CC BY
60
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том VI 1975
№ 4
УДК 629.76.015.017.22
ДВИЖЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПО КРЕНУ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
П. М. Чернявский
Рассматриваются особенности движения по крену под действием постоянного момента крена М0 и момента крена Мк0, обусловленных небольшой несимметрией и моментом крена от косого обдува. В линейном приближении исследуется движение по крену вблизи особых точек и дается качественный анализ движения с учетом нелинейности аэродинамических характеристик. Показано, что при М0< Мк0 возможно периодическое вращение по крену, если величина собственного демпфирования летательного аппарата по крену меньше некоторой критической величины. Получены приближенные и точная зависимости для бифуркационных величин демпфирования и постоянной составляющей момента крена. Приводится качественная картина поведения системы на фазовой плоскости и определяются некоторые параметры периодического вращения по крену.
Момент крена от косого обдува оперенных летательных аппаратов является периодической функцией угла крена к при фиксированных в пространстве векторе управления 8 и векторе угла атаки корпуса о [1]. Для осесимметричных аппаратов на балансировочных режимах в каналах управления перегрузкой коэффициент момента крена от косого обдува при ограничении первым членом его разложения в ряде Фурье можно представить в виде [1]
т = тк о sin щ,
-'к 0
где и —число плоскостей симметрии ракеты.
Запишем уравнения движения ракеты по крену под действием постоянной составляющей момента крена т0, обусловленной небольшой несимметрией (например, вследствие неточности сборки), момента крена от косого обдува и момента аэродинамического демпфирования по крену в виде
d-/
_____L = <о ,
dt
1Х —¿¿г = Í т/ -у aljc — тк о sin щ + щ I qsl,
da>x ¡ І
(1)
где <лх— угловая скорость крена, 1Х —момент инерции аппарата, 5 — характерная площадь, I — характерный размер, ц — скоростой напор, р — плотность атмосферы, V— скорость полета, гпхх — коэффициент момента демпфирования крена.
Для упрощения анализа систему уравнений (1) удобно привести к безразмерному виду
Действительно, в систему уравнений (2) входят два обобщенных параметра и ти которые и определяют при заданных начальных условиях характер движения системы, поэтому анализ безразмерной системы (2) упрощается по сравнению с анализом исходной системы уравнений (1), в которую входят четыре параметра
Проведем качественный анализ движения по крену. Такой анализ удобно проводить с использованием цилиндрической фазовой поверхности [21 (или ее развертки).
Дифференциальное уравнение интегральных кривых на фазовом цилиндре
непосредственно не интегрируется. Определим положение особых точек из системы уравнений
откуда следует, что при т1^> 1 особых точек нет. При /га< 1 существуют две особые точки (два состояния покоя):
Для определения характера точек покоя линеаризуем уравнения (2) в окрестности точек покоя 7! = 7п I (¿=1,2). Поведение интегральных кривых вблизи особой точки определяется корнями характеристического уравнения
Из (4) следует, что точка покоя (7, = уп и »1 = 0) является устойчивым фокусом при <^<4^1 — т2 или устойчивым узлом при с|41^ 1—Ж*. Точка покоя (71 =
= Тл2> а>1 = 0) при всех значениях параметров — седло, с ветвями сепаратрисы, проходящими через точку покоя под углами наклона р/, величины которых можно определить из уравнения
Для выяснения характера поведения фазовых траекторий, не находящихся в малой окрестности особых точек, полезно проанализировать поведение консервативной системы, получающейся из (3) при С] =0. Уравнение (3) при с4 = 0 можно проинтегрировать и получить решение в следующем виде:
где с — постоянная интегрирования, определяемая начальной энергией системы.
Для построения фазовых траекторий воспользуемся приемом, изложенным в [2]. На вспомогательной плоскости 7, у построим кривую '
и затем, задавая различные значения с, будем получать различные фазовые траектории (фиг. 1). При Щ<^\ получаем особую точку типа центр (^ = arcsin тх, to, = 0) и особую точку типа седло (Yi = ic — arcsin щ, о>г = 0). Видно, что
. UÜ), . . .
Ч> + Ci<»i + sin Yi = ти
(2)
где
X
(3)
mx — sin fj =0, <üj = 0,
7i = Tn 1 = arcsin mh <oj = 0
и
Ti = Tn 2 = n — arcsin mu == 0.
л2 \ -f- cos = 0.
(4)
o> = ± /2 (cos fx + 71) + c,
(5)
у = 2 (cos 71 + OTj 71)
фазовые траектории, лежащие внутри петли сепаратрисы, замкнутые и соответствуют периодическим решениям (колебаниям относительно точки покоя). Траектории, лежащие вне петли, не замыкаются, так как при увеличении ^ на 2тс
величина (Од возрастает от значения <»1 (71) до величины <*1 (714~2л) = у 4 %т1 + (71).
При введении демпфирования (С1^>0) характер фазовых траекторий качественно меняется (фиг. 2—4). Фиг. 2—4 получены для значений сх, удовлетворяющих соотношениям сх < с*, <?1 = с* и с!>с* соответственно, где с1 — бифуркационное
с,>с*
из,
## /77^ /уОл* // ¿у//
значение параметра Замкнутая траектория, образованная ветвями сепаратрисы, выходящими из седла влево, размыкается. При этом для ^>0 верхняя ветвь сепаратрисы пересекает линию «, = 0 в точке, лежащей левее точки пересечения соответствующей фазовой траекторией для консервативной системы, а нижняя ветвь сепаратрисы, наоборот, пересекает линию ы1=0 правее соответствующей точки (фиг. 2).
Таким образом, на фазовой плоскости появляются области (на фиг. 2—4 они заштрихованы), из которых фазовые траектории приходят к устойчивой точке покоя. Как показано в [2], система, движение которой описывается уравнением вида (3), согласно критерию Бендиксона, не имеет на фазовом цилиндре замкнутых траекторий, не охватывающих цилиндр, и может иметь самое большее
один предельный цикл, охватывающий цилиндр (периодическое вращение с некоторой средней скоростью <йс). Этот предельный цикл (если он существует) обязательно устойчив и лежит целиком в верхней половине цилиндра. При этом само существование периодического вращения по крену зависит от соотношения величин Ci и m-i (при /nj<4). По мере увеличения q средняя скорость о>с вращения уменьшается и увеличивается заштрихованная площадь. При достижении величиной с, некоторого бифуркационного значения = с, фазовая траектория, соответствующая периодическому вращению, опускается и касается седла (фиг. 3). При этом все траектории, начинающиеся в нижней полуплоскости, приходят к состоянию покоя. При дальнейшем увеличении с, (cj^c^ece траектории приходят к состоянию покоя и периодического вращения уже нет (фиг. 4).
Определим некоторые параметры периодического вращения по крену и условия, при которых возможно такое вращение. Как показано в [1], при периодическом вращении по крену неравномерность вращения можно характеризовать амплитудой колебаний угловой скорости крена А относительно среднего значения угловой скорости <»с. Оценка амплитуды А имеет следующий вид [1]:
1
' (6)
V
С1 +'
Для оценки среднего значения угловой скорости а»с воспользуемся тем, что при периодическом вращении работа всех сил на периоде должна быть равна нулю [2—4]. Представив приближенно угловую скорость по крену в виде
<üj = а>с + '4<®с cos мст.
где i¡ — Ajiuc, и учитывая, что <aldz, можем записать
2 г. 2т: 2я/о>с
I* (/Я] — sin 7].— сх Oj) dll — J (тг - sin 7j) d^x — j cx (<oc +-i|»c cos <*>c t)2 dx — 0, (7)
0 ’ о 0
откуда получаем
2m,
. (8)
< ,(2Ч-г-’) '
Из (8) следует, что наличие периодических колебаний угловой скорости относительно среднего значения, вызываемые периодическим моментом крена (вт^), приводит к снижению среднего значения угловой скорости крена, хотя работа периодической составляющей момента крена на периоде равна нулю.
Из (8) видно, что при ■>) < 1 величина «с приближенно определяется соотношением
0)г — --- . '
Сх .
Приближенное уравнение для определения границы возможных периодических вращений т1(с1) можно получить из уравнений (6) и (8), если положить ч = 1 (А = <1>с): __________
= *2 = 1,5 С! (—0,5 Сх + ]/о,25с^+1) при*»<1; \" ^
1 1 при *.2 > 1. /
Для малых значений ^ < 1 приближенное уравнение (9) можно уточнить. Считая тх и с1 малыми, получим из интеграла энергии (5)
<»! = У 2 cos 7] С.
При предельных колебаниях по крену с амплитудой, равной п, постоянная интегрирования С — 2, поэтому
= + 2 cos . (Ю)
Подставив (10) в (7), получим
«1 = 4" Cj- (9')
На фиг. 5 сплошной линией показана точная бифуркационная кривая ml (ct), полученная с помощью ЭЦВМ при решении краевой задачи. Пунктиром нанесена зависимость (9), а штрих-пунктирной линией — зависимость (9'). Видно, что
при малых значениях тг зависимость (9') практически совпадает с точной границей ТП\ (сО-
Влияние режимов полета на характер движения можно выявить из соотношений для тх и с, (2) и бифуркационной диаграммы (фиг. 5). Из (2) следует, что увеличение высоты полета Н (при постоянном угле атаки а) приводит к уменьшению величины с1. Величина щ при (этом не меняется. Малое увеличение угла атаки, сопровождающееся возрастанием величины тк0, приводит
т,
1
0,5
в малом к смещению некоторой исходной точки на бифуркационной диаграмме влево и вниз по прямой, для которой выполняется следующее равенство (фиг. 5):
^ Фа = 2 <к.
Поэтому точки, лежащие на бифуркационной кривой т1(с{), с увеличением высоты полета попадают в область возможного установившегося вращения, а с увеличением угла атаки — в область, где такой режим исключен.
ЛИТЕРАТУРА
1. Святодух В. К. Динамика пространственного движения управляемых ракет. М., »Машиностроение*, 1969.
2. А н д р о н о в А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1961.
3. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М., .Наука“, 1969.
4. Ларичева В. В., Шилов А. А. Аналитический метод определения аналога сепаратрис при движении тела около центра масс в атмосфере. .Космические исследования*, 1969, № 1.
Рукопись поступила ЩУП 1974 г.
