Многопараметрические тесты для моделей фильтрации двухфазной жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 8, № 2, 2003

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ ДВУХФАЗНОЙ

ЖИДКОСТИ

И. Г. Телегин Горно-Алтайский государственный университет, Россия e-mail: dckt@bcenter.gorny.ru

О.Б. бочаров Институт водных и экологических проблем СО РАН Новосибирск, Россия e-mail: bob@ad-sbras.nsc.ru

Analytical solutions for Muskat — Leverett (ML) and Buckley — Leverett (BL) models of immiscible fluid filtration in porous media are obtained. These solutions are used for testing the difference schemes. The testing example for the problem on conjugation of ML and BL models is also constructed.

В работе решается проблема создания тестов для двух наиболее употребляемых в компьютерных технологиях нефтедобычи моделей фильтрации двухфазной жидкости: МЛ-модели (Маскета — Леверетта) и БЛ-модели (Баклея — Леверетта). Особенность решений моделей фильтрации заключается в большом количестве параметров, необходимых при описании процессов, что сильно затрудняет создание эффективных тестирующих алгоритмов и точных решений. Предложен также пример теста для задачи сопряжения МЛ-и БЛ-моделей.

1. Уравнения моделей

Одномерная модель фильтрации двухфазной жидкости в однородной изотропной пористой среде в отсутствие массовых сил при заданном суммарном расходе фаз имеет вид [1] _

mst = (koao(s)ai(s)sx — Q(t)b(s))x. (1)

Здесь x £ [0, L] — пространственная координата; L — расстояние от нагнетательной скважины до эксплуатационной; t — время; s = (sl — S°)/(1 — — — динамическая насыщенность смачивающей фазы, si — истинная насыщенность смачивающей фазы; (S°,S2) = const — остаточные водо- и нефтенасыщенности; m = m0(1 — — S°), m0 — пористость коллектора; k0 = const — абсолютная проницаемость коллектора; ao(s) = klk2,

© И. Г. Телегин, О. Б. Бочаров, 2003.

ai(s) = -pcs/+ ^k2)); Pc(s) = (m0/k0)1/2Yj(s) — капиллярное давление; y — коэффициент поверхностного натяжения; j (s) — функция Леверетта; b(s) = k1/(k1 + ^k2) — коэффициент подвижности вытесняющей фазы; ki = ki(s) — относительные фазовые проницаемости; ^ = ^1/^2, ^i — вязкости фаз (индекс i = 1 соответствует воде, i = 2 — нефти); Q(t) — расход воды на нагнетательной скважине.

Следует отметить разнообразие форм функциональных параметров модели двухфазной фильтрации [1, 2].

Полагая Q(t) = Q0 = const, введем безразмерные переменные: x = x/L, t = tQ0/(mL), при этом уравнение (1) запишется в виде

Ls = st - (ea(s)sx - b(s))x = 0, (2)

где e = Y(m0k0)1/2/(Q0L^2) — капиллярный параметр; a(s) = -a0jsk, k = 1/(k1 + ^k2).

При значении параметра e = 0 будем иметь модель Баклея — Леверетта. Для уравнения (2) рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

s|t=0 = s0(x),x е (0,1]; s|x=0 = 1,easx|x=1 = 0. (3)

2. Тестовые функции

Прежде всего выбираются базисные функции d = const, c(z) = ф1 (г)/(ф1(г) + ^2(z)), e(z) = fo(z)/(fo(z) + Ф1 (z)/^), где ^(z) = zai, ^(z) = (1 - z)a2, z = (x - xj-1)/(xj - xj-1).

Тестовая функция u(x,t) строится следующим образом: отрезок [0,1] разбивается на ряд промежутков [xj-1, xj], где xj = xj0) + Atjt, Atj = const (предполагается, что At0 = 0). На каждом таком отрезке выбирается какая-нибудь из базисных функций. Эти функции масштабируются так, чтобы тестовая функция была непрерывной.

Замечание 1. Предложенная функция u(x,t) при Atj = 0 не зависит от t, что позволяет использовать ее в стационарном и автомодельном случаях.

Замечание 2. Минимальное количество параметров у рассмотренного выше теста равно пяти: a1, a2, x1 и x2. Варьируя эти параметры и добавляя промежутки [xj-1,xj], можно строить разрывные, гладкие и составные решения (в том числе и немонотонные!).

3. Методика тестирования разностных схем

Вычислим значение оператора Ьв после подстановки тестовой функции и:

Ьи = иг - £(аии2х + аихх) + Ъиих = Д(х,г),х е (0,1]. (4)

Для БЛ-модели функция /£(х, г) определяется аналогично, но при £ = 0.

Оператор Ьв приравняем функции /£(х,¿), определенной в (4), и рассмотрим следующую задачу:

Ьв = вг - (£а(в)вх - Ъ(в))х = Л(х, г); (5)

в|г=о = и(х, 0), х е (0,1]; в|х=о = и(0, г), £авх|х=1 = 0.

Построенная ранее функция и(х,г) является точным решением задачи (5). Для аппроксимации оператора введем сетку с распределенными узлами иь,т = |х» = гк,Ьп = пт; г =

0, N п = 0,1, 2...}, где к = 1/Ж — шаг по пространственной координате; т = Кк2 — шаг по временной переменной.

Аппроксимируя оператор ¿5, получим оператор Ь^г5:

- е

¿Ы5 = - т * - к(а*+1 1 - а?_ 2 1) + 6Х+1 = Л(хг,г+1),г = - 1; (6)

— 5\\ 2е +1 +1 оо _ +1 о

Т + _2+ 6х+ = 0, = , ^ = 1, 5о + = 5о = ио,

где 6™+1 = 6™ + +1 - 5™).

Для численного решения уравнения БЛ-модели использовалась разностная схема с весами

5™+1 - 5

п

Аг5 = -+ 1 + (1 - а)6£* = /о(х*,Г+1),в0 = и0,г = 50+1 = 50 = и0,

т

где а е [0,1].

Линеаризуя полученную систему уравнений, приходим к системе линейных уравнений. Решая эту систему, найдем сеточную функцию з(х, ¿). Сравнивая и(х, ¿) и з(х, ¿), вычислим сеточную функцию погрешности выполнения данного теста для соответствующей разностной схемы.

Для численного решения систем (6) и (7) применялся метод правой прогонки.

4. Свойства функций, используемых при тестировании

Используемые при тестировании функции имеют следующие свойства:

, = , = 0 ( ) = ^2 - ^( ) = ^2*- ^1*^2

^.г — ^гг — ^ с,г(г) — / , / N2 , (г) —

с^ (г) е^(г)

МС01**^2 - ^2**+ ^2) - 2^ + ^2*^2 - ^1)]

(^1 + '

+ ^1/^)3

а«(и) = -(ао^ик)и = -(ао«7«к + + ^«к«), к«(и) = -

к1« + (&1 + ^&2)2

5. Примеры тестирования схем (6), (7)

В расчетах использовались следующие параметры:

кх = 52, = (1 - 5)2, ^ = (1 - в)/(5 + 5), 5 = 0.9, ^ = 0.1, е = 0.5, а1 = а2 = 2, а =1.

Расчеты проведены для принципиально различных по свойствам тестовых функций с вариацией шагов сетки к, т (рис. 1). Погрешности расчетов в норме С[0,1] приведены в таблице. Для нестационарного теста 4 погрешность дана при п = 5 (п — номер временного слоя). Заметим, что номер кривой соответствует номеру теста. Для кривой 2 и(х, 0) = 0 при х е [0.45,0.55], а для тестовой кривой 3 и(х, 0) = 0 при х е [0,0.1], х е [0.9,1] и и(х, 0) = 1 при х е [0.45, 0.55] и для кривой 4 и(х, 0) = 0 при х е [0.7,1].

О 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 1.

Погрешности расчетов

№кривой К т МЛ-модель, % БЛ-модель, %

1 0.05 0.0025 0.172 0.178 0

2 0.05 0.0025 1.92 2.26 0

3 0.05 0.0025 2.81 3.11 0

1 0.005 0.00025 0.00191 0.00194 0

2 0.005 0.00025 0.0305 0.0364 0

3 0.005 0.00025 0.0469 0.0592 0

4 0.005 0.00025 0.0182 0.0192 0.01

6. Тестирование задачи сопряжения МЛ- и БЛ-моделей

Как показано в [1-3], за счет обращения в нуль функций относительных фазовых про-ницаемостей естественные граничные условия для МЛ-модели являются плохо обусловленными (градиенты решения в окрестности границы становятся бесконечно большими). В работе [3] БЛ-модель предложено применять в окрестности эксплуатационной скважины, тогда на скважине не требуется граничного условия. Таким образом возникает задача сопряжения двух моделей [3].

Задача сопряжения формулируется следующим образом [3]:

Ьв = в4 - (еавх - Ь)х = 0, (8)

5^=0 = во(х), х е (0,1], £авх1х=1 = о, в|х=0 = 1,

Аь = Ух + <^(ь) = 0, (9)

ь|х= = V(г), ь|4=0 = ьо(х), х е (1,1],

где 1 — линия сопряжения двух моделей; в = ^(ь) — функция, обратная зависимости ь = Ь(в); ь0 = Ь[в0(х)], VI(г) = Ь[$г(г)]; функция (г) = в(х,г)|х=1 определяется по решению в(х,г) задачи (8).

Рис. 2.

Для тестирования задачи сопряжения функция и(х, £) строилась отдельно на промежутках [0,1] и [1,1], при этом и(1, 0) = 0.1, а и(1,0) = 0.05, их|х= = 0 (рис. 2).

Далее определим функции /^(х,^) и /2 (х,^):

и - е(а«иХ + аихх) + Ьа = Л(х, г), х £ (0,1), (10)

и* + Ь«их = /г(х,г); х £ (1,1].

Приравняв операторы и функциям /х(х,^) и /2(х,^), будем иметь следующую задачу:

= 5 - (еа(фх - Ь(5))х = /1 (х, £), (11)

5|*=о = и(х, 0), х £ (0,1], 5|х=о = и(0, ¿), еа5х|х=г = 0, = ^х + р (и) = /2 (х,£), ^|х=г = ^|4=о = ^(и(х,0)), х £ (1,1].

Так же по аналогии аппроксимируем операторы и на сетке ш>нт.

Для получения численного решения при х > 1 применялась следующая двухпарамет-рическая разностная схема:

Л ^+1 ^ | /1 Л ^+1 ^ | п+1 ^+1 ^+1 ,

АнтV = ^1 ——---|- (1 - ^1)-+-т--+ а2рш+ —-—+

п п,и т

+(1 - а)РП+1 V»-^ = /2(хг,^п+1), V»0 = Ь(и0). (12)

т

Задача сопряжения решалась при 1 = 0.8, а1 = 0.5, а2 = 0.7, Д^- = 0.

Погрешность задачи сопряжения составила при П = 0.05(т = 0.0025) 0.174 %. При использовании сетки с шагом П = 0.005(т = 0.00025) погрешность оказалась равной 0.00498 %.

Список литературы

[1] антонцев с,н.,кажихов а.в., монахов в.н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск, СО Наука, 1983. 316 с.

[2] коновалов а.н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, СО Наука, 1988. 166 с.

[3] жумагулов б.т., Монахов в.н. Гидродинамика нефтедобычи. Алматы: Каз-госИНТИ, 2001. 336 с.

Поступила в редакцию 30 октября 2002 г.