CC BY
34
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 152, кн. 1 Физико-математические пауки 2010
УДК 519.237.24
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ДЖЕЙМСА - СТЕЙНА: МЕТОД РАВНЫХ ПЛОЩАДЕЙ ПРИ ГЛОБАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ВЕРОЯТНОСТИ НАКРЫТИЯ
II.Н. Володин, II.А. Кареев
Аннотация
В работе \Ahmed S.E., Saleh A.K.MD.E., Volodin A I., Volodin I.N. Asymptotic expansion of the coverage probability of James Stein estimators // Theory Probab. Appl. 2007.
V. 51. P. 683 695] была получена асимптотическая формула для вероятности накрытия доверительным множеством Джеймса Стейна, которая одновременно асимптотически точна как для больших, так и малых значений параметра нецентральности т - суммы квадратов средних значений p > 3 нормальных распределений, подлежащих доверительной оценки. Как показывают численные иллюстрации, эта формула может быть исполь-
т2
пакрытия порядка одпой сотой. В настоящей работе предлагается аналогичная асимптотическая формула, глобальная ошибка которой в вычислении вероятности накрытия
p
аппроксимаций иллюстрируется па даппых статистического моделирования.
Ключевые слова: доверительные множества, положительная модификация
оценки Джеймса Стейна, многомерное нормальное распределение, вероятность накрытия, асимптотические разложения.
Введение
Рассматривается проблема доверительной оценки вектора средних значений в = (в\,, вр) р-мерного нормального распределения с независимыми компонентами, имеющими одинаковую дисперсию а2 = 1. Пусть X = (Хх,..., Хр) - вектор выборочных средних значений, вычисляемых по выборкам одинакового объема п из маргинальных распределений. Доверительное множество
р
Пк = {в : п£)№ - Х) < с2}
1
имеет заданный доверительный коэффициент 1 — а, если с2 определяется через квантиль хи-квадрат распределения с р степенями свободы посредством соотношения Кр(с2) = 1 — а, где Кр( •) - функция распределения хи-квадрат.
Такое доверительное множество обладает свойством минимаксности, но существуют также другие минимаксные множества, которые обладают большей вероятностью накрытия при всех значениях параметра нецентральности т2 = п || в ||2 , если р > 3. Наиболее известное из них - это множество
Ds+ = {в : n || в - S+(X) ||2 < с2} ,
центрированное; положительной модификацией оценки Джеймса Стейна [1]
(предполагается, что р > 2). В последующем эти и аналогичные ему доверительные множества изучались многими авторами. Нас в первую очередь интересуют результаты, связанные с асимптотическими исследованиями вероятности накрыв
а также работу [3], идеи которой во многом используются в наших построени-
В работе [2] был предложен подход к аппроксимации вероятности накрытия, основанный на комбинации геометрических и аналитических методов. Было установлено, что ^+(т) = Р(Б$+) зависит от значений вектора в через параметр т2 =
= п | в | 2 т2
(подкоренное выражение всегда неотрицательно, если с2 = К-1(1 — а) и а < 0.5; более подробное описание области действительных значений т(с, т) см. ниже в начале параграфа 2). Второе слагаемое Др(т) представляется в виде двойных интегралов и устанавливается, что Др(т) = 0(т2), если т ^ 0, и Др(т) = 0(т-2), если т ^ то. Замечателен тот факт, что мы имеем для вероятности накрытия общую асимптотическую формулу, охватывающую оба случая асимптотического т
В работе [4] были найдены вторые члены в асимптотических разложениях вероятности накрытия при т ^ 0 и т ^ то. Численные иллюстрации для тех же значений р и т, что и в работе [2], показывают, что при т ^ с и т ^ 1 второй член асимптотики имеет порядок 10-4, но общая картина такова, что добавление вто-
т
р
разом, первичную аппроксимацию (1) можно в практическом аспекте трактовать как аппроксимацию порядка т±3.
В настоящей работе предлагается совершенно другой подход к улучшению аппроксимации Кр(ад(с, т)). Он состоит в замене функции т на го (с, т), которая определяется из равенства площадей, определяемых пределами двойных интегралов в остаточном члене Др(т). При этом точность аппроксимаций 0(т±2) при т ^ 0 и т ^ то соответственно не изменяется, но, как показывают численные результаты, ошибка в вычислении вероятности накрытия по формуле Кр(г«(с, т)) р < 15 0.005
По аналогии с исследованиями работы [5] строится доверительная область с постоянной вероятностью накрытия, асимптотически (т ^ ^и т ^ то) равной заданному доверительному уровню 1 — а. Эта доверительная область, как показывают графические иллюстрации, обладает свойством консервативности лишь при значениях т > с и практически неприменима в окрестности точки сжатия (т = 0).
Напомним, что оценки Джеймса Стейна применяются в том случае, когда ис-в1 , . . . , вр
вестного значения /и - это так называемые сжимающие оценки. В настоящей статье
д+р(т) = Кр(ад(с, т)) + йр(т
(1)
где
■ш(с, т) = р — 2 +
Рис. 1. т = 0.4 < с Рис. 2. т = 5 > с
полагается ц = 0, а = 1. Если точка концентрации ^ и дисперсия а2 отличны от указанных значений, то во всех формулах следует заменить вектор X на (X — — ц)/а. О свойствах сжимающих оценок с большим числом примеров см. в главе 5 монографии [6].
1. Коррекция ги методом «выравнивания площадей»
В этом параграфе мы приведем ряд результатов из работы [2], упростив некоторые обозначения и представив их в удобной для асимптотического анализа форме. Основная идея аппроксимации вероятности накрытия, предложенная в [2]. состояла в записи С}р(т), т > 0. как вероятности некоторой области в Б/]., вычисляемой по распределению с плотностью
/(ж, у) = _______—(ж — г/2)"-1е-ж/2,
у/2^ 2"1» 1 У ’
которая отлична от нуля лишь при у2 < ж и значении V = (р — 1)/2.
Если г < с, то эта область ограничена параболой у2 = ж и правой ветвыо гиперболы
(х — а)2 — с2т2 + х(т2 — с2) 1 ( 9 а(т2 — с2
у = /?.(ж) = ------ ——-----------------------------------Ц-- = — о - ж - г" +
2г(с2 + а — ж) 2т у с2 + а — ж
где а = р — 2 (см. рис. 1). В случае т > с к области, ограниченной параболой у2 = = х и левой ветвыо гиперболы у = /?.(ж), присоединяется полоска, расположенная между нижней ветвыо параболы у2 = ж и прямой у = (а — т2 — х)/2т (см. рис. 2).
Точка ги (в работе [2] ги = IV2 ) на осп ОХ есть нуль функции /? . то есть И.(ги) = 0. Пусть 1^12 соответствующие корни уравнений /?.(ж) = ±а/ж (абсциссы пересечений соответствующих ветвей гиперболы /?(•) с параболой у2 = ж). а х\о, корни уравнения —а/ж = (о — г2 — ж)/2т. Тогда при т < с (см. Предложение 2 [2]) <3+(т) = Кр(ги) + Нр{т). где
Ъ’2 Ь(х) уз У*
Ир(т) = ! <кс ! f{x,y)dy-Jdx ! /(.х, у)(1у. (2)
™ -у/х 1’1 ь/х)
Если т > с, то вероятность накрытия <5+ (г) = Кр(ги) + Нр(т) + 1р(т) (см. Предложение 4 [2]). где
Х2 (а—т — х)/2т
1р(т) = J йх J /(х, у) йу,
и, как показано при доказательстве Теоремы [2], при т ^ ж
1Р(т) = О (тр—2 ехр{-т2/2}) .
Таким образом, аппроксимация Кр(т) состоит в замене области, которая определяет вероятность накрытия и которая расположена между параболой у2 = х и кривой Н(х), та более простую область: кривая Н(х) заменяется прямой х = ад. Разность интегралов в записи остаточного члена Яр(т) (см. формулы (2) и (3)) представляет собой разность вероятностей двух областей, одна из которых (В\) расположена над осью ОХ и ограничена кривыми у2 = х, у = Н(х), х = ад, а другая (Б2) расположена под осью ОХ и ограничивается теми же кривыми.
Предлагается в аппроксимации Кр(т) заменить ад та точку ад, которая определяется из условия равенства площадей областей и Б2, то есть решением уравнения
1>2 к(х) а Ух
если т < с, и уравнения
J Зх J Зу = J Зх J Зу,
а —фх г’і ь(х)
VI \/х ш Л(ж)
Зх Зу = Зх Зу,
ІЇІ И(х) 1 2 —у/х
когда т > с.
Лемма 1. Уравнения (4) и (5) имеют общий корень
(4)
(5)
т = т(с, т) =
/ ^2 >
I 1 І ( г’1/2 + г’2/2) + / ,1(Х)АХ
2/3
(6)
где
У2
Г 1
1г(х) Зх = — .) 2т
1
(а - т2)(і’2 - г’і) - 7г(г’2 - г’і) - о(г2 - с2) 1п
с2 + а — «2 с2 + а — «і
(7)
и а = р — 2.
Доказательство. Доказательство леммы осуществляется простым вычислением интегралов в уравнениях (4) и (5) с последующим решением уравнений относительно ад. □
То, что новая аппроксимация Кр(т) имеет ту же асимптотическую точность, что и аппроксимация Кр(т), устанавливает
Теорема 1. Если т ^ 0, то гш(с, т) = т(с, т) + 0(т2), и гш(с, т) = т(с,т) +
+ 0(т-2), когда т ^ <х.
Доказательство. Обращаясь к лемме 2.1 [4] для т, VI и ги2 как функций от т, получаем следующие асимптотические разложения. Если т ^ 0, то
т(с, т) = а + с2/2 + с(с2/4 + а)1/2 + О(т2), v1,2 = т Т X 1,1 т + X 1,2 т2 + О(т3), (8)
и при т ^ ж
т(с, т)= с2 + О(т—2), V1,2 = т ± X2,1 £ + X2,2 £2 + О(£3), (9)
где £ = т— 1 и
_ 2 (ги -а) - с2 _ ги - а
1 ? 1 1 ? 1г) /—( 2 | 1 ?2 А 2 (^) . !—/ 2 | \2 5
2у/'ш(с2 + а — т) 4ту/т(с2 + а — т)2
1 л с N (2т + 1)(с2 + а — т) + 2т
А2 1 — А2 1 (ЭД) — --,—. 0-----------------7, А2 2 — А2 2(^) — ------------,—/ о-гт;-•
2а/ьз{сг + а — ги) 8ги^/гй(с~ + а — ги)~
Первое слагаемое в скобках формулы (6) имеет одинаковый асимптотический вид, как при т ^ 0, так и т ^ ж:
2 ( 3/2 3/2\ 4 3/2 , гл/ ±2\
3 (V + г,2 ) = з№ ' +0{т ).
Для доказательства этого достаточно воспользоваться разложениями для v1 и v2, представленных формулами (8) и (9). Что же касается интеграла в (6), то для установления его порядка О(т±2) стремления к нулю при т ^ 0 и т ^ ж потребуется использовать соответствующие асимптотики т(с, т) в (8) и (9).
Так, использование только асимптотик (8) и (9) для v1 и v2 в правой части (7) при т ^ 0 дает
У2 2
/1г(х) с1х = А 1 1 а — ги-»--------- ) + 0(т2),
’ V с2 + а — т)
VI
и подстановка аспптотпкп т(с, т) показывает, что выражение, стоящее в скобках, О(т2 )
Аналогично, при т ^ ж
V2
[ Цх) сЬ = А2 1 (1-^—-------- ) + 0(е2) = 0(е2),
] \ с2 + а — т)
VI
если учесть, что ги(с, т) = с2 + 0(ь2). □
Табл. 1 показывает преимущество повой аппроксимации для ряда значений р и т. В столбце ^ ^^^тения вероятности Qp(т) накрытия доверительной
областью Джеймса Стейна, вычисленные методом статистического моделирования по 106 выборкам из р-мерного нормального распределения. В соседних столбцах приводятся разности Аги и Ат между Qp и соответствующими аппроксимациями. Максимальная абсолютная ошибка Аги возрастает с ростом р, но всегда меньше Ат, если р < 20, и не превосходит практически допустимой величины
0.005 в отклонениях от номинала (см. взятые в рамку числа в табл. 1).
2. Доверительная область с асимптотически постоянной вероятностью накрытия
В статье [5] предложен метод построения доверительной области Б для вектора средних значений, основанный на аппроксимации Q+p(т) ~ Кр(т(с, т)) при т ^ 0, т ^ ж. В отличие от доверительной области Б$+ Джеймса-Стейна, Б обладала асимптотически постоянной (равной заданному доверительному уровню 1 — а) вероятностью Рш = Рш(т) накрытия истинного значения параметрической точки при т ^ 0. Область Б сохраняла аналогичное свойство и при т ^ ж, причем вероятность накрытия незначительно отклонялась от номинала 1 — а при всех
т
Преобразование Б$+ к области с асимптотически постоянной вероятностью на-
т(с, т)
с
ных значений т(с, т) (следовательно, и ги(с, т)) определяется неравенством
2 ^ 2 4д-т2
с > с0 = т ---. =---------.
2у/2т2</ + д2 +2 д + т2
Заметим, что из со < т2 и со ~ т^и т ^ 0 следует, что комплексные значения т(с, т) т с
К сожалению, неизвестно, обладает ли аналогичным свойством монотонности аппроксимация, основанная на ги(с, т). Поскольку приведенные выше табличные данные говорят о меньших ошибках новой аппроксимации, то следует, хотя бы численно, исследовать поведение вероятности накрытия в аналогичной модификации доверительной области Б$+ .
Напомним, что основу доверительной области Б$+ составляет опорная функ-
Т2 = Т2(в, 5+) = п^(Ь — 5+^2 1=1
векторного параметра в и векторной статистики 5+ (X). Введем подобласть Бш = = {в : ш(Т, т) < с2, Т2 > с0} + {Т2 < с0} параметрического пространства И.р. Из теоремы 1 немедленно следует справедливость следующего утверждения.
Теорема 2. Пусть с2 = К—1(1 — а). Тогда для вероятности Рш = Рш (т) накрытия истинного значения параметра в областью Би справедливы асимптотические равенства: Ри(т) = 1 — а + О(т2), если т ^ 0, и Ри(т) = 1 — а + О(т—2), если т ^ ж.
Ниже приводятся графики (см. рис. 3), иллюстрирующие поведение вероятностей Ри (т) (жирная линия) и Рш (т) (пунктирная линия) накрытия истинных значений вектора средних для р = 3, 5, 10, 20, которые приводят к следующим неутешительным выводам.
Постоянство вероятности накрытия или хотя бы консерватизм доверительной
т=0
мации, основанной на т. Вероятность накрытия областью Бй в этой окрестности ведет себя как убывающая функция параметра т, и при т > 5 «недобор» номинального значения становится столь большим, что практическое использование Б % становится весьма проблематичным.
т=0
пользование доверительных областей Б и Б & может привести к сколь-либо ощутимому сокращению их размеров (см. [5]). Следовательно, доверительная область Б %
ll.ll. ВОЛОДИН, И.A. КАРЕЕВ
о о о о о о Т—І т-4 т-4 00 00 Сі со о CN CN о Сі 00 00
о о о о о о о о о со со ь- 00 Сі о о о о Сі 1C со т-4
3 о о о о о о о о о о о о о о о 1-і т—і т—і т і о о о о
<1 о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ |' |' \ + + + + + г г |' |' |' г г г г |' г г |' г
о о о о т-Н CN со ю 00 т-4 00 ю ю CN о 00 со со CN |> со
1 ' о о о о о о о о 1-і г—і CN со со со со со со см CN <м т—і о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
<1 о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ |' |' \ 1* \ \ |' |' + + + + + + + + + + + + + +
со со со ю со Т—І ь~ CN со |> Сі со со CN 00 1C 1C |> t- со о
о» Сі Сі Сі Сі Сі Сі 00 00 |> CN Сі со со о t- CN о 00 ю |> CN
Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі 00 00 00 00 ь- |> |> |> со со 1C 1C 1C
Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі
о о т-4 со со 00 t- со со CN т-4 со Сі CN со Сі со |> 00 Сі |> 00
о о о о о о о 00 о т-4 г—1 т-4 о Сі Сі 00 b- t- со 1C CN т—і о
о о о о о о о о т—і т—1 1-і 1-і 1—і о о о o о о о о о о
<1 о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ + + + + + + |' |' І* г г |' |' г г \ |' |' г г 1 г
о т-4 со 00 со Сі со со Сі со CN т-4 Сі 00 t- CO со 1C CN т-4 о
ю 13 о о о о Т—І т і CN <М т—і т—1 г—1 т—і 1-і о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
<1 о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ |' |' \ 1* \ \ г г І* г |' |' |' г г \ |' |' г г |' г
ю со 00 о t- Сі со со со Сі о 00 о со 1C со 00 CN со 00 |> о
с? со со т—1 Сі |> ю о со т—і о 00 t- со 1C 1C со т—і т—і о
Сі Сі Сі Сі Сі 00 00 ь- |> со со со со ю ю 1C 1C 1C 1C 1C 1C SC 1C
Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Ci Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі
о CN 00 со Т—І Сі со CN t- Сі о CN ю Сі Сі 1C CN Сі т-4 t- со
о о о т—1 CN т—1 00 Сі 00 b- ь- ю со со со CN CN т—1 о о
о о о о о о о о о о о о о о О' о о о о о о о о
<1 о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ + + + + + |' 1* г І* г |' |' |' г 1* |' |' |' г г |' г
о т-4 со ю 00 Сі т-4 со 00 со Сі со CN о Сі 00 t- со со т-4 т-4
со 13 о о о о о о ю со CN CN т—і т—і г—1 1-і т—1 о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
<1 о г о |' о |' о \ о 1* о \ о г о г о |' о г о г о |' о |' о |' о г о \ о |' о |' о |' о г о г о |' о г
00 со 00 ю ю со ю ю о т-4 ю о |> CN т-4 Сі 00 t- со со т-4 т-4
00 00 |> со т і 00 ю со CN CN т—і г—1 1-і т-4 о о о о о о о
о* |> |> |> |> |> |> ю ю ю ю ю ю 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C
Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі
о іс о іс о іс о іс о ю о іс о 1C о 1C о 1C о о о о о
t- о о т і т і CN CN со со ю ю со со 00 00 СІ о т-4 1C т-4 о CN о со
о
ю
о»
<1
о
сч
о»
<1
о»
о о о о о о о о о о о о о т-4 со CN |>
о о о о о о о о о о о о о о о т—і CN|
о о о о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ |' |' \ 1* \ \ |' + + г |' |' |' 1* \ |'
о о о о о о о о о о т-4 со ю со со о
о о о о о о о о о о о о о т—і CNI со
о о о о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ |' |' \ 1* \ \ |' |' |' + + + + + + +
о о о о о о о о о о о о о Сі со со со
о о о о о о о о о о о о о Сі Сі 00 ю
о о о о о о о о о о о о о Сі Сі Сі Сі
т і т і 1-і т—1 т—і т і т і т і т—і т—і т і т—і т—і Сі Сі Сі Сі
о о о о о о со ю CN т-4 Сі |> ю Т—І со 00
о о о о о о о т—і CN со ю со ь- 00 00 t-
о о о о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ |' |' \ + + \ |' |' |' г |' |' \ 1* \ г
о о о о о Т—І |> ю CN о т-4 CN Т—І 00 Т—І
о о о о о о г—1 со ю со со со со ю ю
о о о о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о
г |' |' \ 1* \ + + + + + + + + + + +
о о о о о Сі о ю со |> т-4 CN со со Т—І со |>
о о о о о Сі Сі |> со 1—і Сі |> со о Сі
о о о о о Сі Сі Сі Сі Сі Сі 00 00 00 00 ь- со
т і т і 1-і т—1 т і Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі
о о о о о Т—І t- 00 00 CN со Сі Т—І Сі Т—І т-4
о о о о о т—1 СЧ ю со 00 00 00 Сі 00 00 t-
о о о о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о
+ |' |' \ + \ \ \ |' |' г |' |' \ 1* \ |'
о о о т-Н СЧ со со о со со т-4 Сі ю Т—І со t-
о о о о о о со ю ю ю ю 1 о со CN
о о о о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о
г |' |' \ 1* + + + + + + + + + + + +
о о Сі Сі t- Сі ю со Сі ю Сі 00 00 CN CN ю т-4
о о Сі Сі Сі |> ю т—і 00 со т—і Сі |> т—1 со со
о о Сі Сі Сі Сі Сі Сі 00 00 00 |> |> |> |> со со
т і т і Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі Сі
о о о о о о о о ю о о ю о о о о о
о т і СЧ со ю со 00 СІ СІ о т-4 Т—І Т—І CN Т—І т—1 со т-4
о
ь-
о
о
со
ь-
о
о
+
о
ь-
о
о
I I I
о
о
о ь-ю со ю ООО ООО
г г г
Ci b- СО 00 со со со ю о о о о о о о о + + + +
00 CS| ^ Сі Сі 00 Ю (М
t- t- t- r-
Ci О Сі Сі
со ю со ю о о о о
СО СО 00
^ ^ со со о о о о о о о о
\ \ \ \
СМ і—I 00 СО СМ CM I т—I
о о о о о о о о + + + +
ю ^ ю Сі 00 b- со ю ю ю ю
Сі Сі Сі Сі
t- ^ О t-
C0 CO CO (M
о о о о о о о о
\ \ \ \
СО (М О Сі т-4 т-4 т-4 (3
о о о о о о о о + + + +
00 ^ со •
- ю ^ ^ ю ю ю ю
Сі Сі Сі Сі
о о о о
3 6 9 12 15
Р = 3
9 12 15
3 6 9 12 15
р = 5
9 12 15
р =10 р = 20
Рис. 3. Графики вероятностей накрытия для области Б; при а = 0.05, п = 1
по может быть рекомендована к практическому применению. Практически незначимое преимущество использования области Ба состоит в том, что вероятность накрытия Ра имеет меньшую вариацию при всех значениях т и принимает значения больше поминала при т > с (Б-а является более консервативной при больших значениях т, в то время как Б обладает вероятностью накрытия, меньшей номинала). Отметим также, что максимальное значение | 1 — а —Qp(т) | довольно сильно зависит от значений р для обеих аппроксимаций и увеличивается с ростом р.
Б
при уверенности, что истинные значения параметрического вектора в близки к точки сжатия. Если имеются априорные сведения, что истинные значения параметров достаточно далеки от точки сжатия, то лучше использовать доверительную область Джемса-Стейна Б^+ - она более проста и не менее консервативна в этой области значений параметров, как и Б-а ■
Возможно, однако, использование «гибридной» области
Ба = {в : ЦТ, т) < с2, Т2 > со} + {Т2 < со},
где
го (с, т)
г(с, т), если т < с; го (с, т), если т > с.
Как показывают графические иллюстрации (см. рис. 4), область го(с, т) обладает вероятностью накрытия, которая практически незначимо отличается от номинального доверительного уровня 0.95.
3 6 9 12 15 3 6 9 12 15
p = 3 p = 5
3 6 9 12 15 3 6 9 12 15
p =10 p = 20
Рис. 4. Графики вероятностей накрытия для области Dw при а = 0.05, n = 1
Summary
I.N. Volodin, I.A. Kareev. James Stein Confidence Sets: Equal Area Approach in the Global Approximation for the Coverage Probability.
In paper \Ahmed S.E., Saleh A.K.MD.E., Volodin A I., Volodin I.N. Asymptotic expansion of the coverage probability of James Stein estimators // Theory Probab. Appl. 2007.
V. 51. P. 683 695] an asymptotic expansion of the coverage probabilities for the James Stein confidence sets was constructed, which is accurate both for large and small values of the noncentrality parameter т2 - the sum of the squares of the means of p > 3 normal distributions. As numerical illustrations show, the expansion might be used almost in the entire area of the values of т2 with the error of the order 10-2 . In the present article a similar asymptotic expansion is suggested, whose global error is significantly less in the area of small p
statistical simulations.
Key words: confidence sets, positive-part. James Stein estimator, multivariate normal distribution, coverage probability, asymptotic expansion.
Литература
1. Stein C. Confidence sets for the mean of a multivariate normal distribution // J. Roy. Statist. Soc., Ser. B. 1962. V. 24. P. 265 296.
2. Ahmed S.E., Saleh A.K.MD.E., Volodin A.I., Volodin I.N. Asymptotic expansion of the coverage probability of James Stein estimators // Theory Probab. Appl. 2007. V. 51.
P. 683 695.
3. Hwang J.T., Casella G. Minimax confidence sets for the mean of a multivariate normal distribution // Ann. Statist. 1982. V. 10. P. 868 881.
4. Ahmed S.E., Volodin A.I., Volodin I.N. High order approximation for the coverage probability by a confident set centered at the positive-part. James Stein estimator // Statist. Probab. Lett. 2009. V. 79. P. 1823 1828.
5. Budsaba K., Kareev I.A., Volodin A.I., Volodin I.N. Confidence sets with the asymptotically constant coverage probability based on the positive part James Stein estimator. To be appeared.
6. Lehmann E.L., Casella G. Theory of Point Estimation. N. Y.: Springer-Verlag, 1998 589 p.
Поступила в редакцию 17.01.10
Володин Игорь Николаевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры математической статистики Казанского государственного университета.
E-mail: Igor. VolodinQksu.ru
Кареев Искандер Амирович студент факультета вычислительной математики и механики Казанского государственного университета.
E-mail: drills70gmail. сот
