Доказательство свойства усиленной замены для подмножеств координатной решетки, обладающих свойством замены Штейница Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.Г. Овчинников

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВА УСИЛЕННОЙ ЗАМЕНЫ ДЛЯ ПОДМНОЖЕСТВ КООРДИНАТНОЙ РЕШЕТКИ,

ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВОМ ЗАМЕНЫ ШТЕЙНИЦА

Усовершенствуется принадлежащее автору решение гипотезы о том, что симметричным является всякое подмножество координатной решетки, на котором локальный и глобальный экстремумы произвольной координатно-выпуклой функции совпадают.

Введение. В настоящей работе продолжены исследования работ [1-4]. В ней доказательство

[3] дополняется и уточняется следующим образом. Доказываются две дополнительные леммы: 1 и 2.

Теорема 1 в настоящей статье является частью теоремы 1 [4] без ее предложения 4. И доказывается теорема 1 только в части восполнения пробела, который образуется в доказательстве

[4], если из него исключается ссылка на доказательство [3]. При этом используется лемма 3. Теорема 2 статьи - это теорема 2 [3], дополняемая в ее условии вторым свойством замены.

Для ее доказательства используются леммы 2, 4 и 5.

Лемма 4 статьи - это лемма 1 [3], доказываемая с помощью леммы 2.

Лемма 5 статьи заменяет лемму 2[3] и отличается от нее и в условиях, и в заключении.

В доказательстве теоремы 2 использование кванторов ограничивается благодаря введению специальных подмножеств индексов.

Для завершения доказательства из теоремы 2 с помощью теоремы 1 получается следствие. Определения. В статье будут использоваться обозначения и терминология работ [1-4].

Под координатной решеткой (Г, •) понимается множество {(Xl, . . . , хп): х е Ц, V/ е N} с отношением порядка, определяемым условием: (х1,...,хп) • (>'1,...,уп) тогда и только тогда, когда х, • , у, , V/ е N = {1,2,...,п}, где Г/ - цепь с отношением порядка • ,, в которой конечны все интервалы [а, ,Ь,]={х, е Г, :а, • , х, • , Ь,}, т.е. |\а,-,Ь,]<¥. Следовательно, для всякой точки

х = (х1,...,хп) решетки и любого индекса 1 е N, если элемент х,-не минимален, существует единственная точка Т,(х) = (х],...,хТ), где х]1 = х1 при I ф , и х, - элемент, непосредственно предшествующий х, в цепи Г, , а если х, не максимален - существует единственная точка

/ \ /Ж , Ж , ч Ж , _ • • Ж , _

Р, (х) = (х 1 ,...,хп 1 ) , где х, 1 = х при I ф 1 и х, 1 - элемент, непосредственно следующий за х1 в цепи Г1

Сепарабельной координатно-выпуклой функцией (СКВФ) называем заданную на множест-

п

ве точек решетки (Г, •) функцию Л(х) = ^ Л (х,), для которой всякий ее I - градиент

, =1

Л(х) - Л((х)) не убывает при переходе от х к точке Ж, (х).

Множество Q точек решетки (Г, •), являющееся антицепью, т.е. состоящее из попарно не сравнимых точек, назовем базовой антицепью, если для произвольной СКВФ Л(х) и всякой точки V е Q неравенства л(у) £ л(и), "и е Q, выполняются, если точка V е Q удовлетворяет условию локального минимума Л (у) £ Л (и), Vи е Q • О (у), где О (у) = {м е Г : р (V, м>) = 2},

п

р(V, м>) = ^|А(у,., м,)|, причем если vi • , м,, то А(у,, м,) - длина интервала \у1, м, ], т.е.

,=1

А(у,,м,) = |\у,м,]— 1, а если м. • , то А(у,,м,) = — А(м,,V,). Иными словами, антицепь назы-

вается базовой, если на ней локальный и глобальный минимумы произвольной СКВФ совпадают.

Свойства замены. Для множества Q точек решетки (Г, • ) каждое из следующих свойств замены - это вариант известной аксиомы Штейница о замене (см. 6.10( 11 ) [5]):

А. Для любой пары х = (х1,...,хп),у = (у1,...,уп) различных точек множества Q и всякого индекса 1 е I (х, у) = { , е N: х, •, у,, х, ф у,} найдется такой индекс к е I (у, х), что ж 1 (Тк (х)) е Q.

В. Для любой пары х, у различных точек множества Q и всякого индекса } е I (х, у) найдется такой индекс к е I (у, х), что Жк (т^ (у)) е Q .

В случае, когда решетку (Г, • ) образуют булевы п - векторы, каждым из этих свойств обладает множество Q характеристических векторов баз в матроиде МЩ) (ср. с упражнением У1.1.9 на странице 312[5]).

Лемма 1. Если точки у,м решетки (Г, •) и индекс 1 удовлетворяют включению 1 е I(V, м>), то ж 1 (у) е Г,Т 1 (м) е Г .

Доказательство. Из включения 1 е I (у, м), т.е. условий у- • , у ф следует у не

максимален в Г , Ж^ (у) е Г и не минимален в Г , Т^ (м) е Г. Лемма доказана.

Лемма 2. Если точки V ,м решетки (Г, • ) и индексы 1 , к удовлетворяют включениям 1 е I(V, м), к е I(м, V), то 1 ф к и равенства х^ = Ж1, хк = укТк, х5 = ^, "5 е N \ { , к}, покоординатно задают такую точку х решетки (Г, • ) , что х = ж ■ (тк (у)) .

Доказательство. Прежде всего, заметим, что при допущении }= к из включений 1 е I(V, м), к е I(м, V) следует у • . м , у ф м, м • . у вопреки антисимметричности порядка • 1. Поэтому 1 ф к, и, следовательно, 1 е I(V, м) \ {к}.

Из включения к е I(м>, V) по лемме 1 получаем Тк (у) е Г. Положим 7 = Тк (у) , т.е. гк = V], г,. = ,", е N\ {к}.

Из включения 1 е Ку, м) \ {к}, т.е. условий j ф к, у- • , у- ф и определения г^ получаем г. = ,71 ф м1-, г1- • 1 м 1, и, следовательно, 1 е I (г, м>). Отсюда по лемме 1 получаем

Ж 1 (г) е Г .

Положим х = ж1 (г), т.е. х^ = г *1, хк = гк, х, = г,, V, е N \ {1, к }. С учетом определений г, гк, г{ имеем х^ = Ж1, хк = укТк, х5 = , "5 е N\ {1, к}. С другой стороны из определений х и г

имеем х = ж 1 (тк (у)) . Лемма доказана.

Лемма 3. Если множество Q точек решетки (Г, •) обладает свойством замены А (или свойством замены В), то любая пара у,м различных точек множества Q удовлетворяет условию Цу,м) ф 0 фI (му).

Доказательство. Рассмотрим лишь случай, когда множество Q обладает свойством замены А (случай, когда оно обладает свойством замены В, рассматривается аналогично).

Если у,м - пара различных точек множества Q, то найдется такой индекс rеN, что V. ф мг. Отсюда по свойству цепи Гг следует: Vг • мг или мг • V. . Таким образом, мг • Vг или

V. • мг для некоторого г е N. Замечая, что в этих соотношениях можно поменять местами м и V , не ограничивая общности, считаем, что V. • мг . С другой стороны, по выбору г имеем:

V.фмг , г е N. Таким образом, имеем: V. • , V. ф мг , т.е. г е ^ум). По свойству замены А

для различных точек V, м множества Q и индекса . е Цу,м) найдется индекс к е ^му). Тем самым получено ^ум) ф 0 ф ^му). Лемма доказана.

Теорема 1. Для множества Q точек решетки (Г, • ) следующие предложения равносильны:

1) множество Q является базовой антицепью;

2) множество Q обладает свойством замены А;

3) множество Q обладает свойством замены В;

4) множество Q при всякой СКВФ ^х) удовлетворяет условию: для всякой пары у,ш различных точек множества Q найдутся такие индексы j, g е 1(у, ш) и к е 1(ш, у), что

^(Хк (у)) е Q , рк О)) е Q , Г(р (у))£ Др (у));

5) множество Q при всякой СКВФЛ(х) удовлетворяет условию: для всякой пары у,м различных точек множества Q найдутся такие индексы е Цу,м) и к е Цм>у), что Жк (] (м)) е Q , ж& (Тк (V)) е Q , {(] (м)) < Л] (м)).

Замечание 1. Доказательство этой теоремы, являющейся частью теоремы 1 [4] получается из [4] с помощью схемы представленной на рисунке.

При этом для импликаций этой схемы, отличных от 2=>4, доказательства [4] являются непосредственными, т.е. не имеющими ссылок на результаты дру- г.--. -|

^>5

гих работ. Получить из [4] непосредственное дока- ^ , г--. _

зательство 2=>4 не удается, поскольку эта импликация не рассматривалась в [4], и вытекает из двух (не

представленных здесь) импликаций, одна из которых получается в [4] с помощью простой ссылки на доказательство [3].

В связи с этим непосредственно проводится следующее

Доказательство 2 ^ 4 . Если множество Q обладает свойством замены А, то при всякой функции Л(х) для любой пары у,м различных точек множества Q, опираясь на лемму 3, выберем из множества Цу,м>) индекс} таким, чтобы выполнялись неравенства

Ящ(у)) < Л(ж(у)), ",е IV м).

Используя свойство замены А по индексу jеI(v,w) найдем такой индекс ке Цм, V), что ц(]к (V)) еQ, а по индексу к е Цм^) найдем такой индекс g е I(v,w), что Жк ] (м)) е Q. Тогда из включения g е I(v,w) и из предыдущих неравенств, выполнение которых обеспечено выбором 1, имеем Дж(V)) < ЛЖ^)). Импликация доказана.

Теорема 2. Если множество Q точек решетки (Г, •) обладает каждым из свойств замены А и В, то множество Q обладает свойством усиленной замены: для любой пары х,у различных точек множества Q и всякого индекса 1 е Цх, у) найдется такой индекс к е Цу,х), что ц(тк (х)) е Q и рк(т1(у)) е &

Замечание 2. Для доказательства этой теоремы используем следующие две леммы.

Лемма 4. Если точки V, м решетки (Г, • ) и индексы 1 , к удовлетворяют включениям

1 е I(v, м), к е ^м, V), то р (ж1 (Тк (V)), м) = р(г, м) — 2, IV м)\ {} с Цр (Тк (V)), м), Цм, р] (V )))

С^м, V).

Доказательство. Используя условия леммы 4, с помощью леммы 2 получаем

1 ф к, (1)

и зададим такую точку х е Г, что

х= Ж(]к, х 1 = Vя/, хк = V]к, х/ = V.,", е N \ {1,к}. (2)

Используя (1) и (2) , получаем

р(v, м) — р(x, м) = |А(у, м1 ^ + |А(у, мк ^ — |А(V1Ж 1, м1 ^ — |А (vkТ к, мк ^. (3)

Из включения 1е I(v,w), т.е. условий Vj • .м1 , Vj ф м, следует

1

К

VЖ1 • . м., (4)

111

V, ^{у }• ]. Поэтому А(Уj,Wj) = 1 + А^Ж м-), причем А^Ж , ) > 0. Аналогично А(мк, vk) = 1 + А(мк, vkТк) , причем А(мк, vkТк) > 0. Поэтому из (3) следует

р (V, м) — р (х, м) = 2. Отсюда с помощью (2) получаем первое заключение леммы: р (Ж 1 (Т к (V)), м) = р (V, м) — 2.

Выберем по произволу I е I(v, м)\{1}. Из включения к е Цм, V) аналогично (1) получаем I ф к . Поэтому из включения I е ^, м)\{1}, т.е. условий V,- • , ми VI ф м, , I ф 1 , с помощью (2) следует х, • х, ф м,, I е Ц.х, м) = I(Жj(тk(v)), м). Этим по произвольности выбора I установ-

лено второе заключение леммы: I(v, м) \ Ц} с I (р (Тк (V)), м).

Выберем по произволу I е I (м , х). С учетом (2) для получения последнего заключения леммы достаточно доказать , е I (м , V). Поскольку включение к е I (м , V) дано в условии, рассмотрим лишь случай , ф к. Из (2) и (4) имеем

х1 * (5)

По выбору , получаем

м, * , х,, (6) м, ф х,. (7)

Поскольку соотношения (5)-(7) при допущении 1=]' входят в противоречие с антисимметричностью порядка • ,, то I ф 1 и в рассматриваемом случае (1 ф к) из (2), (6), (7) следует м, • , V,, м, ф

vi , т.е. 1 е I (м, V). Лемма доказана.

Лемма 5. Если условия:

1) I е I(v, м), к е Цм, V), х=р (Тк (V)); 2) 1 е Цх, м), / е Цм, х), у=Щ (Т (х)); 3) к ф 1ф, ф /, выполняются одновременно для точек х, у, V, м решетки (Г, • ) и индексов , 1 , к , /, то

I(V,у) = {,}• {1} , I(у,V) = {к}* {/} .

Доказательство. Заметим, что заключение леммы получается из следующих соотношений:

V • 5 у5, V ф у5, "5е{,}* 0); (8)

v5 = у5, "5 е N \({,}* М* {к}* {/}); (9)

у5 • 5^, V5 ф у5, "5 е{к}* {/}. (10)

Действительно, из (8) непосредственно (с помощью определения I (V, у)) следует

I(V, у) = {,-}. {1}. Из допущения . е I(v, у)\({,}• {1}), т.е. условий . ф I , . ф 1 • гуг, V. ф у

с помощью (8) - (10) получается у. • .V. , что вместе с условиями допущения V. • гуг, V. ф у.

противоречит антисимметричности порядка • г. Поэтому I (V, у) = {,}* {1}. Аналогично

I(у,V) = {к}* {/}.

Таким образом, для доказательства леммы достаточно получить (8) - (10).

Из условий 1) леммы 5 по лемме 2 получаем , ф к и равенства, задающие покоординатно точку х решетки (Г, • ):

[ ф к, х, = vlЖ^, хк = vkТk, хр = vp Ур е N \ {;, к}. (11)

Аналогично из условий 2) леммы 5 получаем

1 ф 1, у 1 = х/ ,у/ = х] , ур= хр, "р е N\О;/} . (12)

Выберем по произволу 5е^'}* {1}. Из равенства 5=1 с помощью равенства х, = Vя' , имеющегося в (11), и равенства у(=х, , имеющегося в (12), по условию 3) леммы 5, следует у5 = у, = х, = V,Ж' = v5 ж’‘ .Поэтому 5 = I ^ у5 = vж 5 . Из равенства 5=1' с помощью равенства у1 = хр1, имеющегося в (12), равенства Xj=Vj , имеющегося в (11) по условию 3) леммы 5, следует у5 = у1 = х1Ж] = VjЖ] = vsЖз .Поэтому 5 = 1 ^ у5 = vЖs. Таким образом, получаем у!, = vs Жз.

Отсюда по определению v5 Ж 5 имеем у • 5 у5, v5 ф у5. Этим по произвольности выбора 5 получены (8).

Выберем по произволу 5 е N \ ({,}* {;}• {к}* {/}). Из этого включения, т.е. условий 5 е N 5 ф,, 1, к, / , с помощью равенства х5 = у ,имеющегося в (11), и равенства у5 = х5 , имеющегося в (12), следует у5 = V*. Этим по произвольности выбора 5 получены (9).

Выберем по произволу 5 е {к}* {/}. Здесь возможны случаи:

Случай к ф /. В этом случае из равенства 5 = к с помощью равенства хк = vkТк , имеющегося в (11), и равенства ук=хк , имеющегося в (12), по условию 3) леммы 5, следует у5 = ук = хк = vkТk = V/5 . Поэтому 5 = к ^ у5 = vТ . В рассматриваемом случае из равенства 5=/ с помощью равенства х^^ имеющегося в (11) по условию 3) леммы 5, и равенства у1 = х]‘, имеющегося в (12), следует у5 = у/ = х] = V] = V]- . Поэтому 5 = / ^ у5 = VТ. Таким образом, получаем у5 = уТ'’. Отсюда по определению V5Т5 имеем у5 • 5 у, V,, ф у5.

Случай к = /. В этом случае 5=к=/ , и с помощью (11) , (12) получаем х5 = хк = vkТк = vsТs, у5 = у/ = х/] = хТ . Отсюда по определениям V/5, хТ имеем

у5 * 5 х.5, у5 ф х.5, х.5 * 5 V5, ^ ф V5 . (13)

Поскольку допущение у5 = vs вводит (13) в противоречие с антисимметричностью порядка • 5, то у5 ф у . По транзитивности порядка • 5 из (13) следует у5 • 5v5.

Таким образом, во всех случаях имеем ys • 5 V, v5 ф ys. Этим по произвольности выбора 5 получены (10). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Допуская, что теорема не верна, выберем такую пару V , м различных точек и такой индекс 1 , чтобы выполнялись условия

V , м е Q, 1 е I (V, м) , V ф м,

1* (м) • I (м, V) • I] (V) = 0 , (14)

где

IЖ (м) = {р е N : жр (Т/ (м)) е Q}, ^ ^ = {р е N :.р^(]р(v)) е 0}, (15)

и при этих условиях натуральное р^м) было наименьшим.

Используя свойство замены А, из условий (14) по индексу 1 находим такой индекс,

р е I(м, V) • I^ (V), а по индексу р находим такой индекс , е I (V, м), что р е ^ (м ) . Та-

ким образом, имеем

I е I (V, м) , (16)

ЛЖ (м) • I (м, V) • I^ (V) ^ 0 . Отсюда и из (15) получаем

, ф .1 (17)

Аналогично I(м, V) • Ц (V) ф 0. В непустом множестве I(м,V) • Ц (V) выберем по произ-

волу индекс к . Таким образом, имеем

к е I (м, V) • ^ (V). (18)

Положим

х=жI(Тk(v)). (19)

Из (14),(16),(17),(18) имеем v,wе Q, 1е I (V, м) , ке I (м , V) , 1е I (V, м)\{1}. Отсюда по леммам

2 и 4 с учетом (19) получаем

I ф к, х. = 0' , хк = vkk, х^,, " 5 е N \ {I, к} , (20)

р (х, м) < р (V, м), 1 е Цх, м), Цм, х) с Цм, V). (21)

Используя (20), определения VЖ‘, v''kk и рассуждая как при доказательстве леммы 5, получаем I(v, х)={1}.С другой стороны, из (14), (16) и (17) имеем I(v, м)^{1}* Ц} , I ф1 . Отсюда следует

х ф м (22)

Отметим, что выбором пары V, м точек и индекса 1 обеспечивается выполнение следующего условия: для любой пары х , у различных точек множества Q и всякого индекса g е I (х ,у) при выполнении неравенства р(x,y)<р(v,w) подмножество индексов /р (у) • /(у, х) • Ig (х) является непустым. Используя это условие, из (21) и (22) получаем, что подмножество индексов Iр (м) • I (м, х) • Iк (х) является непустым. Выбрав в нем индекс /, имеем

/ е IЖj (м ) • I (м, х) • Iк (х). (23)

Полагая у= ^(кг(х)), из (14),(16)-(19), (21),(23) имеем v,w еQ,, ге I (V ,м), к еI (м V), х=р (кк (V)) е Q, 1 е I (х ,м) , / е I (м ,х), у=ж (ъ (х)) е Q, к ф1 ф ф /.

Отсюда по лемме 5 получаем I(v, у)= {I}* Ц}, Цу, v)= {к} * {/}. Из первого равенства непосредственно (с помощью определения I(v, у) получаем V ф у. Используя эти равенства, по ин-

дексу 1 и свойству замены А находим такой индекс т, что

я ( кт (V) е Q, т е {к}* {/} , (24)

а по индексу / и свойству замены В находим такой индекс к , что

Жн (к/ (V) е Q, к е {,}* О'}. (25)

При т=/ из (24) получаем / е I] (V), и далее с помощью (23) и имеющегося в (21) включения Цм,х) с ЦмV) получаем / е Iр (м) • I (м, V) • Ik (V) вопреки (15). Следовательно, т ф / в (24). Поэтому к е V (V), и поскольку индекс к выбирался из множества I(м, V) • I] (V), т.е. при условиях (18), произвольно, то этим получено включение

I(м, V) • Iк (V) С I(м, V) • Г (V). (26)

При к=1 из (25) вновь имеем включение / е IkJ (V), которое, как мы видели в выше, влечет

противоречие с (15). Следовательно, к ф 1 в (25). Поэтому / е Ik(v) . Отсюда с помощью с (23) и имеющегося в (21) включения Цм,х) сЦм^) получаем / е Iя. (м) • I(м, V) • I] (V) для индекса / , выбранного нами из непустого множества при условии (23). Этим получено

/Ж м • Iм V) • I] (V) Ф 0. (27)

Из (26) и (27) непосредственно следует I7— (м ) • ) • Ikj(V) Ф 0 вопреки (15). Тео-

рема доказана.

Из теоремы 2 с помощью теоремы 1 получаем утверждение.

Следствие. Для множества Q точек решетки (Г, • ) следующие предложения равносильны:

1) множество Q обладает свойством замены А;

2) множество Q обладает свойством замены В;

3) множество Q обладает свойством усиленной замены;

4) множество Q является симметричным, т.е. удовлетворяет условию: для любой пары

х,у различных точек множества Q найдутся такие индексы jеI(x,y) и кеЦу,х), что — (кк (х))е Q , Жк(к(у))е Q ■

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Емеличев В.А., ОвчинниковВ.Г. Симметричные суперматроиды / Докл. АН БССР, 1983. Т. 27. № 5. С. 389-391.

2. Емеличев В.А., Овчинников В.Г. К теории экстремума на координатных решетках // Докл. АН БССР. 1983. Т.27. № 7. С. 581-583.

3. Овчинников В.Г. Об одном свойстве подмножеств координатной решетки, на которых локальный и глобальный экстремумы координатно-выпуклой функции совпадают // Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. науки. 1984. № 5. с. 113/ Ред. ж. «Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат.наки» Минск.1983. 6с.: библ. 4 назв. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.01.84 № 245-84Деп.

4. Емеличев В.А., Овчинников В.Г. К теории оптимизации на антицепях, обладающих свойством замены Штейни-ца // Кибернетика, 1985. № 2. С. 55-58.

5. Айгнер.М. Комбинаторная теория. М.: Мир,1982.556 с.

Поступила 11.01.2004 г.