ДВА РАЗНЫХ СПОСОБА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИХ ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»



ДВА РАЗНЫХ СПОСОБА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИХ ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ

М. Х. Раупова

Преподаватель Чирчикского государственного педагогического университета

Б. Э. Хаитматова

Студент Чирчикского государственного педагогического университета

Первый представленный в этой статье метод призван указать на один важный подход к решению линейных задач: исключение переменных. Самым основным в этой части является взаимное преобразование матричной и линейной систем. Таблица из m строк и n столбцов, упорядоченная сериями из тхп чисел a¿y(i=1,2,3,m; j =1,2,3,...n) называется матрицей m строк и n столбцов, сокращенно матрицей тхп. Для матрицы, обозначенной как a¿j или а j ¿, для ее обозначения используется заглавная буква. А для линейной системы это имеет что-то общее с матрицами. Это линейная система с m уравнениями и n переменными, m и n неизвестными:

f a-j^X-L + CL-L2X2 + а13х3 + + %nX7i = а21х1 + а22х2 + а23х3 + "I" а2пхп =

а3 1 х1 + а3 2х2 + а3 3 х3 + ' ' ' + а3пхп = к3 (1)

{ ат 1х1 + ат3х2+ат3х3 + ' ' ' + атпхп = кт

Итак, для представления этой линейной системы используется матрица, которую можно записать как Лхк, а A — матрица коэффициентов. Матрица, составленная из коэффициентов и постоянных членов системы, называется расширенной матрицей.

~an "' am~ -x±- ky

A = .^ml ''' ^mti. ,X = xn. ,k = ь L^mJ

(2)

Когда преобразования матриц и линейных систем ясны, их оперативное соответствие также одинаково. Элементарная операция является основой исключения переменных.

В данном случае рассматриваются следующие три операции:

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

498

Technoogies^n^hemmucaiiommimrocmm

I. Поменяйте местами порядок уравнений, обозначенный как Е; <-> Еу

II. Замените уравнение, умножив его на ненулевое число, обозначаемое как ( сЕ¿) — Е^.

III. Замените уравнение, добавив c раз другое уравнение, обозначенное как ( сЕь + Еу) — Еу).

Все три этих преобразования обратимы, поэтому система уравнений до и после преобразования имеет одно и то же решение. Более того, в приведенных выше преобразованиях вычисляются только коэффициенты и константы уравнений, поэтому операции линейной системы могут быть полностью преобразованы в преобразования строк расширенной матрицы, также известные как элементарные операции над строками:

1. Меняем порядок двух строк: Я^ <-> Яу

2. Умножение любой строки матрицы на ненулевое число: Я ^ <-> к Я ^

3. Добавление кратного числа строки в другую строку: Я ^ — Я ^ + с Я у

Аналогично, пока заменяется строка столбцом, операции над столбцами

матрицы могут взаимно однозначно соответствовать элементарным операциям строки и называются элементарными операциями столбца.

а) Примеры:

г2хг — х2 + 2х3 = 4(1) Х1 + х2 + 2х3 = 1(2) 4х1 + х2+4х3 = 2(3)

Сначала переведя одновременные линейные уравнения в расширенную матричную форму, обозначаемую заглавной буквой В:

[2 -1 2 11 В = 1 1 2 4 А 1 4 2.

Затем, меняя порядок (1) и (2):

г2:

1 -1 1

2 2 4

Далее, для облегчения вычислений, пусть (2)-2(1), (3)-4(1):

"11 2 1

г2 — 2г1,г33 — 4 г±\

-3 -2 2 -3 4-2

И затем, вычисляя (3)-(2);

"112 г3~г2\ 0 - 3 - 2 .0 0-2

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

499

В конце концов, используя обратную замену, чтобы получить

окончательные решения:

1Х3Ц:

3 2

1111 0 -3-2 2 L0 0 1 2J

2) 1-2(3),(2)+2(3):

r± - 2r3)r2 + 2r3:

3) (2)x(- i),(1)- (2):

r2 * -■^,r1-r2\

110 -3 0-3 0 6 0 0 1 2 .

10 0 -1 0 10-2 0 0 1 2

Итак, теперь - это простейшая форма звена строк, и решения этой системы имеют вид:

х^ -1, х^ -2, х ^ 2 Метод исключения Гаусса, или мы можем назвать его сокращением строк, представляет собой алгоритм решения систем линейных уравнений. Он состоит из последовательности операций, выполняемых над соответствующей матрицей коэффициентов. Чтобы выполнить сокращение строк в матрице, используется последовательность элементарных операций над строками для изменения матрицы до тех пор, пока нижний левый угол матрицы не заполнится нулями, насколько это возможно:

Повторив эти три элементарные операции над строками, которые не повлияют на решение, но способны упростить расширенную матрицу, мы наконец сможем получить матрицу вида:

о

о

о

о

CLyy*CL-yy_j_^iX^_j_ ^ ■ ■ ■ I

о

0

a

lm

X

n

I к

m

(3)

Oil, %2> alr> alr + l> a22> ■■■ alm> kl> к3> ■■■ ^m^O

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

500

Technoogies^n^hemmucaiiommimrocmm

Левую часть отдельной строки назовем «Матрица эшелона строк» [6], которая имеет характер: метка столбца первого элемента в ненулевой строке Aj должна быть меньше или равна метке столбца первого элемента. элемент в ненулевой строке Aj+1.

После того, как мы получили матрицу эшелонов строк, количество переменных уменьшается сверху вниз. Таким образом, используя метод обратной подстановки: сначала получаем решение нижней, затем повторяем подстановку известных значений переменных из верхней строки до верхней. Таким образом, мы получим решение.

Основное использование (представленный пример) исключения по Гауссу

Предположим, что у нас есть три переменные: x, у, z. И у нас есть набор их уравнений (наивысшая степень здесь равна единице):

Пх + 4у + 7г = 10 (г1) 2х + 5у + 82 = 11(г2)

Зх + 6у + 92 = 12(гЗ) Традиционно мы можем решить эту проблему, \г2- т,( | - 4 )у+(4-7^ = ^ -10, где

t^-3Z = T (r4);

-r3-r± : (2-4)y + (3-7)z =4-10, где -y-2z=-3 (r5)

18 ,-36 , ... 18*3

7r-r4(— -(-3» z =—

-H).

21

63

где--z =--,z = -;

M 5 10' 2'

y;

Таким образом, мы подставляем значение z в г5, чтобы получить значение

Подставьте значения z и у в г1/г2/г3, чтобы получить значение x. Следовательно, мы будем иметь единственное решение.

1

Х = ~2 у = 0 3

Или мы можем использовать метод исключения по Гауссу. Во-первых, мы можем извлечь все коэффициенты и получить «матрицу коэффициентов»:

"1 4 71

5

6

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

501

Technoogies^n^hemmucaiiommimrocmm

затем извлеките все константы в правой части уравнения и разделите их линией. Таким образом, мы получили:

г1 4 71101 2 5 8111 .3 6 9\12\

В таком виде мы называем это «Расширенная матрица». Затем, повторив три элементарные операции над строками

(1-е правило) Ряд А2 заменить на - A2;

1.

2. (3-е правило) Ряд А2 заменить на -1Л1+Л2;

3. (2-е правило) Поменяйте местами ряды А3 и А2. Мы получим:

4

5

"18

7

-3 21

0 0 —-

10

9

63 10

Который мы можем получить 7=^ из последней строки и, сделав

обратную замену, мы можем получить у=0 и х= - 1.

Очевидно, что по сравнению с традиционным способом исключение по Гауссу показывает процесс решения более четко и непосредственно. Общие и специальные Общий процесс:

В соответствии с показанным выше примером режим решения можно завершить, как показано ниже.

Извлекая связанное условие из вопроса, мы можем получить выражение:

гацХ1 + а±2х2 + ^13*3 + а1тхп = (¿1)

а12х1 + а22х2 + а23х3 + а2тхп =

а3 1 х1 + а32х2 + а33х3 + ''' а3тхп = к3 ( ^3) (4)

{а1 тх1 а2тх2 а3тх3 ''' аптхп = кт (^П)

( а11, а12, а13, а21 , ■ ■ ■ апт> к1, к2, к3, ... кт £ С X

Таким образом, переход к расширенному матричному виду:

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

502

Technoogies^n^hemmucaiiommimrocmm

a11X1 CL\2X2 a13x3 ■■■ almxn 1^1 a21xl a22x2 a23x3 ■■■ a2mxn\k2 a31xl a32x2 a33x3 ■■■ a3mxn 1^3

1 1 ^ 2 2 ^ 3 3 ■ ■ ■ I ^

m -1

(5)

Следовательно, мы можем провести аналогию с шагами из примера, чтобы получить матрицу эшелона строк.

ии Х1 Ь12х2 0 Ь22х2 ,

■ Ъ^-уЭСу b Ь2уХу bir-i-iX-

lr + lxr+l 1 2r+lxr+l

bimxn\tl

Ь2тхп\^2

0

0

0 ... blrxr blr+1xr+1... b3mxn\t3

0

0

0

Hmxn I t-m

(6)

( bii, 2, blr, blr+i , b2 2» ■ ■ ■ blm, t1; t2 , t3,. . . im £ С )

Затем используйте = чтобы сделать обратную замену для всей

"1т

строки выше и получить решение.

Ранг:

«В линейной алгебре ранг матрицы — это высший порядок ее ненулевого подфорума». [6] Утверждаем, что мы используем R(A) для представления ранга матрицы A. В процессе исключения по Гауссу в нашем исследовательском вопросе ранг матрицы коэффициентов (u) равен рангу, который был в виде строки эшелонированная матрица. Следует отдать должное характеру эшелона строк: R(u)=m; если существует другая матрица(а) с n переменными, получающая форму эшелона строк после процесса исключения по Гауссу, R(a) будет равна отметке строки наибольшего xn коэффициентом 0.

Ранг может помочь нам определить область/особенность решения линейных уравнений: пусть матрица коэффициентов системы линейных уравнений равна A, а расширенная матрица равна B=(A,b), тогда мы будем иметь:

I. R(A)=R(B)=n, (n £ VV+) система уравнений имеет единственное решение;

II. R(A)=R(B)<n, n £ VV+ уравнения имеют бесконечные решения;

III. R(A)=R(B)>n, n £ VV+ уравнение не имеет решения.

Сравнение методов

При использовании метода исключения для решения линейных систем можно обнаружить, что прикладных условий для его работы нет. Итак, это означает, что метод

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

503

g

g

исключения может взломать любую линейную систему, если правильно применено преобразование расширенной матрицы в линейную систему. Вот почему для нас это один из основных способов начать изучение линейной алгебры.

Однако, поскольку элементарные операции основаны на преобразованиях строк в строки, столбцов в столбцы или преобразований уравнений в уравнения, этот метод потребует от нас выполнения многих операций, когда мы сталкиваемся с более важными уравнениями или матрицами. В конечном итоге это станет очень громоздким и сложным процессом. Следовательно, при решении более сложных линейных систем существуют другие, более простые методы, чем использование основных правил исключения, то есть исключения по Гауссу.

Сравните с основными исключениями. Устранение Гаусса обеспечивает надежный способ решения проблемы. Не рассматривая все семь фундаментальных методов передачи матрицы, мы можем использовать метод исключения Гаусса, чтобы использовать только три из них, включая скалярное умножение строки, замену строк и скалярное умножение и сложение. Таким образом, метод исключения по Гауссу является эффективным методом с низкой сложностью. Для более значимых задач требуется гораздо меньше вычислений, удобно получить ранг заданной матрицы. Недостатком является то, что процедуру ручной работы запомнить сравнительно непросто, без компьютера требуется много времени.

Когда вы сталкиваетесь с математической задачей, целью всегда является поиск ответа, но решение ответа может быть разнообразным. То же самое относится и к линейной алгебре. В этой статье были определены две решения для различных линейных систем: метод исключения и исключение по Гауссу.

Для каждого метода мы приводили подробные расчеты, практическое применение, а также преимущества и недостатки. Таким образом, метод устранения имеет широкий спектр применения и не требует условий использования. Тем не менее, его работа громоздка и не подходит для сложных и больших линейных систем. Помимо исключения переменных, метод исключения Гаусса требует меньше вычислений для более крупных линейных систем и более удобен для получения ранга данной матрицы. Тем не менее, без компьютера выполнение вычислений

Вывод

вручную отнимает много времени и их трудно запомнить.

https://cspi.uz/

Republican Scientific and Practical Conference

October 20, 2023

g

g

Каждый метод имеет свои характеристики и недостатки, поэтому мы хотим обратиться к тому, как выбрать лучший метод для решения той или иной линейной алгебры. Для разных линейных систем необходимо гибко применять различные методы и в конечном итоге успешно решить задачу. С точки зрения этих проблем, объединение и объединение с другими междисциплинарными дисциплинами и широкое использование этих методов в моделях компьютерного программирования также является основной тенденцией развития в будущем. Речь идет не только о решении задач вручную, речь идет о том, что информатика будет играть все более важную роль в будущей оптимизации алгоритмов, и это то, что мы хотим видеть.

REFERENCES

1. Смирнов М.М., Уравнения смешанного типа. - М.: Наука, 1989 г., 495 с.

2. Rasulov X.R. Qualitative analysis of strictly non-Volterra quadratic dynamical systems with continuous time // Communications in Mathematics, 30 (2022), no. 1, pp. 239-250.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. - изд. 5-е. - М.: Айрис-пресс, 2005. - 279 с.

4. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - изд. 2-е, стереотип. -«Техшка», 1977. - 753 с.

https://cspi.uz/

Republican Scientific and Practical Conference

October 20, 2023