О многокритериальных задачах теории кубатурных формул Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.676

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 1

С. М. Ермаков, Э. Г. Бурнаева

О МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ*

1. В соответствии с функциональной постановкой задачи теории кубатурных формул ([1], стр.552) мы будем рассматривать функцию у(Х) из некоторого банахового пространства Ро и предполагать, что интеграл /п у(X)йХ, где О € Нп приближенно вычисляется с помощью кубатурной формулы

N

у(X)3,Х Ску(Хк), Хк € О. (1.1)

к=1

Функционал погрешности этой кубатурной формулы есть

Г г N 1

(1,у) = ¡п(Х) Ск5(Х - Хк) у(Х)(1Х, (1.2)

к=1

1а(Х) —индикатор в области О и, согласно [1], основной задачей теории кубатурных формул в функциональной постановке является нахождение такого функционала (I, у) норма, которого в пространстве В* минимальна.

В теории кубатурных формул хорошо известны результаты, полученные для пространств Ь^^т.

Мы далее будем называть норму функционала (I, у) в соответствующем пространстве В* критерием оптимальности кубатурной формулы (в В*).

Для простоты будем считать О единичным п-мерным гиперкубом. Отметим, что получение нормы функционала (I, у) в Ь™, 'Ш™ в явной форме даже в этом простом случае не является легкой задачей. Известно, однако, что в классах функций малой гладкости есть случаи, когда упомянутая норма легко представима в аналитическом виде. Такого рода представление связано с разложением функции на разноразмерные слагаемые [2].

Задачей данной заметки является обобщение некоторых результатов, полученных в [2-3], и трактовка основной задачи теории кубатурных формул с точки зрения задач многокритериальной оптимизации.

2. Рассмотрим простые примеры (п = 2). Пусть у(х, у) задана в единичном квадрате В2 = {х,у : 0 ^ х ^ 1, 0 ^ у ^ 1}. При условии существования соответствующих производных имеем

Гх / Су / Сх Су и

У(х,У) = У(С,П) + Ух(и,П)^ + Уу + / Уху^^ ,

.¡п -ч ->п

где (С, п) — фиксированная точка в .

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00865) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2268.2003.1).

© С. М. Ермаков, Э. Г. Бурнаева, 2005

При условии N=1 Ck = 1 для £ = 0,п = 0 имеем

(1,ф) = I фx(u, 0)K1(u,c1...cN,X1...XN)du + / фу(0,v)K2(v,c1...cN,X1...XN)dv+ J о J 0

+ / / Фху (u,v)K3(u,v,c1...cN ,Xi...Xn )dudv, где Xk = (xk ,yk) (2.1)

J о Jo

К-1_(и, Су, х^^ = 1, М) = - и - ^~уЗкЕ(хк - ик)^ К2(у, = 1, ЛГ) = - v - ^~^СкЕ{ук -

К3(и,у,Сэ,Хэгэ = 1 ,ЛГ) = ^(1 -и)( 1 - -у) - '^2/СкЕ{хк - ик)Е{ук - ,

{1,х > 0,

1/2, х = 0, (2.2)

0,х < 0.

Легко видеть, что для любых интегрируемых функций ух(и, 0),уу(0,у),уху(и,у) найдется соответствующая у(х), определенная с точностью до константы. По этой причине норму (I, у) в нашем случае можно определить как норму в пространстве вектор-функций с тремя независимыми компонентами, каждая из которых может принадлежать некоторому банахову пространству функций соответственно одной и двух переменных. Норма в векторном пространстве оказывается компромиссным критерием. Например, если ух(и, 0),уу(0,у) и уху(и,у) интегрируемые функции, то

г-1 Л fl fl

(1,ф) < (у \фх (ui 0)\du + J \фу (0,v)\dv + ^ J \фху (u,v)\dudv) X

х max ( sup \K1\, sup \K2\, sup \K3(u, v)\) (2.3)

^ u v u,v '

и существуют такие фх,фу, фху, для которых имеет место знак равенства. Легко видеть, что такой подход не всегда отражает специфику задачи. Если известно соотношение между нормами производных, конструкция критерия должна быть пересмотрена с учетом этой информации. Если мы хотим рассматривать задачу в общей постановке, то более последовательным представляется многокритериальный подход, где оптимальность характеризуется тремя критериями — supu \Ki\, supv \K2\ и supu v \Ks(u,v)\. Естественно, применение теории многокритериальной оптимизации будет оправданным, если окажется возможным сделать содержательные выводы относительно соотношения между критериями.

Напомним, что критерий Ki(x) доминирует критерий K2(x) для x из заданного множества X, если Ki(x) ^ K2(x) для всех x и существует xo в X такое, что Ki(xo) > K2(xo ).

Справедлива следующая

Лемма. Пусть критерий К\{х) имеет вид вири К(х,у), где К(х,у) определена на X х ф, х € Х,у € ф и существует у = уо такое, что Кз(х, уо) = К2(х) для всех х € X, тогда критерий К\(х) доминирует критерий К2(х) или совпадает с ним.

Доказательство следует непосредственно из способа задания К\(х). Далее легко видеть, что = 1,Л?") при V = 0 совпадает с K■\_{u,Cj,Xj,j = 1, ТУ), а при

и = Ос К2 (и, с^ = 1, Ж) и с помощью леммы мы получаем следующее утверждение.

Критерий вири У |Кз| доминирует критерий вири |К1| и вирУ |К2| или совпадает с одним из них.

Это означает также, что неравенство (2.3) может быть переписано в форме

(1,^) < М • вир|Кз(и,у)|, (2.4)

ПУ

где М = /о1 ^Х(и О^сЫ + /о1 (0, у^сЬ + /о1/о1 ^'Ху^ к^шЬ.

Таким образом, в рассматриваемом случае вири У |Kз(u,v)| является единственным критерием, характеризующим качество кубатурной формулы, и его оптимизация по переменным ей и хь, к = 1,..., N решает задачу выбора оптимальной кубатурной формулы.

В случае п переменных при условии существования производной ^П...,Хп(и1, ...,ип) и производных ^Х™^,...,х,т при т < п на гранях гиперкуба т-той размерности, проходящих через начало координат, последовательное использование леммы позволяет показать, что доминирующим критерием будет

п N п

sup Щ (1 - Uj) СкЦ E(xj - Uj). (2.5)

j=i k=i j=i

3. Уже при n = 2 видно, что представление остатка (2.1) зависит от выбора точки (£, п). Полученные ранее результаты относятся, строго говоря, к классу функций, имеющих первую производную по x при y = 0, первую производную по y при x = 0 и вторую смешанную производную. Конечно, из существования этих производных следует существование ух (x, п) и уу (£, y) при любых £ и п. Однако нормы этих производных будут, вообще говоря, другими. Оценки этих норм легко получить.

Выбор в качестве (£, г/) точки (1,1) приводит в случае С]. = к = 1,..., N, к известному в теории чисел критерию, который носит название «отклонения» (discrepancy). В этом случае имеем

(l,f) ^ (fixfa 1)du

+ / fy (1,v)dv

/ / fly(u,v)dudv

J 0 J 0

1

N

k=1 N

-^Еа-яы-*))

k=1

+

N

+

k=1

(3.1)

Легко проверить, полагая u что

1, а затем v =1 под знаком sup в третьем слагаемом,

i

u

0

i

0

uv

sup

u,v

N

k=i

является доминирующим критерием.

Наше утверждение является частным случаем хорошо известного результата Коксмы—Хлавки (неравенство Коксмы—Хлавки), которое для функций ограниченной вариации в смысле Харди—Краузе утверждает

(l, р) < Var р ■ sup

N

j=i

N

k=ij=i

(3.2)

Здесь Var p есть сумма вариаций р на всех гранях гиперкуба, проходящих через точку (1,...,1). (В двумерном случае это /0 \dxp(x, 1)| + /0 \dxp(x, 1)| + /0 /0 \dXyp(x,y)\, а супремум, входящий в это неравенство, собственно и носит название отклонения (discrepancy) и в нашей терминологии является доминирующим критерием при многокритериальной постановке задачи. Критерий этот чрезвычайно интересен тем, что постро-

I (1) ('п)\

ены последовательности точек (хк ,..., хк ), для которых имеет место асимптотически оптимальное убывание критерия [2-3]. Легко показать, что порядок асимптотического убывания критерия (2.5) будет совпадать с порядком убывания отклонения при N ^ ж. Результаты, полученные в этой области, являются основой так называемого метода «Квази Монте-Карло», имеющего важное прикладное значение.

4. Таким образом, анализ нормы остатка кубатурной формулы в классе функций, имеющих производные да]!дх11 ...дх^з, 1 ^ < %2... < га ^ п, 1 ^ в ^ п (классы Ь\ в терминологии [1]), и в более широких классах функций ограниченной вариации в смысле Харди—Краузе оказывается весьма плодотворным. Как мы видели, многокритериальный подход проясняет некоторые весьма важные детали. Далее мы изложим результаты применения этого подхода в случае существования производных более высокого порядка. Это, собственно, и составляет основное содержание данной статьи. Мы ограничимся изучением довольно простого примера п = 2 и класса функций

V обладающих производными <р'Х2 (£,у),¥>'Х'2у (х,п),рХ'уг (€,у) и <рХУу2 (x,y), где

(С, п) — фиксированная точка в В2. На этом примере легко уяснить себе основные особенности развиваемого подхода.

Предполагается, что рассматриваемая кубатурная формула точна для 1, х, у и ху. Используется разложение в ряд Тейлора

р(х, у) = п) + Vх- п) + Ру п)(у - п) + 'Рху^! п)(х - 0(х - у)+

/п ,, г у ,, гх ,,,

(и,п) (х - и)Ли + у Ру2 (у - + у Рх2у (и,п) (х - и)Ли • (у - п) +

СУ сх су

гу ... г гу (1У)

»

+ J Pxy2 v)(y - v)dv ■ (x - £) +

Ч Jn

px2y2.(u,v)(x - u)(y - v)dudv.

(4.1)

При £ = n = 0 имеем следующее представление остатка

(l,P)= Px2 (u, 0)

+ / Py2 (0,v)

(1 - u)

N

- У^ Ck(xk - u)E(xk - u)

(1 - v)2

k=i N

du+

- E Ck(yk - v)E(yk - v)

k=i

dv+

uv

i

0

i

+ I ¥>'x2y(u,Q) _J2ck(xk-u)E{xk-u)yk

N

L2 2

1 (1 - v)2

k=i N

+ j <Pxy*{Q,v)\_2-2--^2ck{yk-v)E{yk-v)xk

k=l

du+

dv+

i ri

+

(IV) р x 2y 2

(1 -u)2 (1 -v)2 N

-У] Ck(xk -u)(yk -v)E(xk -u)E(yk -v)

dudv =

k=1

'0 J0

f 1 pi pi

px2 (u, 0)Ki(u)du + j ^y2 (0,v)K2(v)dv + / px2y(u, 0)K3(u)du+

0

0

0

xy

i

ii

+ I Pxy2 (0,v)KA(v)dv + I I yXfl(u,v)K5(u,v)dudv.

xy

(4.2)

00

Предполагая, что интегралы от модулей производных функции р ограничены, мы имеем в рамках многокритериального подхода пять критериев оптимальности

sup |K1(u)|, sup |K2(v)|, sup |K3(u)|du, sup |K4(v)| и sup\K5(u,v)\.

u v u v u,v

Легко видеть, что

sup |K5(u,v)| = sup |K3(u)| и sup |K5(u,v)| ^ sup |K3(u)|,

аналогично,

sup |K5(u,v)| ^ sup |K4(v)|.

Таким образом пятый критерий доминирует третий и четвертый критерии. Что касается первых двух, то для них дело обстоит не столь просто. Однако, если кубатурная сумма является повторной или в более общей постановке имеет следующий вид

Ni lk

Ni kl

¿2Y,cSv(xk ,y(k) ) = ££ Ax^ У) • C(k.

(4.3)

к=1 1 = 1 1=1 к=1 При этом 1) для всех к имеют место равенства

1к 1

''к pi J2cky(k) = / ydy = 1/2; j=i Jo

(4.4)

2) для всех l имеют место равенства

kl _ г i

Y^Ckiixf = xdx = 1/2.

k=i k 0

(4.5)

Равенства такого рода имеют место, в частности, для повторных или составленных из повторных кубатурных формул. Тогда для первого (и аналогично для второго) из критериев имеем

sup \Ki{u)\ = \ sup \Кз(и)\, sup \K2(v)\ = i sup \K4(v)

u 2 u v 2 v

(4.6) 31

i

i

0

u,v

u

u,v

u

u,v

v

и асимптотика по N убывания первого и второго критериев совпадают с асимптотикой убывания третьего и четвертого соответственно.

В этом случае (при выполнении равенств (4.3)—(4.5)) также выполняется равенство

с 1 Г1 Г1

\l,u\ Ф \у'х2 (u, 0)\du + 2 \у"у2 (0, v)\dv + (u, 0)\du+

v J 0 J 0 J 0

+ f \у'У (0,v)\dv +i i \y(IV)(u,v)\dudv) = J 0 J 0 J 0 '

"(1~M)2(1~/)2 - ck(xk - u)(yk - v)E(xk - u)E(yk - «)], (4.7)

= sup

u,v

или в вариациях (в смысле Витали)

\l,u\ < (2( Var уX (x, 0)+ Var уУ (0,y)) + Var у"х (x, 0) + Var у" (0,y)+ Var у" (x,y)) x

VVx y ^ / rx x ^ xy * /

N

- ck(xk - u)(yk - v)E(xk - u)E(yk - v) .

x sup

u,v

(1 - u)2 (1 - v)2 N

Не представляет труда получение аналогичных результатов при = (1, !)• В нашем случае это приведет к своеобразному аналогу отклонения (discrepancy), а именно

sup

u,v

2 2 N u2 v2

уу -2_,Ск{хк - «0(1 - Е{хк - и)){ук - v)(l - Е(ук - v))

k=1

(4.8)

Изложенная подробно в этой заметке методика легко обобщается на случай большого числа измерений и некоторые классы функций, имеющие более высокие производные.

Авторы предполагают рассмотреть такого рода обобщения в следующих публикациях.

Summary

S. М. Ermakov, E. G. Burnaeva. On cubature formulae multicriterial problems.

Multicriterial optimisation methods are applied to the analysis of the cubature formulae remainder term. Some generalisation of the discrepancy are discussed.

Литература

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. С. 805.

2. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. С. 312.

3. Niederreiter H. Random Number Generation and Quasi-Monte carlo Methods. Soc. for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia, Pensilvavia, 1992.

Статья поступила в редакцию 12 октября 2004 г.