ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ, ОБРАЗОВАННОМ ВИБРИРУЮЩИМ ШТАМПОМ И ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПЛАСТИНОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 78 www.mai.ru/science/trudy/

УДК 534.1:532.516

Движение вязкой жидкости в плоском канале, образованном вибрирующим штампом и шарнпрно опертой пластиной

Агеев Р.В.1*, Могилевич Л.И.2**, Попов В.С.1***, Попова А.А.

1 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., СГТУ имени Гагарина Ю.А., Политехническая ул., 77, Саратов, 410054, Россия 2Московский государственный университет путей сообщения (Поволжский филиал), ПФ МИИТ, Астраханская ул., 1а, Саратов, 410790, Россия

*e-mail: arvbs@mail.ru **e-mail: mogilevich@sgu.ru

***e-mail: vic_p@bk.ru ****e-mail: anay_p@bk.ru

Аннотация

Поставлена и аналитически решена задача о движении слоя вязкой жидкости в плоском канале, стенки которого образованы вибрирующим штампом и упругой пластиной. Рассмотрена задача в плоской постановке. Решение проводится методом возмущений для режима установившихся гармонических колебаний. Найдены законы распределения давления в жидкости и прогибы стенки канала. Построены амплитудная и фазовая частотные характеристики, позволяющие исследовать гидроупругие колебания стенки канала.

Ключевые слова: гидроупругость, вязкая жидкость, колебания, балка, вибрирующий штамп, метод возмущений.

Введение

Стационарное движение слоя вязкой жидкости в плоском канале, образованном двумя параллельными поверхностями достаточно хорошо изучено [13]. В простейших постановках ограничиваются рассмотрением стационарного течения Пуазейля или Куэтта. В [3] рассмотрен случай движения слоя вязкой несжимаемой жидкости в канале с абсолютно твердыми стенками с учетом конвективных членов инерции. С другой стороны, актуальными и практически значимыми являются исследования динамики жидкости в плоском канале с вибрирующими стенками. В [4] рассмотрена задача о колебаниях стенки канала как упругой балки-полоски, взаимодействующей с идеальной жидкостью, заполняющей канал, и на ее базе выполнено исследование причин возникновения вибрационной кавитации в жидкости. Однако, данный подход не позволяет учесть демпфирующие свойства в рассматриваемой колебательной системе за счет вязкости жидкости, которые обуславливают ограниченность амплитуд колебаний стенки канала на резонансной частоте.

Исследованию демпфирования гармонически вибрирующей бесконечно длиной балки-полоски на слое вязкой сжимаемой и несжимаемой жидкости посвящены работы [5], [6]. В данных работах показано, что демпфирующие свойства слоя жидкости, на котором лежит вибрирующая бесконечно длинная балка-полоска существенным образом возрастают при уменьшении толщины слоя. Оценка влияния вязкости жидкости выполнена в [7] при исследовании взаимодействия вибрирующих дисков со слоем вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между ними. Показано, что на резонансных частотах колебаний стенок

канала амплитуда давления жидкости может изменяться на несколько порядков и становится существенно меньше давления насыщенного пара. В [8] рассмотрена аналогичная задача для двух вибрирующих пластин. В [9] выполнено исследование гидроупругих колебаний балки в потоке вязкой жидкости применительно к пьезопреобразователям, которые могут использоваться для получения энергии от потока.

В предлагаемой работе проведено исследование динамики взаимодействия пластины конечных размеров с вибрирующим штампом через движущийся слой вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между ними, с учетом особенностей торцевого истечения жидкости и закрепления пластины.

1. Рассмотрим канал условно представленный на фиг.1. Канал образован двумя параллельными непроницаемыми стенками 1,2 одинаковых геометрических размеров, между которыми движется слой вязкой несжимаемой жидкости 3 за счет заданного перепада давления. На торцах канала справа и слева имеются торцевые полости, заполненные той же жидкостью, что и жидкость между стенками. Для определенности будем, считать, что в левой торцевой полости поддерживается постоянное давление р0 + Ар, в правой - р0, а истечение жидкости в эти полости можно считать свободным. Протяженность канала в одном из направлений считается бесконечно большой. Данное направление обозначим Ь (на фиг. не указано), а другое как 21, при этом Ь>>21. Стенка 1 является штампом, совершающим колебания в вертикальном направлении по заданному гармоническому закону, а стенка 2 - упругой пластиной толщиной к0 шарнирно

опертой на торцах. Толщина слоя жидкости (расстояние между стенками) 5 изменяется со временем в невозмущенном состоянии она равна 50 << 21.

Далее, будем принимать во внимание, что в рассматриваемой механической системе присутствует сильное демпфирование, обусловленное учетом вязкости слоя жидкости. С течением времени это приводит к довольно быстрому затуханию переходных процессов и возникновению установившихся колебаний. Следовательно, при рассмотрении достаточно длительных во времени процессов общее решение неоднородных уравнений и начальные условия будем исключать с самого начала исследования [10].

¿22222

г

3_

2

К

£

£

-т

X

Фиг.1.

Введем в рассмотрение декартовую систему координат х,у,2, связанную со срединной поверхностью пластины 2. Учитывая, что И << Ь, будем считать канал неограниченным в направлении оси у, то есть перейдем к рассмотрению плоской задачи. Закон движения вибрирующего штампа задается в виде

к

г = + 5о + гт/г (Ш), /г (с) = вт Ш,

где гт - амплитуда перемещений штампа; с - частота колебаний; г - время.

Уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости в канале имеют вид

дVx „ дVx lT,дVx _ 1 дp VдV д% ^

+ Vx—^ + _---^ + у

дt дx дz р дг

2 - + -

У дx дz у

(2)

дVz , дVz , „ дVz _ 1 дp , V дV +дV ^

дt дx дz р дz

к дx2 дz2 у

дVx дVz п —- + —- _ 0, дx дz

где p - давление; р, V - плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости; Vx, V,, - проекции скорости движения жидкости на оси координат.

Уравнения динамики жидкости дополняются граничными условиями: условиями прилипания жидкости к стенкам канала [5-8]

т^ г, т^ dS(t) К дм дw ^ ....

Vx _ 0, Vг при z _+ 5о + znfz(at)■; Vx _ —, ^ _ — при z + w, (3)

dt 2 дt дt 2

и условиями ее свободного торцевого истечения, состоящими в совпадении

давления жидкости на торце канала с давлением в левой и правой полостях

р _ р0 + Ар при x _ -£, р _ р0 при x _ I. (4)

Здесь w - прогиб стенки 2 канала, и - продольное перемещение стенки 2 канала.

Уравнения динамики стенки 2 канала будут представлять собой уравнения

изгибных колебаний пластинки-полоски

Е^3 д4w , д2w /г.ч

0 -+Р0К^ТГ _ Чгг , (5)

12(1 -v02) дx4 0 &2

где р0 - плотность материала пластины, v0 - коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга, qzz - нормальное напряжение, действующие со стороны слоя жидкости на поверхность пластины. Выражение для qzz на поверхности пластины имеет вид [2,3]

о дVz \

qzz _ -р + 2рv—^ при z _ -0 + w .

дz 2

Условия шарнирного опирания запишем в виде

д^ _ „ д2 ^ п . w _ —- _ 0 при x _ -£ , w _ —- _ 0 при x _ I, (6)

дx дx

2. Введем в рассмотрение безразмерные переменные и малые параметры:

С =

АР =

- ко/2

5о АР5о¥7

гтс

т

, £=-, т = Ш, ¥= -° << 1, Л = -т << 1, V, = гтси^ (£,С,т), Гх = ¿£,С ,т),

5

р = Ро + ^^ Р(£, т), * = (£,т), и = и и(£, т).

¥

2тР™ 5о¥

(7)

Подставляя (7) в (2)-(6) и учитывая, что Л = о(1), *т/гт = 0(1) решение задачи

динамики тонкого слоя вязкой жидкости в нулевом приближении по ¥ представим в

виде асимптотического разложения по степеням параметра л<<1 [11]

Р = Р0 + ЛРг + 0(Л2), и£ = и£0 + Ли£1 + 0(Л2), иС = иС0 + ЛиС1 + 0(Л2) (8)

Тогда удерживая в (8) первый член разложения по Л = о(1), получим

следующую задачу гидроупругости: уравнения динамики тонкого слоя жидкости

Яе-

ди

£0

дт

дР + д 2и

£0 дР

0 ди£0 ди С0 0 = 0, -— +-— = 0.

д£ дС2 ' дС ' д£ дС

уравнения динамики пластины (балки-полоски)

(9)

Щ к0 д Ж + р к т 2 * Ж = р РУ*т С р + р0к0т = -р0--— р

__^^^ , „ , „2, д2Ж

£2 1 - у02 12£ 2 4

дт2

0 е 2 0:

50 ¥

(10)

граничные условия

и£0 = 0, ис0 =

С0

й/ (т) йт

при С = 1, и£0 = 0, ис0 =

С0

дЖ

т__

т дт

при С = 0,

(11)

Р0 = АР при £ = -1, Р0 = 0 при £ = 1,

Ж = 0, д2Ж/д£2 = 0 при £ = +1. (12)

Решая уравнения (9) с учетом (11) для режима установившихся гармонических

колебаний пластины * = /* (х) Бт(т + ) находим давление

Р0 =

1 к2 - ^

а-

й2 / йт2

+12у

йт

+

д 2Ж дЖ а—— + 12у- й£й£ +

' т £

дт 2 дт

(13)

+ -

2 zm

и лгfío 2 52W 10 dWJ.^ АР,, „

-fe- Щ 2s ++ "~(1

дт

2

где 2s2 = ®ó0/v, а, у - частотозависимые коэффициенты [7,8]

у(а) =

1

s3(shs - sin s)

а (а) =

6 s (chs + cos s) - 2s(shs + sin s) + 2(chs - cos s)

s(s(chs + cos s) - (shs + sin s)) s2 (chs + cos s) - 2s(shs + sin s) + 2(chs - cos s)

Подставляя (13) в (10) получаем

W Eho h2 д4W

210,2 ^4 + Poh0 = " ""

i2 1 - V(2 12i2 дZ4

д2W = - p pió,2zm 1

дт2 Po

U2 -1(2*

^ 2 Wml J V 2* 2 a дХ- + 12y )d{

y 2*2

дт2

дт

y 2*2 2

dZ + U- 1)J j\ 2e_ дт2

2 d2f df 2 a—¿2l +12y—

dT dT

a

д2W ^ 5WV„

дт2 +12^ dZ

дт дт J

(14)

АР

dZ +—(1 -fe)

Принимая во внимание (13) и граничные условия (12) представим решение уравнений динамики пластины (14) в виде тригонометрического ряда

W = ¿ U(т) + R0)cos((2k - 1)—) /2 + Q0 sinк—fe, (15)

к=1

где R0, Q0- постоянные коэффициенты; Rk (т),- гармоническая функция времени т.

Принимая во внимание линейность уравнения (14) и подставляя в него (15), найденное выражение для давления (13), а, также раскладывая оставшиеся члены, входящие в его правую часть в ряды по тригонометрическим функциям, получим уравнения для Я0к, Q0k

^í2к -1 Л* Do 2к -1 „ " 4(-1)к+: Ар 2к -1 „

Ъ {— Ж) DWmR0 ™ — — = (P0 ^^ — =

(16)

Ъ \ — I DwjQl sin жк£ = -Ъ -(-1— Ар sin . & 12i J Мк * tí к— '

и уравнение для функции времени Rk

í

т

к=1

^ 2к -1 ^ _ 2к -1 „ , Кк С08—— л£ +р0к0с

й2Я, 2к -1

йт2

С0Б-

2

л£

(17)

I 4(-1)к+1

^(2к - 1)И"

М скС

й / йт2

+ 2 К ск с

йт

2к-1 с

С08-л£ -

2

-I

{Ы С й2Кк + 2К сйКк

МскС —ГТ + 2КскС

к=1

V

йт2

йт

2к -1 „

С0Б-л£.

2

Учитывая, что й2Як!йт2 = -Як, вводя обозначения

Мск =

ру

5¥

2

(2к -1)л

2е а

с

2Кск =

^Мк , а1ск = ((2к - 1)л/2£)4 - \р,\ + Мск\в2/Б ,

2е2 а

а2ск = 2КСЪ, ^ = МскС2/0, с2ск =-2Кс/0,

из (16) находим выражение для Я0к, Q0k

К =

2£

4(-1)к Р0 + Ар/2

(2к -1)л\ (2к -1)л Е№п

2£ У (-1)к Ар

як \ кл Лит

(18)

а из (17) уравнения для определения Кк (т)

йКк

а\ск*тКк + а2ск*~

4(-1)к

йт (2к - 1)л

йт

й / йт2

(19)

Решение уравнения (19) для режима установившихся гармонических колебаний имеет вид

Кк =

4(-1)к г„

(2к - 1)л

Л „ й /2

2

йт йт

(20)

где А _ 1ск 2ск_2ск 1ск в _ - 1 ск 1 ск_2ск 2ск При этом

ск 2.2 ' ск 2 . 2

а1ск + а2ск

22 а1ск + а2ск

йЯк_ 4(-1)к г„

йт (2к - 1)л

А й/ - в /

пск , 2 ск ,

йт йт

й 2Як_ 4(-1)к г„

йт (2к - 1)л

- А / - в й/

-"-ск , ск , 2

йт йт

2

2

4

с2скгт

с1скгт

Таким образом, прогиб стенки канала с учетом (18), (20) имеет вид

* = *0 + гтА(®,£) вт® + р* (о, £)),

(21)

О V/ л\к 16^4 ( 2 2р0 + Ар 2к—1 „ 1 Ар . , г) А, ^ Ш—п где *0 = /(-1)к (2к 1)5 п Т^П81пж , А(о^)= л/А* + В

ж I (2к — 1) и 2 к и

к=1

Л

» 4(—1)к . 2к — 1 „ ^ 4(—1)к 2к — 1 „

А* = У о/ , Аск сов—— , = У , , , Вк сов—— ,

=1 (2к — 1)ж

к=1

(2к — 1)ж

( ш 4(—1)к+1 12 (о,Л = У ——-— А, соб——1 ^^^ V к=1 (2к — 1)ж ск 2

2к — 1 Л /(^ 4(—1)к

V

В 2к—1 ,

/ -в, СОБ-ж^

Vк=1(2к — 1)ж ск 2 ь

Л

У

Принимая во внимание (15), (20), выражение для безразмерного давления (13)

примет вид

Д =АР 1Л +

ву(е—1)+2//

( 2 )(— 1)" [д + 2а2оАСк ]совГ '2к-1

к=1

(2к — 1)ж

йт

+

+

а2а(2 — 1)+ 2/

к=1

2

(— 1)к [ — 2е2аВск

(2к — 1)ж,

й /

йт

(22)

в размерном виде давление запишем как

р = Ро + Ар(1 — £)/2 + ртП(о, £)ът® + р (о, £)):

(23)

где П(о,£) = ^Ар2 + В; , 12Рр(о,£) = — Ар/Вр , Рт = г

руо

р / р ' Г т " т 2

Ар =

ву( — 1)+ 2/| ^^ | (— 1Г [ + 2е2аАСк ]] ^

к=1

(2к — 1)ж,

Вр =

е2а( — 1)+ 2/

/ \3 , Л

( 2 ) / ^г _ _ 2 „ 1 (2к — 1

к=1

(2к — 1)ж

(— 1)к [12уАск — 2а2аВск ] ——

3. Полученные функции А(о,£) и П(о,£) можно рассматривать как безразмерные функции распределения амплитуд прогиба пластины и давления

жидкости в канале. В качестве примера, приведем результаты расчетов функций

к

2

3

А(с,£) и П(с,£) при £ = 0, т.е. в центе канала, с удержанием 1, 2, 3 и 4 членов

разложения (см. рис.2, 3). В расчетах использовались следующие значения параметров: р0=7,8-103 кг/м3; у0 = 0,3, е = 2Д-1011 Па; 2£ = 0,2 м, к0/£ = 0,05; 50/£ =

15, р=1,84-103 кг/м3; у=2,5-10-4 м2/с.

А(м,0) ю ■

5 -

1 -

0,5 -

0,1 -

0,05 -

0,01

а

V

_______х

Г

(

т

—I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1—

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

-1

90000

ю. рад/с

Рис.2

1 - удержан 1 член разложения, 2 - удержано 2 члена разложения, 3 - удержано 3 члена разложения, 4 удержано 4 члена разложения

и, рад с

Рис.3

1 - удержан 1 член разложения, 2 - удержано 2 члена разложения, 3 - удержано 3 члена разложения, 4 удержано 4 члена разложения

Заключение

Проведенное исследование показало, что при движении жидкости в щелевом канале, образованном абсолютно жесткой вибрирующей стенкой и упругой пластиной, возникают резонансные колебания пластины, а в слое жидкости появляется дополнительное давление, обусловленное сжатием жидкости вибрирующей стенкой. Полученные в работе функции распределения амплитуд прогиба пластины А(р,£) и давления жидкости П(©,£) можно использовать для определения резонансных частот изгибных колебаний пластины, а также амплитуд прогиба пластины и давления в жидкости. Проведенные расчеты показывают хорошую сходимость полученного решения при удержании первых членов разложения. Учет новых членов разложения приводит к появлению дополнительных

резонансных частот.

Выполнено при поддержке гранта РФФИ №15-01-01604а

Библиографический список

1. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика. - М.: Машиностроение, 1971. -672 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

3. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Гостехиздат, 1955. -520 с.

4. Индейцев Д.А., Полипанов И.С., Соколов С.К. Расчет кавитационного ресурса втулки судовых двигателей // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №4. С.59-64.

5. Enelund M. Vibration and damping of a plate on a viscous fluid layer. Proceeding of the 13th International Modal Analysis Conference (IMAC). 1995. pp.261-267.

6. T. Onsay Effects of layer thickness on the vibration response of a plate-fluid layer system // Journal of Sound and Vibration. 1993. Vol. 163. pp. 231-259.

7. Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2011. №3. С. 42-55.

8. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между

ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С. 23-32.

9. Akcabay D.T., Young Y.L. Hydroelastic Response and Energy Harvesting Potential of Flexible Piezoelectric Beams in Viscous Flow, Physics of Fluids. 2012, Vol.24. Issue 5.

10. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. - М.: Наука, 1987. -352 с.

11. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. - М.: Мир, 1967. -312с.