Моделирование двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей в пористой гидрофильной среде Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 532.546:622.276.6

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ ГИДРОФИЛЬНОЙ СРЕДЕ*

Дмитрий Сергеевич Евстигнеев

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, аспирант, лаборатория силовых электромагнитных импульсных систем, тел. (383)335-94-45, e-mail: dima503@pochta.ru

Андрей Владимирович Савченко

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории силовых электромагнитных импульсных систем, тел. (923)245-75-50, e-mail: sav@eml.ru

Приведены результаты лабораторных исследований по вытеснению керосина водой из пористого гидрофильного образца. Положение фронта вытеснения определялось путём распила образца в фиксированный момент времени и сопоставилось с решением полученным в рамках модели Бакли-Леверетта. В качестве входных параметров модели для расчёта принимались: пористость, проницаемость, относительные фазовые проницаемости гидрофильного материала из которого был изготовлен образец.

Ключевые слова: двухфазная фильтрация, гидрофильная пористая среда, относительные фазовые проницаемости, модель Бакли - Леверетта.

MODELING TWO-PHASE IMMISCIBLE FLUID FLOW IN POROUS HYDROPHILIC MEDIUM

Dmitry S. Evstigneev

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Postgraduate, Laboratory for Power Electromagnetic Impulse-Forming Systems, tel. (383)335-94-45, e-mail: dima503@pochta.ru

Andrey V. Savchenko

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Ph. D., Eng, Senior Researcher, Laboratory for Power Electromagnetic Impulse-Forming Systems, tel. (923)245-75-50, E-mail: sav@eml.ru

The paper reports the laboratory research into water displacement of kerosene from porous hydrophilic specimen. The displacement front was positioned by cutting the specimen at the fixed time and the result matched with the solution obtained in the framework of the Buckley - Leverett model. The input parameters for the model were assumed to be porosity, permeability, relative phase permeabilities of the hydrophilic material the specimen was made of.

Key words: two-phase flow, hydrophilic porous medium, relative phase permeabilities, Buckley - Leverett model.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований № 15-05-08824а и 14-05-31395-мол_а.

Эксплуатируемые в настоящее время нефтяные месторождения со временем уменьшают свою нефтеотдачу, особенно на поздних стадиях разработки. Возникает необходимость внедрения новых технологий повышения нефтеотдачи, основанных на фундаментальных достижениях геомеханики и техники и в получении новых знаний о физико-химических процессах проходящих в продуктивных пластах и вмещающих их породах.

Остаточная нефть в пластах может удерживаться в виде: рассеянных ганглий, защемлённых в породе; тонкой плёнки на стенках капилляров и трещин; не вовлеченных в разработку нефтенасыщенных зонах - целиках, находящихся в слагающих нефтяной пласт геоблоках, окруженных по периметру системой трещин. Возникает необходимость определить размеры целиковых зон, количество нефти в них, проследить процесс их формирования. При составлении математической модели нестационарной фильтрации в блочных средах, необходимо задать фильтрационные параметры геоблоков. С этой целью были проведены лабораторные исследования, в результате которых были определены коэффициенты: пористости, абсолютной проницаемости, относительные фазовые проницаемости по керосину и воде на гидрофильном образце. Затем был проведён эксперимент по стационарной фильтрации несмешивающихся жидкостей - воды и керосина, в ходе которого определено положение фронта вытесняющей водной фазы на заданный момент времени. Если экспериментально определённые параметры фильтрации определены правильно, то в рамках модели Бакли-Леверетта можно решить задачу и получить положение фронта водной фазы на заданный расчётный момент времени. Сопоставив расчётное время и время полученное в ходе проведения эксперимента по вытеснению керосина водой, а также расчётное и экспериментально определенное положение фронта водной азы можно судить о том на сколько верно определены фильтрационные параметры образца.

Постановка задачи.

Рассмотрим упрощённую модель двухфазной изотермической фильтрации несмешивающихся жидкостей - модель Бакли-Леверетта. Предположим, что фазы (воды, нефти, а также скелета/пор) несжимаемы, тогда уравнения баланса масс для каждой из фаз имеют вид:

т дя/д? + ж = 0

г (1

-т дя/ д? + ж2 = 0

где т - коэффициент пористости, я = я^ - водонасыщенность, яо - нефтена-

И

сыщенность (я^ + яо = 1 ^ яо = 1 -я^ ^ дяо/д? = д(1 -я^)/д? = -дя„/д?), Ж1 -

и

вектор скорости фильтрации вытесняющей фазы, т.е. воды; Ж2 - вектор скорости фильтрации вытесняемой фазы, т.е. нефти.

Для каждой из фаз считается справедливым обобщённый закон Дарси для скоростей, без учета гравитационных и капиллярных сил:

и

ж = -к (я)¡ц • §гаё р, I = 1, 2 (2)

где k - абсолютная проницаемость пласта; г - коэффициенты динамической вязкости воды и нефти, которые считаем постоянными гГ = const; kw (s), к0 (s) -

фазовые относительные проницаемости для воды и нефти определим по модели Кори:

kw (s) = kl [(s - s„cV(l" So,." sJJ (3)

ko (s ) = k0 [[1 - s„ - s)/(l - so, - s„ ft (4)

где к0 - относительная проницаемость по воде при остаточной нефтенасыщен-ности, к0 - относительная проницаемость по нефти при остаточной водонасы-щенности, s - водонасыщенность, s - насыщенность связанной водой, s -насыщенность остаточной нефтью, a, fi - экспоненциальные значения относительной нефте- или водопроницаемости (экспоненты Кори).

Сложив в (1) первое и второе уравнения почленно, получим:

div (l +12 ) = 0. (5)

Уравнения (1-5) замыкают систему относительно водонасыщенности и давления. Для решения системы (1-5) необходимо задать:

Начальные условия: при t = 0: s = s0 (x) (водонасыщенность), p = p0 (x) (поровое давление).

Граничные условия: при x = 0: s = s0(0,t), p = p°(0,t) водонасыщенность и

давление на нагнетательной стороне образца; при x = L: p = pL (L), pz < p0 (давление на эксплуатационной стороне образца).

Предполагая процесс фильтрации стационарным [1], т.е. с заданными постоянными величинами давления на нагнетательной и эксплуатационный границе образца, введем потоковую функцию Бакли-Леверетта [2]:

F (s) = lJl = kw (s)/kw (s) + r0ko (s) , Г =rwho , 1 = lw + lo . (6)

Скорости каждой из фаз в (2) примут вид:

Ww = F (s) l(t), Ww =(1 - F (s)) w(t) (7)

Подставляя (7) в первое уравнение в (1) получим квазилинейное уравнение первого порядка в консервативной форме:

ds/ dr + dF (s)/dx = 0. (8)

где r = 1J w(t)dt < 0 - суммарный объем фаз, "прокаченный" за время t.

Для решения (8) необходимо задать начальное распределение водонасыщенности и граничное условие на нагнетательной стороне образца. Решение задачи стационарной фильтрации.

Для нахождения точного решения задачи (8) введем новую координату x = X(s, r) макрочастицы, которая в момент времени r имеет насыщенность s.

Начальное положение этой частицы обозначим через x° = X(s,0). Дифференцируя тождество x = X(s(x,r),r) по x и по r, получим:

дХ дя

л дХ дя дХ 0 =--+ —

дя дх дт дт дт Используя эти выражения (8) приводится к виду [1]: дХ/ дт = Е '(я). (9)

Общим интегралом, которого будет функция: X (я,т) = тЕ' (я) + х0(я). (10) В общем случае неявное уравнение (10) решается известными методами [3, 4]. Мы будем пользоваться методом Ньютона-Рапса из [4]. Начало системы координат можно выбрать так, чтобы х° (я) = 0.

Общее решение (8) можно записать в виде решения неявного уравнения (10) и условия сопряжения на границе интерфейса:

ГХ(я, т) = тЕ'(я), т > 0, я е[0, ^ ]

я =

Ух > х/, т> 0.

(11)

где ^ - водонасыщенность на фронте разрыва, положение которого определяется координатой х .

Значение водонасыщенности на фронте разрыва ^ можно получить решив

трансцендентное уравнение: = Е()-Е(^) ^Е'), (12)

я - водонасыщенность в точке х .

Вычислим положения фронта водной фазы при двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей (вода/керосин) для реального гидрофильного образца цилиндрической формы.

В качестве входных параметров примем следующие величины: d = 30 мм - диаметр цилиндра; Ь = 90 мм - длина цилиндра; р 0(0, ^) = 22540 Па - давление на нагнетательной стороне образца, /?°(Х,0 = ОПа - давление на эксплуатационной стороне образца (считаем, что жидкости истекают при атмосферном давлений), % = 1,5 мПас - вязкость керосина, ^ = 0,89 мПа-с - вязкость воды (при температуре 23°С и минерализации ШС1 30 г/л), коэффициенты пористости т, абсолютной проницаемости образца к, относительные фазовые проницаемости по керосину и воде К ( я ), к№ (я) были определены на специализированном стенде «ПИК-ОФП/ЭП».

Определим по (6) потоковую функцию Леверетта Е (я) и её производную Е' (я) рис. 1.

Найдём точку перегиба графика функции Леверетта Е(я) как показано на рис. 1,

и тем самым определим значение водонасыщенности на фронте ^. Имея ^ можем определить из (11) положение фронта водонасыщенности ^ в различные

моменты безразмерного времени т. Переход от безразмерного времени т к размерному ^ осуществим по формуле ^ = (т / м')-т. Результаты расчётов для различных параметров х, ,т приведены в табл. 1 и на рис. 2.

Таблица 1

Результаты расчётов положения фронта водонасыщенности х^-в различные моменты времени

Координата фронта Расчётное

№ водонасыщенности, х^ Безразмерное время, т время с

1. 0,25 0,09 69

2. 0,5 0,18 138

3. 0,75 0,27 208

4. 1 0,36 277

0.25 0.5 0.75 1

11111 1........ 1 1

........[......""1""" [ [ * 1 [ 1 1

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 I Л Рис. 2. Профиль водоносыщенности ^ (доли ед.) в различные моменты безразмерного времени т

Сопоставление численного эксперимента с результатами физического моделирования.

Приведём результат распила пористого гидрофильного образца на момент расчётного времени 265 с, до прорыва водной фазы. Параметры образца приведены выше и приняты в расчётах для определения положения фронта водонасыщенности х/.

Как видно из рис. 3 положение фронта водонасыщенности х/ совпало с

расчётным значением, расчётное время и время проведения эксперимента также совпали с точностью до нескольких секунд, требуемых для распила образца, следовательно экспериментально определённые параметры фильтрации (коэффициенты т, к, ко (^), (^)) определены верно. Расчетный профиль распределение водонасыщенности позволяет определить не только положение фронта

водонасыщенности ^, но и распределение керосинонасыщенности вдоль общего направления фильтрации в любой момент времени.

Ч

0.95

1ильтрации

а -i. t

Ib

S.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Xf I

X

Рис. 3. Результат вытеснения керосина водой из гидрофильного пористого образца

Заключение. Результаты численного моделирования упрощённой модели стационарной фильтрации в рамках задачи Бакли-Леверетта и эксперимента по вытеснению керосина водой из гидрофильного пористого образца подтверждают, что параметры фильтрации, такие как коэффициенты: пористости, абсолютной проницаемости, относительные фазовые проницаемости по керосину и воде определены правильно и могут быть использованы в дальнейшем при численном моделировании плоской задачи фильтрации из геоблока, окружённого по периметру лабиринтной трещиной с целью определения "целиков" - неподвижных, капиллярно запертых зон, находящихся в динамическом равновесии с обтекающих их флюидом.

1. Евстигнеев Д.С., Савченко A.B. Решение задачи стационарной фильтрации несмеши-вающихся флюидов в трещиновато-блочной структуре с учетом капиллярных сил. // Сб. материалов X Междунар. науч. конф. «Недропользование. Горное дело. Направление и технологии поиска, разведки и разработки месторождений полезных ископаемых. Геоэкология» в 4 т. - Новосибирск: СГГА. - 2014. - Т. 4, С 85 - 92.

2. Данаев Н.Т., Корсакова Н.К., Пеньковский В.И. Массоперенос в прискважинной зоне и электромагнитный каротаж пластов. - Алма-Ата: Казахский ун-т. - 2005.

3. Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. - М.: ИЛ. - 1963.

4. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery Numerical Recipes 3rd Edition: The Art of Scientific Computing. Cambridge. - 2007, p.1262

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

© Д. С. Евстигнеев, А. В. Савченко, 2Q15