CC BY
14Системы, сети и устройства телекоммуникаций
УДК 621.391
Два метода определения параметров межсимвольной интерференции без использования тестовых сигналов
Полушин П.А., Ульянова Е.В. Аннотация: Авторами предложены и исследуются два метода оценки параметров сигналов, прошедших многолучевые каналы с межсимвольной интерференцией с использованием принципов максимального правдоподобия и алгебраических соотношений. Методы предназначены для использования в свёрточных алгоритмах подавления воздействия межсимвольных искажений при передаче цифровых сигналов и для их применения не требуются специальные тестовые сигналы.
Ключевые слова: многолучевые каналы, межсимвольная интерференция, свёрточная обработка, корреляционные соотношения.
Two methods of the estimation of parameters of intersymbol interferences without using of test signals
Polushin P.A., Ulyanova E.V. Abstract: Two methods of measuring of parameters of signals transmitted through multipath channels with intersymbol interferences using the principles of maximum likelihood and algebraic correlations are proposed and examined by authors. The methods are intended for using in convolutional algorithms of suppression of intersymbol interferences of digital signals and do not require application of special test signals.
Key words: multipath channels, intersymbol interference, convolutional processing, correlational ratios.
Постановка задачи
При передаче цифровых сигналов по каналам с многолучевостью, когда разница во времени распространения сигналов по различным лучам превышает длительность одного символа, наблюдается появление межсимвольной интерференции (МСИ) сигналов. Если эта разница имеет значительную величину, то интерферировать могут несколько подряд идущих символов, вызывая заметные искажения передаваемой информации. Известны различные методы борьбы с межсимвольной интерференцией ([1-4]). Для их эффективного использования требуется знать параметры, характеризующие текущую МСИ. Получение параметров, как правило, организуется использованием периодически повторяющихся тестовых сигналов, зондирующих канал передачи. Анализ характеристик этих сигналов на приёмной стороне позволяет получить требуемые параметры.
Однако, в некоторых случаях использование тестовых сигналов невозможно или нежелательно. В то же время и в этом случае для некоторых методов борьбы с МСИ, в частности, методов с применением модифицированной сверточной обработки ([5,6]), набор требуемых параметров может быть получен без использования тестовых сигналов. При этом используется тот факт, что независимо от конкретных значений параметров МСИ между принимаемыми подряд символами существуют определенная связь, и анализируя их последовательность возможно произвести оценку требуемых параметров.
В статье описываются предложенные авторами два метода бестестового оценивания параметров МСИ и проводится анализ их свойств и характеристик.
Метод с оценкой максимального правдоподобия
Как известно, при воздействии МСИ принимаемый 7-тый цифровой сигнал у может быть описан, как:
т
Уi = X ах_ я-1,
1=1
где х^ - передаваемые бинарные сигналы; а}- -коэффициенты МСИ, отражающие вклад предыдущих символов в текущий символ; т-количество предыдущих символов, вносящих вклад заметного уровня.
Для работы алгоритмов подавления МСИ необходима оценка текущих значений коэффициентов а. Оценка без использования тестовых сигналов основывается на том, что каждый последующий принятый символ у, исходя из набора предыдущих символов, может принимать не любое возможное значение, а лишь ограниченное число вариантов. Действительно, пусть информационные сигналы х могут принимать одно из двух возможных значений: +1 и -1. Соответственно, принимаемые сигналы у , рассматривае-
2 т
возможных значений.
Если бы отсутствовали шумы, то, получив
2 т «
точных значений всех возможных вариантов у , можно было бы по выборке относительно небольшого объема (за редким исключением) аналитически вычислить значения всех коэффициентов а.. Однако из-за воздействия шумов проделать это практически затруднительно из-за возникающих ошибок, и необходимо использовать статистические методы.
Выберем в последовательности принимаемых сигналов некоторый сигнал ук, значе-
т
ние которого равно X а.хк_.+1 . Последую-
1=1
щий за ним сигнал ук+1 будет равен
т
X а.хк_ 1+2 . Если рассмотреть другие симво-
1=1
лы последовательности, значения которых
тоже равны значению ук, то символ, следующий за каждым из них, может принимать не любые значения из 2т возможных, а только
т
одно из двух значений: а1 + X а.хк _.+2 или
1=2
т
_ а1 + X а1хк _ 1+2. 1=2
Точно также, некоторому сигналу ук может предшествовать не любой из 2т сигналов, а также только два возможных сигнала:
т _1 т _1
X а1хк _ 1 + 2 + ат и X а1хк _ 1 + 2 _ ат . Эти взаи-
1 =1 1 =1
мосвязи можно использовать для построения оценок значений параметров {а1 + ат}.
Как известно [1], при оценке совокупности параметров по критерию максимального правдоподобия в общем случае необходимо находить значения вектора оценок параметров {а1 + ат} = а, соответствующих глобальному максимуму многомерной (в данном случае т-мерной) условной функции распределения Ь(а) = Жт(у1...уы /а) выборки из N принятых отсчетов уг-. Поскольку нет оснований выделять какие-либо отсчеты, будем считать их все равноправными.
Каждый последующий отсчёт указанным образом зависит от предыдущего отсчёта, любой из отсчётов у^ (без учёта шума) образован алгебраической суммой коэффициентов а1, где знак перед каждым коэффициентом определяется бинарными значениями соответствующих т последних сигналов х{ ^ х;_т+1. Это соответствие может быть легко установлено, например, для т=3 оно приведено в таблице 1.
Таблица 1.
Ук Ук+1
-a1-a-±a3 ±aj-a2-a3
-aj+a2±a3 ±a1-a2+a3
+aj-a2±a3 ±a1+a2-a3
+aj+a2±a3 ±a1+a2+a3
Знак «±» в ук означает, что последний коэффициент а3 значения не имеет, и конкретное последующее значение ук+1 появляется
при любом из этих двух предыдущих значений ук. В ук+1 этот знак означает, что может равновероятно появиться любой из указанных двух вариантов.
При определении плотности вероятности распределения каждого отсчёта будем учитывать его зависимость только от предыдущего отсчёта, тогда при значении дисперсии шума, равной о2, плотность распределения отсчёта ук+1 будет равна:
Ж (ук+1 / ^ = 0.25{ехр[- - - Л)2] +
s
+exp[-
(-öj - a2 + a3 - yk )2
X{exp[-
s
( ö1 - a2 - ö3 - Ук +1)2
s
]} x
] +
+exp[-
(+ö1 - a2 - аз - ук+1 ) 2
s2
]}+
+ 0.25{exp[-
( Öj + 02 - 03 - Ук )2
s
] +
+ exp[-<-ö + Ö2 + аз - yk)2
s
]}x
X{exp[-
(-а1 - а2 + аз - Ук+1)2
s
] +
+exp[-
(+а1 - а2 + аз - ук+1)2
s2
]}+
(+Ö1 - Ö2 - Ö3 - Ук )2
+ 0.25{exp[- 2
s2
] +
+exp[-
(+öj - ö2 + аз - Ук)2
s
X{exp[-
(-а1 + a2 - аз - Ук+1)2
s
]}x ]+
+exp[-
(+öi + ö2 - аз - ук+i )2
s2
]} +
+ 0.25{exp[- 2
s2
(+ai + a2 - аз - Ук)_] +
+exp[-
(+Öj + ö2 + аз - ук )2
X{exp[-
s
(-öi + ö2 + аз - Ук+i)2
s2
]}x
] +
+exp[-
(+ai + а2 + аз - Ук+i)2
s2
Для определения оценок коэффициентов а1-а3 необходимо найти максимум произве-
дений этих функций по всем отсчетам выборки.
Данный классический подход обеспечивает наилучшую в смысле применяемого критерия оценку, однако в практическом применении встречает значительные трудности. Они заключаются в том, что функция Z(a) имеет множество локальных максимумов, поэтому поиск глобального максимума с помощью, например, градиентных методов приводит, как правило, в один из локальных. Поэтому был реализован комбинированный метод. Он заключается в двухступенчатой процедуре. На первом этапе га-мерная область возможных значений коэффициентов а покрывалась сеткой той или иной густоты. Целевая функция вычислялась в узлах сетки, и выбирался тот узел, где она имеет наибольшее значение. Набор параметров {а1 + ат}, соответствующих этому узлу, и принимался в качестве начального приближения уже для градиентного поиска.
Однако объём вычислений при этом растет пропорционально тч, где q - число узлов сетки, и для выборок большого размера становится недопустимо большим. Тем не менее, было подмечено, что при выборе значения о2, несколько большего, чем мощность шума в системе, происходит определённое сглаживание функции L(a), что позволяет уменьшить выбранное число узлов сетки и сократить объём вычислений.
Некоторые результаты компьютерного моделирования работы алгоритма оценки параметров с использованием данного метода приведены на рис. 1 и 2. Было проведено достаточно большое количество вычислительных экспериментов, в которых при разных значениях параметров МСИ имитировались наборы выборок из отсчётов сигналов, прошедших многолучевой канал. На основе выборок с использованием предложенного метода оценивались параметры и оценки
сравнивались с их истинными значениями, используемыми при имитации сигналов. Поскольку из-за статистического характера процессов полученные значения погрешностей несколько различались в разных экспериментах из набора с одинаковыми параметрами, то полученные их значения усреднялись по всем выборкам каждого набора.
В качестве примера выбраны ситуации при т=3 и значениях параметров МСИ в условных единицах: 0]=1; а2=0,8; а3=0,3 (рис. 1) и а1=1; а2= -0,5; а3=0,7 (рис.2).
Нумерация графиков соответствует параметрам: а1 - графики 1; а2 - графики 2; а3 -графики 3.
Моделирование производилось при количестве отсчетов N=1000. На обоих рисунках сплошными линиями обозначены графики, полученные при количестве узлов сетки по каждому из параметров, равном 11, прерывистыми линиями - при количестве узлов, равном 21.
По горизонтальной оси графиков отложено значение р:
7 2 2 2 а1 + а2 + а3 /а,
т. е. отношение квадратного корня из суммы мощностей всех полезных составляющих МСИ к среднеквадратическому отклонению шумовой составляющей после демодуляции. В качестве модели шумовой составляющей использовался гауссов процесс. По вертикальной оси графиков отложен в процентах модуль К усреднённой относительной погрешности полученной оценки каждой из составляющих МСИ.
Графики показывают, что точность оценки параметров значительно зависит как от количества узлов сетки, так и от уровня мешающей шумовой составляющей, а также определяется конкретными значениями параметров МСИ. Эксперименты также показали отсутствие значительного увеличения точности при увеличении числа отсчетов N. Заметное возрастание точности оценки параметров наблюдается при росте количества узлов сетки, однако это приводит к резкому увеличению объёма и длительности вычислений.
Алгебраический метод оценки параметров
Другой метод оценки параметров МСИ основан на определённых алгебраических соотношениях между ними. Сущность метода основана на том, что символы х, исходной информационной последовательности можно считать взаимно независимыми. Определяя корреляционные соотношения между различными принятыми отсчётами, можно по-
30%
Рис.1. Точность по методу максимального правдоподобия. Параметры: а1=1; а2=0,8; а3=0,3
1 f
1 \
\ \2 v 3
* У x
0 0 6 3 10 12 Р-ДБ
Рис.2. Точность по методу максимального правдоподобия. Параметры: а1=1; а2=-0,5; а3=0,7
лучить ряд показателей, на основе которых вычисляются искомые коэффициенты МСИ.
Рассмотрим оценивание на примере трёх коэффициентов (га=3).
Пусть промежуточные параметры Q1-Q3 определяются, как
Ql = у2,
Q2 = УгУг-
Q3 = УгУг +2 ,
где черта над выражением означает усреднение по всему объему выборки. Поскольку
для выборки достаточного объема хгхк »0 для гфк, то
0 2 , 2 , 2 1 = а1 + а2 + а3,
^2 = аа + а2а3, (1)
Qз = а1а3.
Параметры Q1-Q3 являются результатом измерения, и если они определены с достаточной точностью, то необходимые коэффициенты находятся решением данной системы нелинейных алгебраических уравнений.
Для т>3 система составляется аналогич-
но, т.е. параметры Qr равны: Qr = угуг-г+1 . Их взаимосвязь с коэффициентами а, на основе которой строится соответствующая система из т уравнений, определяется выражением
Qr = I
j=i
ajaj + r-1 .
При практическом использовании данного метода необходимо ставить вопрос о требуемой длине выборки N. Она определяется тем, чтобы после усреднения величина компонент
хгхк была действительно близка к нулю. Поскольку произведение хгхк принимает равновероятные значения +1 и -1, то оно имеет нулевое среднее значение и биномиальное распределение, смещённое на N/2. Таким образом, среднеквадратическое отклонение (СКО) этого произведения от нуля равно
2. Ошибка оценивания коэффициентов МСИ определяется как величиной этого СКО, так и нелинейным характером математических операций при решении системы нелинейных уравнений.
На конечный результат оценивания влияет не только отличие от нуля усредняемых компонент хгхк , но и присутствие в сигналах шумовой составляющей. В этом случае, поскольку шумовые составляющие различных отсчётов можно считать некоррелированными, в системе (1) изменяется только первое уравнение. Оно приобретает вид
0 2 I 2 I 2 I 2
1 = а1 + а2 + а3 + о , где о - дисперсия шумовой компоненты. Однако шумовые параметры системы передачи информации, как правило, известны, поэтому можно заранее произвести коррекцию величины Q1, используемой в расчётах.
В работе исследовалось получение оценок параметров МСИ этим методом также с помощью компьютерного моделирования. Условия проведения экспериментов были такими же, что и в первом исследуемом методе. На рис. 3 и 4 приведены примеры оценки параметров для тех же параметров МСИ, что и в первом методе соответственно рис. 1 и 2, по координатным осям графиков (К и р) отложены те же величины.
При этом система (1) была предварительно приведена к степенному уравнению четвёртой степени. Кроме этого, заранее знак первого коэффициента а1 полагался всегда положительным. Графики получены на основе выборок длительностью N=10000. Нумерация графиков соответствует нумерации параметров МСИ. Сплошные графики относятся к моделированию без коррекции коэффициентов корреляции по шумовой компоненте, прерывистые графики - с коррекцией по шумовой компоненте.
°°° б з 10 12 р,дБ
Рис. 4. Точность по алгебраическому методу. Параметры: öi=1; а2=-0,; а3=0,5
Графики показывают, что точность оценки параметров определяется уровнем шумовой компоненты и остаточных продуктов после усреднения, однако осуществление коррекции по шумовой компоненте позволяет значительно снизить погрешность оценки. Снижение погрешности из-за конечного времени усреднения требует значительного увеличения объема обрабатываемой выборки.
Сравнительные выводы по описываемым методам
Оба описанных метода позволяют производить оценку величины параметров МСИ, требуемых для обработки сигналов, без использования специальных тестовых сигналов. Точность оценивания зависит от значений параметров и определяется уровнем шумовой компоненты после демодуляции, а
также объёмом выборки сигналов. Для оценки по методу максимального правдоподобия достаточно использовать сравнительно небольшие объёмы выборки, но снижение погрешности требует экспоненциального увеличения объёма вычислений. Для оценки по алгебраическому методу необходимы выборки большой длительности, но заметное снижение погрешности достигается при сравнительно медленном возрастании сложности вычислений.
Литература
1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение М.: Изд. дом «Вильямс», 2003. 1104 с.
2. Полушин П.А., Ульянова Е.В. Результаты моделирования сверточного метода обработки сигналов при межсимвольной интерференции // Проектирование и технология электронных средств. 2012, №2. С. 24-29.
3. Никитин О.Р., Полушин П.А., Ульянова Е.В, Синицин Д.В. Метрика при сверточной обработке цифровых сигналов // Фундаментальные исследования. 2012, №11 (часть 2). С. 450-453.
4. Полушин П.А. Методы борьбы с помехами и искажениями. LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken, Germany, 2011. 341 pp.
5. Ульянова Е.В., Полушин П.А. Использование сверточной процедуры Витерби для устранения межсимвольной интерференции // Радиотехнические и телекоммуникационные системы 2011. №1(1). С. 78-81.
6. Свидетельство №2013610152 о госрегистрации программы для ЭВМ. Программа определения коэффициентов сверточного алгоритма подавления межсимвольной интерференции./ Полушин П.А., Ульянова Е.В., Матюха В.А., Ермаков А.В. Зарегистрировано 09.01.2013.
References
1. Sklyar B. Tsifrovaya svyaz. Teoreticheskie osnovy i prakticheskoye primeneniye. [Digital Communications. Fundamentals and Applications], Moscow, Izd. Dom "Villams", 2003, 1108 p.
2. Polushin P.A., Ulyanova E.V. Proektirovaniye i tekhnologiya elektronnykh sredstv, 2012, 2, pp. 24-29.
3. Nikitin O.R.. Polushin P.A., Ulyanova E.V., Sinitsin D.V. Fundamentalnye issledovaniya, 2012, 2(2), pp. 450-453.
4. Polushin P.A. Metody borby s pomekhami i iskazheniyami, [Methods of suppression of harmful signals and interfererences], LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken, Germany, 2011. -341 pp.
5. Ulyanova E.V., Polushin P.A. Radiotechnich- 6. Polushin P.A., Ulyanova E.V., Matyukha V.A.,
eskie I telekommunikatsionnye sistemy, 2011, 1(1), Ermakov A.V. Svidetelstvo 2013610152 o gocregis-pp. 78-81. tratsii programmy dlua EVM, 09.0.2013.
Поступила 21 ноября 2012 г.
Информация об авторах
Полушин Петр Алексеевич - доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Ульянова Екатерина Вадимовна - аспирантка ФГБОУ ВПО "Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых".
E-mail: pap@vlsu.ru.
Адрес: 600000, г. Владимир, ул. Горького, 87
Polushin Petr Alekseevich - the Doctor of Engineering, the professor of the Vladimir state university named after Alexander and Nickolay Stoletovs.
Ulyanova Ekaterina Vadimovna - post-graduate student of the Vladimir state university named after Alexander and Nickolay Stoletovs.
Address: 600000, Vladimir, st. Gorkogo, 87.
