Энергетические характеристики заряженной частицы в плоской монохроматической электромагнитной волне и постоянном магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА

УДК: 539.12:537.63:537.868

Г.Ф. Копытов, А.В. Погорелов

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПЛОСКОЙ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЕ И ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

В работе [1] сделан последовательный вывод формулы для энергии частицы, усредненной по периоду ее колебаний в поле плоской монохроматической волны. Эта работа возникла в связи с проблемой ускорения заряженной частицы при взаимодействии ультракоротких лазерных импульсов с плазмой. Несомненный интерес представляет обобщение данного рассмотрения при наличии внешнего однородного постоянного магнитного поля Н.

В работе [2] рассматривается движение заряженной частицы в постоянном магнитном поле и поле плоской электромагнитной волны. Была получена формула для средней энергии частицы, движущейся в такой системе. Однако в этой работе энергетические характеристики были изучены недостаточно полно.

Цель настоящей работы — последовательный вывод формулы для энергии частицы, усредненной по периоду колебаний в поле плоской монохроматической волны и постоянном магнитном поле.

Результаты работы могут быть полезны для интерпретации экспериментов с плазмой, помещенной во внешнее однородное магнитное поле.

Движение частицы в поле плоской монохроматической волны и постоянном магнитном поле

Уравнение движения частицы с массой т и зарядом q в поле плоской монохроматической

электромагнитном волны и постоянном магнитном поле имеет вид

dp '

—=q

dt

E +1 [ v * H]|.

(1)

где p, у — импульс и скорость частицы.

Энергия частицы определяется из второго интеграла движения:

£=q ( ve )■

(2)

Для плоской монохроматической волны [1] и постоянного однородного магнитного поля имеем:

Е = [кНЕ]; Щ= Но + Н ; Но = Ш0;

Ex = Hy = bx cos(ют + у); Ey = -Hx = ±by sin (ют + у); (kE) = (kH) = 0,

(3)

где Н, Е — напряженности электрического и магнитного полей электромагнитной волны; Ьх, Ьу — оси эллипса ее поляризации; Н0 — напряженность однородного магнитного поля; т = t - г/с ; о» — круговая частота электромагнитного поля, ^ — некоторая постоянная фаза.

Координатные оси выбраны так, что ось 2 направлена вдоль направления распространения волны, а оси х и у совпадают с осями эллипса поляризации волны Ьх и Ь , причем

bx > bv > 0 . Верхний (нижний) знак в выраже-

"X — "y

нии для Ey соответствует правой (левой) поляризации.

Решая уравнения (1), (2) и используя условия (3), получим:

qbx . , ч qH0 p =sin (юх + у) + -—- y + ю c

Px0 - — sin(юот + v)-—Уо]; ю c 1

+

qby

py = +—- cos (ют + v)-

qHo

X +

+

d ^by Í \ qHo

Pyo ±—cos (юоT + v) +-0 Xo

y ю c

Л

У = +

юу

c

+ —

Y

qbyc

qHo

Xx--- yo

c

cos

Y

qHo

ЮY

c

+ —

(юх + у)-^—0 x +

qHo

X y +—0 xo

ю

- ^c

2„ -2

Преобразовывая систему уравнений (5), получим:

bx +11 "y ,

x + ю2 x = — (bx + nby) cos (ют +v) + -(xy+юo yo);

Y cю0

Y

y + ю2y =—(±by -nbx)sin(юх + у) +

CЮn

(Xx -ю0xo )>

где п = ®о/ю ■

Решение уравнений системы (7) ищем в виде суммы решений однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Для координат х и у получим выражения:

x = RcosФю -

q

Yюk

bx + nby Л

1 -n2

cosФ +

(4)

Y^

qHo

X y +-0 xo

y = R slnФю

o Yюk

'ibx+by ^

(8)

c

Используя (4) и переходя к дифференцированию по т, получим:

qbxc qHo

х = sin (юх + у) + -—o y +

Yюo

Xx

V

qH

1 — n

o

2

slnФ -

c

yo

(5)

Здесь ю0 = qHo/y — циклотронная частота; постоянные xx, xy и y определяются выражениями:

Xx = Px o-—sln (ю^0 +v);

ю (6)

qbv , , mc (1 - vz oc _1)

Xy = Pyo ±—cos(ю^0 +v); Y = -

где £ = го/ с, Л — «эффективный радиус», связанный с радиусом вращения электрона в области взаимодействия.

Кроме того, здесь используются обозначения:

ф = т + у ; фгоо = гоот+ф;

Ф0 =гот0 ФОгоо =гоо то + Ф> где ф — постоянная фаза.

Используя формулы (8) и (4), получим выражения для поперечной составляющей импульса частицы:

p = q

X

ю

n(nbx + by

bx +

1 - n2

/

p = q

y ю

+ by +

V

n(bx + nby ) 1 -n2

. - Rю0 . -

slnФ +--0yslnФю ;

c 0

i

. R ю0 -

cosФ--0ycosФю .

c 0

При помощи интеграла движения (2) приходим к следующему выражению для продольной составляющей импульса Р:

D m2c2 y Px + P2

Pz =--- + -

z 2

xy

(7)

где

2Y

Отсюда получаем, что Pz =Yg ,

R ю0 q

2Y

(9)

g = h —ю° q {(bx + nby) sinФюosinФ -

c y^ 0

c

+

c

Y

+

Y

(пЬх + ЬУ) ^фт0^ф}(1-п2 )" - (10)

1 2

Г д I

4 1уш) |

—1 { ш2с2

"2 1 У2

ы - ь2

(1 -п2 Г

+— 2

+

1 ( д_У (Ьх + ПЬУ )2 +(пЬх + ЬУ )2

уш )

(.-п2 )2

2 х2 + х2 ( \2 2 х +х д Л п

^ш0 у _хх + ХУ

+

чУш) (.-п2

-2

(Ьх + пьу )2cos2 Ф0 +

+ (п Ьх + Ьу )2sin2 Фо

Хх (п Ьх + ЬУ ) sin2 Ф0 +

д п

У2ш(1 -п2)

+ху (Ьх+пЬУ) с^фо ];

- V

cos ф _

sin ф _

л/хх +хУ

Хх

7хх +ХУ

R ш0 д

(1 -п2 )-2 [(Ьх + пЬу )х

с ушк

х(cosфsinфшo -пsinфcosфшo) + (п Ьх + ЬУ )(ЙпФс^Фш0 -

+

п cos

^Шфш0 )

8к

где

^0 — ^0 — скт0 +

' д Л2 Ьх2 - ЬУ . 2Ф — I --у sin2Ф,

уш) (.-п2)2

Rш0 д (.-п22:

Из начальных условий находим Я и ф; их удобно записать в виде

с ушк

х((Ьх + пЬУ)(cosФo ^Ф0»0 -п ^Ф0 с^Ф0ш0 )

+(пЬх + ЬУ)(sinФo С^Ф0»0 -п С^Ф0 ^пФ0»0)

+

8к

г д Л2 Ы - Ь2

уш

х-У2 sin2Ф0.

(.-п2)

Используя выражения (8) и (9), получим параметрическое выражение для скорости частицы:

г> ш0япФш +

д (Ьх + пЬУ) о.

Ук (1 -п2)

sinФ;

Л д (пЬх + Ьу) . — Rшo ссвФ^ + -^С08Ф; (13)

У

Зная Р2, найдем выражение для энергии частицы:

8— Су(1 + g) . (11)

Используя (10), найдем точное решение для координаты 2:

г — Z0 + скт -

Ук (1 -п2) 2 1 + g

Из общего вида выражений (8), (11) — (13) видно, что движение частицы представляет собой наложение движения с некоторой постоянной продольной скоростью vz и колебательного движения с частотой, отличной от частоты поля м и циклотронной частоты м0.

Учитывая (8), (12) и (13), получим, что осцилляции частицы описываются двумя периодами:

т —

2п 1 + к

Т —

2п 1 + к

(12)

ш 1-п ш 1+п

Движение частицы, усредненное по времени

В этом разделе приведем результаты усреднения координат г(0, скорости у(0, импульса р(0 и энергии е частицы. Поскольку перемещение частицы представляет собой наложение двух видов периодического движения, то усреднять будем по формуле

- 11 f ^) — supHm-1f и) dt tt,

с

х

2

с

У

У

При усреднении координат получим соотношения

_ с

х =—х у + хо;

Угоо

_ с

у =—Хх + Уо;

Угоо

- гг &

г = Z о +--т.

о 1 + h

При усреднении скорости получим:

— л — л — сh

= о; уУ = о; V2 =-.

х у 2 1 + Л

Анализируя полученные выражения, можно отметить, что поперечная составляющая скорости частицы не зависит от начальных условий, т. е. от точки влета в область взаимодействия.

При усреднении импульса частицы поперечные составляющие импульса будут равны нулю Рх = Ру = о , а для продольной составляющей получим выражение

Случай круговой и линейной поляризации при отсутствии у частицы начальной скорости

В этом разделе рассмотрим случай, когда частица в начальный момент покоилась (у0 = 0). Тогда выражения из (6) примут вид

Фх ■ ^ , УЬу ^ „„

У = тс; Ху =---ктФо; ху = ±—^Фо- (15)

го

го

Для круговой поляризации имеем Ьх = Ьу = Ь/\/2; тогда выражения для к и Я при-

ху

мут вид

гЯгоол2

У 2

дЬ

готс

2д2 .,2^

2 5

пт2с5

1 + п(п+1)

(1 -п2)

2

1 + п(п +1) (1 -п2)

1 + п(п +1)

(1 -п2)

(16)

Р =-!— 2 1+h

Л + h2 +

1

+— 4

Ягоо

Шс-п2 ^

Х((Ьх + пЬу )2 +(пЬх + Ьу )2 ]

32

/ ^ уго

Ьх2 - ь2 (.-п2 )2

Усредняя энергию частицы, получим следующее выражение:

1

+— 2

/Яго л2

{<1+л

) (1 -п2)-2 ^(Ьх + пЬу)2 + (14)

+ (пЬх + Ьу ) 1 + ^

) 1 32

/ Л4 -)

1го)

Ьх2 - Ьу2

(1 -п2 )2

Л = Н

(1+п)2

(1 -п2 )2

2)

+

1 + п(п +1)

, О -п2)

25

пт с

(17)

где I = сЬ 2/8п — интенсивность электромагнитной волны; , = 2пс/ го — длина волны.

Периоды осцилляции частицы в этом случае выражаются как

71 = Т (1 + п)-1 х

1

(1+п)2

(1 -п2 )2

2)

1 + п(п +1)

(1 -п2)

(18)

Т2 = Т (1 -п)-1 х

1

(1+п)2

(1 -п2 )2

2)

1 + п(п +1)

(1 -п2)

где Т = 2п/го.

2

с

2

с

2

+

х

4

с

2

+

х

Подставляя выражения (15) — (17) в (14), получаем формулу для средней энергии первоначально покоящейся частицы в волне круговой поляризации и постоянном магнитном поле:

— 2 12 8 - тс —— тс цх 2 н

+ц

(1+п)2

(1 -п2 )2

ч2 Л

+

1 + п(п +1)

(1 -п2)

+

1 + п(п +1) (1 -п2)

(1+п)2

(1 -п2 )2

(19)

1+Ц

(1+п)2

(1 -п2 )2

ч2 Л

+

1 + п(п +1)

(1 -п2)

-1

^ ш^2

— ц

sin2Фo + п2

к—Ц

1 + п2

(1 -п2 Г

+2

1-п (1 -п2)

sin2Фo + _ п2

(21)

1 -п (1-п2)

. (22)

))

Периоды осцилляций частицы будут выражаться как

Т — т (1 + п)-1 х

1+Ц

1+п2

(1 -п2 )2

+2

Л

sin2 Ф0 1 -п2

- +-!—;

(1 -п2 )2

))

т2 — т (1 -п)-1 х

1+Ц

1 + п2

(1 -п2)

- + 2

\Л

8Ш2 Ф,

0

1 -п

2

(1 -п2)

))

Подставляя выражения (20) — (22) в (14), получаем зависимость средней энергии первоначально покоящейся частицы в волне линейной поляризации:

2

_ 2 тс ц 8- тс —--

1+п

2

(1 -п2)

+

+2

sin2 Ф0 п2

1 (1 -п2)

+

Как видно из (18) и (19), период осцилляций частицы и ее средняя энергия не зависят от начальной фазы волны с круговой поляризацией.

В случае линейной поляризации Ьх = Ь, Ьу = 0 (по-прежнему для неподвижной в начальный момент времени частицы) получим:

У — тс; Хх —-—^Ф0; Ху — 0 . (20) ш

(1 -п2 Г

+ 2 (1 + п2 )х

-2 (1 + п2 )>

ЛЛ

sin2 Ф0 п2

+

1-п (1-п2)

(24)

))

1+Ц

1 + п2

(1 -п2)

+2

sin2 Ф0 п2

1 -п (1 -п2)

))

-1

Рассмотрим два случая. Если п < 1, то максимальная средняя энергия получается при фазе Ф0 = п/2 или Ф0 = 3п/2. Минимальная средняя энергия в этом же случае (п < 1) получается при фазе Ф0 = 0 или Ф0 = п.

При условии п > 1 максимальная средняя энергия получится при начальной фазе Ф0 = 0 или Ф0 = п, а минимальная средняя энергия будет принимать свое значение при условии, что начальная фаза будет Ф0 = п/2 или Ф0 = 3п/2.

Из выражений (23) и (24) видно, что период осцилляций и средняя энергия частицы зависят

2

п

х

+

4

х

2

х

х

Ц

+

х

х

+

х

4

с

2

х

4

от начальной фазы в линейно поляризованной электромагнитной волне.

При усреднении (24) по начальной фазе получим выражение для средней энергии частицы, движущейся в электромагнитном поле линейной поляризации и постоянном магнитном поле:

а) 10

00-

2 тс

тс =

4

1 + п

(1 -п2 Г

8Ц

1 + п2

(1 -п2)'

+ 32 (1 + п2)-

1 + п2

- ц(1 -п2 )-40ц-

(1-п)

2

4 (1 -п2) +ц(1 + 3п2) 4 (1 -п2 )2 + ц(з + п2)

(25)

На рис. 1 приведены зависимости средних кинетических энергий электрона от интенсивности плоской монохроматической электромагнитной волны линейной поляризации (формула (25)) и круговой поляризации (формула (19)) при различных соотношениях циклотронной и круговой частот. На рис. 1,а приведен график, построенный при условии, что п << 1; полученные данные совпадают с приведенными в работе [1], т. е. частица ведет себя как при отсутствии магнитного поля. На рис. 1,б построены графики при условии, что П >> 1. В этом случае видно, что средняя кинетическая энергия медленно изменяется при увеличении интенсивности электромагнитной волны.

Итак, проведен подробный анализ задачи о движении заряженной частицы во внешнем заданном поле плоской электромагнитной волны и постоянном магнитном поле. Исследованы различные случаи начальных условий движения заряженной частицы, поляризации волны, отношения частот циклотронной и круговой. Рас-

0 2 4 6 8 10

А2, 1018 Вт-мкм2-см~2

Рис. 1. Зависимости средней кинетической энергии частицы от интенсивности электромагнитного поля при условиях, что п << 1 (а) и п >> 1 (б), для линейной (1) и круговой (2) поляризаций (формулы (25) и (19) соответственно)

смотренное выше одночастотное приближение предполагает, что энергия ускоряющего поля значительно превосходит энергию, приобретаемую частицей. Это позволяет не учитывать обратного влияния ускоряемого тока на поле.

В рассматриваемом случае движение частицы представляет собой наложение движения с постоянной скоростью и колебательного движения с двумя собственными частотами, отличающимися от частоты электромагнитного поля и циклотронной частоты. Когда круговая частота электромагнитного поля значительно превышает циклотронную частоту вращения частицы в магнитном поле, то все формулы принимают вид формул, приведенных в работе [1], т. е. движение частицы практически теряет зависимость от напряженности магнитного поля. При значительном увеличении напряженности магнитного поля средняя кинетическая энергия заряженной частицы теряет зависимость от интенсивности электромагнитной волны. При приближении циклотронной частоты к

X

2

1

2

X

1

2

круговой наблюдается явление циклотронного авторезонанса, впервые полученное и описанное А.А. Коломенским и А.Н. Лебедевым [4] и независимо от них — В.Я. Давыдовским [5]. Данное явление требует особого рассмотрения,

выходящего за рамки данной статьи. Явление подробно описывается во многих работах, например в статьях [6] и [7].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-04-96523-Р-ЮГ-Ц).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев, С.Н. О движении заряженной частицы в плоской монохроматической электромагнитной волне [Текст] / С.Н. Андреев, В.П. Макаров, А.А. Ру-хадзе // Квантовая электроника.— 2009. — Вып. 39, № 1.- С. 68-72.

2. Копытов, Г.Ф. Об энергетических характеристиках электрона в поле Редмонда [Текст] / Г.Ф. Копытов, В.Б. Тлячев// Известия высших учебных заведений. Физика. - 1985. - № 9. -С. 120 - 121.

3. Ландау, Л.Д. Теория поля [Текст] / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.- М.: Наука, 2004.- 509 с.

4. Коломенский, А.А. Авторезонансное движение частицы в плоской электромагнитной волне [Текст] /

А.А. Коломенский, А.Н. Лебедев // ДАН СССР. -1962. - Т. 145. - С. 1259 - 1261.

5. Давыдовский, В.Я. О возможности резонансного ускорения заряженных частиц электромагнитными волнами в постоянном магнитном поле [Текст] / В.Я. Давыдовский // ЖЭТФ. - 1962. - T. 43, № 3. - C. 886 - 888.

6. Милантьев, В.П. Явление циклотронного авторезонанса и его применения [Текст] / В.П. Милантьев// Успехи физических наук.-1997.- Т. 167, № 1.- С. 3 - 16.

7. Милантьев, В.П. Ускорение электронов в режиме циклотронного авторезонанса [Текст] / В.П. Милантьев, С.П. Степина// Динамика сложных систем - XXI век. - 2009.- № 4.- С. 39 - 51.