CC BY
35
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVI 1985
№ 2
УДК 629.735.33.015
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА ПРИ ВРАЩЕНИИ ПО КРЕНУ
М. Г. Гоман, В. Л. Суханов
Анализируются особенности возникновения и развития автоколебательных режимов движения самолета при быстром вращении его по крену. Рассматриваются приближенные нелинейные уравнения, исследуются их установившиеся решения и структура фазового пространства при изменении параметра управления. Методом гармонического баланса получены оценки для амплитуд и частоты колебательных составляющих параметров движения.
Исследование движения самолета при быстром вращении по крену проводится на основе расчета квазиустановившихся решений уравнений пространственного движения и анализа их устойчивости [1, 2]. Характерной особенностью этих уравнений является возможность существования при одних и тех же отклонениях органов управления нескольких устойчивых решений, соответствующих различным режимам установившегося вращения.
При исчезновении установившегося режима вращения с малой угловой скоростью происходит «скачкообразное» изменение параметров и установление критического режима инерционного вращения [1, 2]. Расчет бифуркационных значений параметров управления, при которых происходит изменение числа особых точек, осуществляется на основе анализа множества квазистатических решений.
При управлении по крену наряду с изменением параметров установившегося вращения изменяется и характер возмущенного движения. Возможно возникновение колебательной неустойчивости и установление движения с периодическим изменением параметров относительно некоторых их средних значений [3, 4]. Такая форма движения наблюдается часто как при математическом моделировании пространственного движения, так и в полете. Колебательность параметров движения с большой амплитудой может значительно ухудшить управляемость самолета, привести к попаданию в критические режимы вращения. Поэтому анализ особенностей возникновения автоколебаний и их развития при изменении параметров управления необходим для определения допустимых отклонений органов управления.
При анализе движения ограничимся линейным представлением аэродинамических сил и моментов от кинематических параметров и воспользуемся возможностью понижения порядка уравнений пространственного движения при условии, что критическая скорость крена определяемая величиной продольной устойчивости, значительно превосходит критическую скорость крена (03, определяемую величиной путевой устойчивости самолета [1]. Такое соотношение критических скоростей крена характерно для полета с большими углами атаки, а также для режимов сверхзвуковых скоростей. В этом случае при враще-
нии по крену величина угла атаки остается практически постоянной, а изменение параметров бокового движения может быть описано следующей нелинейной системой уравнений [3]:
= (Щ-
' “Ь а(3)х + 2^
О -О)
-Ва1)$ + М>
"у >
(1)
Здесь а, р — углы атаки и скольжения; шх, ту — проекции угловой скорости на связанные с самолетом оси координат; М\ =
а31 / -
= ■—■-т\ — приведенные производные аэродинамических моментов
у — х, у; У = и>*, о>у, Р); Мх = тх упр — приведенный момент управления по крену; Iх, /у, Л — главные моменты инерции; В = ^;
У
= -^г с\ — приведенная производная боковой аэродинамической
силы; т, 5, / — масса, характерная площадь и размах крыла самолета; V—’скоростной напор и скорость полета.
При ступенчатом отклонении органа управления и создании управляющего момента Мх изменение по времени угловой скорости крена может быть различным и зависит от величины управляющего момента. На рис. 1 приведены результаты интегрирования уравнений (1) при нескольких значениях величины Мх (расчеты проводились при
следующих значениях параметров, входящих в уравнения (1):
-а = 0,087, В = 0,608, М*у = — 2,34с-2, Л|"» = —0,185 с-1, Ш =
= — 14,24 с-2, М/= 1,36 с-1). При этих значениях параметров критическая скорость крена
Для малых значений Л4Х<:2,0 с*2 величина устанавливающейся угловой скорости крена меньше критической величины <ор и практически пропорциональна управляющему моменту. Дальнейшее увеличение управляющего момента уже не приводит к соответствующему возрастанию угловой скорости, при этом возникает значительная колебательность величины со*. При Мх = 3,5 с-2 колебания принимают установившийся характер, а при Мж = 3,8 с-2 происходит резкое увеличение угловой скорости после двух колебаний.
Если при Мж = 3,5 с~2 движение обратимо, т. е. вращение прекращается при устранении управляющего момента, то при ^Мж = 3,8 с-2 происходит потеря устойчивости и движение необратимо. Переходные процессы, приведенные на рис. 1, во многом определяются теми установившимися решениями уравнений (1), которые существуют при заданных значениях параметров управления, а также характером устойчивости этих решений.
При каждом значении параметра Мх уравнения (1) имеют три ОСОбые ТОЧКИ—-Три СТаЦИОНарНЫХ решения (о^ст. <»уст> Рст), ,ПРИ ко" торых (3 — (0^ = = 0. На рис. 2 приведены зависимости стационар-
ных решений для переменной со^.,. от величины параметра управления Мх.
Анализ устойчивости этих решений по корням характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений (1) показывает, что два решения являются неустойчивыми особыми точками типа «седло— фокус». Решение С Промежуточной величиной скорости крена | СОос I < Ир при малых значениях управляющего момента Мх устойчиво, а при больших —■ неустойчиво. Возникновение неустойчивости промежуточного решения при увеличении Мх связано с переходом пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения в правую полуплоскость. В нелинейной системе это может приводить к возникновению устойчивых замкнутых фазовых траекторий — предельных циклов
Для получения условий существования предельного цикла, а также оценки его параметров воспользуемся методом гармонического баланса и будем искать приближенное периодическое решение уравнений (1) в следующем виде:
где Ро, Ре, Рс, О и т. д. являются искомыми неизвестными параметрами. Отметим, что решение (2) является плоским приближением пространственной замкнутой фазовой траектории в виде эллипса.
Условия выполнения гармонического баланса, получаемые при подстановке решения (2) в уравнения (1) и пренебрежении членами с высшими гармониками, приводят к трем нелинейным алгебраическим
и? = У'—Л$1Вж 1,95 с-1.
[5].
уравнениям, определяющим частоту О и амплитуду соЖ8 колебаний, а также среднюю величину угловой скорости крена южо'-
Остальные параметры, входящие в (2), выражаются через решения нелинейной системы (3) следующим образом:
Проанализируем возможность существования нетривиального решения уравнений (3) сожв^0. Для этого разрешим первые два уравне-
где /?'(мжо) —определитель Рауса—Гурвица характеристического уравнения линеаризованной системы (1), зависящий от величины шжо,
Тривиальное решение уравнений (3) (ож8 = 0 соответствует статическому решению уравнений (1), так как при этом (йж0=с*>жст. Вдоль этого решения на промежуточной ветви величина # положительна (Л >0) при малых значениях Мх (особая точка типа «устойчивый фокус») и отрицательна (/?<0) при больших значениях Мх, когда величина (ож ст приближается к (»р (особая точка типа «неустойчивый фокус»), В момент изменения структуры особой точки величина # = 0.
Рассмотрим решения (4) в окрестности точки бифуркации, когда
-МауУ [м1 а - ^ лгуу) -2Вюх0 [Мх - Ма/шх0)\ = 0,
|^2 Чшхх-}-Му-\-&Мх ^ Мхх—Муу (г?-{-Мхх)^ = 0, ^ ^
- {М9у-Вш2хо) {мх + му их0) + Мшуу [{-Ща+я? М“*) <ох0+1?Мх]-
ния в (3) относительно ш2х$ и 2г:
К (ю-го)
2 Мхх — М/ — г9 ’
(4)
41? (<охо)
а0 = му (Щ - Ш;у + Во>2х0) + ам;у ж + 2ВШх0 {Мх + му шЛ), (5)
ах = —Щ — оЖ — Дю*о - Ма/ (? + Щу) + ? ,
а2^-Мшхх — Мтуу-~^ .
~^(сожо)~е. Периодические решения (2) существуют, когда имеются действительные решения ДЛЯ (Охе, т. е. при «4 > 0. Поэтому в случае выполнения условия Л1“у -(- 2/И“-*’ периодические решения
(устойчивые) появляются при /?<0, что соответствует сверхкритичес-кой бифуркации рождения цикла [5]. При обратном соотношении у + < Ж"*, которое может выполняться при уменьшении демп-
фирования крена, например, на больших углах атаки, периодические
Особые точки типа . „седло-фокус"
Неустойчивые фокусы
Особые точки типа „ седло-фокус ”
-г.о'-
Рис. 2
решения будут существовать при /?>0 и будут неустойчивыми (случай субкритической бифуркации рождения цикла [5]). В этом случае возможен жесткий характер возбуждения автоколебаний.
Частота возникающих периодических решений в момент бифуркации (./? = 0) равна £2= ]/ а1г что соответствует величине чисто мнимых корней характеристического уравнения. Амплитуда колебаний возрастает с увеличением степени неустойчивости, определяемой величиной определителя Рауса—Гурвица, а частота й уменьшает-
ся. При удалении от точки бифуркации нелинейные уравнения гармонического баланса (3) должны решаться совместно, так как увеличение амплитуды колебаний ©хв приводит к заметному различию величин
(0# 0 И СОсс ст»
Система уравнений (3) решалась численно. На рис. 2 приведены зависимости амплитуды и>Х8 среднего значения сож0 и частоты й, возникающих колебаний от величины управляющего момен’га Мх для случая, при котором проведены расчеты переходных процессов (см. рис. 1). Возникновение автоколебаний происходит в момент перехода пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения в правую полуплоскость при значении Мх = 3,4 с~2. Увеличение Мх приводит к возрастанию амплитуды и уменьшению частоты колебаний Й. Увеличивается также и различие (ожо и Юхст-
Приближенные периодические решения (2) существуют_в определенном диапазоне значений управляющего момента 3,4с_2<Л1х<4,05с_2. При исчезновении периодических решений происходит уменьшение частоты колебаний й до нуля и достижение амплитудой цикла неустой-
чивой особой точки. Можно предположить, что исчезновение цикла связано с нелинейным взаимодействием замкнутой фазовой траектории с особой точкой типа «седло—фокус» и проходящей через нее сепа-ратрисной поверхностью. Естественно точность приближенных решений (2) в этом случае будет недостаточной.
Рис. 3
Наряду с приближенными оценками параметров автоколебаний были проведены расчеты фазовых траекторий уравнений (1), проходящих через точку (ож = щ = р = 0, при различных значениях величины Мх. На рис. 3 эти фазовые траектории приведены в проекции на плоскость параметров движения щ и иж (сплошные кривые). Нанесены также положения особых точек уравнений (1) и полученные выше приближенные периодические решения (2) (штриховые кривые).
Возникающая замкнутая фазовая траектория при Л1ж<3,4 с-2 является устойчивой, поэтому фазовая траектория, выходящая из начала координат, «наматывается» на нее, образуя предельный цикл. Фазовые траектории из окрестности неустойчивого фокуса также стремятся к предельному циклу. При значениях параметра управления Мх, когда замкнутая фазовая траектория находится вдали от особой точки типа «седло—фокус» и проходящей через нее сепаратрисной поверхности, точность приближенного расчета предельного цикла методом гармонического баланса по первой гармонике довольно высока (рис. 3, а, Мх = = 3,5 с-2).
В момент сближения с неустойчивой особой точкой проекции цикла на плоскость параметров соу, о)ж уже значительно отличается jot приближенного режима'(2) (рис. 3,6, Af;c = 3,68 с-2). При значениях Мх>3,7 с-2 замкнутая фазовая траектория исчезает, хотя приближенный расчет все
еще указывает на существование периодического решения (рис. 3,6, Мх = 4,0 с-2).
Таким образом, существуют два бифуркационных значения величины управляющего момента Мх1 и Мх%, которые соответствуют рождению и исчезновению предельного цикла. Как показывают сравнительные расчеты, приближенное оценивание бифуркационного значения Мх2 на основе метода гармонического баланса не представляется возможным
(для его определения может быть использован, например, метод точечных отображений, рассмотрение которого выходит за рамки настоящей статьи). Для малых Мх<МхХ стационарное решение уравнений (1) при (Ожст<<йв устойчиво и все фазовые траектории, лежащие между сепарат-рисными поверхностями, стремятся к этому стационарному решению (рис. 4,а).
Две сепаратрисные поверхности проходят через особые точки типа «седло—фокус» и являются неустойчивыми двумерными многообразиями фазовых траекторий, асимптотически стремящихся к особым точкам. Сепаратрисные поверхности ограничивают область притяжения устойчивой особой точки и, таким образом, определяют область устойчивости при больших возмущениях. Так, например, точка ркр пересечения сепаратрисной поверхности с осью р при Мх — 0 определяет максимальную величину ветрового порыва И?Кр = Ркр^, при котором возмущенное движение самолета будет устойчиво [3].
Расчет сепаратрисных поверхностей может быть осуществлен численным интегрированием в обратном времени фазовых траекторий, начинающихся в окрестности неустойчивой особой точки на плоскости, которая проходит через особую точку и касательна к сепаратрисной поверхности. Касательная плоскость определяется парой собственных векторов комплексно-сопряженных собственных чисел линеаризованной системы (1). _ __ _
При значениях управляющего момента МХ1<МХ<МХ2 все фазовые траектории из внутреннего объема между сепаратрисными поверхностями будут стремиться к замкнутой фазовой траектории (см.
рис. 4,6). Увеличение предельного цикла и приближение его к сепаратрисной поверхности при Мх<Мхг приводит к его искривлению и увеличению периода колебаний. При МХ>МХ2 устойчивых установившихся решений у системы уравнений (1) не существует и все фазовые траектории уходят на бесконечность.
Учет продольного движения самолета в случае, когда ша~о)р, приводит к необходимости анализа уравнений пятого порядка [1], которые могут иметь закритические устойчивые особые точки с №^ст > max {о>в, сор}. В этом случае разрушение цикла может приводить к захвату фазовых траекторий закритической устойчивой особой точкой, соответствующей режиму инерционного вращения.
Проведенный анализ показывает, что потеря устойчивости и необратимость управляемого движения самолета при быстром вращении по крену могут быть связаны с исчезновением установившегося автоколебательного режима движения и последующим переходом в закри-тический режим вращения. Это условие должно учитываться при определении границ безопасного пилотирования самолета.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бюшгенс Г. С., Студне в Р. В. Динамика пространственного движения самолета. — М.: Машиностроение, 1967.
2. Young J. W., S с h у A. A., Johnson К. G. Prediction о! jump phenomena in rotationaly-coupled maneuvers of aircraft, including nonlinear aerodynamic effects. — AIAA Paper N 77-1126.
3. Студнев P. В., Суханов В. Л. Некоторые вопросы нелинейной теории бокового движения самолета. — Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1383.
4. М е h г a R. К., Carroll J. V. Bifurcation analysis of aircraft high angle-of-attack flight dynamics.-—AIAA Paper N 80-159&.
5. Мардсен Дж., M а к-К ракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир. 1980.
Рукопись поступила 8/VII 1983 г.
