Две кубатурные формулы для куба Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518.517

А. К. Пономаренко

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 1

ДВЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КУБА*

В теории приближенного вычисления интегралов важное значение имеют вопросы существования и построения инвариантных кубатурных формул над полем И.. Такие формулы для случая, когда областью интегрирования является гиперкуб Кп = {x(xl,x2^■■■^n)\ — 1 < х^ < 1,2 = 1,...,п}, формулы, обладающие 7- и 9-свойством, опубликованы в [4-11].

В настоящей работе построены еще две кубатурные формулы с 9-свойством для интеграла

I(/) = [ / (х) ё,х. кп

Эти формулы должны быть инвариантными относительно группы ОпО всех ортогональных преобразований гипероктаэдра Оп (выпуклой оболочки 2п точек ( ±1, 0,..., 0), (0, ±1,..., 0),..., (0, о,..., ±1 )) в себя и точными для любого алгебраического многочлена относительно Х1,...,Хп не выше девятой степени. Обозначим

дМ = -7=^==(11__1,0,...,0), в = 0, 1,. .., п — 1,

8+1

/?2) = ^/?1, /?2, — /?12 — /?22, 0, . . . , 0^ ,

2кск 48сз

ад = Е /н(к-1)), 51 (а) = Е /(«мвъв))

1 1

(суммирование распространяется на все элементы ОпС-орбит точек, указанных в круглых скобках после знака функции /),

тв = J ё,х, в = 0, 1,...,4, тя+5 = J ст4ст^ dx, в = 0, 1, 2,

Кз Кз

т8 = J ст2 dx, тя+д = J dx, в = 0, 1, тц = J <78 dx.

т| ах, т8+9

кп кп к.

Первая из рассматриваемых формул должна иметь вид:

2

'^3 иПи'3

I(/А/(О) + ^ А) + ВБ2(Ь)+ИБ(Е)+ЕБ4(е), 4 < п, (1)

3=1

где А, Аі, А2, В, Н, Е — коэффициенты формулы, аі, а2, Ь, К, е — радиусы соответствующих Оп С-орбит, О — начало координат.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №01-02-00742). © Л. К. Пономаренко, 2005

Для нахождения радиусов орбит, коэффициентов формулы и значений параметров ві, в2 применяется теорема С. Л. Соболева об инвариантных кубатурных формулах ([1] или [2], теорема 1.7), согласно которой формула (1) должна быть точна для многочле-

1 2 3 4 2 2 2 2 2

нов 1, <72, 02 , 02 , 02 , 04, 0402, 0402 , 04 , 06, 0602, 08, где 02 =2^ хз , а4 =2^ хз хк ,

3 = 1 3<к

..., 02п = Х12Х22 ... хп2 —базисные инвариантные формы группы ОпО.

Это требование для формулы (1) приводит к системе 12 нелинейных алгебраических уравнений

А/(О)

2

£ Аз

3=1 2

+ Ві

+

£ Аз а2к

з=і

+ В1Ь2" +

тт-Вф8 +

16

Ні + Еі = то,

Н1 К2к + к 2 = тк,

к = 1, 2, 3,4,

гН1К2к + к 2 со|оо = тк+з,

к = 2, 3, 4,

г2 Ні К8 + 9 гг ^8 64 Е\е = т8,

уН1Я2к + 1 77 к їб^іе = тк+6,

к = 3, 4,

1 г ,8 256 1 =т11

(2)

относительно 13 неизвестных А, А13 = 2пАз, аз, ] = 1, 2, В1 = 2п(п — 1)В, Н1 = 48СПН, Е1 = 2пЕ, Ь, К, е, @1, @2.

ЗДесь У = в2в2(1 — в2 — в2 ^ ^ = (в2 + в2)(1 — в2 — в2) +в2в2.

Решение системы (2), зависящее от свободного параметра е, находится обычным образом (например, [2-3]) и имеет следующий вид:

А = то — и А13 — Ві — Ні — Еі,

з=1

— —0.5(р + ( — іу 1Аз), А-ъ-у і — —-—2 — 1,2,

А

8-3

А5

^ д _ 2 д _

“д-, д — "д") А — о;2 — скіскз, Ді — 0:10:4 — 0:203,

Д2 = «з - «2«4, А3 = л/р2 - 4д, ак = тк — В1Ь2" — Н1Д2" — ЕіЄ2", к = А5 = 9А3, Аз-з = ( —1)3 аз 2(аі а2 — а2)

1, 2, 3, 4,

Ь

где І1 = т5 —

2 і2 — гН1Н6

Ь1 — гН1К4 96тц

Ві

^4 (^1 - ),

.? = 1, 2,

4\

96тц

І2 = т6-^—, і3 = т7 - 96тц,

2 2 тіо — 16тц

Іь — Є

Ні

1

г(тдв2 — 16тц),

тдв2 — 16тц’ уе2К6

в2, в2 — корни уравнения и2 — ии + V = 0,

и — корень уравнения и — 2и +

5 — ві (ві — 1)(в2 — 1)

—:—и--------

44

4

Р

4

Є

Є

(т7 — 4т8 + 48шц)вз (тде2 — 16тц)в3

в1 = -----------7^5-----------> «2 = -

К8

«4

е2Е684

г ^/1 о о й 1 1 256т-м

вз = 2г2Пь — ^хД — 4зД , в4 = £о — ^1^2, V = и — и----------- —, Е\ =---------„—.

2 4 е8

Приведем пример приближенных значений радиусов орбит и коэффициентов формулы (1) при п = 4 и е = 1.789:

А= — 1.967122627804е +00,

а1 = 6.704941558262е — 01, А1 = 1.224532138777е +00,

а2 = 1.460188198756е + 00, А2 = 5.861739296482е — 03,

Ь = 1.120981003364е + 00, В = — 1.746878707071е +00,

К = 1.171012009390е +00, Н = 2.581620907605е — 01,

е = 1.789е + 00, Е = 3.012119668068е — 02,

в2 = 4.783790444390е — 01, = 4.738934357861е — 01.

Аналогично рассматривается формула

I (I) = А! (О) + 53 Аз Б1(аз) + ВБ2(Ь) + НБ(К) + ЕБп(е),

3=1

Система, аналогичная (2), записывается следующим образом:

(3)

А + А3

3=1 2

А

„2 к

3=1

33

+ В1 +

+ В1Ь2к +

Н1

Н1К2к

+

+

Е1

2к

Е1е к = 1, 2, 3,4,

\ВгЬ2к

+ гН1К2к +

2к

п1

-ъ^Е“

к = 2, 3,4,

^ВгЪ8 +

X 2Н1

уН1Й:

2к

+

С2

1

з„= В1'

к = 3, 4, С 3

2к

1

4п3

= то, = тк,

= тк+з,

= т8, = тк+6,

= ти.

Здесь Е1 = 2пЕ, остальные неизвестные те же, что и в системе (2).

Решение системы (4), зависящее от свободного параметра е, имеет вид

А = то — А1 — А2 — В1 — Н1 — Е1,

2 = 0.5(-р + (-1У 1у/р2 - 4д),

Аз = (—1)

Ла1а3-з — «2)

дл/р2 ~ 4<?

3 = 1, 2,

Р =

^1^4 — 02^3

9 ’

а2 — а1 а3

03 — а2 а

ч = ~------------->

а2 — «1«3

(4)

ак = mk - Bib2k - HiR2k - Eie2k, к = 1, 2, 3, 4,

2 2 (n - 3)mio - 4nmn

it = e

(n - 3)mge2 - 4nmii ’

mg(n - 3)e2 - 4nmii 24n3mi

= -----7----^---oTS-----j ^1 =

(n - 3)ye2R6 ’ (n - 1)(n - 2)(n - 3)e8’

/32 = 0.5(w + •n/w2 — 4v ), 02 = 0.5(м — л/ u2 — Av ),

3 „ 2 5 - ti (ti - 1)(t2 - 1)

и — корень кубического уравнения и — 2и + ■ я-

4

2 ti

v = и —и-----------

ti 1

4

(то7 — 4m8 + 12n^4j)t3 (mg(n — 3)е2 — 4птц)£з

1 КН^ ’ 2 R2e2ti(n — 3) ’

t3 = 2V2R2 - viR4 - V3, t4 = v^ - viv3,

62 = vi-zIhR6 = 4d_4 _ zFijR4)j

vi - zHiR4

12n2mii 12n2mii

= m5 - 7-—-—-7, v2 = m6 -

(n - 2) (n - 3)e4 ’ (n - 2)(n - 3)e2 ’

12n2mii

V3 = m7

(n - 2)(n - 3)'

Приведем пример приближенных значений радиусов орбит и коэффициентов формулы (3) при п = 4 и е = 1.793:

ai = 6.674399365145e - 01,

a2 = 1.497772559126e + 00,

b= 1.114445638923e + 00,

R= 1.169153041028e +00,

e= 1.793e + 00,

^2 = 4.866304533982e - 01,

A = -2.093371285398e +00,

Ai = 1.266499419296e +00,

A2 = 4.491463199989e - 03,

B = - 1.677912159740e +00,

H = 2.485517255608e - 01,

E = 2.958779697702e - 02,

22 OCX 4.628345524688e - 01.

В заключение отметим, что имеются программы на языке С + +, которые вычисляют как параметры приведенных выше формул, так и интеграл I(/) для заданной функции /.

Summary

A. K. Ponomarenko. Two cubature formulae for the cube.

For integral I (f) = f f (x) dx, Kn = { x(xi,...,x„) | —1 < Xj < 1, j = , two

Kn

families of cubature formulae of the ninth degree invariant on the group of the hyperoctahedron are constructed. The examples of approximate values of parameters of these formulae are given. Bibliography: 11 items.

1. Соболев С. Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сибирск. матем. журн. 1962. Т. 3, №2. С. 769-791.

2. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М., 1981. 336 с.

3. Лебедев В. И. О квадратурах на сфере // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16, №2. С. 293-306.

4. Стоянова С. Б. Кубатурные формулы для гиперкуба седьмой степени точности // Записки науч. семинаров С.-Петерб. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1992. Т. 202. С. 110-115.

5. Стоянова С. Б. Инвариантные кубатурные формулы для гиперкуба девятой степени точности // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 1996. С. 116122.

6. Пономаренко А. К. О некоторых инвариантных кубатурных формулах девятой степени // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1995. Вып. 4 (№22). С. 31-33.

7. Пономаренко А. К. Некоторые инвариантные кубатурные формулы // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 1996. С. 70-76.

8. Пономаренко А. К. О трех инвариантных кубатурных формулах девятой степени // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 45-49.

9. Пономаренко А. К. О некоторых кубатурных формулах девятой степени, инвариантных относительно группы гипероктаэдра // Кубатурные формулы и их приложения. Улан-Удэ, Изд-во Восточно-Сиб. гос. техн. ун-та. 1997. С 80-90.

10. Пономаренко А. К. О двух весовых инвариантных кубатурных формулах девятой степени для гиперкуба // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 2 (№8). С. 56-59.

11. Пономаренко А. К. Две инвариантные кубатурные формулы для гиперкуба // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 1 (№1). С. 32-35.

Статья поступила в редакцию 18 мая 2004 г.