Математическая модель «Поршневого» вытеснения несмешивающихся жидкостей при фильтрации в пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

MATHEMATICAL MODEL OF THE «PISTON» DISPLACEMENT OF IMMISCIBLE LIQUIDS DURING FILTRATION IN A POROUS

MEDIUM

Polozhaenko S. A., Lysenko N. A.

Odessa National Polytechnic University, Ukraine

Abstract. Mathematical model of the front displacement in porous media multicomponent systems, presents filterable immiscible (including abnormal) fluids. In real application tasks it is given a qualitative description of the process of displacement in a multicomponent system with an intermediate agent «piston». Mathematical model of a class of problems of the frontal displacement for multicomponent systems is formulated as a variational inequality and provides a simple numerical implementation.

Keywords: Multicomponent systems, frontal expulsing, «stagnant zone», maximum gradient, mathematical model, variation inequality

MODELUL MATHEMATIC DE DEPLASARE DE TIP "PISTON" A LICHIDELOR NEMISCIBILE iN PROCESUL FILTRARII iNTR-UN MEDIU POROS Polojaenco S. A., Lisenco N. A.

Universitatea Nafionala Politehnica din Odesa, Ucraina Rezumat. Se propune model matematic de deplasare frontala in sistemele multicomponente in medii poroase. Mediile studiate sunt prezentate de catre fluide, care nu se amestec, sunt filtrante (si chiar, anormale). Intr-o aplicatie reala este prezentata o descriere calitativa a procesului de represiune intr-un sistem multicomponent cu un agent intermediar - "piston". Un model matematic de o clasa de probleme frontale de deplasare pentru sistemele multicomponente este formulat ca o inegalitate variationals si ofera o implementare numerica simpa. Keywords: Sisteme multicomponente, depalsare frontala, «zone de depunere pe tais», gradientul de limita, modelul mathematic, inegalitatea variationala.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ «ПОРШНЕВОГО» ВЫТЕСНЕНИЯ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Положаенко С. А., Лысенко Н. А.

Одесский национальный политехнический университет Аннотация. Предложена математическая модель фронтального вытеснения в пористой среде многокомпонентных систем, представленных фильтрующимися несмешивающимися (в том числе аномальными) жидкостями. В условиях реальной прикладной задачи дано качественное описание процесса вытеснения в многокомпонентной системе с промежуточным агентом — «поршнем». Математическая модель класса задач фронтального вытеснения для многокомпонентных систем сформулирована в виде вариационного неравенства и обеспечивает простую численную реализацию. Ключевые слова: Многокомпонентные системы, фронтальное вытеснение, «застойная зона», предельный градиент, математическая модель, вариационное неравенство.

Введение. Ряд технологических процессов, обусловленных фильтрационным движением в пористой среде, характеризуется явлением взаимофильтрации несмешивающихся жидкостей (или, как принято в специальной литературе [1 — 5] — многокомпонентных систем). Типичным примером такого технологического процесса может служить водонапорный режим разработки обедненных нефтяных месторождений [6]. При этом из-за особенностей структуры «скелета» пористой среды или физико-химических свойств (например, повышенного содержания парафинов) нефть может проявлять свойства аномальной жидкости, что находит отражение в наличии предельного градиента давления [7], а также нулевых скоростей фильтрации при ненулевом пластовом давлении [8]. В виду плохой смачиваемости водой «скелета» пористой среды часто наблюдается неудовлетворительный отмыв нефти и, как

следствие, образование «застойных зон» — целиков неотфильтрованной нефти [6, 7]. Нивелировать данное явление позволяет использование промежуточного агента, т.е. жидкости с хорошими смачивающими свойствами (например, поверхностно-активных веществ — ПАВ), которая фильтруется между водой и нефтью, и представляет собой своеобразный «поршень», проталкивающий последнюю и препятствующий образованию неотфильтрованных целиков [9 — 11].

Предложенным к настоящему времени математическим моделям (ММ) «поршневого» вытеснения присуща значительная вычислительная сложность при реализации, что ограничивает их практическое применение. Кроме того, качественно новой, и не нашедшей ранее решения задачей, при изучении фильтрации в пористой среде многокомпонентных несмешивающихся жидкостей, является исследование устойчивости фронтального вытеснения. При этом под устойчивостью фронтального вытеснения в многокомпонентном потоке понимается [12] гладкость границы раздела диффундируемых компонент.

Предложим относительно простую в вычислительной реализации ММ «поршневого» вытеснения для многокомпонентных фильтрующихся систем, а также рассмотрим решение задачи устойчивости фронтального вытеснения. Будем предполагать, что некоторые из фильтрующихся компонент имеют аномальный характер, т. е. их диффузия характеризуется законом с предельным градиентом давления [12, 13]. Также покажем, что исследование гладкости границы раздела диффундирующих (фильтрующихся) компонент может быть использовано при решении задачи на образование «застойных зон».

Цель работы. Разработка класса математических моделей (ММ) процессов фильтрации многокомпонентных аномальных жидкостей на примере процесса вытеснения в многокомпонентной системе с промежуточным агентом — «поршнем».

Основная часть. Вначале выполним качественное описание процесса фильтрации многокомпонентных аномальных жидкостей при вытеснении одной жидкости другой, а затем разработаем ММ данного процесса в виде вариационного неравенства.

1. Качественное описание процесса вытеснения в многокомпонентной системе с промежуточным агентом — «поршнем». Условием, определяющим границу раздела диффундирующих компонент в случае совместной фильтрации двух несмешивающихся жидкостей, может служить «скачек» насыщенности в функции Баклея-Леверетта [12, 14, 15]

Т (о) = к1° (01) (1)

(5,) + Ц2 ¿2°(02) , ()

где (о1) и к°(о2) — относительные фазовые проницаемости для фильтрующихся жидкостей; ц и ц2 — их вязкости; 5 и 02 насыщенности порового пространства фильтрующимися жидкостями, соответственно.

«Скачек» насыщенности в (1) определяется соотношением к° (о ) = 0 (о1 < 5*), вызываемым наличием у вытесняемой компоненты напряжения сдвига т , где 5 и т — соответственно предельные значения насыщенности и напряжения сдвига.

Экспериментально установлено [12], что фронт вытеснения продвигается устойчиво, если подвижность вытесняющей компоненты не превышает подвижность вытесняемой компоненты

к1(51) < к2 (52 ) . (2)

Деление (2) на скорость диффузии ш (в частном случае пластовых систем — скорости фильтрации) приводит к более общему и удобному виду

>о, >о, (3)

где р(г, 7) задает внутрипластовое (усредненное) давление для фильтрующихся жидкостей; р (б) — капиллярное давление, обусловленное наличием различных скоростей фильтрации для жидкостей в многокомпонентной системе; ^ — нормаль к градиенту внутрипластового давления р(г, 7).

В противном случае скорость отмыва вытесняемой компоненты выше скорости изменения насыщенности вытесняющей компоненты, что приводит к образованию «застойных зон» [12, 13]. Иными словами, вытесняемая компонента «отступает» медленнее, чем продвигается вытесняющая компонента, что физически и определяет механизм образования «застойных зон».

Рассмотрим фронтальное вытеснение с предельным градиентом несмешивающихся компонент со «скачком» насыщенности на фронте вытеснения. Пусть за и перед фронтом вытеснения насыщенность вытесняющей компоненты Б2 имеет постоянные значения и < соответственно. А фронт вытеснения при этом перемещается в сторону положительного изменения градиента насыщенности с постоянной (для простоты рассмотрения) скоростью

ш = Ш. * Б)-* &)

ш =

1 _

2 °2

т -

где ш — скорость фильтрации, обусловленная действием внутрипластового давления р(г,х) (по закону Дарси [14, 15]); т — пористость среды, в которой происходит фильтрация.

Пусть также в момент времени г= 0 поверхность фронта вытеснения есть плоскость г X) = Н0, г = 1,2. Нарушение устойчивости фронтального вытеснения учтем в виде нестационарных возмущений, нарушающих постоянство насыщенностей в областях распространения фронта и искажающих его гладкость, что отразится следующим образом

г(х,,г)=»о(г); г = 1,2, (4)

где х — соответствуют координатам в невозмущенной плоскости фронта.

Известны [13] уравнения двухфазной фильтрации с предельным градиентом О, описывающие процесс фильтрации при отклонении от закона Дарси

_ ^ У

§гаё(р 8гаёр); ) >О],

ш ] = о; \grad (р )< О]; ] = 1,2, (5)

а также уравнения неразрывности (случай двух фильтрующихся жидкостей)

^(р .)_ (_ 1)т^ = °; у = 1,2. (6)

Уравнения вида (5) и (6) в предположении малости возмущений линеаризуются. Граничные условия (ГУ) на возмущенной поверхности фронта вытеснения (4), выражающие равенство давлений перед и за фронтом вытеснения, а также расходов

Ц = _ ^ ); ^ = «й^ _ О/ )

определены на невозмущенной поверхности фронта вытеснения н0.

Для гладкости границы раздела потребуем ограниченность возмущений на поверхности н0. Тогда для определения возмущений скоростей, давлений и насыщенности получим следующие выражения (в приведенных ниже выражениях возмущения соответствующих величин обозначены знаком тильда, а невозмущенные величины обозначены индексом 0 )

р =_Щ^)^0(оу) 8тор) О 8то(р) " \grad\Pj) _

\gradр)> Оу ,

Шу= 0; ^гаоЩ< Оу; у = 1,2, (7)

с ГУ, учитывающими возмущения на поверхности фронта F(zi) = Н0; г = 1,2

оад >0, > 0; г = 1,2, (8)

= _ Б?); у = 1,2. (9)

Следует обратить внимание, что выражения динамики (7) составлены из предположения совместного движения двух аномальных компонент. Таким образом, формулировка задачи об устойчивости фронтального вытеснения фактически сводится к определению возмущений насыщенности («скачку» насыщенности) из системы (7) с ГУ (8), (9).

Из практических приложений задачи на устойчивость фронтального вытеснения можно привести следующее. В нефтепромысловой практике часто используется вытеснение с применением промежуточного агента [12, 16 — 18], когда «поршень» из пены или полимера (которые являются хорошим вытеснителями) проталкиваются водой. При таком двойном «поршневом» вытеснении существуют два фронта вытеснения. В данном случае, если на границе «нефть — промежуточный агент» будет обеспечено условие устойчивости фронтального вытеснения (2) или (3), то тем самым будет обеспечена гладкость границы раздела диффундируемых компонент и, как следствие, маловероятно образование «застойных зон» в области, занятой нефтью. Последнее обстоятельство определяет повышение нефтеотдачи продуктивного пласта. При этом нет необходимости обеспечивать гладкость фронта вытеснения «промежуточный агент — вода» (т.е. возможен отмыв и образование «застойных зон» в области, занятой промежуточным агентом). Как и в случае двухкомпонентных смесей, возмущающими функциями здесь будут расходы в скважинах.

Физически картину «поршневого» вытеснения можно пояснить следующим образом. Равенство скоростей фильтрации (вытеснения) обеспечивается при равенстве

вязкостей граничащих компонент. Иными словами, если для вязкостей вытесняемой нефти и промежуточного агента ¡и3 выполняется условие и « ц3, то данные компоненты будут фильтроваться с одинаковой скоростью (т.е. выполняется условие (2)). Следовательно, закачка ограниченного количества промежуточного агента создает «поршень», который на границе «нефть — промежуточный агент» создает равные условия фильтрации для обоих компонентов. Тем самым, обеспечивается гладкость границы их раздела, и, как следствие — отсутствие «застойных зон».

2. Формализация задачи фронтального «поршневого» вытеснения для многокомпонентных смесей в виде вариационного неравенства. Сформулируем ММ процесса «поршневого» вытеснения. Запишем для плоского случая (г = 2) уравнения динамики вида (5) и (7) соответственно для вытесняемой компоненты (индекс 1 у переменных), вытесняющей компоненты (индекс 2 у переменных) и промежуточного агента — «поршня» (индекс 3 у переменных) с учетом «скачка» насыщенности в функции Баклея-Леверетта (опуская для простоты записи параметры у функций)

т д Б1 к1 р1

д г М-1

т д Б2 к2 Р2

д г

т д Б3 кз Рз

дг

л Б )[1 - 51 «1 с

I г =1 д Р

дГ

ар

аБ.

др арс дгг а 5

К2

и

1 К1

=1ЕЕ с &

1 К 2 =11 с А

}=1

Из

л (б, )[1 - Бз^з ]|£

д 2

1=1

др ар„

аБ^

■ = 0.

(10) (11) (12)

Начальные и граничные условия примут вид

Б, (0,2) = Б, (2), I = 13

д р д^

> 0,

д рс (53 ) д^

>0.

(13)

(14)

Граничные условия (14) определены только для интересующей границы Г «вытесняемая компонента — промежуточный агент», поскольку для нее предполагается определение устойчивости фронтального вытеснения (т.е. отсутствие образования «застойных зон»). При этом продвижение «поршня» в виде промежуточного агента будем фиксировать по скачку насыщенности Б3 (г, 2) в функции Баклея-Леверетта. Переменные, входящие в выражения (10) — (14) описаны ранее.

Как отмечалось выше, фильтрующиеся жидкости в многокомпонентной системе могут проявлять аномальный характер. Адекватной формой учета «аномальности» фильтрующихся жидкостей (т.е. отклонение от линейного закона Дарси) является формализация задачи в вариационной постановке [10, 11, 13]. Тогда, для приведения исследуемой задачи к вариационной форме (вариационному неравенству) введем в рассмотрение пробную функцию V, по физической природе аналогичную функциям насыщенности Бг(г,2) (г = 1,з), и определенную на множестве К : Vv е К, К = > 0 п.в. в

о}. Скалярно умножим (10) и (12) соответственно на (V- Б) и (V- Б). Далее, применив, к преобразованным таким образом выражениям (10), (12) функцию Грина, получим

т д Б]

д г

(V - Б! )-{^ Л Б ){1 - Б! ^ Е

о и

д2р д(у - Б;)

д 2 2

д г,-

орс о (у _ 0)' д!

0 г.

•Ог = — й

1 К

й 2 «е+/

п 1=1 г

001 -(у _ 01)

ОГ, Уу, 01 е К ,

чд 03

(у _ 03 )_| ^ Т (03^ _ 03 О3 2

□ ц3

ОРС д 03 д(у _ 03) д 2 д

д2Р д(у _ 0 )

=

тт1 -(у _ 03)

д 2г2 д 2 г

ОГ, Уу, 03 е К .

(15)

(16)

Выполняя в (15), (16) замену переменной у на (_ у) запишем новую систему с учетом уравнения (11) для вытесняющей компоненты

т д 01 д /

(у _ 01 )_| ^ Т (01 )|[1 _ 01О1 £

□ Ц I 7=1

0РС д01 д(у _ 01)' О 01 д д

+| ¿1а т & )][1 _ 0Х о]-

□ М1 [

д2Р,

д 22

о ^ Т 0 )|[1 _ 0 Ох].

д2 Р,

а!21

-Ог >

1 К1

>1, Уу, 01 ек.

1=1

т д02 к2 р2 ^^ д

д/

-гд 03

~дГ

Ц2

7 =1 ^

д Р ОРп

дг,- О 09

(у _ 03)_| ^ Т (03 )1[1 _ 03 О3 £

□ ц3

1 К 2

=а 2 «е

ОРС д 03 д(у _ 03) О03 д г д

+ | ^ Т (03 )][1 _ 03 О3 ].

□ I

д 2Р,

а!21

О ^ Т (03 )|[1 _ 03 О3 ].

д 2Р

др0'1

+

О >

(17)

(18)

(19)

> 0 Уу, 0 е К .

Выражения (17) — (19) дополняются начальными (13) и граничными (14) условиями. Таким образом, (17) — (19), (13), (14) представляет собой ММ «поршневого» вытеснения для многокомпонентной системы.

На каждой из границ «вытесняющая компонента — промежуточный агент» и «промежуточный агент — вытесняемая компонента» выполняются соответственно очевидные условия 02 = (1 _ 0) и 0 = (1 _ 0). С учетом данных соотношений выражения (17) — (19) сводится к виду

тд03 д/

(у _ 03 )-Г ^ т (03 ио 2

□ I 7=1

ОРС д03 д(у _ 03)' О03 дгг- дгг

+| Т (03 )к Ог

д 2Р, 1

_

| ^ Т (03 )]03 О1.

□

д 2Р

дР03

>

1 К1

> 12«е yу,°1 е К ,

П у = 1

т д03 ¿2 Р2

д /

ц2

т (03 )] 2 -д-

1 • / д г,-

1 г =1 г

дР ОР^

д г

1 К 2 ■=12«^

у=1

т д 0-

д /

(у _ 03 )_| ^ Т (03 )][1 _ 03 О3 ]2

□ Ц3 [ ^

г =1

Ор д03 д(у _ О)

О03 д

д г,-

+

(20) (21)

г=1

Г

у

г =1

у

у

J ^ J (S3 )|[1 - S3 G3 ]•

о ^3 I

д 2P,

a*2"1

>dZ-J J (S3 )J[1 - S3 G3 ].

> 0 Vv, S1 e K .

д 2P

SP S'l

-dz >

v

Вариационные уравнения (20) — (22) описывают динамику многокомпонентной системы и, в совокупности с начальными (13) и граничными (14) условиями, представляют собой ММ процесса вытеснения с промежуточным «агентом».

Вывод. Предложены математические модели задачи «поршневого» вытеснения при фильтрационном движении несмешивающихся жидкостей для случаев как идеальных жидкостей (подчиняющихся линейному закону Дарси), так и аномальных жидкостей (т.е. нарушающих линейный закон Дарси). Численная реализация указанных математических моделей осложнена необходимостью решения системы из трех дифференциальных уравнений (или неравенств — в случае аномальных жидкостей). При этом показана возможность упрощения исходной задачи (на примере вариационной постановки) путем сведения ее к двум более простым задачам, которые можно решать последовательно, что значительно облегчает численную реализацию.

Литература

[1] Saez A. The effective homogeneous behavior of heterogeneous porous media / A. Saez, C. J. Otero, I. Rusinek // Transport in porous media. — 1989, № 4. — P. 212 — 238.

[2] Tretheway D. Effects of absolute pressure and dissolved gases on apparent fluid slip in hydrophobic microchannels / D. Tretheway, S. Stone, C. Meinhart // Bulleten of American Physical Society. — 2004. — V. 49. — P. 215 — 223.

[3] Barrat J. L. Large slip effect at a nonwetting fluid-solid interface / J. L. Barrat, L. Bocquet // Physical Review Letters. — 1999. — V. 82. — P. 4671 — 4674.

[4] Tretheway D. Apparent fluid slip at hydrophobic microchannel walls / D. Tretheway, C. Meinhart // Physics of Fluids. — 2002. — V. 14. — P. 9 — 12.

[5] Tretheway D. Analysis of slip flow in microchannels / D. Tretheway , X. lui, C. Meinhart D. // Proceedings of 11* International Symposium "Applications of Laser Techniques to Fluid Mechanics", 8 — 11 July 2002, Lisbon, Portugal.

[6] Quintard M. Two phase flow in heterogeneous porous media: the method of large-scale averaging / M. Quintard, S. Whitaker // Transport in porous media. — 1988, № 3. — P. 357 — 413.

[7] Muller R. J. Threshold gradient for water flow in clay systems. — Soil Sci. Soc. Ann. Proc., 1963, V. 27, P. 605 — 609.

[8] Enevoldsen J. Pressure Drop Through Gravel Packs / J. Enevoldsen, H. K. Rasmusen, A. Seasen // Annual Transactions of the Nordic Rheology Society. — 1995. — V. 3. — P. 45 — 47.

[9] Chauveteau G. Rodlike Polymer Solution Flow Through Fines Pores: Influence of Pore Size on Rheological Behavior // Journal of the Rheology. — 1982. — V. 26(2). — P. 111 — 142.

[10] Mauersberger P. A varitional principle for steady groundwater flow with a free surface. — Pure and Appl. Geophysics, 1965, V. 60. P. 101 — 106.

[11] Mauersberger P. The use of varitional methods and of error distribution principles in groundwater hydraulics. — Bull. Int. Ass. Sci. Hydrology, June, 1968, V. 13, № 2. — P. 169.

[12] Бернадинер М. Г. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей / М. Г. Бернадинер, В. М. Ентов. — М.: Наука, 1975. — 199 с.

[13] Верлань А. Ф. Математическое моделирование аномальных диффузионных процессов / А. Ф. Верлань, С. А. Положаенко, Н. Г. Сербов. — К.: Наукова думка, 2011.

— 416 с.

[14] Азиз Х. Математическое моделирование пластовых систем / Х. Азиз, Э. Сеттари.

— М.: Недра, 1982. — 406 с.

[15] Кричлоу Генри Б. Современная разработка нефтяных месторождений. — М.: Недра, 1979. — 302 с.

[16] Ахметов И. М. Применение композитных систем в технологических рперациях эксплуатации скважин / И. М. Ахметов, Н. М. Шерстнев. — М.: Недра, 1989. — 213 с.

[17] Мелик-Асланов Л. С. Нефтеотдача при вытеснении нефти из пласта водой. — Баку: Азернешр, 1989. — 108 с.

[18] Вахитов Г. Г. Особенности вытеснения водой нефтей с вязкоупругими свойствами / Г. Г. Вахитов, А. Х. Мирзаджанзаде, В. М. Рыжик // Нефтяное хозяйство.

— 1977, № 4. — С. 38 — 41.

Сведения об авторах.

Положаенко Сергей

Анатольевич, Одесский Национальный политехнический университет, заведующий кафедрой «Компьютеризированные системы автоматики» доктор технических наук, профессор. Область научных интересов:

математическое моделирование, идентификация и управление технологическими процессами.

E-mail: polozhaenko@mail.ru

Лысенко Наталья Алексеевна, Одесский Национальный политехнический университет, аспирант. Область научных интересов: математическое моделирование и управление технологическими процессами. E-mail: rosenrotta@gmail.com