CC BY
33
Модели биологической кинетики могут использоваться рыбными хозяйствами и научно-исследовательскими институтами в целях прогнозирования запасов, оптимального изъятия, сохранения и воспроизводства рыбных популяций. А так же с помощью построенных моделей можно провести оценку, анализ и прогнозирование экологического состояния мелководного водоема - Таганрогского залива.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Латун B.C. Устойчивость системы фитопланктон-зоопланктон-рыба // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. - Севостополь, 2004. - № 10. - С. 211-218.
2. Tyutyunov Yu., Titova L., Arditi R. Predator interference emerging from trophotaxis // Ecological Complexity, 2008, - № 5. - C. 48-58.
Никитина Алла Валерьевна
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: alla@vm.tsure.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)371-606.
Кафедра высшей математики; доцент.
Nikitina Alla Valerievna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: alla@vm.tsure.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-606.
The Department of Higher Mathematics; associate professor.
УДК 519.63:532.55
АЛ. Сухинов, Ю.В. Першина
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ДИНАМИКИ ФИТОПЛАНКТОНА ПРИ НАЛИЧИИ МЕХАНИЗМА ЭКТОКРИННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Цель данной работы заключается в объяснении такой особенности динамики фитопланктона, как устойчивая неравномерность его распределения по водоему («пятнистость»). Задачей исследования является изучение этого явления при наличии механизма эктокринного регулирования и в его отсутствии. В результате исследования получены достаточные условия единственности решения задачи и сформулирована теорема.
Фитопланктон; метаболит; лимитирующий элемент; «пятнистость»распределения.
A.I. Sukhinov, J.V. Pershina
SUFFICIENT CONDITIONS OF UNIQUENESS FOR THE PROBLEM DECISION OF A PHYTOPLANKTON DYNAMICS IN THE PRESENCE OF THE MECHANISM ECTOCRINE REGULATIONS
The purpose of this work consists in an explanation of such feature of dynamics of a phytoplankton, as steady irregularity of his distribution on a reservoir. The problem of research is study-
ing of this phenomenon in the presence of the mechanism ectocrine regulations and in its absence. Sufficient conditions of uniqueness of the decision of a problem are received and the theorem is formulated as a result of research.
A phytoplankton; a metabolite; a limiting element; a «punctation» of distribution.
1. Постановка начально-краевой задачи
Математическая модель записывается в предположении, что в процессе жизнедеятельности фитопланктонной популяции выделяется биологически активный метаболит, концентрация которого влияет на скорость роста особей [1]. Здесь рассматривается упрощенная ситуация, когда развитие фитопланктона лимитируется единственным биогенным элементом (это может быть азот или фосфор), а внешние условия предполагаются близкими к оптимальным для данного вида.
Несмотря на такие упрощения, модель позволяет отразить важнейшие особенности динамики фитопланктона: прежде всего, устойчивую неравномерность его распределения по водоему ("пятнистость") [3], а также временную периодич-. , -гих фитопланктонных популяций с учетом их взаимного влияния, позволяет объяснить устойчивость видового многообразия фитопланктонных ансамблей [4].
Рассмотрим систему из трех уравнений в некоторой трехмерной области G — области, представляющей собой замкнутый бассейн, ограниченный невозмущенной поверхностью водоема V , дном V = V (x y) и цилиндрической
o h иу !
боковой поверхностью G, для временного интервала 0 < t <t0.
дх
dt
+ div\ UX
= uX AX + — Их dz
c
д X dz
+ kXS — aX, (1)
— + div(U S1 = jUS AS +—( vS —1 — k2 XS + fi (S' — S ), (2)
dt v ) dz\ dz )
dM , Л , d ( dM
dt
div[U M^j = vM AM + j- V dM) + kX — SM, (3)
где X, £, М — концентрации фитопланктона, биогенного вещества и метаболита соответственно;
—^
и = [ы,V,w) - вектор скоростей водного потока;
л д2 д2 - п
Д =-------+------ двумерный оператор Лапласа;
дх2 ду2
Цх, Ц5, ЦМ - диффузионные коэффициенты в горизонтальных направлениях для фитопланктона, биогенного вещества и метаболита соответственно;
Ух, V,,, УМ - диффузионные коэффициенты в вертикальном направлении , ; кг - удельная скорость роста фитопланктона; а - удельная смертность фитопланктона;
к2 - ;
к3 - коэффициент экскреции;
8 - коэффициент распада метаболита; в - удельная скорость распада биогенного вещества; f = f (х, у, г, г) - функция источника загрязнения.
, -тона и удельной скорости потребления биогенного вещества от концентрации метаболита линейные, т.е.
к1 = к10 + У\М, к2 = к20 + У2М . (4)
Во многих случаях можно считать, что к1 = к2, что и предполагается в дальнейшем. Для системы (1-4) необходимо в любой момент времени задавать ——
и = (и, V, w) - вектор скоростей водного потока, а также начальные значения функций X, £, М:
X (х, у, г,0 )= Хо (х, у, г),
£ (х, у, г ,0 ) = £о (х, у, г), (5)
М(х,у,г,0)= М0 (х,у,г), (х,у,г)е О, г = 0.
Присоединим к системе (1-5) граничные условия. Будем считать что граница X цилиндрической области О является кусочно-гладкой и
X = Хн ^ Хо ^ 7 , где Xн - поверхность дна водоема, Хо - невозмущенная поверхность водной среды, 7 - боковая (цилиндрическая) поверхность.
Пусть ип - нормальная по отношению к X составляющая вектора скорости водного потока, П - вектор внешней нормали к X . Для концентраций X, £, М будем предполагать, что
X = £ = М = 0 на 7 , если ип < 0; (6)
дX Л д£ Л дМ Л _ к -----= 0 ------= 0 -----= 0 на 7 , если ип ^ 0 ; (7)
п
дп дп дп
дх Л д£ Л дМ Л т (8)
^—= 0,— = 0,^— = 0, на Xo; (8)
дг дг дг
дX дБ дМ у
-----= £1 X,---= £2£,-= £3М, на поверхности Xн , (9)
дг дг дг
где £, £г, £3 - неотрицательные постоянные, £ учитывает опускание водорослей на дно и их затопление; £2, £3 учитывают поглощение биогенного вещества и метаболита донными отложениями.
2. Достаточные условия единственности решения при отсутствии механизма на ружно-гормонал ьного регул ирования
Если у > 0, у > 0, то возможно ветвление решений системы, что соответствует " пятнистому " распределению фитопланктона. Пусть механизм экток-ринного регулирования отсутствует, т.е. 71 = ^2 = 0. Тогда первые два уравнения системы (1)-(3) вместе с соответствующими граничными и начальными условиями отделяются. Укажем в этом случае достаточные условия существования единственного решения. Сделаем дополнительные предположения о периодичности процесса, т.е.
X (х, у, г, г) = X (х, у, г, г + Т), £ (х, у, г, г) = £ (х, у, г, г + Т), (10)
где Т > 0, Т — период. Введем на поверхности X области О функции
< =
\ип, ип >0; 0, и < 0;
и и = и — и„
(11)
Выполним разбиение временного интервала 0 < Ґ < Т на достаточно малые отрезки времени Ґп—1 < Ґ < Ґп, п = 1,2,..,N, Ґ0 = 0, = Т и запишем ли-
неаризованную на каждом из отрезков времени систему уравнений вида:
дХ
дг
+
их
■ ¡їх АХ +
д_
ді
V
х
дХ
ді
+ к1 ХБп —аХ, (12)
— + и АБ + —(vS —) — к2ХпБ + 0(& — Б), (13)
дг \ ) д і\ ді)
с дополнительными условиями: начальными
Х (, у, 2,0) = Х0 (, у, і),
Б(,у,2,0) = Б0(,у,2), (,у,і)є G, г = 0.
и граничными
Х = Б = 0 на О , если ип < 0;
дХ = 0, = 0, на О , если ип > 0;
дп дп
дХ п дБ п у ----= 0,----= 0, на ус
д і д і
дХ
ді
Є Х,
дБ_
ді
■■єЛ
2Б, на поверхности Ун
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Получим квадратичный функционал, который используется для доказательства единственности решения задачи (11-17). Для этого умножим обе части уравнения (11) и (12) соответственно на функции X и £ и проинтегрируем каждое из полученных равенств по области О и по временной переменной г, гп < г < гп+1 и затем просуммируем по п = 1,2,...,п0, и, складывая полученные равенства, в итоге получим
¡Сг І1—СО + \Л |XdivUXdG + ¡Сг ^—сІО + ¡Сг
1 дБ2
0 в 0 в Т
2 дг
¡ХІСг ¡ХАХСв +1сг |х д V— Со+к^ } сг \х2БпСО —а\Сг |х2СО + (19)
+цБ\л¡БАБСО +\Л(у3—\о—к^ |С¡Б2ХпСО —в\л\Б2СО + ¡Сг|¿БСС.
0 О 0 О ді\ ді) и=1 ^ гп—1 О J 0 О 0 О
(10)
Тг, г1 дХ2 V Г1 дХ2
І Сг I----СО = 0, IС I------СО = 0.
•М2 дг -1 -Ь дг
0 О " 0 О •
Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем равенства
(20)
IХС^иХСО = ¡^Х2СУ, |БС^иБСО = 2СУ. (21)
Преобразуем левую часть соотношения (19), используя формулы (20) и (21), и придем к равенству
т + т + т т д ( дX\
[йг \u^х2йЕ + [йг 1^52йЪ = ^х [йг [X+ [йг (X— ух—ЫО +
0 X2 0 X2 0 О 0 О д А дг) (22)
п0 ( г„ \ Т Т
+к1 £ |йг|X2£пйО —а\йг|X2йО + 1йг|£А£йО +
п^ V гп—1 О у 0 О 0 О
Т
ГСг ГБ-
д ( дБ
V«—1
п0 1п Т Т
О — к1 £ | Сг |Б2 ХпСО —ввСг |Б2 СО + |Сг |^СО.
(15-18), -
лучаем цепочку равенств
0 О
ЩУ+И5! (ч!)*+
Т /"т^сЛ
+й\л |Б
0 О Т
—й й ]
—5 —5
дх2 —у
йО=—й |йг |
I +1
дх ) I ду
0 О
2Л т
О — |Л (
—X
дг
О—
Т (гд5Л2 (д5лЛ Т
+
х у
Ув — У ( — I Ув+й У \х—УЕ+ У [ vXX—dX+
} } ' дг) ' X дп 0 X —г
Xн
дп
дг
+й \Л ]5— (К+ \ск | у(—с£=—й \Л ]
0 X дп 0 у дх
¿-¡н
Т ^ж']2 (XЛ
+
дх ) I ду
УО—
0 О Т
у (хI —X I йО — у | (х2^—й \л ]
дг
0 X
н
Т [—51 +1— Ы Л —у
2Л
Ув—
- у о — у IV2 dx
0 Xн
(23)
(23), -
(22).
1 + 1 + 1 I = |йг ¡и^х2dx + |йг 2dx+й |йг |
дX
дг
/йг (1 — 1 йО + /йг / £2убБ2dX — к1 £ / йг ¡X2Бпйв + а |йг ¡X2йв -
0 X 2 Т
—X \2 (дхл2Л
, +
дх
—у
йв +
/
йО + |йг | elvхх2 йX + й |йг |
0 X н
/''д5.')2 +(2Л
дх ; V ду
'V
йО +
(24)
у
дг
0 X н \
1 ЧЛ—1
+к1 £ | йг |Б2 XndG +в|йг |Б2 йв — |йг | ^йв.
Кгп—1
Пусть нх, Ну, нг - максимальные размеры области О в направлении координатных осей Ох, Оу, Ог соответственно. Справедливы неравенства Пуанкаре
—X
!’ -{—г
0 о V
т (
Iйг Iй
\2
Ув > У (X2йв,
хнг) 0 в
—X
дх
л2 íдхлЛ
+
ду
V У
Ув > 4йх
1 1 ■ + ■
Iйг IX 2УО.
0О
п
0 в
Заменим выражения в левой части функционала I в соответствии с приведенными выше неравенствами на не превосходящие их члены, построив, таким
образом, функционал I
т + т + Л т
I = ¡сії ¡—^Х2ЛХ+ ¡сії и-$2^+(4-І ¡СІЇ ¡уХХ2ЛО+4цх
1 1
С ¡Х2сО+
(25)
^ *п
^¡Л |еухХ2ЛХ—|^¡Х2ЗпЛО +а^\х2сСО+
О Хя П=Ч'п-1 О ) 0 О
1
+¡3 ¡ЛіI
Ґ,
По 1п
Эх
+
кдУу
^ т fг)S'\2 т
СО +1Лі 1 — ЛО + Л I еV 2ЛХ+
0 Хя
+к£ |Лі|£2ХпЛО +р\Лі|£2ЛО— ¡Лі|/ЗЛО.
п=1 \ і , О
\ п—1
О О
О О
Положим вначале п0 = 1. Пусть на первом временном интервале ¿0 < г < ^ выполняется неравенство
1
- + -
1
(Ях )2 (у )2
+
4шіп { уХ }—+ а — к1шах{30}> 0. (26)
(я ч)
Предположим, что решение системы (12)-(18) неединственно, т.е.
w = X' —X"ф 0, о = £ —Б" Ф 0.
(27)
Функционал I для функций w и Ш имеет вид
Л
I = I*——м?1ЛХ+ I*—— ШЛХ+-— [Лі Їух^^ЛО + 4ц,х
¿2 ^ 2 (я )
1 1 -+-
+ 1Лі | еухм!2ЛХ—к |Лі |м>2£0ЛО+аЛ ¡X2ЛО +
0 Х 0 О 0 О
ч
+ц8 ¡Лі |
( (да )2 ГдШ 2
— +
Чдх, 1дУ; /
СО + ІЛі И — 1 ЛО + ІЛі I е2УЗШЛХ+
дч
о Х
я
+к11Лі ¡Шх0ло+в |Лі ¡Шло=о.
С другой стороны, в силу неравенства (26), имеем I > 0. Пришли к противоречию, в силу которого w = 0, (0= 0 для 0 < г < г1. Аналогично для любого
п = 1,..., п0 — 1 в предположении
'X
1 1 -+-
+ 4шт{ух }—+ а — к1шах{Бп }> 0 (28) 2 )
(12-18). (28)
(12-18).
3. Некоторые условия единственности решений при наличии механизма эктокринного регулирования
Пусть у 1 > 0, у2 > 0. Укажем достаточные условия существования единст-
. -
цесса, т.е.
X (х, у, 2, г) = X (х, у, 2, г+Т),
Б (х, у, 2, г) = Б (х, у, 2, г + Т), (29)
М (х, у, 2, г) = М (х, у, 2, г + Т ^
где Т > 0, Т — период. Введем на поверхности X области О функции
+ , ип, ип >0; — +
ип = 1 Л Л И ип = ип — ип .
0, и < 0;
(30)
Выполним разбиение временного интервала 0 < г < Т на достаточно малые отрезки времени гп_ 1 < г < гп, п = 1,2,..,N, г0 = 0, = Т И запишем линеаризо-
ванную на каждом из отрезков времени систему уравнений вида:
ХБ
Хг
+ Л\У
ХМ
иБ
■ /и8 АБ +
д_
Х2
д_ Х2 ХБ ? Х2
V
XX
Х2
+ кЛБп —aX,
(31)
— к2 XnS + 0(& — Б), (32)
Хг
+лгу
им
= ^м АМ +
Х2
м
хм
Х2
+ к3 XnM — дм, (33)
с дополнительными условиями: начальными
X (х, у, 2,0 ) = X0 (х, у, 2 ),
Б (х, у, 2,0 ) = Б0 (х, у, 2 ), (34)
м(х,у,2,0)= М0(х,у,2), (х,у,2)е О,г = 0.
и граничными
X = Б = М = 0 на а , если ип < 0 ; (35)
XX п ХБ Л ХМ _ 1, > П
-----= 0 --------= 0 ---------= 0 на а , если ип > 0; (36)
Хп ’ Хп ’ Хп ’
XX ХБ ХМ X
----= 0, -----= 0, -------= 0, на х о; (37)
Х2 Х2 Х2
XX ХБ а ХМ X
------= £ X, ----= £2Б, --------= £М, на поверхности х н . (38)
Х2 Х2 Х2
Получим квадратичный функционал, который используется для доказательства единственности решения задачи (31-38). Для этого умножим обе части уравнений (31), (32) и (33) соответственно на функции X , Б и М и проинтегрируем каждое из полученных равенств по области О и по временной переменной г, гп < г < гп+1 и затем просуммируем по п = 1,2,...,п0, и, складывая получен,
т 1 X X 2 т т 1 X т т 1 г)АЛ^
¡ёг Г------ёв + ¡ёг \XdivUXdG + ¡ёг Г-ёв + ¡ёг ¡БёШБёО + [ёг Г---------------------ёв+
} }2 —г } } ^ ^2 —г } } ^ ^2 Хг
0 и1 0 в 0 и1 0 в 0 и1
+¡ёг ¡Мё^иМёв=/1Х ¡ёг ¡XАXdG + ¡ёг ¡X—мх —1ёв+к1 £ }dгX2Бпёв
0 в 0 в 0 в —2\ Х2 ) п=1 ^ гп—1
т т т х ( — п0 (гп л
—а^г |X2ёв+хб ¡ёг ¡БАБёв + ¡ёг ¡Б— мБ — Ж—к2£ ¡ёг ¡S2XndG
0 в 0 в 0 в —2\ Х2) п=^ гп—1 в
т т т т X{ ХМ\
—в ¡ёг ¡$2ёв + ¡ёг |/Бёв+хм ¡ёг ¡МАМёв + ¡ёг ¡М — мМ----------------Ж+
0 в 0 в 0 в 0 в —2\ —2 )
Ъ ( гп Л Т
+к3£ ¡ ёг ¡Шпёв —дё ¡М2ёв (39)
п=1 V гп—1 в У 0 в
(29)
Т 1 Г) ТТ'2 Т 1 Г) гу2 Т •*
[ёг [1 —^ёв = 0, [ёг [1 —^ёв = 0, [ёг [1—М
0 в 2 —г 0 в 2 —г 0 в 2 —г
Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем равенства ¡XdiуUXdG = ¡^ 2ёХ,
СО = 0 (40)
х 2
¡ЗЛіуиЗЛО = ¡^Б 2ЛХ
(41)
Х
—+
¡МёгуиМёв = ¡и^-М 2ё X
в х 2
(39), (40) (41),
и придем к равенству
О
О
= xх |ёг |XАXdG + +1ёг |X—( мх — 1ёв + | ёг |X2 Бпёв
0 в —2\ X2
0 в 4 ч ,
Т Т Т — { — Б Л
—а |ёг |X2ёв + х8 |ёг |БАБёв + |ёг |Б — мБ —ёв —
1К<п—
+ХМ | ёг ¡М АМёв + | ёг ¡М—мМ ХМёв + 0 в —2\ —2 )
0 в г
(42)
+к3£ |ёгШпёв — д¡ёг¡М2ёв
'\!п-
В соответствии с формулой Грина и с учетом граничных условий (35-38), получаем цепочку равенств
Хх Хёг ¡X
0 в Т
X 2X X ^ _ Тг,.г, ГХ( XX^ _ Тг,,г „ — ( ХБ Хх2 + Ху2
X2 Б X2
0 в Т
ёв +¡ёг¡-у>м — +¡ё' IБ— V — \ёв +
+ХбМ-т+-7)ёв+ХмМм. -х2 . -у,
У 0 в
22
х 2м х 2мЛ
ёв +1ёг \М—мМ —\ёв --
—2
(—X) —X) ТГл г (—XУ,_
Хх Iёг N — + — ёв — Iёг МЛ — ёв-
0 в \ Хх) V —у) 0 в V —2 )
0
/
ёв — ¡ёг М I ёв —
—X
—2
ёв — ¡ёг ММ —М \ ёв +
—2
X X Т X X Т —Б
+Хх ¡ёг ¡X—ёх + ¡ёг I м^—ёх + ХБ ¡ёг |б—ёх +
0 X Хп 0 х —2 0 х Хп
^Н
+ ¡ёг ¡мББ—ёХ + Хь,^¡М —Мёх + + ¡ёг ¡мММ —Мёх =
0 х —2 0 х Хп 0 х
НН
—2
Т ( — X V Т
ёв — ¡ёг Мх\ — \ ёв — \ёг Г£•1VXX2ёX
0 в V —2 ) 0 X
Н
— I + 1 —Ъ- ёв — \ёг МБ( — I ёв — \ёг Ге2УББ2ёх
✓-?v ] г) Л) ^ ^ \ /-)у ) 3 3
Х2
ёв — ¡ёг V
0 хн
2 Т
ёв — ¡ёг ! £3УММ2 ёX
0 хн
(43)
Принимая во внимание равенство (43), преобразуем правую часть соотношения (42). Выражение для квадратичного функционала запишем в виде
I = |Ж X 2 СЕ + |Ж ^Б 2СЕ + | Ж М 2СЕ +
2 0 Е 2 2
0 £
Т (
+Мх \сг |
0 о
1 і +Хб\с‘ |
0 о
т
+Мм | сг |
2 +(ЭХ.
дх ) ^ ду
эб^2 ГЭБЛ^ Т
, +
Эх
ЭУ
рМ V + "ЭМ^ 2 ^
ч1э^ ч ЭУ ) }
о о т
со + ]■ сг VЛ ^1 со + ]■сг | £2у3Б2С£ +
Ъх
0
¿■¡Е
2 Т
со +1а VI — со + | а | еъуМм2 се -
о о V д ) о Е
¿■¡Е
о п ( '* \ т
-| С* IX2БпСо +а\а |X2со + к2£ | а |Б2ХпСо +@в |Б2со -
И=1 V 'п-1 о у о о п=1 ^ ,п-1 о у о о
т п0 ( <п \ т
-|С*I/БСо-к3£ IС*\мхпсо -#!С*М2со (44)
о о п=1 ^ /п-1 о У 0 о
(44) -
венством 2аЬ < а2 + Ь2 , что приведет к не возрастанию функционала I:
I > |а Ц-х2се+ |а |^б2се+ |а |^м2се+
2 о Е 2 о Е 2
+Мх 1Сг |
0 о т /
+ЦБ \сг}
0 о
т
+Мм \Сг |
ЭХЛ2 Гэх!Тг, Г Г ЭХ 42
Эх ) Эу
Т (ЭХ Л2 Т
со + Гсг (ух I — со + Гсг Г єгухх 2С£ + ) 0 о VX 0 £
Эх у I Эу
со + |сгVЛ *) со + |сг |єу^2с£ +
Э^ 0 £ Е
со + Г сг\ум[ —1 со + Г сг Г є3УмМ 2с£-
0 о VЭх) 0 £
0 " ( г" Л Т
к,£ |сг|X2Б"со +а\сг |X2со + к2£ |сг |Б2Хсо + р\й |Б2со -
"=1 V ‘"-I о у 0 о "=1 ^ >п-1 о у 0 о
Т 1 "о ( " \ \ Т
| сг | /Бсо -1 к3 2^ І сг |(М2 + (Х" )2 \со -3$ сг М2 со (45)
Т ^ЭМЛ2 (ЭМЛл Т
Эх ) I Эу
Ч‘"-і
Пусть нх, Ну, И2 -максимальные размеры области О в направлении координатных осей Ох, Оу ,Ог
0о
№1 £
т (
Iл IX
о о т
дХ
дх
со >
(Н.
ч2
+
'дх.)2
(н. )2о охч ^
Ч 2 \ ^
дХ ^ ,
— Со > 4Хх
дУ
\ у
Со, V = тах {(,у,г,*)}
о ^,о<?<т14 '■*
т
|с* |х 2 со,
1 1 +
¡л VI |
о о Vй т
Iйй IX
о о
IЛ ¡!
о о т
Iл IX
дБ
дх
дм
со >
(Н
22
V
^дБл 2
дг
хНх) (Ну )2
о о
+
У
(Нг) о о Vuгy'
2
дБ
— Со > 4Хб
дУ
\ ■У /
Со, V, = тах {V (х, у, г, *)}
о ^ о<*<т14 /-1
т
IС* IБ 2Со,
1 1 +
(Нх)2 (Ну )2
2
М| дг
дм
со > ■
о о V У í
IvV/мСо, V = от<ахт{(х,у,г,*)}
о о \ ог У
Гдл, ^2 (дм ч2Л
+
V дх у
V ду у
Со > 4Хм
1 1 - + -
(Нх )2 (Ну )2
IС* Iм 2Со.
Заменим выражения в левой части функционала I в соответствии с приведенными выше неравенствами на не превосходящие их члены, построив, таким
образом, функционал I , 1>1.
I =
| С* X2 СЕ + |а* |^Б2 СЕ + |СГ м2 СЕ +
2 А Е 2 о Е 2
+х
+4Хб
о Е о Е
А V
1 1
+
(Нх )2 (Ну )2
|а |X2со +---------------- |а Бхох2со +|а | £хухх2се+
о о (Нг) о о о ЕН
т 4 т т
|л |б 2 со+------------21 л |уБоб 2 со +1а* | ¿V2 се+
о о (Нг) о о о ЕН
+4Х
1
1
, |Л Iм 2ао + -—Т |а \ум0м 2 ао + |а | Vм 2 СЕ -
КЕ) {Ну) )о о (Е) о о о о Ен
по ( п \ т пц ( >п Л т
к1 £ I а ¡X2 Бпао + а\л |X 2Со + к2 £ | С* |Б2 хсо + Р^Л |Б 2Со -
п=1^ /п-1 о у о о п=1 ^ ,п-1 о у о о
т 1 по ( ‘п , 2\ 1 т
|а.*|бсо — к3£ |а.*|(м2+(хп)\ао -#$а.*|м2со
о о 2 п=^ ‘„_1 о У о о
Представим преобразованные слагаемые в виде
(46)
о о
/
4%
1 1 + -
,(«' )2 (Ну) \
4 Т
о о
1 1 ■ +
.(«'У (Ну )2
£ }сг |Х —о
"=Ч ‘.-і о о
21сг V Х2 со =-----с £ | сг |гХо Х2 со
(Нх) о о 0 («,) "=1 ^г,-, о 0
ґ
4%
л
1 1 - + ■
V.««)2 (Ну)
л Т
і
|сг |Б2 со = 4#
0 в
о о С \
1 1
- + -
- / \2 V- - - (Ну ) у
Т
(-Н,)
Iсг \ум,М 2 со ■■
(Н2 )-
4%
4
(«, )-
/
--4%М
4 1
1 1
2 + , \ 2
^х) (Ну)
£ І сг |Б2 со
"=п г , о і
\‘и-1 /
Iсг ]уБоБ2со =-с£ |сг ]уБоБ2со
"=1V ‘"-і о
1 1
- + -
"о
о о
"о
"=1 V ‘"-і о
£ | сг ]М 2со
"=Ч ‘.-і о у
\
Соберем слагаемые, содержащие Х2, Б2, М 2
П=1
С ( ( ‘" ]
1 I
V -'"-11о I
л Л Л
4^Х , 4% , 4% КО"
+ ^Хс + ^ГХс - к1Бп +а
(Н,)с (Е)с (Ну)
Х-со
сг
11о
X
Ґ Ґ Ґ
‘п \
11
Vг"-11о V
( ( (
‘п (
11
ч2 + Б- + “ тс + к-Х" +в
(-Н,)- (Нх)- (Ну)
сг
Б 2со
1 ) )
\ \ \
4УМ + 4%М + 4%М -1 к + 3
V ‘"-11о V'
.-I-----. к
\2 /'т-т\2 /„\2 —
М 2со
сг
_(Е )- (Нх)- (Ну )-
Потребуем, чтобы слагаемые при Х2, Б2, М2 были положительными
4УХо , 4%х , 4%Х
-
(«,)- («х)- (Ну)
4^ +-%+-%+к
(Е)- (Нх)- (Ну)
Бб
Хп
+ а> 0
+ в> 0
(47)
п
"=1
"
■4Бм^ + -1 к3 + д> о.
(И) (Их) (И,) 2
Условия (47) можно считать достаточными для существования единственного решения при наличии механизма эктокринного регулирования.
Теорема. Пусть решение задачи (31-38) существует, функции
X(х,у,г), Б(х,у,г), м(х,у,г)
принадлежат классу
С2 (о)п С1 (Щп С1 (о < * < т), Бх (г ),Бб (г), Мм (г) е С1 (о),
/ (х, у, г, *) е С (о)
и Е цилиндрической области о является кусочно-гладкой. Тогда при выполнении неравенств
Бх° -+ 4Хх2 + 4Хх2 -кЛ|бЧ| + а> о;
H ) (И ) (иу )2
4Vs° +к\хп\+в>о;
(H )2 (H )2 (иу )2
4vMo + 4хм + 4хм 1
(и, )2 (H )2 (иу )2
для любого п = 1,2,..,N, решение задачи (31-38) единственно.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Домбровский Ю.А., Маркман Г. С. Пространственная и временная упорядоченность в экологических и биохимических системах, 1990. - С. 17.
2. Сух иное А.И., Никитина А.В. Об исследовании условий существования и единственности решений для системы уравнений динамики фитопланктона // Известия ТРТУ, Спец. выпуск, 2001. - С. 222-227.
3. Тузинкевич А.В., Фрисман Е.Я. Диссипативные структуры и пятнистость пространственного распределения организмов. Биофизика. 1988. - С. 333-337.
4. Hutchinson G.E. The paradox of the plankton, American Naturalist, 1961. - P. 137-145.
Сухинов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: sukhinov@gmail.com.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)310-599; 7(928)102-11-06.
Руководитель ТТИ ЮФУ; профессор.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: sukhinov@gmail.com.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)310-599; 7(928)102-11-06.
Chief of Tit sFedU; professor.
Першина Юлия Валериевна
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: yuliapershina@mail.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)371-606; 8(904)347-17-78.
Кафедра высшей математики; студентка.
Pershina Julia Valerievna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: yuliapershina@mail.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-606; 8(904)347-17-78 The Department of Higher Mathematics; student.
УДК 518.5.001.57
И.А. Кажарова МОЗАИЧНАЯ СТРУКТУРА РАСПРЕДЕЛЕННОГО СООБЩЕСТВА ТРАНСГЕННОЙ КУКУРУЗЫ
Цель данной работы: построение модели пространственно-временной динамики двувидового сообщества кукурузы (обычной и трансгенной), учитывающую нелокальные взаимодействия между ними; в зависимости от механизмов, лежащих в основе модели, изучить условия возникновения пятнистости пространственного распределения кукурузы. Был проведен анализ структуры пространственно неоднородных решений. Показано, что учет пространственных взаимодействий приводит к появлению пятнистости (диссипативных структур) как стационарных, так и нестационарных (периодических в окрестности точки бифуркации).
Трсшсгенная кукуруза; плотность биомассы; динамическая устойчивочть (неустойчивость); вегетативное размножение.
I.A. Kazharova MOSAIC STRUCTURE OF THE DISTRIBUTED TRANSGENE CORN
COMMUNITY
In the given work the model of existential dynamics of two-specific community of corn (usual and transgene), considering not local interactions between them is under construction. Depending on the mechanisms underlying model, occurrence conditions пятнистости spatial distribution of corn are studied. The analysis of structure of spatially non-uniform decisions is carried out. It is shown, that the account of spatial interactions leads to occurrence spotted both stationary, and non-stationary.
Transgene corn; biomass density; dynamic stability (instability); vegetative reproduction.
Введение
Кукуруза входит в число лидеров мирового земледелия, занимая по урожайности (36,5 ц/га) первое место в мире. Эта культура имеет большое значение для
.
кукурузы, в том числе из-за дефицита высококачественных семян. Стимулируется репродукция многих опасных вредителей и возбудителей грибных, бактериальных
