CC BY
0
ДВА РАДИУСА ИНЕРЦИИ КРУГА Харчев Г.А.1, Харчев И.Г.2
'Харчев Геннадий Александрович - исследователь, инженер-кораблестроитель, пенсионер, 2Харчев Иван Геннадьевич - исследователь, автослесарь, с. Смородино, Тульская область
Аннотация: актуальность статьи вызвана необходимостью повышения точности и достоверности значений момента инерции сечения в виде круга и исключения двойного интегрирования при его определении.
Ключевые слова: сечение, круговой сектор, центр тяжести сектора, медиана сектора, состояние безразличного покоя, радиус инерции, момент инерции формула, обороты вала, момент сопротивления, вращательное движение, угловая скорость, линейная скорость, коэффициент запаса прочности.
TWO RADIUS OF INERTIA OF A CIRCLE Kharchev G.A.1, Kharchev I.G.2
'Kharchev Gennady Aleksandrovich - researcher, shipbuilding engineer, pensioner, 2Kharchev Ivan Gennadievich - researcher, car mechanic, SMORODINO, TULA REGION
Abstract: the relevance of the article is caused by the need to increase the accuracy and reliability of the values of the moment of inertia of the section in the form of a circle and to exclude double integration when de Keywords: cross section, circular sector, center of gravity of the sector, median of the sector, state of indifferent rest, radius of inertia, moment of inertia formula, shaft revolutions, moment of resistance, rotational motion, angular velocity, linear velocity, safety factor.
Для рассмотрения момента инерции сечения в виде круга элементарную площадку представим круговым сектором, фигурой, которая может наиболее точно составить площадь круга.
В учебниках по сопротивлению материалов, элементарная площадка выделяется из кольца двумя лучами, исходящими из полюса [1.] Затем проводится двойное интегрирование по углу и радиусу. Интегрируя по углу, получаем кольцо, интегрируя по радиусу, получаем площадь круга. Расстояние до элементарной площадки меняется от нуля до радиуса. При расстоянии равном нулю, кольцо снова превращается в круг радиуса dp не равное нулю. Если же вначале интегрировать по радиусу, получим сектор, состоящий из элементарных кольцевых площадок. Рассматривая момент инерции полученного сектора как сумму моментов инерции кольцевых элементарных площадок, расстояние изменяется от 0 до R [2. стр. 18. рис. 12,13]. Но площадь полученного кругового сектора (далее сектора) состоит из элементарных частиц, взаимосвязанных между собой. Взаимная связь, накладывает требование наличия общих характеристик сечения, например центра тяжести. Может ли расстояние до элементарной площадки в виде сектора изменяться от нуля до радиуса?
Центр тяжести сектора определяется формулой - Хс=2/3R(SinX/2)/(x/2) [3. с. 8, р. 2] X - центральный угол сектора, в градусах; х - центральный угол сектора, в радианах. Рассмотрим изменение положения центра тяжести сектора не с точки зрения изменения центрального угла, а с точки зрения изменения угла медианы, на которой находится центр тяжести. Xc=2/3R*SinA/a, где: A - угол медианы, в градусах; a - угол медианы выраженный в радианах.
Уравновешенный круг находится в состоянии безразличного покоя. Если его повернуть на некоторый угол относительно полюса без ускорения, он останется в покое в этом повернутом положении. Поэтому количество секторов (n), на которое разделим площадь круга должно быть парным относительно полюса.
n=2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536. Количество секторов не может быть бесконечным и сектор не может стать прямой линией. Максимальное количество секторов определяется отношением SinA/a=1. [См.Таб1, n=65536 стр.7].
Для данных секторов определим значения центров тяжести (Хс). Порядок операций на инженерном калькуляторе180/^ш=/л*2/3= Хс2=2Ш^ш180/2)/(л/2) = 0,42441318R Xc4=2/3R(Sin 180/4)/( л/4) = 0,60021088R Xc8=2/3R(Sin180/8)/(n/8) = 0,64966357R Xc16=2/3R(Sin180/16)/(n/16) = 0,66239123R Xc32=2/3R(Sin180/32)/(n/32) = 0,66559626R Xc64=2/3R(Sin180/64)/(n/64) = 0,66639897R
Xc128=2/3R(Sm180/128)/(n/128) = 0,66659974R Xc256=2/3R(Sm180/256)/(n/256) = 0,66664993R=0,667R Xc512=2/3R(Sin180/512)/(n/512) = 0,66666243R=2/3R=0,6667R Xc1024=2/3R(Sin180/1024)/(n/1024) = 0,66666562R=2/3R=0,6667R Xc2048=2/3R(Sin180/2048)/(n/2048) = 0,66666641R=2/3R=0,6667R Xc4096=2/3R(Sin180/4096)/(n/4096) = 0,66666660R=2/3R=0,6667R Xc8192=2/3R(Sin180/8192)/(n/8192) = 0,66666665R=2/3R=0,6667R Xc16384=2/3R(Sin180/16384)/(n/16384) = 0,66666666=2/3R=0,6667R Xc32768=2/3R(Sin180/32768)/(n/32768) = 0,666666665=2/3R=0,6667R Xc65536=2/3R(Sin80/65536)/(n/65536) = 0,66666667=2/3R=0,6667R
Если принять длину дуги сектора за путь, который совершает точка по окружности, диаметр которой равен диаметру рассматриваемого круга за время его одного оборота, количество секторов будет определять число оборотов круга данного диаметра в единицу времени, необходимую при проектировании. При одинаковой длине дуг секторов, движение будет равномерным. Выразим линейную скорость точки по дуге сектора и линейную скорость той же точки через угловую скорость: V=(2nR/n)/T=(2a/T)R=WR=V, где: V - линейная скорость; W - угловая скорость; T - время одного оборота круга(период); а - угол медианы в радианах; n - число оборотов круга. Из равенства линейной скорости, выраженной через длину дуги и линейной скорости, выраженной через угловую скорость, количество оборотов- n, будет равно n/a - количеству секторов. Равномерное вращательное движение начинается с 512 оборотов, при установочной точности четыре знака и c 256 оборотов, при установочной точности три знака. Данные числа оборотов и последующие можно считать оптимальными и выразить N=256n, где n=2; 4; 8; 16... 256-ближайшее число секторов необходимое для получения проектируемых оборотов. Данные числа оборотов не совпадают с оборотами выпускаемых электродвигателей. Например- АИС 315 М6 на лапах (IM1001, IM 1081) Nc=60f/p об./мин., где 60-количество секунд в минуте^-частота питающего тока,р-число пар полюсов эл. дв. [4.]
Начальные числа оборотов от 2 до 256 отражают переход от вращательного движения к равномерному вращательному движению. Плавное изменение числа оборотов в этих пределах влечет изменение мгновенных значений центральных углов секторов и, следовательно, положение их центра тяжести. Это приводит к возникновению повышенной вибрации при пуске, торможении и остановке. Чтобы сгладить данную вибрацию, необходимо иметь регулятор данных оборотов ступенчатого типа. В круге зона определяемая Ri в пределах 0,42441318R< Ri < 0,66664993R является наиболее часто подверженной переменным нагрузкам и ,следовательно, уязвимой для разрушения.
Обороты от нуля до двух характеризуют состояние безразличного покоя круга, когда влияние центробежного ускорения еще не проявляется. Два радиуса инерции круга
Полученные значения Хс2 и Хс512 проверим экспериментально. Для этого на токарном станке из одинаковых пластин по материалу(однородных) и толщине вырежем два круга одинакового диаметра с отверстием в центре, для возможности подвесить на горизонтально расположенный штырь. Один круг разрежем на две части. Линия разреза должна остаться на одной из половин, чтобы эту половину подогнать по весу равному весу половине круга. Полученную половину круга приклеим к плоскости одной из сторон целого круга. Возникший дисбаланс будем уравновешивать заготовленными грузами, перемещая их по медианам секторов. При установившемся равновесии, замеряем расстояние от полюса до центра груза. Вес грузов в совокупности должен составлять вес половины круга. Отдельные грузы должны соответствовать весу сектора, по медиане которого будет перемещаться груз. В нашем случае диаметр диска-92,6 мм. Вес полудиска-20,22 гр., вес одного груза 10,11гр. (два груза). Перемещая два груза по оси Х определим - Хс min. [рис. 1] Перемещая эти же грузы по оси в 45 градусов над осью Х и под осью Х определим - Хс тах.[рис. 2] При установившемся равновесии, замеряем расстояние от центра круга до центра груза. Если приклеенный полукруг развернуть на некоторый угол и снова провести уравновешивание, результат будет одинаковый (грузы и диски одни и те же). Проводя такую перестановку по кругу, Хс опишет окружность радиуса Хс2 и Хс512(радиусы инерции-i min; i max [рис. 3].
i min=0,424413R=0,424413*46,3=19,65(мм.) - теоретически. Практически - 19,60мм [фото 1] i max=0,666662R=0,666662*46,3=30,87(мм.) - теоретически. Практически - 30,90мм. [фото 2] После каждого уравновешивания проверяем круг с грузами на состояние безразличного покоя. В настоящем эксперименте это обеспечивается.
«Центром тяжести сечения называется точка, обладающая свойством- статический момент фигуры, относительно любой оси проведённой через центр тяжести, равен нулю.» [5]
Теперь проверим, являются ли два радиуса инерции следствием состояния покоя круга и его вращательного движения, или это независимые друг от друга характеристики? Возьмём половину груза, перемещаемую по оси Х и два груза, составляющие вторую половину груза(2*5,055гр.). Разместим их по
медианам секторов 180о и 90о, снизу и сверху оси Х. Эксперимент показывает, что и в этом случае уравновешивание выполняется, и обеспечивается состояние безразличного покоя.
Кроме как уравновесить полукруг на уравновешенном диске грузами, по весу в совокупности составляющими вес полукруга, размещая их по окружностям радиусов i-min, i-max, вариантов уравновешивания нет. Радиусы инерции являются независимыми друг от друга характеристиками уравновешенного круга, которые не зависят от вида материала, а зависят от диаметра круга.
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
Фото 1. Эксперимент 1.
Фото 2. Эксперимент 2.
Зависимость момента инерции от точки приложения внешней силы
В соответствии с третьим законом Ньютона, две материальные точки взаимодействуют друг с другом вдоль линии, соединяющей эти точки с силами равными по величине, противоположными по направлению [6. Стр. 5. Р 1.3.]
Внешняя сила действует на круг перпендикулярно окружности и линия её действия проходит через центр данной окружности. Центр тяжести сектора лежит на медиане центрального угла сектора. Линия противодействующей силы должна проходить через точку приложения внешней равнодействующей силы (по третьему закону Ньютона), центр тяжести сечения(полюс) и центр тяжести сектора. Линия действия силы инерции, которую мы рассматриваем, как способность тела противодействовать действию
внешней силы, должна проходить через три точки: центр тяжести сечения (полюс), центр тяжести сектора и точку приложения внешней силы. Через три точки можно провести прямую линию, если эти точки лежат на этой прямой линии.
Отсюда вытекает определение, которое можно принять как аксиому - точка приложения внешней равнодействующей силы лежит на одной прямой линии с центром тяжести сектора, медиана которого определяет этот сектор и положение центральных осей при воздействии внешней равнодействующей силы [рис. 4].
Определение полярного момента инерции круга в зависимости от числа оборотов
,То=№*Хс2 =Хс^8 [рис.4]
Для определённого числа оборотов Хс является постоянной величиной и поэтому его значения будем определять за знаком интеграла. dS=1/2ОM*2АМ=ОМ*АМ= К2*СозаА*81МА, где: ОМ=RCosdA; АМ=RSindA
Для малых углов CosdA=1, SindA=da п
тогда 8= R2|da=R2a/ При а= п, 8= пЯ2 0
1о=8*Хс2= пR2*(2/3R*8inA/a)2=4/9 пR4*8inA/a*8inA/a. Обозначим 8^а=к, 1о=4/9 пR4*k2=JOl. Заменяя одно выражение SinA/a=k, и в другом - а=пМ, получим - Jo=4/9R4*SinA*k*n=Jo2. Теперь представим а= п/п в каждом выражении SinA/a Jo=4/9R4*Sin2A/п*n2=Jo3
Полученные формулы проверим для чисел оборотов, ранее рассмотренных при определении центра тяжести, в зависимости от положения медианы секторов.
180/п 8тА: п/п 4/9пК4*к2 4/9К48тА кп 4/9К48т2А/л*п2=1о
п А0 к ^ .102 3
2 90 0,63661977 0,56588424R4 0,56588424R4 0,56588424R4
4 45 0,90031632 1,13176849R4 1,13176849R4 1,13176849R4
8 22,5 0,97449536 1,3259492Ж4 1,32594926R4 1,32594923R4
6 11,25 0,99358685 1,37841194R4 1,37841194R4 1,37841194R4
32 5,625 0,99839439 1,39178329R4 1,39178330R4 1,39178330R4
64 2,8125 0,99959845 1,39514232R4 1,39514229R4 1,39514230R4
128 1,40625 0,99989960 1,39598306R4 1,39598305R4 1,39598305R4
256 0,703125 0.99997474 1,39619286R4 1,39619298R4 1,39619331R4
512 0,3515625 0,99999348 1,39624589R4 1,39624589R4 1,39624589R4
1024 0,17578125 0,99999840 1,39625893R4 1,39625898R4 1,39625699R4
2048 0,08789063 0,99999961 1,39626231R4 1,39626239R4 1,39626247R4
4096 0,04394531 0,99999990 1,39626312R4 1,39626291R4 1,39626297R4
8192 0,02197265 0,99999991 1,39626315R4 1,39626348R4 1,39626381R4
16384 0,01098633 0,99999992 1,39626318R4 1,39626362R4 1,39626386R4
32768 0,00549316 0,99999999 1,39626337R4 1,39626235R4 1,39626133R4
65536 0,00274658 1,00000001 1,39626343R4 1,39626224R4 1,39626131R4
Охарактеризуем полученные формулы полярного момента инерции круга.
Первая формула Jo1=4/9nR4k2 отражает влияние внешней силы на величину момента инерции и рассматривается как статический момент инерции. При n=2, влияние центробежного ускорения не сказывается.
Вторая формула Jo2=4/9R4SinA*k*n отражает влияние внешней силы и числа оборотов на величину момента инерции ведомого вала, на который действуют вращающая сила и обороты ведущего вала. Точка приложения внешней равнодействующей силы зависит от способа передачи вращательного движения (фрикционный, ремённый, зубчатый и т.д.).
Третья формула Jo3=4/9R4Sin2A/n*n2 отражает влияние необходимого числа оборотов на величину момента инерции и рассматривается для расчёта ведущих валов. Для двигателей внутреннего сгорания угол А определяет расположение шатунных шеек коленчатого вала по отношению к коренным шейкам, c учётом порядка вспышек и количества цилиндров.
В электродвигателях угол А определяет сдвиг магнитных полей статора и ротора, что обеспечивает вращение ротора и соответствующий К.П.Д.
По всем формулам получены одинаковые значения из-за рассмотрения в одинаковых, согласованных условиях (угол и обороты).
Для выделения осевых составляющих полярного момента инерции, рассмотрим каким образом изменяются стороны треугольника, по которому определялась площадь круга, при изменении угла медианы сектора. (см. рис.4)
AM=MB=RSinA ; M1B/MB=SinA;M1B=MBSinA=RSin2A OM1/OM=CosA ; OM1=OMCosA; OM/OB=CosA;OM=OBCosA=RCosA. OM1/OM=CosA; OM1=OM*CosA=RCos2A ; M1B+OM1=R=RSin2A+RCos2A; Выполняется основное тригонометрическое тождество- Sin2A+Cos2A=1 [7].
Общая формула момента инерции для вращательного движения будет иметь вид: J=Jo(Sin2A+Cos2A),
где:
Jo*Sin2A=Jx; JoCos2A=Jy.
J1=Jo1(Sin2A+Cos2A), где: Jo1*Sin2A=Jx1; Jo1*Cos2A=Jy1 J2=Jo2(Sin2A+Cos2A) : Jo2*Sin2A=Jx2; Jo2*Cos2A=Jy2 Js=Jos(Sin2A+Cos2A) : Jos*Sin2A=Jxs; Jos*Cos2A=Jys
Общая формула для равномерного вращательного движения будет иметь вид: J=1,3963R4(Sin2A+Cos2A), где: Jx=1,3963R4Sin2A и Jy=1,3963R4Cos2A-мгновенные значения осевых составляющих.
Момент сопротивления
Mомент сопротивления определяется как отношение момента инерции к расстоянию максимально удалённой точки сечения от центра (полюса) или оси [2. стр. 26 рис.13].
Рассмотрим момент сопротивления как отношение момента инерции к радиусу инерции. Wo min=Jo min/i min ; Wo max=Jo max/i max. Wo min=0,56588424R4/0,4244131R=1,33333333R3 Wo max=1,39624589R4/0,66666243R=2,09438214R3.
Для выравнивания момента сопротивления, принимаем минимальный момент сопротивления умноженный на коэффициент запаса прочности (К.з.п.).
W=Wmin*Kз.п.=1,33333333К3*1,570786=2,09438133=Wmax.
Следовательно, размеры сечения вала необходимо выбирать по максимальному моменту сопротивления (К.з.п. принимаем как отношение i max/ i min= 0,666662/0,424413=1,570786). Определение момента инерции через радиус инерции. Jomax= |dS*i2 max=nR2*(2/3R)2=1,3963R4 Jomin= JdS*(i min*Kз.п.)2=пR2*(0,4244R*1,5708)2=1,3963R4 Определение момента сопротивления через радиус инерции. Womax=Jo max/i max=1,396263R4/0,666662R=2,0944R3
Womin=Jomin/(imin*Kз.п.)= =1,396263R4/(0,4244131R*0,666662R/0,4244131R)=2,0944R3 Определение процентной разницы в значениях момента инерции по предлагаемой формуле и существующей [8].
(1/2nR4-4/9nR4) :(1/2nR4+4/9nR4)/2*100%=11,76% По моменту сопротивления: W=1/2nR4/R=1/2nR3=1,5708R3 (W-Wo)/(W+Wo):2*100%=(1,5708-2,0944)/(1,5708+2,0944):2*100%=28,57% Выводы
При определении момента инерции, двойное интегрирование вытекает из необходимости увязать площадь рассматриваемого сечения с площадью элементарных площадок. Если элементарную площадку представлять фигурой, которая может наиболее точно составить площадь рассматриваемого сечения, интегрирование можно заменить суммированием, учитывающим общий центр тяжести элементарных площадок. Mil рассматриваем сечение в виде круга. Такие балки используются для узлов и механизмов,
имеющих скользящие опоры, т.е. во вращательном движении. Балки круглого сечения, при работе на изгибающий момент, мало эффективны.
Рассмотрев элементарную площадку в виде кругового сектора установлено, что расстояние до такой площадки не может меняться от нуля до радиуса. Поэтому интегрирование по радиусу исключено. Интегрирование проводилось по углу медианы сектора, для получения площади сечения.
При таком рассмотрении возможно увязывать точку действия внешней силы с положением медианы сектора, линией действия противодействующей силы (силы инерции), которая рассматривается как способность тела противодействовать действию внешней силы, и положение центральных осей при этом. Точка приложения внешней равнодействующей силы лежит на одной прямой с центром тяжести сектора, медиана которого определяет этот сектор и положение центральных осей при воздействии внешней равнодействующей силы.
Установлено и подтверждено экспериментом, что круг имеет ещё две независимые друг от друга характеристики: минимальный радиус инерции (i min) и максимальный радиус инерции (i max). Окружности данных радиусов отображают геометрическое место положения общего центра тяжести элементарных круговых секторов для состояния безразличного покоя уравновешенного круга. При одинаковой плотности материала и толщине круга по всей его поверхности, круг будет уравновешенным. Это относится и к композитным материалам. Радиусы инерции не зависят от вида материала круга, а зависят от его диаметра.
"Центром тяжести сечения, называется точка, обладающая свойством - статический момент фигуры, относительно любой оси проведённой через центр тяжести, равен нулю" [5. раздел 1]. В проведённом эксперименте по определению радиусов инерции определялось плечо, создающее статический момент, при котором статический момент всей системы равен нулю.
Максимальное количество парных секторов, на которые можно разделить круг, составляет 65 536 ед. [табл. 1].
Оптимальные числа оборотов для равномерного вращательного движения круга определяются формулой-Ы=256п, где п=2;4;8;16...256-ближайшее число секторов необходимое для получения проектируемых оборотов. Данные обороты не совпадают с оборотами электродвигателей, выпускаемых промышленностью. Поэтому, при подборе привода рассчитываемого вала, необходимо учитывать оптимальные обороты ведомого вала.
Для учёта влияния числа оборотов на величину момента инерции необходимо определять коэффициент запаса прочности, который рассматривается как отношение максимального радиуса инерции к минимальному радиусу инерции - Кз.п.=imax/imin=0,6667R/0,4244R=1,5708 и вводить его при определении момента сопротивления сечения, для учёта влияния числа оборотов на величину момента инерции. Раэмеры сечения вала(диаметр) необходимо выбирать по максимальному моменту сопротивления. Затем проверять на прочность по допустимым напряжениям, в установленном порядке, и вносить необходимые корректировки, если такие потребуются.
Общую формулу момента инерции круга при вращательном движении можно представить:
J=Jo (Sin2A+Cos2A), где -JoSin2A=Jx,JoCos2A=Jy - мгновенные значения осевых составляющих;
Jo - полярный момент сечения; A - угол равнодействующей внешней силы создающей вращательное движение рассматриваемому валу.
В зависимости от условий в которых будет эксплуатироваться вал Jo определяется: Jo1=4/9 nR4k2; Jo2=4/9R4SinA k n ;Jo3=4/9R4Sin2A/n*n2 где^тД^к , A-угол действия внешней равнодействующей силы (выраженный в градусах), a-угол действия внешней равнодействующей силы (выраженный в радианах),
n- число оборотов веломого (рассматриваемого) вала.
Общую формулу момента инерции круга, для равномерного вращательного движения можно принять в следующем виде: J=1,3963R4(Sin2A+Cos2A), где: Jo=1,3963R4 - полярный момент инерции круга;
Jx=1,3963R4Sin2A-мгновенные значения момента инерции круга, относительно оси Х. Jy=1,3963R4Cos2A - мгновенные значения момента инерции круга, относительно оси У. При угле А=0;90;180;270 градусов значения момента инерции будут отражать значения статических моментов инерции круга.
При угле А=45 градусов, SinA=CosA и перепады значений отсутствуют.
Момент сопротивления сечения Wo=J/i max=Jo(Sin2A+Cos2A)/i max
Для равномерного вращательного движения -
W=J/i max=1,3963R4/0,6667R *(Sin2A+Cos2A)=2,0944R3(Sin2A+Cos2A)
Wx=Jx/ i max=1,3963R4Sin2A/0,6667R=2,0944R3Sin2A
Wy=Jy/ i max= 1,3963R4Cos2A/ 0,6667R=2,0944R3Cos2A
Данные формулы можно использовать для создания программ искусственного интеллекта, повысить точность и достоверность расчётов на 11,76%.
В дальнейшей перспективе приведённый порядок определения моментов инерции, можно использовать для других форм сечений. в зависимости от условий их применения. Для этого необходимо определить центр тяжести сечения (по элементарным площадкам), осевые моменты инерции относительно центральных осей, а полярный - как сумму моментов инерции элементарных площадок относительно общего центра тяжести сечения, принимая во внимание, что полярный момент - это сумма произведений эл. площадок на квадрат расстояния от их центров тяжести до какого-либо полюса [6. с. 12 раздел 4.].
Список литературы /References
1. Рудицын М.Н., Артёмов. П.Я, Любюшиц М.И. «Справочное пособие по сопротивлению материалов». Издание 3-е переработанное и дополненное. Высшая школа, г. Mинск, 1970 г.
2. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. «Справочник по сопротивлению материалов» Издание второе, переработанное. Киев, Наукова думка,1988 г.
3. Калентьев В.А., Калинин В.М., Раевская Л.Т., Чащин Н.И. «Центр тяжести тел» Федеральное агентство по образованию РФ Екатеринбург 2006. [Электронный ресурс]. Режим доступа: elar.usfeu. ru>handle/123456789/808/3/kalentyev.
4. Частота вращения электродвигателя. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https ://cable.ru/articles/1135 -chastota-vracsheniya-elektrodvigatelya.
5. Галандцев В.А. Mетодическое пособие по изучению дисциплины «сопротивление материалов» и выполнению лабораторных работ. ФГБОУ ВО кафедра автомобилей, тракторов и сельскохозяйственных машин. Великие Луки 2021. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://edu.vgsa.ru/pluginfile.php/176071/mod_resource/content/1/Геом.харак%20—%20брошюра.pdf.
6. Борисовский В.В. «Динамика поступательного и вращательного движения» (теория и практика). Mетодическое пособие для студентов всех направлений. Рубцовск 2013. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https ://www. rubinst. ru/sites/default/files/static/vuz/Departaments/TiTMiPP/directions/MS/Tutorials/Динами ка%20поступательного%20и%20вращательного%20движений%20(теория%20и%20практика)%20(Бор исовский%20В.В.)%202013.pdf
7. Основное тригонометрическое тождество. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://skysmart.ru/articles/mathematic/osnovnoe-trigonometricheskoe-tozhdestvo.
8. Процентная разница. Формула. Последнее обновление 15 января 2024 г. [Электронный ресурс]. Режим доступа:https://www.geeksforgeeks.org/what-is-percentage-difference-formula/
