У ^ +Хх;

n=-N

N

С = -£Ьхюс У ^ ;а« = -/£Ьуюс2п; к =

(14)

/£Ьу 7 2 л ч

у-^пю (1 + пп);

ю

Р = ху- £Ьхюс У ^;

О = -/£Ьуюс У ^; 4 = £Кюсгп.

n=-N

Из формул (3) и (4) находим г-компоненту импульса частицы:

Рг =

(15)

где

X

г = И + 4у2 Х

У (А - А2 + II - К2)С08(2Фп) +

n=-N

1

+ ТГ У (АпАпв + КпКпв ) 51п Фп 51п Фпв +

2У п,пв =-N

— (В С08 Фс + С БШ Фс) У Ап Фп

n=-N N

+ ^ (Р С08 Фс + О БШ Фс) У Кп БШ Фп +

У

+ А У (АпПп + 1пКп)гип(2Фп) + 2у

1 N

+ ~ У (АпПпв + Кп1пв ) 81п Фп ЯП Фпв +

У «,«в =-N

(16)

+ ^(В2 - С2 + Р2 - О2)С08(2Фс) + 4у

1

2у2

+ ^у(ВС + РО )з1п(2Фс) +

— (В С08 Фс + С БШ Фс) У А С08 Фп

2 с с' п п

У

1

n=-N N

+ — (Р С08 Фс + О Фс) У I С08 Фп +

с с '/ 1 п п

У п^

1 N

У + 1п1, )С08 Фп С08 Фпв ,

2у п,пв =-N

п*пв

при этом

И = I 2

2 2 тс

2 -1 + Л (У (А + А2 +

у 2у

+ К2 + I2) + В2 + С2 + Р2 + О2

где Фк = (ю + пвю')£ + а + пву; пв -функции Бесселя.

(17)

порядок

n=-N

в

в

С помощью формул (3) и (4) найдем выражение для энергии частицы:

8 = с y(1 + g). (18)

Используя выражения (5), (13) и (15), получаем параметрическое представление скорости частицы по параметру £ :

= — =-c— | У An sin Ф n +

x dt (i + g)nh n

N \

B cos ФС + C sin ФС + у Dn cos Фп I,

V = -У =_C_

y dt (1 + g)y I n=-N

n=-N N

У En sin Фn

(19)

F cos ФС + G sin ФС + у In cos Фп I,

V = dz = cg

¿г 1 + g

Из уравнений (11) и выражения (18) следует, что движение частицы во внешнем поле частотно-модулированной электромагнитной волны при наличии постоянного однородного магнитного поля, направленного вдоль оси ,, представляет собой суперпозицию движения с некоторой постоянной скоростью У, и колебательного движения с частотой

ш = ш(1 + пц) / (1 + к),

отличной от частоты поля ш, частоты модуляции ш' и циклотронной частоты шс.

Тогда, интегрируя равенство (15), получаем уравнение движения вдоль оси ,:

, (г) = , + + 0(г) + ц(г), (20) где ,, У, — постоянные;

0(0 = X 0п(г), ц(') = X цпС),

n=-N n=-N (21)

0(* + Тп) = 0(*), ц(* + Тс) = ц(*),

причем 0(г), п(г) — периодические функции с периодами

Тп = 2п / Т = 2п / .

В формуле (20)

г 1 + h

(22)

Из выражений (19) следует, что g является также суммой 2N + 1 периодических функций, с периодами Тп и Тс . Период Тп осцилляции частицы в поле плоской частотно-модулированной электромагнитной волны и период Тс осцилляции частицы в магнитном поле определяются формулами

Ф( + 7;) = Ф(г), Фс(* + Тс) = Фд/),

из которых, при учете выражений (6), (19) и уравнения (20), следует, что

Т = 2гс (1 + к) = Т_0+кк• п ш (1 + пц) (1 + пц)'

Т = 2П (23)

с '

шс

Таким образом, движение частицы представляет собой суперпозицию нескольких гармонических колебаний с разными периодами: Тп и Тс. Когда частота модуляции ш' равна нулю, получаем периоды осцилляции частицы, выражения для которых были получены в работе [13].

движение частицы, усредненное по периоду колебаний

В этом разделе мы приведем результаты усреднения импульса p и энергии в частицы по периодам ее колебаний (23) в поле частотно-модулированной электромагнитной волны и постоянном однородном магнитном поле.

Далее вместо переменной времени г введем новые переменные: ф; — полная фаза п-го гармонического колебания, Ф^ — полная фаза циклотронного колебания;

dt ' =

фп = Фп (t');

d Фп 1

ю(1 + nn)l - VZ (t)/ c

1 + g ш(1 + nn)

d Ф '

(24)

ФС =ФС (t'); dt' =

d Ф'

Так как движение частицы представляет собой суперпозицию гармонических колебаний с частотами шп и шс, усреднение будет производиться по формуле

_ 1 Ф(?) 1 Фс (О

/(t) = ^ / /(t') X

^ Ф(t) ^ п Фс(t)

X 1 + 8 йФ'йФ', ю(1 + пп) п с

(25)

где / (t') — произвольная функция.

Усредняя компоненты (18) скорости частицы, получаем:

к = 0; Vy = 0; ^ = 1сИИ. (26)

Как и следовало ожидать, скорость частицы Vг в выражениях (26) соответствует величине V, даваемой формулой (22).

Из формул (26) следует что, средние поперечные компоненты импульса частицы равны нулю. Для среднего значения продольной составляющей импульса частицы получаем выражение

(

У

Рг 1 + И

И + И2 +

+^2-т У Л - А2 + I2 - К2)2 +

32у «=-^

ется формулой

е =

с у

1+И

(1 + И)2 +

32у4 «=^

У (А2 - А2 + I2 - К2)2

16у4 «,«в =-N

У (а«А^в + К«К«в )2

+ А.(в2 + С2) У (А2 + А2) +

4У n=-N

+ (Р2 + О2) У (I2 + К2) +

4У n=-N

+А У (АЛ + ЬК )2 +

8у

+ 4т У (А«Л«в + ^в )2 +

4 У п,пв

«*«в

—(в2 - С2 + Р2 - О2)2 + 32у4 4 '

+ ^у(вС + РО )2 + 8у

(28)

1

У (А«А«в + К«КПв )2

16у «,«в =-N

+ А.(в2 + С2) У (А«2 + Л2) +

4У n=-N

+4-4 (р2 + О 2) У (I2 + К2) +

n=-N

N

+ ^ У (А«Лп + ^К« )2 +

8У n=-N

1

N

Т^Г У (А«ВПв + )2

4у4 -

^-(в2 - С2 + Р2 - О2)2 + 32у4

+87(вС + РО )2 +

У (Л«Л«в + InInв )2

(27)

16у4 «,«в =-N

Средняя энергия е частицы определя-

1

У (ЛАв + IIвв )2

16у4«,«; =-N

«Ф«в

Из этой формулы, с учетом выражения (14), видно, что е зависит от интенсивности волны, ее начальной фазы и поляризации, частоты несущей волны ю, частоты модуляции ю', циклотронной частоты юс и начальной скорости частицы.

случай произвольной поляризации волны при отсутствии у частицы начальной скорости

В этом разделе рассмотрим случай, когда частица в начальный момент времени покоилась (V = 0) и находилась в точке

(0,0, £0)-

Из формулы (13) выразим постоянные X х, X у, У, учитывая, что Ф« (0) = Ф« 0 = = -(1 + «п)кг0 + а + «у, Фс(0) = Фс0 = 0 :

Хх =-У А« 51п Ф«0 +

(29) 169

в

в

«*«в

в

+ 1 D(1 - eos Фи0),

п=-N

N

Xy = -£ Kn sin Фп0 + n=-N

N

+ £ In (1 - COS Ф n o)-

Tn = (1 + nn)2 + 3S2;

(29)

Для волны с произвольной поляризацией имеем следующее равенство[14]:

± Ь1 =р2Ъ2,

(30)

где р — параметр эллиптичности (р = ±1 соответствует линейной поляризации, р = ±1 / >/2 — круговой, в остальных случаях (0 < р < 1) — эллиптической).

Из выражения (17) получаем значение И в начальный момент времени:

h =

q2р2Ъ2

4m c

£ Z2((o2(1 + nn)2 -0-2):

X sin2 Фп0 + (o2(1 + nn)2 + 3c=2) Пусть

о с = Sra,

(31)

(32)

где 8 — отношение частот ос и о, причем 8е [0;1) ^ (1; +■»).

Поскольку в данной задаче рассматривается ускорение заряженной частицы в высокочастотном лазерном поле при наличии постоянного однородного магнитного поля, но без учета радиационного трения частицы, энергия частицы должна становиться бесконечно большой вследствие того, что при 8 = 1 выполняется условие циклотронного авторезонанса. Однако бесконечно большое значение энергии невозможно в реальных условиях, поэтому указанный случай исключается из рассмотрения.

Подставляя соотношение (32) в выражение (31), получаем, что

h = 7 £ Jn(nZ sin2 Фп0 + Z2nTn], (33)

4 n=-N

где

Zn = Jn(ц)/((1 + nn)2 - 82);

7 =

q2Р2Ъ2

2 2 2 m c о

2q2

2 5

nm c

IX2,

(34)

при этом I = ср2Ь2 /4п — интенсивность эллиптически поляризованной электромагнитной волны, X = 2пс / ю — длина волны.

Подставляя выражения (29) — (34) в формулу (28), получаем среднюю энергию первоначально покоящейся частицы в волне эллиптической поляризации:

2 =

с у

32(1 + h)

32(1 + h)2 +

(35n

+ a2 £ zis + 882Nn) +

n=-N

4a2 £ Zn4(6n + 2SnNn )sin2 Фп

a2 £ ZS sin4 Фп

как видно из этого выражения, средняя энергия частицы зависит от начальных фаз, амплитуды, интенсивности и поляризации электромагнитной волны, от частот несущей волны, модуляции и циклотронной частоты.

Усредненная дополнительно по начальной фазе Фп0, энергия (е) заряженной частицы в поле плоской частотно-модулированной электромагнитной волны и постоянном однородном магнитном поле определяется выражением

(ё) - тс2 = тс21 — Рп + 4Я« X

ÍR , aJn(y)Zn - 1 |М. 2R„

\

(36)

a

!Z„4^ aZlHn

(

8ДМп 2Jn (ц)

1-

п л

где

М п =aJn (ц)^Гп + aZlTn + 4, Rn = aZl^ + 4, Рп = Zn (Jn (ц) + 2ZnTn), G = S2 + 882Nn, Hn = Q + 2SnNn.

n=-N

Полученные формулы (28), (29), (33), (35) и (36) для средней кинетической энергии частицы содержат явную зависимость от начальной скорости частицы, амплитуды электромагнитной волны, индекса частотной модуляции, частот несущей волны и модуляции, циклотронной частоты, интенсивности и ее поляризации. Следовательно, они позволяют сделать практические вычисления. Когда ц1, N = 1, формулы (28), (29), (33), (35) и (36) принимают вид, который был получен в работе [13].

Заключение

В работе приведено точное аналитическое решение уравнений движения заряженной частицы во внешнем поле частотно-модулированной электромагнитной волны и постоянном однородном магнитном поле. Приведена формула зависимости скорости заряженной частицы от интенсивности плоской частотно-модулированной электромагнитной волны произвольной поляризации. Указанная скорость зависит от амплитуды и параметра поляризации электромагнитной волны, несущей частоты, частоты модуляции и циклотронной частоты.

В частотно-модулированной электромагнитной волне (7) поля Е и Н являются периодическими и их среднее значение равно нулю. Можно было бы предположить, что частотно-модулированная электромагнитная волна и постоянное однородное магнитное поле оказывают знакопеременное воздействие на заряженную частицу и среднее отклонение, вызванное этим воздействием на частицу, тоже равно нулю. Однако это предположение оказывается неверным. В частности, в поле плоской частотно-модулированной электромагнитной волны частица совершает систематический дрейф по направлению распространения электро-

магнитного поля. Это подтверждено аналитическим расчетом компонент скорости и импульса, а также средней кинетической энергии частицы.

При увеличении интенсивности поля, согласно формуле (23), частота колебательного движения частицы, частота модуляции и циклотронная частота стремятся к нулю. Показано, что усредненное по периодам колебаний Тп и Тс перемещение частицы представляет собой суперпозицию движения с постоянной скоростью и колебательного движения с несущей частотой, циклотронной частотой и п-го колебательного движения с частотой шп. При отсутствии частотной модуляции все формулы переходят в соответствующие формулы, которые представлены в работе [13]. Решения получены в явной зависимости от начальных данных, амплитуды электромагнитной волны, частоты несущей волны, частоты модуляции, циклотронной частоты, интенсивности волны и ее поляризационного параметра, что позволяет применять полученные решения в практических расчетах.

Практическая значимость проведенного исследования заключается в том, что полученные результаты можно использовать для разработки устройств релятивистской электроники. Кроме того, они могут представлять интерес для астрофизических исследований. Приведенные результаты также могут использоваться для интерпретации экспериментов с плазмой, помещенной во внешнее частотно-модулированное электромагнитное поле, когда имеется однородное магнитное поле.

Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 1269).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Tajima T., Dawson J.M. Laser electron accelerator // Phys. Rev. Lett. 1979. Vol. 43. No. 4. Pp. 267-269.

[2] d'Humieres E., Lefebvre E., Gremillet L.,

Malka V. Proton acceleration in high-intensity laser interaction with thin foils // Phys. Plasmas. 2005. Vol. 12. No. 9. P. 099902.

[3] Mora P. Thin-foil expansion into a vacuum

// Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. No. 5. P. 056401.

[4] Oishi Y., Nayuki T., Fujii T., et al. Dependence on laser intensity and pulse duration in proton acceleration by irradiation ultrashort laser pulses on a Cu foil target // Phys. Plasmas. 2005. Vol. 12. No. 7. P. 073102.

[5] Pukhov A., Gordienko S., Kiselev S. The bubble regime of laser-plasma acceleration: mo-noenergetic electrons and scalability // Rep. Prog. Phys. 2004. No. 46. Pp. 179-186.

[6] Mourou G., Tajima T., Bulanov S.V. Optics in the relativistic regime // Rev. Mod. Phys. 2006. Vol. 78. No. 2. Pp. 309-372.

[7] Sentoku Y., Cowan T.E., Kemp A., Ruhl H. High energy proton acceleration in interaction of short pulse with dense plasma target // Phys. Plasmas, 2003. Vol.10. No. 5. P. 2009.

[8] Umstadter D.J. Relativistic laser - plasma interactions // Phys. D: Appl. Phys. 2003. Vol. 36. No. 8. P. R151.

[9] Wilks S.C., Kruer W.L., Tabak M., Langdon A.B. Absorption of ultra-intense laser pulses // Phys.

Rev. Lett. 1992. Vol. 69. No. 9. Pp. 1383-1386.

[10] Wilks S.C., Langdon A.B., Cowan T.E., et al. Energetic proton generation in ultra-intense laser-solid interactions // Phys. Plasmas. 2001. Vol. 8. No. 2. P. 542.

[11] Копытов Г.Ф., Оксузян с.с., тлячев В.Б. К вопросу о характеристиках излучения электрона в модулированном электромагнитном поле // Известия вузов. Физика. 1987. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 14.09.85. № 7353.

[12] ландау л.д., лифшиц Е.М. Теория поля. 8-е изд., стер. М.: Физматлит, 2012. 536 с.

[13] Копытов Г.Ф., Мартынов А.А., Акинцов н.с. The motion of a charged particle in the field of an electromagnetic wave and the constant magnetic field // St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics. 2014. No. 4 (206). Pp. 55-63.

[14] Аззам Р., Башара н. Эллипсометрия и поляризованный свет. М.: Мир, 1981. 583 c.

[15] ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969. 607 c.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАх

АКИнцОВ Ииколай сергеевич — преподаватель кафедры радиофизики и нанотехнологий Кубанского государственного университета.

350040, Российская Федерация, г. Краснодар, Ставропольская ул., 149 akintsov777@mail.ru

ИсАЕВ Владислав Андреевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры радиофизики и нанотехнологий Кубанского государственного университета. 350040, Российская Федерация, г. Краснодар, Ставропольская ул., 149 vlisaev@rambler

КОПытОВ Геннадий Филиппович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой радиофизики и нанотехнологий Кубанского государственного университета. 350040, Российская Федерация, г. Краснодар, Ставропольская ул., 149 g137@mail.ru

МАРтыНОВ Александр Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики и компьютерных технологий Кубанского государственного университета. 350040, Российская Федерация, г. Краснодар, Ставропольская ул., 149 martynov159@yandex.ru

AkintsovN.S., Isaev V.A., KopytovG.F., MartynovA.A.THE MOTION OF A CHARGED PARTICLE IN THE FIELD OF A FREQUENCY-MODULATED ELECTROMAGNETIC WAVE AND IN THE CONSTANT MAGNETIC FIELD.

In this article the problem on the motion of a charged particle in the field of frequency-modulated electromagnetic wave and in the external uniform static magnetic field has been analyzed; the exact solutions

of the corresponding equations have been presented. This problem is of great importance to study the interaction of high-intensity laser pulses with solid targets and to develop practically multifrequency lasers and the laser-modulation emission technology. The formulae for the mean kinetic energy of a relativistic charged particle as a function of initial conditions, electromagnetic wave amplitude, wave intensity and its polarization parameter were obtained. The different cases of initial conditions of a charged particle motion and of a wave polarization were investigated. The obtained results can be put to use when studying the high-temperature plasma formed on the surface of the target and when searching for new modes of laser-plasma interaction.

PLANE ELECTROMAGNETIC WAVE, CHARGED PARTICLE, ULTRASHORT LASER PULSE.

REFERENCES

[1] T. Tajima, J.M. Dawson, Laser electron accelerator, Phys. Rev. Lett. 43 (4) (1979) 267-269.

[2] E. d'Humieres, E. Lefebvre, L. Gremillet, V. Malka, Proton acceleration in high-intensity laser interaction with thin foils, Phys. Plasmas. 12 (2005) 9902.

[3] P. Mora, Thin-foil expansion into a vacuum, Phys. Rev. E. 72 (5) (2005) 056401.

[4] Y. Oishi, T. Nayuki, T. Fujii, Measurement of source profile of proton beams generated by ultraintense laser pulses using a Thomson mass spectrometer, Phys. Plasmas, 12 (2005) 073102.

[5] A. Pukhov, S. Gordienko, S. Kiselev, The bubble regime of laser -plasma acceleration: mo-noenergetic electrons and scalability, Rep. Prog. Phys. 46 () (2004) 179-186.

[6] G. Mourou, T. Tajima, S.V. Bulanov, Optics in the relativistic regime, Rev. Mod.Phys.78(2) (2006) 309-372.

[7] Y. Sentoku, T. E. Cowan, A. Kemp, H. Ruhl, High energy proton acceleration in interaction of short pulse with dense plasma target, Phys. Plasmas. 10(5) (2003) 2009.

[8] D.J. Umstadter, Relativistic laser - plasma interactions, Phys. D: Appl. Phys. 36(8) (2003)

R152.

[9] S.C. Wilks, W.L. Kruer, M. Tabak, A.B. Langdon, Absorption of ultra-intense laser pulses, Phys. Rev. Lett. 69(9) (1992) 1383-1386.

[10] S.C. Wilks, A.B. Landon, T.E. Cowan, Energetic proton generation in ultra-intense laser-solid interactions, Phys. Plasmas. 8 ()(2001) 542.

[11] G.F. Kopytov, S.S. Oksuzyan, V.B. Tly-achev, K voprosu o harakteristikah izlucheniya elek-trona v modulirovannom elektromagnitnom pole, Izvestiya Vuzov. Fizika (1987)15 p. Dep. VINITI 14.09.85, No. 7353.

[12] L.D. Landau, E.M. Lifshits, Teoriya polya [The Field Theory], Moscow, Nauka, 2004.

[13] G.F. Kopytov, A.A. Martynov, N.S. Ak-intsov, The motion of a charged particle in the field of an electromagnetic wave and the constant magnetic field, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics. No. 4 (206) (2014) 55-63.

[14] R.M. Azzam, N.M. Bashara, Ellipsometri-ya i polyarizovannyi svet [Ellipsometry and polarized light], Moscow, Mir, 1981.

[15] R. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles. Moscow, Mir, 1967.

THE AuTHORS

AKINTSOV Nikolay S.

Kuban State University

149 Stavropolskaya St., Krasnodar, 350040, Russian Federation akintsov777@mail.ru

ISAEV Vladislav A.

Kuban State University

149 Stavropolskaya St., Krasnodar, 350040, Russian Federation vlisaev@rambler.ru

KOPYTOV Gennadii F.

Kuban State University

149 Stavropolskaya St., Krasnodar, 350040, Russian Federation g137@mail.ru

MARTYNOV Alexander A.

Kuban State University

149 Stavropolskaya St., Krasnodar, 350040, Russian Federation martynovl59@yandex.ru

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2015