Автомодельное решение задачи поршневого вытеснения жидкостей в пороупругой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8:531

Автомодельное решение задачи поршневого вытеснения жидкостей в пороупругой среде*

А.А. Папин, А.Н. Сибин

Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

A Self-Similar Solution of Piston-Like Displacement of Fluids in a Poroelastic Medium

A.A. Papin, A.N. Sibin

Altai State University (Barnaul, Russia)

Рассматривается одномерная математическая модель совместного движения двух несмешива-ющихся жидкостей в пороупругой среде. Данная модель является обобщением классической модели Маскета-Леверетта, в которой пористость считается заданной функцией пространственной координаты. Учет сжимаемости пористой среды является принципиальным моментом. В основе предлагаемой модели лежат уравнения сохранения массы жидкостей и пористого скелета, закон Дарси для жидкостей, учитывающий движение пористого скелета, формула Лапласа для капиллярного давления, реологическое уравнение для пористости и условие равновесия «системы в целом». В пункте 1 дается постановка одномерной задачи и проводится преобразование системы уравнений, записанной в переменных Эйлера. Переход в переменные Лагранжа приводит к замкнутой системе уравнений, которая не содержит скорости твердой фазы. В пункте 2 рассмотрена задача поршневого вытеснения жидкостей в пороупругом грунте. Рассмотрен автомодельный аналог задачи Н.Н. Веригина. В случае специального вида коэффициента фильтрации, зависящего от пористости, для упругой среды получено автомодельное решение задачи поршневого вытеснения жидкостей в квадратурах.

Ключевые слова: двухфазная фильтрация, закон Дарси, насыщенность, пороупругость, переменные Лагранжа.

DOI 10.14258/izvasu(2016)1-27

In this paper, the one-dimensional mathematical model of joint motion of two immiscible fluids in a poroelastic medium is considered. This model is a generalization of the Muskat-Leverett classical model in which porosity is considered to be a given function of spatial coordinates. The consideration of porous medium compressibility is the basic moment. The proposed model is based on the mass conservation equation for liquids and a porous skeleton, Darcy's law for liquids with consideration of a porous skeleton motion, the Laplace formula for capillary pressure, rheological equation for porosity and equilibrium condition "of the system as a whole". Paragraph 1 provides the formulation of the one-dimensional model and the conversion of system of equations written in Euler variables. The transition to Lagrange variables leads to a closed system of equations that does not contain solid phase velocity. Paragraph 2 deals with the problem of piston-like displacement of fluids in poroelastic soil. A self-similar analogue of the Verigin's problem is considered. In case of a porosity dependant special type filtration coefficient, the self-similar solution of the problem of piston-like displacement of fluids in quadrature for an elastic medium is obtained. Key words: two-phase filtration, Darcy's law, saturation, poroelastic, Lagrange variables.

1. Одномерное движение. Рассматривается движение двухфазной несжимаемой жидкости в неоднородном анизотропном грунте с пористостью ф (доля объема среды, приходящаяся на пустоты). Уравнения сохранения массы и импуль-

са в одномерном случае с учетом изменения пористости принимают вид [1-3]

dt^Si д

1, 2,

(1)

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №16-08-00291 и государственного задания Министерства №2014/2.

JJ \ is koi < 0 \

Si4>{ui - из) = -Ко — - Pi9),

Pi

1, 2, (2)

0

д(1 - Ф) д ,, ,, N

dpt.

dx

Ptotg,

(3)

(4)

— =-ai(0)pe-а2(0)(—+м3 —), (5)

P2 - Р1 = Pc(x, s),

(6) (7)

Pe = Ptot - Pf , Ptot = ФPf + (1 - Ф)р8, Pf = S1P1 + S2P2-

Здесь (ж, £) — переменные Эйлера, щ, — скорость и насыщенность фаз (доля пор, занятых г-й фазой), из — скорость твердого скелета, К° — коэффициент фильтрации (функция пористости), р° — истинные плотности фаз (принимаются постоянными), ре — эффективное давление, ргог — общее давление, р/, ря — соответственно давления жидкой и твердой фаз, р^ = = (1 — ф)р3 + ф(в1р° + в2р°) — общая плотность; ах(ф) и а2(ф) — коэффициенты объемной вязкости и объемной сжимаемости горной породы есть заданные функции (модельные зависимости: а.1 (ф) = фт/^(ф) = ф%, где Ь = 1/2, то (Е [0,2], п = 3, р, г/, ¡Зф — положительные параметры пороупругой среды [4,5]); ко» — относительные фазовые проницаемости, — коэффициенты динамической вязкости, pi — давления фаз д — вектор ускорения силы тяжести. При этом к^ должны зависеть от насыщенности поскольку часть порового пространства занята другой жидкостью. По определению, насыщенности si меняются в пределах 0 < в° < < 1 — в° < 1,

г = 3, в1 + в2 = 1, и при достижении значений si = в° движение г-й компоненты прекращается, что обеспечивается выполнением условий Щз?) = 0, г = 1,2.

При заданной пористости уравнения (1), (2), (6) образуют классическую модель Маскета-Леверетта [6,7], математическая теория для которой построена в [8]. Имеется ряд задач, в которых необходимо учитывать деформацию пористой среды (геодинамика нефтегазовых коллекторов [9], внутренняя суффозия [10] и т.д.). В работах [11-14] дано обоснование некоторых однофазных моделей течений в пороупругих средах. Исследованию задач суффозии посвящены работы [15-18] (обзор дан в [19]).

Пусть у = у(£, ж, ¿) — решение задачи Коши

где J(£,t) = £ - якобиан перехода. Система уравнений (1)-(4) в новых переменных имеет вид

дфй' д д

+ = г = 1,2,

Siф(и - из) =

k0i , (1 - Ф) dpi о

-Ко — (

- P°g), i = 1, 2,

Mi 41 - Ф0) д£

Si + s2 = 1, p2 - Pi = Pc (ж, s) = p~c(x)j(s),

Э(1 ~ , (1 - Ф? диз = 0

dt

(1 - Ф0) de

(1 - Ф) д«з /,NdPe

^oy^—aiMfe-aaW-^,

Pe = Ptot - Pf, Pf = sipi + S2P2, (1 - Ф) dPtot

Ptot = (1 - Ф)р° + Ф(S1 p? + S2P°).

Поскольку

(</>«») = з) -

d4 d4 d4

то первые уравнения полученной системы можно привести к виду

1д

(1 - </>) dt

(фsi) +

1 д М) dl

^(из - ui))+

1 , ди3 + --г = 1,2.

(1 — Ф°Г де

Используя уравнение неразрывности для третьей фазы, получим

д, Ф ^ 1

д

dV 1 - ф ' (1 - Ф°) de

(фsi(и - из)) = 0.

Наконец, переходя от (£, ¿) к массовым лагран-

жевым переменным (ж, £) по правилу

«

(1 — ф°(ем = ¿ж, ж(е) = |(1 — ф°(п)Мп

°

и сохраняя затем для переменной ж обозначение ж, получим

d Ф d

^(T^Z^ + TT^^-^)) =0, г = 1,2, (9) dt 1 - ф dx

5С

т-:=и3(у,С), y\c=t = x-

(8)

Положим e = y(Z, x, t)|z=° и возьмем за но-

ъф{щ - и3) = -Ко —((1 - Ф)^ - (Ю)

Mi

вые переменные £ и i. Тогда 1—</>(£, t) = (1— si + s2 = 1, р2 — pi = рс(ж, s) = pc{x)j(s), (11)

(12)

С учетом последнего равенства уравнения (17) примают вид

(1 - = -ал{Ф)Ре - а2(ф)^-,

(1 - ф)

dpt

dx

Ptotg.

(13)

(14)

Фг (ui - U3i) = -Kokoi (1 - фг)

dpi dx

¿>(1 ~ фг) dt

+ (1 - Фг)'

2 du3i dx

<s A\du3i /л.\дРрЛ

Ptot = Р°оМ, pi = P2,

(16)

(17)

(18)

где k0i = koi/ni.

Из соотношения (7) следует

Pei = ptot (t) - Pi .

(19)

Здесь нижний индекс г обозначает, что рассматриваемые функции определены в областях Qi, г = 1, 2. Заметим, что

1 дф d { ф

(1 - ф)2 dt dt \ 1 - ф

Фi

д

dt V1 - фi

du

3i

dx

2. Поршневое вытеснение. Пусть имеется прямолинейная цепочка близко расположенных относительно друг друга скважин, нагнетающих в бесконечный пласт с заданными постоянными давлениями р! жидкость (например воду) с вязкостью Горизонтальный пласт (д = 0) содержит другую жидкость, например нефть с вязкостью ^2, находящуюся под постоянным давлением р2. Выберем ось х направленной перпендикулярно по отношению к линии скважин и ввиду симметрии процесса рассмотрим полубесконечный интервал х € (0, то). Процесс вытеснения нефти водой описывается поршневой моделью [20]. Пусть жидкости несжимаемы (р1 и р2 постоянные), капиллярный скачек равен нулю и преобладают упругие свойства среды (а1(ф) = = 0). Ключевым моментом является переменная пористость грунта. В области х € [0,1) = концентрация воды в! = 1, а концентрация нефти в2 = 0. В области х € (I, то) = ^2 концентрация воды в! =0, а концентрация нефти в2 = 1. Граница раздела воды и нефти х = 1^) определяется в ходе решения задачи. С учетом сделанных предположений система (9)-(14) в областях Qi принимает вид

d ф d

dt{T^) + d^i<l,iiui~U3i)) = 0' г = 1'2' (15)

Используя (17) и (18), получим

1 dфi ,, sdp

= -а2(Фг)

1 - фi dt

dt

В дальнейшем предполагается, что а2(ф) = вфФ и без ограничения общности считаем вф = 1. Тогда из последнего равенства получим

1n|

Фi

1 - фi

■| + Pei = InCi,

(20)

где

1 - ф0

Следует отметить, что равенства (20) приводятся к виду

1

Фi

1 + Ci eP0ot(t)-Pi'

Откуда следует выполнение физического принципа максимума для пористости: 0 < ф-1 < 1. Сложив уравнения (17) и (15), получим

(1 - ф^пзц + фiщ = (21)

Используя (21) и (16), получим соотношение

и3.1 = Б.1 + (1-ф.1)Коко^. (22)

Из (21), используя (22), выразим скорость г-той фазы

(1 - Фг)2 , Эрг

Щ = Пг----К0к0г-Г—-

ф-1 ох

Подставив (22) в (17) и используя (19), (20), получим

фi

d

dt V 1 - Ф,

9 (1 К (АЛЬ Э&

Пусть коэффициент фильтрации имеет специальный вид: Ко(ф) = К; гДе К = const — размерный коэффициент. Тогда предыдущее равенство принимает вид

Фi

d

dt V 1 - фг.

dd к--— I

dx dx 1 - ф

фi

Здесь Ki = Кkoi = const. Положим <i и представим уравнение (23) в виде

(23)

= _Jh_

d(fi dt

d2(fj dx2

(24)

0

0

к

Предполагается, что в начальный момент времени 1(0) = 0, <(x, 0) = = const, (i = 1,2). На внешних границах областей заданы условия:

у>1(0, t) = = const, <2(то^) = <°, (25)

которые согласующиеся с начальными данными. На подвижной свободной границе x = 1(t) должны быть обеспечены условия непрерывности пористости и расходов (скоростей фильтрации Дарси)

<1(1, t) = <2 (1,t),

а также кинематическое условие

di

1 + ^1

dx

<1

(i,t).

(26)

(27)

(28)

У1 =

2A/KIi'

У2 =

Будем искать функции ¥1 (ж,¿), ¥2(ж,¿), ж = /(¿) в виде (^1(2/1), (^1(2/2) и / = слД, где с — пока произвольная константа. Легко видеть, что

d

yi d d

1 d d2

1 d2

<9t 21 dyi' <9ж 2л/Kit cii/j' dx2 Anit dyf и уравнения (24) примут вид

d2 <i , 0 d< —2" + -

= 0, (i = 1, 2).

dy2 dyi

Проинтегрировав эти уравнения, получим

<i = Ai erfyi + Bi,

где функция

erfy

dZ

Aierf(—= ) + = A2erf(—= ) + <p°-A2, (29)

4

__<£_ __<£_

Ai^/itie 4-i = А2л/«2е 4k2 .

----— Ап/кТе

Из (29) и (30) получим

(30)

(31)

Ai =

- с («2—kj)

1 + J^e erf (^-2=) - erf (^-2=)

V «1 ^2-JK^'

A2 =

<2 - <

c^(K2 -Wl)

1 + J^e erf (^-2=) - erf (*-£=)

V «1 ^2-Jk^'

Введем в каждой из областей П1, ^2 автомодельные переменные:

Заметим, что коэффициенты А1, А 2 отрицательны и функции ^ монотонно убывают. Так как > ¥>2, то

¥>1 > ¥1(У1) > ¥1(1) = ¥2(1) > ¥2(У2) > ¥2-

Из предыдущего неравенства получим оценку для пористости

0 < шд = т^-Ьт < & < ттЪт = Мо < 1. (32)

1 +

1 + <2

Из представления (31) следует, что коэффициент с > 0, так как для пористости справедлива оценка (32) и А1 < 0.

Рассмотрим уравнение (31) для нахождения параметра с. Положим

Aia/«I- (33)

есть интеграл вероятности, причем erf(0) = 0, erf (00) = 1. Заметим, что подвижная граница I = суД в автомодельных переменных yi переходит в фиксированные границы уи = с/(2^/Щ) и У2* = с/(2Дъ), а фиксированные граничные точки x = 0, x = то переходят, соответственно, в точки y1 =0, y2 = то. Для определения пяти искомых постоянных Ai, Bi (i= 1,2) и константы c имеется пять условий: в точках y1 = 0, y2 = то выполнены условия (25), два условия непрерывности (26), (27) и кинематическое условие (28). В результате приходим к следующим соотношениям:

B1 = A2 + B2 = ,

Заметим, что при 1 > < > <2 > 0

т.е. функция F(с) меняет знак. Поэтому на интервале (0, то) имеется хотя бы один корень уравнения (31). Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть выполнены следующие условия на начальные данные задачи (23)—(28):

1(0) = 0, ^¿(x, 0) = = const, i = 1, 2, y>1 (0,t) = = const, <£>2 (то, t) = <°, 0 < <2 < < 1.

x

x

У

°

Тогда существует хотя бы одно классическое авто- Таким образом, в работе получено точное ав-модельное решение задачи (23) - (28), которое об- томодельное решение задачи поршневого вытес-ладает свойством 0 < шо < ф-1 < Мо < 1, г = 1, 2. нения жидкостей в пороупругой среде.

Библиографический список

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. - Ч. 1, 2. - М., 1987.

2. Rajagopal K.L., Tao L. Mechanics of Mixtures. — L., 1995.

3. Папин А.А., Подладчиков Ю.Ю. Изотермическое движение двух несмешивающихся жидкостей в пороупругой среде // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — №1/2.

4. Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-Driven Fluid Flow in Viscoelastic Rock // Geodin. Acta. — 1998. — V. 11.

5. Tantserev E., Cristophe Y. Galerne, Podlad-chikov Y. Multiphase Flow in Multi-Component Porous Visco-Elastic Media // The Fourth Biot Conference on Poromechanics. — 2009.

6. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. — М., 1964.

7. Muskat M. The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media. — 1937.

8. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — Новосибирск, 1983.

9. Fowler A. Mathematical Geoscience. Springer-Verlag. — London, 2011.

10. Vardoulakis I. Sand-Production and Sand Internal Erosion: Continuum Modeling // Alert School: Geomechanical and Structural Issues in Energy Production. — 2006.

11. Папин А.А., Ахмерова И.Г., Токарева М.А. Математические модели механики неоднородных сред. — Ч. 1. — Барнаул, 2012.

12. Simpson G., Spiegelman M., Weinstein M.I. Degenerate Dispersive Equations Arising in the Study of Magma Dynamics // Nonlinearity. — 2007. — V. 20.

13. Tokareva M.A. Localization of Solutions of the Equations of Filtration in Poroelastic Medium // Journal of Siberian Federal University. — 2015. — V. 8(4).

14. Abourabia A.M., Hassan R.M., MoradA.M. Analytical Solutions of the Magma Equations for Molten Rocks in a Granular Matrix // Chaos, Solutions and Fractals. — 2009. — V. 42.

15. Кузиков С.С., Папин А.А., Сибин А.Н. Численное исследование профильной задачи внутренней эрозии в межмерзлотном водоносном слое // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — №1/2(85).

16. Golay F., Bonelli S. Numerical Modeling of Suffusion as an Interfacial Erosion Process // European Journal of Environmental and Civil Engineering. — 2010.

17. Wang J., Walters D.A., Settari A., Wan R.G. Simulation of Cold Heavy Oil Production Using an Integrated Modular Approach with Emphasis on Foamy Oil Flow and Sand Production Effects // 1st Heavy Oil Conference. — 2006.

18. Папин А.А., Вайгант В.А., Сибин А.Н. Математическая модель изотермической внутренней эрозии // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — №1/1 (85).

19. Папин А.А., Сибин А.Н. Проблемы математического моделирования внутренней суффозии грунта // Препринт №1/15. — Барнаул, 2015.

20. Веригин Н.Н. О фильтрации растворов и эмульсий в пористой среде // 2-й Всесоюзный съезд по теор. и прикл. мех. : аннот. докл. — М., 1964.