Численное решение задачи нестационарной фильтрации несмешивающихся жидкостей в трещиновато-блочной структуре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ В ТРЕЩИНОВАТО-БЛОЧНОЙ СТРУКТУРЕ*

Дмитрий Сергеевич Евстигнеев

Институт горного дела им. Н.А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, аспирант, лаборатория силовых электромагнитных импульсных систем, тел., e-mail: dima503@pochta.ru

Борис Ферапонтович Симонов

Институт горного дела им. Н.А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, д.т.н., зав. лабораторией силовых электромагнитных импульсных систем, тел. (383)217-01-26 , e-mail: simonov_bf@mail.ru

Андрей Владимирович Савченко

Институт горного дела им. Н.А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, к.т.н., н.с., лаборатория силовых электромагнитных импульсных систем, тел. (383)217-01-26, e-mail: av_sav@ngs.ru

Валентин Иванович Пеньковский

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, просп. Академика Лаврентьева, 15, д.ф-м.н., лаборатория фильтрации, тел. (383)333-25-99, e-mail: penkov@hydro.nsc.ru

В статье приводится решение задачи одномерной нестационарной фильтрации в рамках модели Бакли-Леверетта без учета капиллярных сил. Для аппроксимации уравнений задачи Бакли-Леверетта, в переменных давление-насыщенность, используется явная конечноразностная схема 4-го порядка точности для водонасыщенности [6,7] и неявная итерационная схема для давления [1]. Численное решение стационарной задачи сопоставляется с точным решением, которое воспроизводится как решение неявного уравнения [3].

Ключевые слова: двухфазная фильтрация, остаточная нефть, модель Бакли-Леверетта.

NUMERICAL SOLUTION TO THE PROBLEM OF UNSTEADY FILTRATION OF IMMISCIBLE FLUIDS IN A JOINTED BLOCK STRUCTURE*

Dmitry S. Evstigneev

N.A. Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Krasny Prospect 54, 630091, Russia, Novosibirsk, postgraduate, Laboratory for Power Electromagnetic Pulse Systems, Phone: (383)335-94-45 , e-mail: dima503@pochta.ru

Boris F. Simonov

N.A. Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Krasny Prospect 54, 630091, Russia, Novosibirsk, Dr. Tech. Sci., Head, Laboratory for Power Electromagnetic Pulse Systems, Phone: (383) 217-01-26, e-mail: simonov_bf@mail.ru

Andrey V. Savchenko

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований № 11-05-00934-а, 12-05-31408-мол_а.

N.A. Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Krasny Prospect 54, 630091, Russia, Novosibirsk, Cand. Tech. Sci., Researcher, Laboratory for Power Electromagnetic Pulse Systems, Phone: (383) 217-01-26, e-mail: av_sav@ngs.ru

Valentin I. Penkovsky

M.A. Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Academic Lavrentiev Pr. 15, 630090, Russia, Novosibirsk, Dr. Phys.-Math. Sci., Filtration Laboratory, Phone: (383) 333-25-99, e-mail: penkov@hydro.nsc.ru

The authors set forth the solution to the 1D unsteady filtration problems in terms of Buckley-Leveret model disregarding capillary forces. The explicit finite difference of the fourth precision order for water saturation and the implicit iteration scheme for pressure are used in the pres-sure-saturation variables to approximate equations of Buckley-Leveret problem. The numerical solution to the stationary problem is compared to the accurate solution, written as an implicit equation solution.

Key words: double phase filtration, residual oil, Buckley-Leveret problem.

В работе [4] рассматривается проблема вовлечения целиков с остаточной нефтью в общий процесс фильтрации путем вибровоздействия на нефтяные пласты в неоднородных коллекторах. Предполагается, что при этом происходит изменение структуры коллектора, приводящее к изменению путей фильтрации флюида и, как следствие, происходит разрушение целика и вовлечение нефти в общий поток. Также в работе [4] указывается на то, что разрушившийся целик оказывает влияние на другие целики, донасыщая их нефтью, что может привести их к последующему разрушению (эффект домино). В этой работе мы рассмотрим, в рамках модели Бакли-Леверетта, процесс донасыщения целика дополнительной нефтью и учтём влияние вибрации, как вариации давления на нагнетательной стороне целика.

1. Постановка задачи. Рассмотрим упрощённую модель двухфазной изотермической фильтрации несмешивающихся жидкостей. Предположим, что фазы (воды, нефти, а также скелета (пор)) несжимаемы, тогда уравнения баланса масс для каждой из фаз имеют вид:

mdsl dt + divvt, = О

, • (!)

—т ds/ dt + div w2 = 0

где m - коэффициент пористости, s = sw - водонасыщенность, s0 - нефтенасы-щенность (sw + sa = 1 => so=\-sw => dsjdt = d{ 1 -sw)/dt = -dsw/dt), w, - вектор скорости фильтрации вытесняющей фазы, т.е. воды; w2 - вектор скорости фильтрации вытесняемой фазы, т.е. нефти.

Для каждой из фаз считается справедливым обобщённый закон Дарси для скоростей, без учета гравитационных и капиллярных сил:

Wi = -k-kt(s)/77--gradp,i = l, 2

(2)

где к - абсолютная проницаемость пласта; л - коэффициенты динамической

вязкости воды и нефти, которые считаем постоянными лЛ = сопя?.; к^ (я), к0 (я)

- фазовые относительные проницаемости для воды и нефти определим по модели Кори:

К (я) = к1 [(я - ^с)/(! - Яог - я*с)]“ (3)

ко (я) = к0 [(! - Яог - я)/0 - Яог - ^с )/ (4)

где к0 - относительная проницаемость по воде при остаточной нефтенасыщен-ности, к 0 - относительная проницаемость по нефти при остаточной водонасы-щенности, я - водонасыщенность, я - насыщенность связанной водой, я -насыщенность остаточной нефтью, а, ( - экспоненциальные значения относительной нефте- или водопроницаемости (экспоненты Кори).

Сложив в (1) первое и второе уравнения почленно, получим:

Шу(#1 + #2) = 0. (5)

Уравнения (1-5) замыкают систему относительно водонасыщенности и давления. Для решения системы (1-5) необходимо задать:

Начальные условия: при t = 0: я = я0(х) (водонасыщенность), р = р0(х) (поровое давление).

Граничные условия: при х = 0: я = я 0(0, t), р = р0(0, t) водонасыщенность и давление на нагнета-

тельной стороне;

при х = Ь: р = рь(Ь), рх < р0 (давление на эксплуатационной стороне блока).

Пологая процесс фильтрации стационарным, введем потоковую функцию Бакли-Леверетта:

/ (я) = **/*=К (я )/ К (я)+Ло'к (я), л = л0 • (6)

Скорости каждой из фаз в (2) примут вид:

= ^=(1-/(^))Ч0 СО

Подставляя (7) в первое уравнение в (1) получим квазилинейное уравнение

первого порядка в консервативной форме:

дя/ дт + д/ (я)/дх = 0. (8)

где т = 1 )дх < 0 - суммарный объем фаз, "прокаченный" за время t.

V 0

Для решения (8) необходимо задать начальное распределение водонасы-щенности и граничное условие на нагнетательной стороне.

2. Решение задачи стационарной фильтрации. Общее решение (8) ищется в виде решения неявного уравнения и условия сопряжения на границе интерфейса [3]:

где ^ - водонасыщенность на фронте разрыва.

3. Аппроксимация задачи нестационарной фильтрации. Для аппроксимации 1-мерной задачи нестационарной фильтрации (1 -5) представим систему в более удобном, безразмеренном виде:

Начальные и граничные условия также приводятся к безразмерным величинам.

Система (10) записана в дифференциальном виде и, к сожалению, водонасыщенность может претерпевать разрыв, а это означает что от неё не существует производной в классическом смысле. Чтобы преодолеть возникшую сложность прибегают к интегральной форме законов сохранения неразрывности и баланса масс, где обобщенная производная понимается в слабом смысле [ 2].

Давление на каждом временном слое т мы определяли следуя работе [1], где итерационным методом необходимо разрешить эллиптическое уравнение относительно давления р"+'. Порядок аппроксимации схемы по давлению о(к2).

В наших исследованиях мы пробовали применять аппроксимацию задачи для насыщенности методом конечных разностей (схема сквозного счета 4 -го порядка точности по пространственной переменной [6,7] о(к4 +т)), методом конечных объёмов ^£N0 аппроксимация 5-го порядка точности [0]), гибридной схемой по [5]. Мы не будем приводить здесь аппроксимацию потоков F.+1_

г_ 2

через границу контрольного объема, сославшись на [6,7].

После того, как будут найдены р™+1 из [1], по явной схеме из [5,6,7,0] можно вычислить водонасыщенность я“+1. Для устойчивого счета необходимо,

чтобы число Куранта-Фридрихса-Леви тах | с 11< 1 для V/, на протяжении всего

г+ 2

счёта.

4. Тестирование схемы. Для тестирования полученной схемы зададим следующие параметры для определения относительных фазовых проницаемо-

стей (3), (4): к° = 0,25, к0 = 1,0, ^ = 0,25, эог = 0,2, а, 3 = 2; коэффициенты

(9)

д1дх [( к ( * ) + Ло'ко ( * ))ф/дх ] = 0

(10)

где введены безразмерные давление р = р/р0, координата х = х/ь, время г = 7/т.

динамической вязкости воды и нефти примем: 10 4 Па с (вода) 1,07-10 3 Па с (нефть). Начальные условия ґ = 0: *0 (х) = , р0 (х) = 0,55. Граничные условия

х = 0: я°(0,ґ) = 1 - яог, р0(0,ґ) = 1; х = 1: р = 0,3 . Расчетные параметры: число точек на отрезке 0 < х < 1 п = 100, шаг по времени т = 0,001. Относительная погрешность для задачи стационарной фильтрации при этом на протяжении всего счета не превысила 5,5%, уменьшением шага по И и т её можно несколько уменьшить. Столь значительная ошибка объясняется недостаточной аппроксимацией при вычислении градиента давления по центрально-разностной схеме. При использовании схемы 4-го порядка (вместо центрально-разностной 2-го порядка), ошибку можно уменьшить до 3,5%.

Нестационарную фильтрацию будем моделировать изменением граничного условия для водонасыщенности на нагнетательной стороне по схеме:

*°(0,ґ) =

1

ґ < ґ

, где безразмерное время ґ * = 0,25. К сожалению,

ог ’

1 - я - 0.05, £ > £ *

^ ог ’

чтобы удовлетворить условию тах | С 1_ |< 1 V/, пришлось уменьшить временной

г+ 2

шаг: т = 0,00005. Результат работы схемы приведен на рис. 1, здесь же приведено точное решение (9), для соответствующего момента времени.

а) профиль водонасыщенности

б) профиль давления

Рис. 1. Распределение водонасыщенности и давления в момент безразмерного времени 0,49

Также нами был рассмотрен случай нестационарного воздействия давления на нагнетательной стороне целика, приводящего к переменной скорости фильтрации.

Заключение. Предпринятая попытка рассмотреть динамику процесса насыщения нефтью целика позволяет дать максимальную оценку доизвлеченной нефти, при условии что целик разрушится и останется лишь не извлекаемая остаточная нефть. В рамках модели Бакли-Леверетта мы не можем использовать критерий устойчивости равновесия включений в потоке обтекающей жидкости Я = й&0 / < Ятах [4] и не можем учесть капиллярное запирание нефти на добы-

ваемой стороне целика (концевой эффект), так как мы пренебрегли действием капиллярных сил. Указанные недостатки модели Бакли-Леверетта устраняются в рамках модели предложенной Маскета -Левереттом [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. - М., Недра, 1993. 415 с.

2. Годунов С.К. Разностный метод численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики. //Матем. сб., т. 47(89). - №3. - 1959. - С. 271-306.

3. Данаев Н.Т., Корсакова Н.К., Пеньковский В.И. Массоперенос в прискважинной зоне и электромагнитный каротаж пластов. - А-Ата, КНУ, 2005. 180 с.

4. Пеньковский В.И., Корсакова Н.К., Симонов Б.Ф., Савченко А.В. Остаточные нефтенасыщенные зоны продуктивных пластов и способы воздействия на них с целью вовлечения в разработ-ку.//ФТРПИ, ИГД СО РАН. - 2012. №5. - С. 41-45.

5. Abdalla Amr H., Zahran Y.H., Kaltayev A. A hybrid WENO scheme for conservation laws.//Applied mathematical sciences, vol. 4, 2010. № 67, pp. 3327-3344.

6. Shi J. Fully discrete high-order schemes for systems of conservation laws. PhD. Thesis, Cranfield University, 1994. 208 P.

7. Shi J., Toro E.F. Fully discrete high-order schemes for hyperbolic conservation law. // Intern. J. for Num. Methods in Fluids. Vol. 23, Issue 4, pp. 309 - 323, 1996.

8. Shu Chi-Wang Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws. J. Comp. Phys. Vol. 1697, (1997), pp. 325-432.

©Д.С. Евстигнеев, Б.Ф. Симонов, А.В. Савченко, В.И. Пеньковский, 2013