CC BY
6
2019 Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем №45
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
УДК 519.718
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫМИ ПО НАДЁЖНОСТИ СХЕМАМИ С ТРИВИАЛЬНОЙ ОЦЕНКОЙ НЕНАДЁЖНОСТИ ПРИ НЕИСПРАВНОСТЯХ ТИПА 0 НА ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ1
М. А. Алехина*, С. М. Грабовская**, Ю. С. Гусынина*
* Пензенский государственный технологический университет, г. Пенза, Россия ** Пензенский государственный университет, г. Пенза, Россия
Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в полном конечном базисе. Предполагается, что все функциональные элементы независимо друг от друга с вероятностью е £ (0,1/2) переходят в неисправные состояния типа 0 на выходах элементов. Найдены и дополнены ранее известные условия на функции базиса, при выполнении которых почти любую булеву функцию можно реализовать асимптотически оптимальной по надёжности схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически равной е при е ^ 0.
Ключевые слова: схема, неисправности типа 0 на выходах элементов, ненадёжность, асимптотически оптимальная по надёжности схема, булева функция.
DOI 10.17223/20710410/45/5
SUFFICIENT CONDITIONS FOR IMPLEMENTATION OF BOOLEAN FUNCTIONS BY ASYMPTOTICALLY OPTIMAL ON RELIABILITY CIRCUITS WITH THE TRIVIAL ESTIMATE OF UNRELIABILITY IN THE CASE OF FAULTS OF TYPE 0 AT THE ELEMENT OUTPUTS
M. A. Alekhina*, S. M. Grabovskaya**, Yu. S. Gusynina*
* Penza State Technological University, Penza, Russia **Penza State University, Penza, Russia
E-mail: alekhina@penzgtu.ru, alekhina.marina19@yandex.ru, swetazin@mail.ru,
gusynina@mail.ru
The implementation of Boolean functions by circuits of unreliable functional elements is considered in a complete finite basis, containing a function of the set M, where
4
M = U (Mi U M*), Mi = Congr{XTV xf1xf2Ж33 : Ui £ {0,1},i £ {1, 2, 3}}, i=l 1 M2 = Congr{x^42x33 V ж31xf2xf3 V xf1 42xf3 : и £ {0,1},i £ {1, 2, 3}}, M3 = = Congr{xi(x32 Vx3"3) : Ui £ {0,1}, i £ {1, 2, 3}}, M4 = Congr{x^x3x3 Vxf1 xf2xf3 :
1 Работа поддержана грантом РФФИ № 17-01-00451-а.
о% £ {0,1},i £ {1,2, 3}}. The set M* is the set of functions, each of which is dual to some function of Mi. All functional elements independently of each other with the probability e £ (0,1/2) are assumed to be prone to faults of type 0 at the element outputs. These faults are characterized by the fact that in good condition the functional element implements the function assigned to it, and in the faulty — constant 0. It is proved that almost any Boolean function can be implemented in a complete finite basis B, B П M = 0, by an asymptotically optimal on reliability circuit working with unreliability asymptotically equal to e at e ^ 0.
Keywords: circuit, faults of type 0 at the element outputs, unreliability, asymptotically optimal on reliability circuit, Boolean function.
Введение
Работа относится к одному из важнейших разделов математической кибернетики — теории синтеза, надёжности и сложности управляющих систем. Актуальность исследований в этой области обусловлена важностью многочисленных приложений, возникающих в различных разделах науки и техники.
К числу основных модельных объектов математической теории синтеза, сложности и надёжности управляющих систем относятся схемы из ненадёжных функциональных элементов, реализующие булевы функции. Проблема построения оптимальных по критериям надёжности и сложности схем из ненадёжных элементов является одной из наиболее важных и в то же время трудных в теории синтеза управляющих систем. Разработка специальных методов синтеза схем из ненадёжных функциональных элементов связана, главным образом, с выбранной математической моделью неисправностей. К основным моделям неисправностей относятся, например, инверсные и константные неисправности на выходах элементов. В работе рассматривается задача построения асимптотически оптимальных по надёжности схем в предположении, что функциональные элементы подвержены неисправностям типа 0 на выходах.
Исторически сложилось так, что сначала исследовались инверсные неисправности функциональных элементов, реализующих булевы функции. Первые существенные математические результаты, касающиеся синтеза надёжных схем из ненадёжных элементов, получил Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что элементы подвержены инверсным неисправностям на выходах, когда функциональный элемент E с приписанной ему булевой функцией e(X), переходя в неисправное состояние с вероятностью е (0 < е < 1/6), реализует функцию е(Х). С помощью итерационного метода Дж. фон Неймана произвольную булеву функцию можно реализовать схемой, вероятность ошибки на выходе которой при любом входном наборе значений переменных не превосходит с ■ е (с — некоторая положительная, зависящая лишь от базиса константа), т. е. ненадёжность схемы сравнима с ненадёжностью одного элемента (такие схемы в теории надёжности управляющих систем принято называть надёжными). С ростом числа итераций сложность схемы при использовании метода Дж. фон Неймана увеличивается экспоненциально.
Любой метод синтеза схем из ненадёжных элементов характеризуется двумя важными параметрами: вероятностью ошибки на выходе схемы (ненадёжностью) и сложностью схемы. Именно оптимизации сложности схем, реализующих булевы функции, уделялось главное внимание в работах Р. Л. Добрушина, С. И. Ортюкова [2, 3], Д. Улига [4] и некоторых других авторов. Задача построения асимптотически оптимальных по надёжности схем из ненадёжных элементов, подверженных тем или иным
неисправностям, ни Дж. фон Нейманом, ни другими исследователями до появления работ М. А. Алехиной не рассматривалась.
H. Пиппенджер [5] в классическом базисе {х1 & Ж2,Ж1 V Ж2,Ж1} построил надёжные схемы без существенного увеличения сложности в предположении, что все элементы схемы ненадёжны, подвержены инверсным неисправностям на выходах.
С. В. Яблонский [6] рассматривал задачу синтеза надёжных схем в базисе {х1 &х2,х1 V х2,Х1,д(х1, х2,х3)}. Он предполагал, что элемент, реализующий функцию голосования д(х1,х2,х3) = х1х2 V ж1ж3 V х2х3, абсолютно надёжный, а конъюнк-тор, дизъюнктор и инвертор ненадёжные, подвержены произвольным неисправностям, ненадёжность каждого из них не больше е. Им доказано, что для любого р существует алгоритм, который для каждой булевой функции строит асимптотически оптимальную по сложности схему, ненадёжность которой не больше р.
В. В. Тарасов [7] рассматривал задачу построения схем сколь угодно высокой надёжности (когда ненадёжность схемы стремится к 0). Для базисов из ненадёжных функциональных элементов с двумя входами и одним выходом он нашёл необходимые и достаточные условия, при которых любую булеву функцию можно реализовать схемой сколь угодно высокой надёжности.
Позднее в работах В. В. Чугуновой, А. В. Васина, Д. М. Клянчиной и некоторых других авторов решалась задача реализации булевых функций асимптотически оптимальными по надёжности схемами при различных неисправностях элементов.
Данная работа продолжает исследования, начатые в [8] для полного базиса {Х1 VХ2}, элементы которого подвержены неисправностям типа 0 на выходах. Позднее задача синтеза асимптотически оптимальных по надёжности схем при неисправностях типа 0 была решена [9] во всех полных неприводимых базисах из двухвходовых функциональных элементов, кроме одного. Задача построения асимптотически оптимальных по надёжности схем при инверсных неисправностях на выходах элементов решена А. В. Васиным [10] во всех полных конечных базисах, содержащих функции трёх переменных. В частности, А. В. Васин нашёл необходимые и достаточные условия на функции полного конечного базиса В1, содержащего функции трёх переменных, при которых почти любую функцию можно реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически равной 2е при е ^ 0. Аналогичная задача при неисправностях типа 0 на выходах элементов ранее была решена в некоторых полных конечных базисах [11-13], а полученные результаты привели к гипотезе «В базисе В1 почти любую функцию можно реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически равной е при е ^ 0, если элементы подвержены неисправностям типа 0 на выходах». Доказательство гипотезы (исключая базисы, содержащие линейную функцию) приводится в этой работе.
Введём необходимые понятия и определения.
I. Необходимые понятия, определения и ранее известные результаты
Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в полном конечном базисе В. Схема реализует функцию f (х1,... ,хп) (п Е М), если при поступлении на входы схемы набора ап = (а1,... , ап) при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение f (ап). Предполагается, что все функциональные элементы независимо друг от друга с вероятностью е Е (0,1/2) переходят в неисправные состояния типа 0 на выходах элементов. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему функцию, а в неисправном — константу 0.
Пусть Р/(ап) (Б, —вероятность появления значения /(ага) на выходе схемы Б, реализующей функцию /(Хп) при входном наборе ага. Ненадёжность схемы Б равна Р(Б) = тах{Рдйп)(Б, а"")}, где максимум берётся по всем наборам ага. Надёжность схемы Б равна 1 — Р(Б).
Пусть Р£(/) = Ш Р(Б), где инфимум берётся по всем схемам Б из ненадёжных элементов, реализующим функцию /(Хп). Схему А из ненадёжных элементов, реализующую /, назовем асимптотически оптимальной (асимптотически наилучшей) по
р(/)
надёжностил, если Р(А) ~ Р£(/) при е ^ 0, т. е. 1т р^д^ = 1.
Булевы функции /, и /2 назовем конгруэнтными [14], если одна из них может быть получена из другой заменой переменных (без отождествления).
Пусть X С Р2. Обозначим Со^г(Х) множество всех функций, каждая из которых конгруэнтна некоторой функции множества X.
Рассмотрим следующие множества булевых функций: И, = Со^^ж?1 ж?2 V ж?1ж?2ж?3 : ъ € {0,1}, г € {1, 2, 3}}, И = Со^^ж?1 ж??2ж?3 V ж??1 ж?2ж?3 V ж?1 ж?2ж?3 : ъ € {0,1}, г € {1, 2, 3}}, И3 = Со^г{жг(ж?2 N3 ж?3) : ъ € {0,1}, г € {1, 2, 3}}, И4 = Congг{ж?1 ж??2ж?3 V ж?1 ж??2ж?3 : ъ € {0,1}, г € {1, 2, 3}}, а также И,*, И2*, И3*, И* —множества функций, двойственных функциям из множеств И, , И2, И3, И4 соответственно.
Обозначим И = У (И^ и И*), Р2(п) —множество булевых функций, зависящих от
г=1
переменных ж,, ж2,..., жп.
Ранее при инверсных неисправностях на выходах элементов [10] исследовались все полные в Р2(3) конечные базисы, каждый из которых содержит функцию множества И. Доказано [10] (см. также [15]), что если базис В содержит функцию из множества И, то при инверсных неисправностях на выходах элементов любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадёжность которой не больше 2е + 109е2 при всех е € (0,1/960]. Следовательно, в базисе В любую булеву функцию можно реализовать схемой, функционирующей с ненадёжностью асимптотически не больше 2е при е ^ 0.
При неисправностях типа 0 на выходах элементов в [11, 12] исследовались полные конечные базисы, содержащие некоторые из функций множества И. При этих неисправностях в рассмотренных базисах доказано, что любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадёжность которой не больше е + 100е2 при всех е € (0,1/960]. Следовательно, в базисе В любую булеву функцию можно реализовать схемой, функционирующей с ненадёжностью асимптотически не больше е при е ^ 0.
Замечание 1. При неисправностях типа 0 на выходах элементов любая схема, содержащая хотя бы один функциональный элемент и реализующая отличную от константы 0 функцию, имеет ненадёжность не меньше е при всех е € (0,1/2) [9].
Таким образом, из результатов, полученных в [11, 12, 13], с учётом замечания 1 следует, что в ряде базисов, содержащих некоторые из функций множества И, почти любую функцию можно реализовать асимптотически оптимальной по надёжности схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически равной е при е ^ 0. Теперь более детально сформулируем выдвинутую во введении и доказанную далее гипотезу: «В полном конечном базисе, содержащем любую из функций множества И, почти любую булеву функцию можно реализовать асимптотически оптимальной по надёжности схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически равной е при е ^ 0».
Заметим, что в некоторых из рассматриваемых базисов для повышения надёжности исходных схем можно использовать схемы из работы [15], в других — искать новые схемы или способы доказательства результатов.
Сформулируем необходимые для доказательств теорем ранее известные леммы 1-3 и теорему 1. Заметим, что леммы 1 и 3 верны в любом полном конечном базисе при произвольных неисправностях элементов.
Обозначим С = Со^г{х3 Х22 V х?1 Хз3 V Х22Хз3 : а € {0,1}, г Е {1, 2, 3}}.
Лемма 1 [9]. Пусть функция f реализована схемой Б с ненадёжностью не больше р ^ 1/2. Пусть схема Бд реализует функцию д Е С с ненадёжностью Р(Бд) ^ 1/2, причём г0 и г^ —вероятности ошибок схемы Бд на наборах (а1, а2, а3) и (а1, <г2, а3) соответственно. Тогда функцию f можно реализовать схемой Ф(Б), ненадёжность которой Р(Ф(Б)) ^ тах{го,г1} + 3рР(Бд) + 3р2.
Лемма 2 [16]. При неисправностях типа 0 на выходах элементов любую булеву функцию f можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) ^ 5,2е при всех е Е (0,1/960].
Лемма 3 [11]. Пусть схема Б^ реализует функцию ^ = х^1 х22 Ф х33 (а Е {0,1}, г Е {1, 2, 3}) с ненадёжностью Р(Б^), причём —вероятности ошибок схемы Б^
на наборах (а1,а2,0), (а1,а2,1). Тогда можно построить такую схему Бд, реализующую функцию д(Х1,Х2,Х3) = (х1х2 V Х1Х3 V Х2Х3)33, что Р(Бд) ^ Р(Б^) + 2рф (рф = тах{Р(Б1), Р(Б2)}, Б1 —любая схема, реализующая функцию х1 Фх2, Б2 — любая схема, реализующая функцию Х1 Ф Х2 Ф 1 в рассматриваемом базисе), а для вероятностей ошибок г1 и г0 схемы Бд на наборах (0, 0, 0) и (1,1,1) выполняются неравенства г1,г0 ^ тах{^0,^1} + 2р^.
Теорема 1 [12]. Если полный конечный базис В содержит функцию из множества М3 и М*, то при неисправностях типа 0 на выходах элементов любую булеву функцию в этом базисе можно реализовать схемой, ненадёжность которой не больше е + 100е2 при всех е Е (0,1/960].
2. Основные результаты
Теорема 2. Если полный конечный базис В содержит функцию из множества М1 им*, то любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадёжность которой не больше е + 100е2 при всех е Е (0,1/960].
Доказательство. Пусть базис В содержит некоторую функцию множества М1 и М*, т. е. функцию, конгруэнтную одной из следующих функций:
1) <£1(хьх2,хз) = Х1Х2 V Х1Х2Х33 (аз Е {0,1});
2) <^2(х1,Х2,Хз) = Х1Х2 V Х1Х2Х33;
3) ^з(х1,Х2,Хз) = Х1Х2 V Х1Х2Х33;
4) ^4(х1, х2, х3) = (х1 V х2)&(Х1 V Х2 V х33);
5) ^б(х1,х2,хз) = (Х1 V Х2)&(Х1 V Х2 V ХЗ33);
6) ^б(х1, х2, х3) = (Х1 V Х2)&(х1 V х2 V х33).
Случай 1. Для а3 возможны два варианта: а3 = 0 или а3 = 1. Случай а3 = 0 рассмотрен в [11], для него утверждение теоремы верно.
Пусть а3 = 1. Тогда имеем ^1(х1,х1,х3) = х1 V х3, ^1(х1,х2,х2) = х1 &х2 и по результатам из [9] утверждение теоремы верно.
С л у ч а й 2 рассмотрен в [11], для него утверждение теоремы верно.
Случай 3 при а3 = 0 рассмотрен в [11], для него утверждение теоремы верно. Пусть а3 = 1. Тогда имеем ^3(х1,х1,х3) = Х1 V х3, ^3(х1,х2,х2) = х1 ~ х2 и по результатам из [17] утверждение теоремы верно.
Случай 4 рассмотрен в [12], для него утверждение теоремы верно.
Случай 5. При ъ3 = 0 имеем ^5(ж,, ж2,ж2) = ж, V ж2, ^5(ж,, ж2, ж,) = ж, ~ ж2 и по результатам из [17] утверждение теоремы верно.
Пусть ъ3 = 1. Тогда имеем ^(ж^ж^ж,) = ж, V ж2, ^5(ж,,ж2,ж2) = ж, ~ ж2 и по результатам из [17] утверждение теоремы верно.
Случай 6 рассмотрен в [12], для него утверждение теоремы верно. ■
Лемма 4. Пусть ^(ж,,ж2,ж3) = ж,ж2ж3 ф ж,ж2 ф ж2ж3 ф ж,ж3 или двойственная ей функция содержатся в полном конечном базисе В, тогда в этом базисе любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадёжность которой не больше е + 74е2 при всех е € (0,1/960].
Доказательство.
1) Пусть ^(ж,,ж2,ж3) = ж,ж2ж3 ф ж,ж2 ф ж2ж3 ф ж,ж3 € В. Для повышения надёжности исходных схем будем использовать схему Б^ (рис. 1), реализующую функцию д(ж,,ж2,ж3) = ж,ж2 V ж2ж3 V ж,ж3 € С. Эта схема использовалась также в [15], но теперь её элементы подвержены неисправностям типа 0 на выходах. Оценим её вероятностные характеристики и покажем, как их улучшить.
Этап 1. По лемме 2 для функций ж, ф ж2 ф ж3 и д(ж,, ж2, ж3) = ж,ж2 V ж,ж3 V ж2ж3 можно построить схемы Е и С соответственно, функционирующие с ненадёжностями Р(Е) и Р(С), не превосходящими величины 5,2е. Возьмём два элемента, реализующих функцию и по два экземпляра схем Е и С и соединим их, как показано на рис. 1. Построенная схема Б^ реализует функцию д € С. Ненадёжность схемы Б^ удовлетворяет неравенству Р(Б5) ^ 2Р(С) + 2Р(Е) + 2е ^ 23е.
Оценим вероятность ошибки г0 схемы Б^ на наборе (0, 0, 0). Нетрудно видеть, что ошибка в точности одной из подсхем С или Е на входном наборе (0, 0,0), а также ошибка невыходного элемента подсхемы Б2^ не приводит к ошибке на выходе всей схемы Б^. Следовательно, чтобы произошла ошибка, нужно, чтобы ошибся выходной элемент подсхемы Б2^ или чтобы ошиблись хотя бы две из других подсхем. Поэтому вероятность ошибки го схемы Б^ на наборе (0, 0, 0) удовлетворяет неравенству
го ^ е + С2(5,2е)2 + 4 ■ 5,2е2 ^ е + 6(5,2е)2 + 20,8е2 ^ е + 184е2.
Аналогично получается верхняя оценка для вероятности ошибки г1 схемы Бд на наборе (1,1,1), только в этом случае вероятность ошибки выходного элемента равна 0, поэтому г1 ^ 184е2.
Пусть f — произвольная булева функция. По лемме 2 её можно реализовать схемой Б с ненадёжностью Р(Б) ^ 5,2е при е Е (0,1/960]. Используя схему Бд, с помощью леммы 1 по схеме Б построим схему Ф(Б) и оценим её ненадёжность при е Е (0,1/960]:
Р(Ф(Б)) ^ тах{г0, г1} + 3рР(Бд) + 3р2 ^ е + 184е2 + 3 ■ 5,2е ■ 23е + 3(5,2е)2 ^
^ е + 624е2 ^ 1,65е.
Таким образом, любую булеву функцию f можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) ^ 1,65е при е ^ 1/960.
Этап 2. На первом этапе доказано, что схемы Е и С можно построить с ненадёжностью Р(Е) ^ 1,65е, Р(С) ^ 1,65е. Тогда схему Бд на рис. 1 можно построить так, что Р(Бд) ^ 2Р(С) + 2Р(Е) + 2е ^ 8,6е.
Оценим вероятность ошибки г0 схемы Бд на наборе (0, 0, 0) аналогично этапу 1:
г0 ^ е + С4(1,65е)2 + 4 ■ 1,65е2 ^ е + 23е2.
Так же получается верхняя оценка для вероятности ошибки г1 схемы Бд на наборе (1,1,1), только в этом случае вероятность ошибки выходного элемента равна 0, поэтому г1 ^ 23е2.
Пусть f — произвольная булева функция. Реализуем её схемой Б с ненадёжностью Р(Б) ^ 1,65е при е Е (0,1/960]. Используя схему Бд, построенную на втором этапе, с помощью леммы 1 по схеме Б построим схему Ф(Б) и оценим её ненадёжность: Р(Ф(Б)) ^ тах{г0,г1} + 3рР(Бд) + 3р2 ^ е + 23е2 + 3 ■ 1,65е ■ 8,6е + 3(1,65е)2 ^ е + 74е2. Таким образом, любую булеву функцию f можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) ^ е + 74е2.
2) Пусть ^*(х1, х2, х3) = х1х2х3Фх1 Фх2Фх3Ф1 Е В. Поскольку функции х1 Фх2Фх3 и д(х1,х2,х3) = х1х2 V х1х3 V х2х3 являются самодвойственными, для доказательства леммы будем использовать схему на рис. 1, заменив функциональные элементы, реализующие на элементы, реализующие Все рассуждения такие же, как в предыдущем случае. Отметим только несущественное отличие для оценок г0, г1, а именно: на первом этапе г0,г1 ^ е + 184е2, а на втором — г0,г1 ^ е + 23е2. ■
Теорема 3. Если полный конечный базис В содержит функцию из множества М2 и М2*, то любую булеву функцию в этом базисе можно реализовать схемой, ненадёжность которой не больше е + 100е2 при всех е Е (0,1/960].
Доказательство. Пусть базис содержит функцию множества М2 и М*, т.е. функцию, конгруэнтную одной из таких функций:
1) ф1(х1, х2, х3) = Х1Х2Х3 V Х1х2х3 V х1Х2х3;
2) ф2(х1,х2, х3) = Х1Х2х3 V Х1х2Х3 V х1Х2Х3;
3) ф3(х1,х2, х3) = х1х2Х3 V х1Х2х3 V Х1х2х3;
4) ф4(х1,х2, х3) = х1х2х3 V х1Х2Х3 V Х1х2Х3;
5) ф5(х1,х2, х3) = (Х1 V Х2 V Х3)&(Х1 V х2 V х3)&(х1 V Х2 V х3);
6) ф6(х1, х2, х3) = (Х1 V Х2 V х3)&(Х1 V х2 V Х3)&(х1 V Х2 V Х3);
7) ф7(х1,х2, х3) = (х1 V х2 V Х3)&(х1 V Х2 V х3)&(Х1 V х2 V х3);
8) ф8(х1,х2, х3) = (х1 V х2 V х3)&(х1 V Х2 V Х3)&(Х1 V х2 V Х3).
Случай 1. Поскольку ^(ж,, ж,,ж3) = ж,&ж3, по результатам из работы [9] утверждение теоремы верно.
Случаи 2, 5 и 6 рассмотрены в [12], для них утверждение теоремы верно.
Случай 4 рассмотрен в [11], для него утверждение теоремы верно.
Случаи 3 и 7 рассмотрены в лемме 4, для них утверждение теоремы верно.
Случай 8. Нетрудно проверить, что ф8(ж^ж,^) = ж, V ж2, а ^(ж,,ж2,ж3) = = ф8(ж,,ж3,ф8(жьж^ж^) = ф8(ж,, ж3, ж, V ж2) = ж,ж2 ф ж3. Моделируя последнюю формулу, строим схему Б^ из двух элементов. Вычислим вероятности ошибок и^ на наборе (1, 0,1) и и^ на наборе (1,0, 0) (см. лемму 3) на выходе схемы Б^ и получим и^ = е и и>, = е(1 — е). Следовательно, шах^о,^} = е.
По условию В — полный базис, следовательно, функции (ж, фж2)0, (ж, фж3^ € [В]. По лемме 2 реализуем их такими схемами Б, и Б2 соответственно, что Р(Б,) ^ 5,2е и Р(Б2) ^ 5,2е при всех е € (0,1/960]. Нетрудно видеть, что ^((ж, фж2)0, (ж, фж3)^ ж,) = = ж,ж2 Vж,ж3 Vж2ж3 = д € С. Моделируя формулу ^((ж, фж2)0, (ж, фж^^ж,), построим схему Бд, реализующую функцию д € С. Легко проверить, что Р(Бд) ^ 2е + 2 ■ 5,2е = = 12,4е. С помощью леммы 3 оценим вероятности ошибок г0 и г, схемы Бд на наборах (0, 0,0) и (1,1,1) соответственно: г0, г, ^ шах{^0, + ^ е + 2(5,2е)2 ^ е + 54,1е2.
Пусть f — произвольная булева функция. По лемме 2 её можно реализовать схемой Б с ненадёжностью Р(Б) ^ 5,2е при всех е € (0,1/960].
Возьмём три экземпляра схемы Б, реализующей функцию f. Используя их и схему Бд, построим схему Ф(Б), которая реализует функцию f. Оценим ненадёжность схемы Ф(Б), используя лемму 1. Получим неравенство Р(Ф(Б)) ^ шах{г0,г,} + 3рР(Бд) + + 3р2 ^ е + 54,1е2 + 3(5,2е)12,4е + 3(5,2е)2 ^ е + 328,7е2 ^ 1,35е при е € (0,1/960]. По схеме Ф(Б) построим схему Ф2(Б). По лемме 1 оценим ненадёжность схемы Ф2(Б). Получим Р(Ф2(Б)) ^ е + 54,1е2 + 3(1,35е)12,4е + 3(1,35е)2 ^ е + 110е2 ^ 1,12е при всех е € (0,1/960]. По схеме Ф2(Б) построим схему Ф3(Б). По лемме 1 оценим ненадёжность схемы Ф3(Б). Получим Р(Ф3(Б)) ^ е + 54,1е2 + 3(1,12е)12,4е + 3(1,12е)2 ^ е + 100е2. Схема Ф3(Б) —искомая. ■
Теорема 4. Если полный конечный базис В содержит функцию из множества М4иМ4*, то любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадёжность которой не больше е + 100е2 при всех е € (0,1/960].
Доказательство. Пусть базис В содержит функцию множества М4 и М^, т.е. функцию, конгруэнтную одной из следующих функций:
1) —,(ж,,ж2,ж3) = ж,ж2ж3 V ж,ж2ж3;
2) -2(жъж2,ж3) = ж,ж2ж3 V ж,ж2ж3;
3) -3(ж,,ж2,ж3) = (ж, V ж2 V ж3)&(ж, V ж2 V ж3);
4) —4(ж,, ж2, ж3) = (ж, V ж2 V ж3)&(ж, V ж2 V ж3).
Случаи 1 и 2 рассмотрены в [11], для них утверждение теоремы верно.
В случае 3 имеем —3(ж,, ж,, ж3) = ж, ф ж2, —3(ж,, ж,, ж,) = 0, —3(ж,,ж2, 0) = ж, V ж2 и по результатам из [17] утверждение теоремы верно.
В случае 4 функция —4(ж, ,ж2,ж3) представима в виде ж,ж2 ф ж,ж3 ф ж2ж3 ф ж3 ф 1, т. е. является особенной. По результатам из [18] утверждение теоремы верно. ■
Заключение
Из теорем 1-4 и замечания 1 следует, что при неисправностях типа 0 на выходах элементов в базисе В, В П М = 0, почти любую функцию можно реализовать асимп-
тотически оптимальной по надёжности схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически равной е при е ^ 0.
Таким образом, значительно расширено множество функций, при наличии каждой из которых в базисе возможна реализация почти любой булевой функции асимптотически оптимальной по надёжности схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически равной е при е ^ 0.
Поскольку M = M*, полученные результаты справедливы при неисправностях типа 1 на выходах базисных элементов [19].
ЛИТЕРАТУРА
1. Von Neumann J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components // Automata studies / eds. C. Shannon and J. McCarthy. Princeton University Press, 1956. P. 43-98.
2. Добрушин Р. Л., Ортюков С. И. Верхняя оценка для избыточности самокорректирующихся схем из ненадежных функциональных элементов // Пробл. передачи информ. 1977. Т. 13. №3. С. 56-76.
3. Ортюков С. И. Об избыточности реализации булевых функций схемами из ненадежных элементов // Труды семинара по дискретной математике и её приложениям (Москва, 27-29 января 1987г.). М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. С. 166-168.
4. Uhlig D. Reliable networks from unreliable gates with almost minimal complexity // LNCS. 1987. V. 278. P. 462-469.
5. Pippenger N. On networks of noisy gates // 26th Ann. Symp. Foundations of Computer Science. Portland, 21-23 Oct. 1985. P. 30-38.
6. Яблонский C. В. Асимптотически наилучший метод синтеза надежных схем из ненадежных элементов // Banach Center Publ. 1982. V. 7. No. 1. P. 11-19.
7. Тарасов В. В. К синтезу надежных схем из ненадежных элементов // Матем. заметки. 1976. T.20. №3. C. 391-400.
8. Алехина М. А. О синтезе надежных схем из функциональных элементов ж/y при однотипных константных неисправностях на выходах элементов // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1991. №5. С. 80-83.
9. Алехина М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2006. 156 с.
10. Васин А. В. Асимптотически оптимальные по надежности схемы в полных базисах из трехвходовых элементов. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2010. 100 с.
11. Алехина М. А., КлянчинаД.М. Достаточные условия реализации булевых функций асимптотически оптимальными схемами с тривиальной оценкой ненадежности // Меж-дунар. симп. «Надежность и качество, 2010» (Пенза, 24-31 мая 2010). Пенза: ИИЦ ПГУ, 2010. Т.1. С.229-232.
12. Алехина М. А., Клянчина Д. М. Об асимптотически оптимальных по надежности схемах в некоторых специальных базисах // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. №4 (16). С. 3-13.
13. Алехина М. А., Клянчина Д. М. Об асимптотически оптимальных по надежности схемах в базисах, содержащих существенную линейную функцию и функцию вида xf&X // Материалы XVI Междунар. конф. «Проблемы теоретической кибернетики» (Нижний Новгород, 20-25 июня 2011). Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2011. С. 33-37.
14. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике: учеб. пособие. 3-е изд., перераб. М.: Физматлит, 2006. 416с.
15. Алехина М. А., Васин А. В. О базисах с коэффициентом ненадежности 2 // Матем. заметки. 2014. Т. 95. №2. С. 170-201.
16. Алехина М. А., Гусынина Ю. С., Шорникова Т. А. Верхняя оценка ненадежности схем в полном конечном базисе (в P2) при произвольных неисправностях элементов // Изв. вузов. Математика. 2017. №12. С. 8-83.
17. Алехина М. А. О надежности схем в полном конечном базисе, содержащем линейную функцию двух переменных и обобщенную дизъюнкцию // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2019. №1. С. 64-73.
18. Алехина М. А., Гусынина Ю. С., Шорникова Т. А. О надежности схем при неисправностях типа 0 на выходах элементов в полном конечном базисе, содержащем особенную функцию // Изв. вузов. Математика. 2019. №6. С. 85-88.
19. Алехина М. А., Пичугина П. Г. О надежности двойственных схем в полном конечном базисе // XVIII Междунар. школа-семинар «Синтез и сложность управляющих систем» (Пенза, 28 сентября-3 октября 2009). М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2009. С. 10-13.
REFERENCES
1. Von Neumann J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components. Automata studies (eds. C. Shannon and J. McCarthy). Princeton University Press, 1956, pp. 43-98.
2. Dobrushin R. L. and Ortyukov S. I. Upper bound on the redundancy of self-correcting arrangements of unreliable functional elements. Problems Inform. Transmission, 1977, vol. 13, no. 3, pp. 203-218.
3. Ortyukov S. I. Ob izbytochnosti realizatsii bulevykh funktsiy skhemami iz nenadezhnykh elementov [On the redundancy of the Boolean functions implementation by circuits from unreliable elements]. Seminar on Discr. Math. and its Appl. (Moscow, 27-29 Jan. 1987). Moscow, MSU Publ., 1989, pp. 166-168. (in Russian)
4. Uhlig D. Reliable networks from unreliable gates with almost minimal complexity. LNCS, 1987, vol. 278, pp. 462-469.
5. Pippenger N. On networks of Noisy Gates. 26th Ann. Symp. Foundations of Computer Science, Portland, 21-23 Oct. 1985, pp. 30-38.
6. Yablonskiy C. V. Asimptoticheski nailuchshiy metod sinteza nadezhnykh skhem iz nenadezhnykh elementov [Asymptotically best method for synthesizing reliable circuits from unreliable elements]. Banach Center Publ., 1982, vol.7, no1, pp. 11-19. (in Russian)
7. Tarasov V. V. The synthesis of reliable circuits from unreliable elements. Math. Notes, 1976, vol. 20, iss. 3, pp. 775-780.
8. Alekhina M. A. O sinteze nadezhnykh skhem iz funktsional'nykh elementov x/y pri odnotipnykh konstantnykh neispravnostyakh na vykhodakh elementov[On the synthesis of reliable circuits of x/y functional elements at the same type constant faults at the element outputs]. Vestnic MSU, Matematika Mekhanika, 1991, no. 5, pp. 80-83. (in Russian)
9. Alekhina M. A. Sintez asimptoticheski optimal'nykh po nadezhnosti skhem [The synthesis of asymptotically optimal on reliability circuits]. Penza, Penz. State Univ., 2006. 156p. (in Russian)
10. Vasin A. V. Asimptoticheski optimal'nyye po nadezhnosti skhemy v polnykh bazisakh trekhvkhodovykh elementov [Asymptotically optimal on reliability circuits in complete bases of three-input elements]: PhD Thesis. Penza, Penz. State Univ., 2010. 100 p. (in Russian)
11. Alekhina M. A. and Klyanchina D. M. Dostatochnyye usloviya realizatsii bulevykh funktsiy asimptoticheski optimal'nymi skhemami s trivial'noy otsenkoy nenadezhnosti [Sufficient conditions for the implementation of Boolean functions by asymptotically optimal circuits
with a trivial estimate of unreliability]. Int. Symp. "Reliability and quality, 2010" (Penza, Russia, 24-31 May 2010). Penza, Penz. State Univ., 2010, pp. 229-232. (in Russian)
12. Alekhina M. A. and Klyanchina D. M. Ob asimptoticheski optimal'nykh po nadezhnosti skhemakh v nekotorykh spetsial'nykh bazisakh [On asymptotically optimal on reliability circuits in some special bases]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Povolzhskiy Region. Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2010, no. 4 (16), pp. 3-13. (in Russian)
13. Alekhina M. A. and Klyanchina D. M. Ob asimptoticheski optimal'nykh po nadezhnosti skhemakh v bazisakh, soderzhashchikh sushchestvennuyu lineynuyu funktsiyu i funktsiyu vida xf&x^ [On asymptotically optimal on reliability circuits in bases containing an essential linear function and a function of the form x^&x^]. XVI Int. Conf. "Problems of Theoretical Cybernetics" (Nizhny Novgorod, 20-25 June 2011), Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod State Univ., 2011, pp. 33-37. (in Russian)
14. Gavrilov G. P. and Sapozhenko A. A. Zadachi i uprazhneniya po diskretnoy matematike [Tasks and Exercises in Discrete Mathematics]: tutorial, 3rd ed., revised. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006. 416 p. (in Russian)
15. Alekhina M. A. and Vasin A. V. On bases with unreliability coefficient 2. Math. Notes, 2014, vol. 93, no. 2, pp. 147-173.
16. Alekhina M. A., Gusynina Yu. S. and Shornikova T. A. Upper estimate of unreliability of schemes in full finite basis (in P2) for arbitrary faults of gates. Russian Mathematics, 2017, vol.61, no. 12, pp. 70-72.
17. Alekhina M. A. O nadezhnosti skhem v polnom konechnom bazise, soderzhashchem lineynuyu funktsiyu dvukh peremennykh i obobshchennuyu diz"yunktsiyu [On the reliability of circuits in a complete finite basis containing a linear function of two variables and a generalized disjunction]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Povolzhskiy Region. Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, no. 1, pp. 64-73. (in Russian)
18. Alekhina M. A. and Gusynina Yu. S. and Shornikova T. A. O nadezhnosti skhem pri neispravnostyakh tipa 0 na vykhodakh elementov v polnom konechnom bazise, soderzhashchem osobennuyu funktsiyu [On the reliability of circuits in case of faults of type 0 at the outputs of elements in the complete finite basis, containing a special function]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 2019, no. 6, pp. 85-88. (in Russian)
19. Alekhina M. A. and Pichugina P. G. O nadezhnosti dvoystvennykh skhem v polnom konechnom bazise [On the reliability of dual circuts in the complete finite basis]. XVIII Int. School-Seminar "Synthesis and Complexity of Control Systems" (Penza, 28 Sept.-3 Oct. 2009), Moscow, Faculty of Mechanics and Mathematics of Moscow State University, 2009, pp. 10-13. (in Russian)
