CC BY
8УДК: 532.54 MSC2010: 35J57
ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ В СЛОИСТОМ ПОРИСТОМ
ПЛАСТЕ
© Г. С. Балашова
Национальный исследовательский университет «МЭИ» ул. Красноказарменная, 14, Москва, 111250, Российская Федерация e-mail: balashovags@mpei.ru
Movement of Two Liquids in a Layer Porous Medium.
Balashova G. S.
Abstract. In this paper, we consider the problem of displacement of one incompressible fluid by another in a particular model of a linear layered bounded reservoir consisting of two layers separated by a small permeable bridge. This problem is extremely important both practical and theoretical.
In the two-dimensional formulation for the rectilinear case, the problem reduces to solving a system of two elliptic equations for the pressures in each of the media separated by an unknown moving boundary under given boundary conditions and satisfying the conditions of equality of pressures and normal components of the filtration rates of displaced and displacing liquids at the movable interface.
The process is considered to be isothermal, non-deformable porous medium, immiscible and chemically mixed not reacting with each other, phase permeability, capillary and gravitational forces are not taken into account. In this way the real picture of repression is idealized, and it is believed that injection fluid completely pushes back the previously filled reservoir fluid and between them there is a clear interface. In such In this case, the entire flow area D is divided into two zones: the Di zone, occupied by the invading fluid, and the D2 is the area of the fluid being displaced, separated from one another by a clear moving border of section Г, the law of motion of which is to be determined. Unfortunately, it is impossible to present a solution in analytical form.
To simplify the investigation of the system, its equations are averaged over the thickness of the upper layer. The main feature of this averaging is the specification of the vertical component of the filtration rate in the form of a linear function from the vertical coordinate so that the boundary conditions on the roof and the base of the formation are satisfied. Within the framework of these assumptions, the problem is reduced to solving a system of averaged equations in the upper layer containing functions that describe the interface between two liquids in the upper layer and in the bridge. Integration of the equations in the resulting system in a closed form is not possible without strong restrictions on the law of changing the interface of liquids in the interlayer. In connection with this, two limiting schemes for the displacement of liquids are
proposed. The first scheme assumes that there is no overflow of the displacing liquid, which corresponds to the acceleration of the advance of the displacement front in the upper layer. The second scheme assumes a complete overflow of the displacing liquid, which corresponds to the slowing of the displacement front in the upper layer. With such a scheme of motion, the position of the interface in the bridge does not significantly affect the distribution of average pressures in the upper formation. To find the law of displacement of each of the required boundaries, we obtain the Cauchy problems for ordinary differential equations. Numerical calculations have shown that the limit schemes considered differ little from each other, and consequently from the true solution concluded between them. The difference in the times of the complete displacement of one liquid by another, corresponding to these limiting schemes, does not exceed 5 percent.
Keywords : incompressible fluid, elliptic equations, filtration rate, averaging, overflow displacing, moving boundary, limiting schemes
В работе рассмотрена двумерная задача вытеснения одной несжимаемой жидкости другой (например, вытеснение нефти водой) в неоднородной слоистой пористой среде с анализом перетоков жидкостей между слоями различной проницаемости. Эта задача представляет большой интерес как в теории многофазной фильтрации, так и в практике разработки нефтяных месторождений.
Итак, имеется пористая среда, насыщенная одной несжимаемой жидкостью. В некоторый момент времени в нее начинают нагнетать другую несжимаемую жидкость. Процесс считается изотермическим, пористая среда недеформируемой, жидкости несмешивающимися и химически не реагирующими друг с другом, фазовые проницаемости, капиллярные и гравитационные силы не учитываются. При этом считается, что нагнетаемая жидкость полностью оттесняет ранее заполнявшую пласт жидкость и между ними имеется четкая граница раздела. В таком случае вся область течения D разбивается на две зоны: D1 — зона, занятая вторгшейся жидкостью, и D2 — зона вытесняемой жидкости, отделенных одна от другой четкой подвижной границей раздела Г, закон движения которой подлежит определению. Таким образом, реальная картина вытеснения идеализируется.
Давления жидкостей P1(x,y,t) и P2(x,y,t) в каждой из указанных зон Di и D2 удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям
div [k(x, y) VPi(x,y,t)j = 0, i = 1, 2; (x,y) G D,t,
(1)
являющимися следствием уравнений неразрывности
div wi = 0
(2)
и закона Дарси
W = - ^^ VPi(x,y,t). (3)
Здесь и далее индексом 1 отмечаются все параметры, характеризующие вытесняющую жидкость, а индексом 2 — вытесняемую; wi — скорости фильтрации соответствующих жидкостей; k(x,y) — абсолютная проницаемость среды; ^ — вязкости вытесняющей и вытесняемой жидкостей соответственно.
Рассматривается слоистая пористая среда, т.е. предполагается, что проницаемость меняется только по мощности пласта k(x,y) = k(y) и является кусочно-постоянной функцией вертикальной координаты у. Причем проницаемость перемычки kn значительно меньше проницаемости верхнего пласта k0, т.е. kn ^ k0. Тогда уравнения (1) принимают вид
d2Pi (x,y,t) + д 2Pi(x,y,t) = 0 дх2 dy2 '
при i = 1 0 < х < x0(t); при i = 2 х0 (t) < х < L; 0 <y<ho, (x,y) е Di.
На подвижной границе Г во все время движения выполняются следующие условия сопряжения, являющиеся следствием непрерывности потока массы и импульса: 1) нормальная составляющая скорости фильтрации непрерывна при переходе через Г
Win = W2n
или с учетом закона Дарси (3)
1 dPi
= L др
г ^2 дп
Я « ' (5)
^1 дп
где П — нормаль к границе Г, направленная (для определенности) внутрь области
Di;
2) давление при переходе через контур Г изменяется непрерывно
Pi|r= P21 г. (6)
На внешних неподвижных границах области фильтрации заданы постоянные давления: p01 на левой границе, p02 — на правой.
Вытеснение рассматривается в частной модели линейного слоистого ограниченного пласта, имеющего длину L, состоящего из двух пластов, разделенных малопроницаемой перемычкой. Предполагается, что в пласте ниже перемычки поддерживается постоянное начальное давление p0 = const.
д у
В верхний пласт, имеющий мощность Л,0, полностью насыщенный нефтью, в начальный момент времени через галерею, расположенную на линии х = 0, начинают нагнетать воду под давлением р01. При этом его верхняя граница считается непроницаемой, т.е.
д Р
= 0, г = 1, 2. (7)
у=0
Закон движения границы раздела нефть-вода в верхнем пласте ищется в виде х = х0(г). Предположение о прямолинейности фронта вытеснения в верхнем пласте представляется разумным, так как горизонтальный размер пласта Ь обычно существенно больше его мощности Н0 (Л,0 ^ Ь).
Вследствие повышения давления в верхнем пласте будет происходить переток жидкости в перемычку, в результате чего в ней также образуется граница раздела Гп между водяной и нефтяной зонами, форма которой представляется выражением
уп = н0 + Д(х,г); 0 < Д(х,г) < Нп. (8)
Схема фильтрации представлена на рис. 1. Такая схема будучи простой учитывает характерные особенности процесса вытеснения в слоистых грунтах.
Задача состоит в нахождении распределения давлений в каждой из зон в верхнем пласте, удовлетворяющих соответственно уравнениям (4) и граничным условиям (5) и (6), а также в определении закона движения границ раздела нефть-вода в верхнем пласте х = х0(г) ив перемычке Д(х, у). Задача математически труднодоступна даже при использовании современной вычислительной техники.
Для упрощения исследований осредним точные уравнения движения (4) по мощности верхнего пласта, пользуясь схемой, описанной в работе [1]. Для этого проинтегрируем уравнения (4) по мощности верхнего пласта
Но Но
1 г д2Рг(х,у,г) , 1 г д2Рг(х,у,г) ,
а!—дх^+—д^*=°, <9>
00
откуда, вводя обозначение для средних давлений
Но
рг(х,г) = Ц Рг(х,у,^у, г = 1, 2, (10)
00
получим
д2рг(х,г) + 1 др у=Но
дх2 h0 ду
= 0. (11)
y=0
Используя условие (7) и закон Дарси (3), представим
9Рг
ду
= - ^ V, (*А,*) = - ^ ^(М), г = 1,2 (12)
ко ко
0
(здесь ^(ж,у) — скорости перетока на границе у = До).
Подставив (12) в (11), получим систему для осредненных давлений
я 2 , , "V ОМ) = 0, г = 1,2. (13)
д х2 коДо
В качестве основной гипотезы примем допущение о том, что вертикальная составляющая скорости фильтрации в верхнем пласте от координаты у зависит линейно:
^(х,у,*) = у, 0 < у < До, г = 1, 2.
До
Тогда закон Дарси (3) запишется в следующем виде:
ко др
—т-у =---о-. (14)
До ду
Проинтегрировав (14) по у, найдем выражения для давлений:
Я(*,у,*) = -£ / ^^у^у + С(*,*) =
ко У До
= _£ ^ у^2 + С,(М), г = 1,2, (15)
ко До 2
где С1(х, у) — произвольные функции своих аргументов.
Производя осреднение соотношений (15) по мощности верхнего пласта, выразим указанные константы через соответствующие средние давления и скорости перетока
//•Д2
Сг(М)= рг(М) + ^ (16)
6 ко
Формулы (15), (16) позволяют найти выражения для давлений в верхнем пласте через соответствующие им средние давления и скорости перетока
РЦх,у,г) = _ ^ ^(М) у22 + Рг(М) + V, (х,*). (17)
Для рассматриваемой модели пласта с малопроницаемой перемычкой вследствие условия кп ^ ко горизонтальная фильтрация в перемычке пренебрежимо мала по сравнению с вертикальным движением.
В рамках этих допущений распределение давлений Рт!г)(ж, у, ¿) в перемычке можно считать линейным по у, т.е.
РПг)(х,у,^) = аг(М)у + Ь (х,£), г = 1,2. (18)
Используя далее условия равенства давлений верхнего пласта и перемычки на поверхности их раздела у = Д0, давлений в водяной и нефтяной зонах на движущейся границе в перемычке у = Д0 + Д(х,у), а также давлений в перемычке и в нижнем пласте на поверхности их раздела у = Д0 + Дп в области 0 < х < х0(г) и замечая, что из формулы (18) аДх,г) = ^г>Дх,г), получим систему трех линейных уравнений с
кп
тремя неизвестными ^1(х, г), Ь1(х, г), Ь2(х, г):
" Р1(х,Д;,г) = Рг(1)(х,у,г)|у=но,
^ ^ г) |у=Но+Н(х,)= Р(2) (Х, У, г) |у=Но+Н(«,4), (19)
Р(2)(х,у,г)|у=но+н„ = р0.
Из системы (19) для скорости перетока вторгшейся воды имеем
Ых,г) = го, г./ ^ .-^^ и . , . Ых,г) - Ро). (20)
(здесь введено обозначение ^21 = ^2/^1). Аналогично решая систему, получающуюся из условий равенства давлений на границах у = Д0 и у = Д0 + Дп в области х0(г) < х < Ь
I
P2(x,ho,t) = Pi2)(x,y,i)|y=h0,
Pn2)(x,y,t)|y=h0+h„ = p0,
(21)
у
находим скорость перетока оттесняемой нефти
v2(x,t) = (3, 3hkn+0 , h ) (P2(x,t) - Po). (22)
^2(3fcohn + knho)
Со следующими обозначениями
2 ( t) = _3k nk0__(23)
ai(x' ) = 3k0[h(x,t) + -21 (hn - h(x,t))] + knh0' ( )
a2(x,t) = ^T—Г^^ (24)
2V ' 3k0hn + knh0
для скоростей перетока получим
1 д Pi
Vi(x,t) = Vi(x, h0,t) = - — -ду (x, h0,t) =
a2
= (pi(x,t) - p0), i = 1, 2. (25)
—i
С учетом (25) уравнения (13) примут вид
- а2(х,г)(р1(х,г) - ро) = 0 (0 <х<хо(г)), (26)
д 2p1(x, t) 2
д x2
- а2(Р2(х, Ь) - ро) = 0 (хо(*) < х < Ь). (27)
д 2р2 (х, Ь) 2
Из известного кинематического соотношения Кельвина
дР дР
"Б7 + Vn = 0
дЬ дп
(здесь Р(х, у, Ь) = 0 — уравнение границы раздела в неявном виде; vn — истинная скорость ее перемещения по нормали к ней) с учетом прямолинейности, а также закона Дарси (3) получим задачи Коши для определения закона движения границ раздела х = хо(Ь) в верхнем пласте
^хо (Ь) ко дР2 . . . .
= - —2 (хо,Ь), х(0) = 0 (28) аЬ дх
и в перемычке
д Д ко дР| ,,,,,, , ч
т— = VI(х, До, Ь) = (х,До,^), Д(х, 0) =0. (29)
Задача (29) после использования равенства (25) запишется в виде
д Д 1
т — = — а2(х,Ь)(р1(х,Ь) - ро), Д(х, 0) = 0, (30)
дЬ
где х — параметр (0 < х < хо(Ь)). Для решения уравнений (26) и (27) используются следующие граничные условия:
Р1 (0, Ь) = Ро1, Рг(-М) = Ро2,
/ /+ч / Л дР1(хо,Ь) дР1(хо,Ь) (31) Р1(хо (Ь),Ь)= Р2(хо(Ь),Ь), ^21-дх-=-дх-.
Однако, задача все еще остается сложной. В частности, не представляется возможным проинтегрировать уравнения (26), (27), не накладывая сильных ограничений на вид функции Д(х,Ь). Чтобы сделать дальнейшие упрощения, будем исходить из двух предельных схем течения, полагая в (23) и (26):
1) Д(х,Ь) = 0, т.е. перемычка заполнена только вытесняемой жидкостью;
2) Д(х,Ь) = Дп, т.е. перемычка насыщена только вытесняющей жидкостью. Первая схема соответствует ускорению продвижения фронта вытеснения хо(Ь) по
сравнению с истинным течением, а вторая — его замедлению. Сравнение решений позволило сделать вывод о разумности такого подхода. Оказалось, что при такой схематизации процесса положение границы раздела Гп в перемычке не влияет на распределение средних давлений в верхнем пласте. В этом случае удается найти распределение давлений в верхнем пласте и найти закон движения границы раздела в нем. После этого из уравнения (30) можно определить форму границы в перемычке.
Для иллюстрации результатов проведены численные расчеты при следующих значениях параметров: Ь = 105 см, = 103 см, Нп = 5 • 102 см, к0 = 1 дарси, кп = 5 • 10-5 дарси, р01 = 80 ат, р0 = 50 ат, ^ = 1 спз, = 3 спз, Т = 1 год. При расчетах значение давления р02 в одном случае полагалось равным р0, в другом — Р0/2.
На рис. 2 изображены кривые, описывающие закон движения фронта вытеснения в верхнем пласте; кривые 1 соответствуют значению р02 = р0, кривые 2 — значению Р02 = Р0/2. При этом здесь и на рис. 3, 4 индексы а и Ь относятся к первой и второй предельным схемам соответственно.
На рис. 3 приведены кривые 1, 2, 3, 4 распределения давлений р в верхнем пласте для случая р02 = р0/2 в различные моменты времени т (т1 = 0,48; т2 = 1, 44; т3 = 1, 92; т4 = 2, 34) и форма границы раздела Гп жидкостей в перемычке для тех же моментов времени.
На рис. 4 приведены кривые 1, 2, 3, 4 распределения давлений Р в верхнем пласте для случая р02 = р0 при т1 = 0, 66; т2 = 1, 95; т3 = 2, 4; т4 = 3, 99 соответственно и форма границы раздела жидкостей в перемычке для тех же моментов времени.
Все переменные на рис. 2, 3, 4 приведены в безразмерном виде, а именно:
* = Ь т = Т' я(*"п = к0,
Г>и Л_Рг(х,Ь) - Р0 р _ Р01 - Р0 р _Р02-Р0 рг (*, т) = -, р01 = -, р 02 = -,
Р0 Р0 Р0
где Т — некоторое характерное для задачи время.
A г D2 -► P 02
'/¡^¡ШШ^Ш! <n7////////////////// mm
Po
▼
Рис. 1
Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что рассмотренные предельные схемы мало отличаются одна от другой, а следовательно, и от истинного процесса, которое заключено между ними. Различие во временах полного вытеснения нефти
1,0
0,5
$0 // // // // //
Па- / / I а II Ь\
16
т
I Ро2=Ро
II Ро2=РО/2
Хр(0
1,0
2,0
3,0
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
водой (рис. 2), соответствующих этим предельным схемам, не превышает 5 %. Следовательно, при оценочных инженерных расчетах можно пользоваться одной из предложенных схем вытеснения в зависимости от свойств вытесняемой и вытесняющей жидкостей и геодезических характеристик рассматриваемых пластов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лурье, М. В., Максимов, В. М. Об одном способе осреднения уравнений многофазной фильтрации при наличии перетоков между пластами // Изв. АН СССР. — МЖГ, 1969. — №. 3. — C. 130-133.
LURIE, M. and MAKSIMOV, V. (1969) On a method of averaging the equations of multiphase filtration in the presence of flows between layers. Izv. USSR Academy of Sciences. 3. p. 130-133.
