Целочисленные решетки переменных действия для системы "сферический маятник" Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 514.8

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕТКИ ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ "СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК" Е. О. Кантонистова1

В работе исследована топология системы "сферический маятник" и построена целочисленная решетка переменных действия для этой системы. Указан алгоритм вычисления по целочисленным решеткам переменных действия матриц монодромии и меток в инварианте Фоменко—Цишанга. Алгоритм применен к системе "сферический маятник".

Ключевые слова: гамильтонова монодромия, переменные действия, интегрируемые гамильтоновы системы, твердое тело, инвариант Фоменко—Цишанга.

In this paper we study the topology of a "spherical pendulum" system and construct the lattice generated by lines of integer levels of action variables for this system. We describe an algorithm for computing numerical marks of Fomenko-Zieschang invariant and monodromy matrices using these lattices. We apply this algorithm to a "spherical pendulum" system.

Key words: Hamiltonian monodromy, action variables, integrable Hamiltonian systems, rigid body, Fomenko-Zieschang invariant.

1. Введение. Задача построения целочисленных решеток переменных действия в интегрируемых гамильтоновых системах возникла сравнительно недавно в связи с гипотезой А. Т. Фоменко. Гипотеза заключается в том, что в "типичном случае" структура целочисленной решетки переменных действия (см. определение 3) полностью определяется инвариантами Фоменко-Цишанга. С другой стороны, по целочисленной решетке переменных действия (более точно, по целочисленным линиям уровня переменных действия) можно вычислить числовые метки на ребрах "молекулы" (подробную информацию об инвариантах Фоменко-Цишанга см. [1, гл. 3; 2; 3]).

В настоящей работе полностью исследована топология системы "сферический маятник": выведены формулы для переменных действия, описаны кривые и точки, образующие бифуркационную диаграмму, описан образ отображения момента, исследован тип особых точек ранга 0, а также изучено поведение линий уровня переменных действия на образе отображения момента и построена решетка переменных действия. Кроме того, обоснована часть гипотезы А. Т. Фоменко, а именно построен алгоритм вычисления по решетке матрицы монодромии и меток для системы "сферический маятник".

Отметим, что в книге [4] топология этой системы уже была исследована в значительной степени, а в работе [5] были приведены формулы для переменных действия и вычислена матрица монодромии. Однако формула одной из переменных действия, представленная в статье [5], написана с опечаткой (в подынтегральной функции отсутствуют корень и знаменатель). В то же время решетка, построенная в этой статье на рис. 3, оказывается правильной. В настоящей работе приводится полное доказательство, дающее точные формулы для переменных действия, и эти результаты применяются для вычисления меток в инварианте Фоменко-Цишанга.

2. Необходимые определения. Введем необходимые определения.

Определение 1. Пусть (M2и,ш,И) — интегрируемая гамильтонова система с n степенями свободы, a F\ ,...,Fn — ее первые интегралы, где F\ = И. Отображение Ф = (Fi,..., Fn) : M2n ^ Rn называется отображением момента.

Сформулируем важную для нас часть теоремы Лиувилля [1, гл. 1.1, § 5].

M2n

система v = sgradH и T ~ регулярная поверхность уровня независим,ых интегралов Fl,..., Fn, находящихся, в инволюции, причем подмногообразие T^ связно и компактно. Тогда, T диффеоморфно n-мерному тору Tn, причем в некоторой окрестности U) существует система координат, (Il,...,In,yl,..., уn); называемых переменными действие-угол. Переменные действия U являются функциями от первых интегралов, и их можно выразить формулами

Ш) = ¿ / (!)

ъ(0

1 Кантонистова Елена Олеговна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kysinQrambler.ru.

где 7i({), • • • ,7п(0 — 1-циклы на торе Лиувилля T^, образующие базис группы гомологии H1(T^) и непрерывно зависящие от, а — какая-либо 1-форма, в U(£), такая, что da = ш.

Определение 2. Если rkd&(x) < и, то точка x называется особой точкой отображения момента, а точка £ = Ф(х) — особым значением. Множество £ С Rn особых значений называется бифуркационной диаграммой.

Определение 3. Пусть существует и фиксирована 1-форма а на связной открытой области Р2п в M2п, такая, что da = ш. Пусть все неособые слои Лиувилля, попавшие в область P2п, компактны и связны. Тогда множество точек в Ф(Р2п)\£ С Кп, образованное пересечениями и поверхностей уровня {£ £ Ф(Р 2п)\£ | h(0 = ci , •••, 1п(£) = сп, Ci £ Z} функци й Ii, определенных по фор мулам (1), назовем целочисленной решеткой R переменных действия (или просто решеткой).

В случае сферического маятника 1-форм а а определена на кокасательном расслоении M4 = T *S2 и можно считать, что Р4 = M4.

3. Описание системы "сферический маятник" в терминах лагранжевой механики. Дадим определение системы "сферический маятник".

Определение 4 [6]. Системой "сферический маятник" будем называть задачу о движении частицы массы m, которая, находясь в однородном поле тяжести с напряженностью g, может двигаться лишь по поверхности сферы радиуса R.

Направим ось z декартовой системы координат х, y, z вертикально вверх. Тогда функция Лагранжа движущейся частицы имеет вид

m(X2 + y2 + Z2) L =----mgz.

Перейдем к сферическим координатам {в — "широта", (р — "долгота")

х = R sin в cos р, y = R sin в sin р, z = —R cos в.

m=1

R = 1, g = 1. Тогда лагранжиан в сферических координатах запишется следующим образом:

Цв, в, р) = в2 + sin2 Op2) + cos в.

Так как система "сферический маятник" консервативна, а ее лагранжиан, записанный в сферических

р

4. Конфигурационное и фазовое пространства системы. Как гамильтонова система сферический маятник имеет конфигурационное пространство

S2 = {x = (х, y, z) £ R3 | x2 + y2 + z2 = 1}

и фазовое пространство

T*S2 ^ {(x, p) € R3 x R3 | x2 + y2 + z2 = 1, xpx + ypy + zpz = 0} (2)

Функция Гамильтона E на T*S2, записанная в декартовых координатах, равна полной энергии и имеет вид

E = Pl+P¡ + Pl+z. (3)

3 3 , 3 ч

Стандартные 1-форма Pidxi и симплектическая 2-форма dpi Д dxi = ш PídxA нa R3 x R3, ограни-

i=1 i=1 ^i=1 '

ченные на фазовое пространство T* S2, дают канонические 1-форму а и симплектическую форму ш = da

2

на T*S2. Обозначим Ue^{pv,9) = g ^ — cos0. Тогда функция Гамильтона на T*S2, записанная в сферических координатах, представляется в виде

Е(в,рв,р1р) = ^ + иеа{р1р,в). (4)

Фазовое пространство системы четырехмерно. Система имеет два независимых интеграла — интеграл энергии Fi = E и циклический интеграл F2 = pv = Mz. Следовательно, фазовое пространство расслаивается на двумерные поверхности, которые по теореме Лиувилля в регулярном связном случае являются двумерными торами.

На фазовом пространстве можно ввести четыре координаты: ф/p^ = Mz, 0,pg. У нас есть два независимых условия: Mz = const и E = const. В результате имеем суперпозицию двух движений — вращение с постоянным моментом импульса по углу ф и колебание по углу в с меняющимся моментом p$ (см. далее уравнения Гамильтона (8)).

5. Образ отображения момента для системы "сферический маятник". Опишем образ отображения момента системы. Рассмотрим следующие функции:

W(E, Mz, z) = 2(E - z)(1 - z2) - M2Z ,

MZ{E) := ^(3 - E2 + Ел/Е2 + 3)\/Е + Л/Е2 + 3.

9

Лемма 1. Пусть точка (x, p) = (x,y,z,px,py,pz) € T*S2. Положим E = E(x, p). Тогда, при E > —1 и \Mz\ < Mz(E) существует ровно два корня z1, z2 € [—1,1] уравнения W(E,Mz, z) = 0 причем —1 < zi < z2 < 1 щи Mz = 0 (zi = —1, z2 = min{E, 1} при Mz = 0) и W (E, Mz, z) > 0 для любо го z € (zi ,z2).

Доказательство. Из формулы (3) имеем Е = Px+T>y+Pz + г, а с учетом равенства х2 + у2 + z2 = 1 получаем, что E Z —1. Заметим, что W(E,Mz, +ж) = +ж, W(E,Mz, —ж) = —ж. Далее, если Mz = 0, то W(E, 0, z) = (E — z)(1 — z2), поэтому уравнение W(E, 0,z) = 0 имеет корни z = {E, ±1}.

Если —1 < E < 1, то W(E, 0,z) > 0 при z € (—1,E), поэтому при увеличении \Mz\ корни zi, z2 уравнения W(E,Mz, z) = 0 по-прежнему принадлежат интервалу (—1,E) С (—1,1), и для любого z € (zi,z2) имеем W(E,Mz,z) > 0. Так как W(E, 0,1) = 0 то при Mz : \Mz\ > 0 корень z3 уравнения W(E, Mz, z) = 0 больше единицы, т.е. z3 € [—1,1]-

Если E Z 1, то верны то же рассуждения, но с заменой интервала (—1, E) на (—1,1).

При увеличении \Mz\ график функции W(E,Mz, z) опускается вниз по оси у, поэтому в какой-то момент будем иметь zi = z2 € (—1,1) Следовательно, получаем систему с параметром E относительно

f W(E,Mz ,z)=0, переменных Mz и z: < aw(E,Mz,z) _ n

I dz ~ U"

При E = —1 функция W(E, 0,z) = W(—1,0,z) имеет корни zi = z2 = —1 на отрезке [—1,1], и при увеличении \Mz\ корни на этом отрезке исчезают. То есть пара значений (E,Mz) = (—1, 0) является граничной при E = —1. Заметим также, что Mz(E) = Mz(—1) = 0, т.е. случай E = —1 не удовлетворяет условию \Mz\ < Mz(E). □

Отметим, что во всех дальнейших рассуждениях сферические координаты на множестве T*S2 можно использовать только вне полюсов, т.е. вне множества T*0 0 ±i)S2 — множества точек (х^) € T*S2, таких, что х = (0, 0, ±1).

Следствие 1. При выполнении условий леммы множество ^-i(E, Mz) \ (T*0 0 ±i)S2) связно и является 2-мерным тором.

Доказательство. Из равенства (4) имеем Ц- = Е — £/eff- Затем получаем 2(Е — £/eff) = 2(Е — P.v2 +

COS0) = [z = -COS0] = 2{Е - - z) W{E'M*'Z)

— z J = —\lz2Z' ) следовательно, (1 — z2)p2 = W(E,Mz,z) z 0 (5)

для любого z € [zi, z2]• Значит, существуют единственные корни \ ±p$(z)\ — корни уравнения (5). Поэтому множество {(e,i£,po,pip) = (z,Уф, ±p$(z),Mz)} является 2-тором.

Поясним последнее утверждение. Зафиксируем ф. Тогда в осях z, p$ функции ±p$(z) образуют замкнутую кривую, так как функции ±pg(z) непрерывны на z € [zi,z2^ и p$(zi) =0, i = 1,2, поэтому множество {(z, ф = const, ±pe(z),Mz)} ~ S\ и, значит, множество {(z, Уф, ±pe(z), Mz)} ~ S1 x S1 ~ T2. □

Замечание 1. В зависимости от значения E множество $-1(E, Mz) П (T(0 о ±i) S2) является окружностью, точкой или пустым множеством.

Лемма 2. Множество A = {(E(:c, p),Mz(ж, р))\ (ж^) € T*S2 \ (T*0 0 ±1)S2)} совпадает, с мно-

( E, Mz ) z € ( — 1 , 1)

W(E,Mz, z) Z 0, т.е.

3z0 € (—1,1): W(E,Mz,z0) Z 0. (5')

Доказательство. Пусть сначала (E0,Mzo) € A, т.е. существует четверка а = (в,ф^в,p^)\ E(а) = E0, Mz (а) = Mz0. Тогда го формулы (5), левая часть которой существует и неотрицательна, следует, что ее правая часть W(E, Mz, z) Z 0. Доказади вложение A С B.

Пусть теперь Eo, Mz0 — фиксированные числа, такие, что существуют z — решения (5'). В силу (5) и (5') существуют единственные значения ±p$, следовательно, существуют точки (в, Ур, ±po,pv = Mz0), такие, что Mz(в, Ур, ±po,Mz0) = Mz0 и Е(в, Ур, ±po,Mz0) = E0. Предпоследнее равенство очевидно.

Докажем последнее равенство: Е(9, Ур, ±рв, Mz) = Ц- + f/efr = (по построению рв) = +

+ = WiEM+MHMl-^ = 2(Eq— z)(l—z2)—^M'l+M'l +2z(l—z2) = ^ ^ BJI()me g Q

A. Тем самым A = B. □

Замечание 2. Множество {(E(x, p),Mz(x, p))| (x, p) £ ^(*oo±i)S2} состоит из всех точек вида (E,Mz) = (Е, 0), где Е ^ -1 ''

Пользуясь леммами 1, 2 и замечанием 2, получаем

Утверждение 2. Образ отображения момента — это множество {(E,Mz)| E ^ -1, lMz| ^

Mz (E )}•

6. Переменные действия для системы "сферический маятник". Будем рассматривать только ( E, Mz )

Запишем выражение для Mz в декартовых коордипатах: Mz = xpy — ypx = pv. Тогда уравнения Гамильтона для первого интеграла Mz примут вид X = —y, px = —py, y = x, py = px. Из уравнений видно, что нестационарные траектории векторного поля sgradMz при

(х,р) = (x,y,z,px,py,Pz) = (0, 0, ±1, 0, 0, 0)

гомеоморфны окружности, т.е. Mz — 2^-периодический интеграл. Поэтому в качестве циклов интегрирования 7i = Yi(E,Mz) можно взять эти траектории. Получаем, что при (E,Mz) = (±1, 0)

Ii(E,Mz ) = Mz. (6)

Вне луча {(E, 0), E £ [—1, те)}, используя сферические координаты, имеем

h(E,Mz) = i- f а = У Mzdp + рвйв = ^ j dp = Mz,

71 71 71

где форма а — каноническая 1-форма на T*S2, такая, что da = ш (см. п. 7). Аналогичное равенство получается и для пар {(E, 0), E £ [—1,1)U(1, те)}. В этом случае доказательство проводится с использованием декартовых координат.

Можно также показать, что формула (6) верна и для пары (E,Mz) = (1, 0)

Найдем теперь вторую переменную действия при (E, Mz) £ $(T*S2 \ T(0 o ±i)S2), т.е. вне луча

{(E,Mz) = (E, 0), E £ [—1, те)}. (7)

E

Mz a M2 cos в

^ = —P<p = в = Рв, Рв = —--sin в. (8)

sin2 в sin3 в

Выберем вне луча (7) цикл 72(E,Mz) на торе Te,mz = Ф-i(E,Mz) условием pll2 = 0, причем цикл 72(z) = (z,pe(z)) согласован с ориентацией кривой 7+ С 72, для которой po(z) > 0. Тогда вне луча (7) имеем

h(E, Mz) = ^ J а = ^ J (Mzdp + реd0) = JPed9.

y2(e,mZ) 72 (e,mZ) 72

Пусть 7э = ye(E,Mz,t), ti ^ t ^ ¿2, — дуга траектории векторного поля sgradE между соседними минимумами функции z(t); 74 = Jmz(E,Mz,t), ti ^ t ^ ¿2, — дуга траектории векторного поля —sgradMz х (sgnMz) = —sgrad|Mz| (см. уравнение (8)) от точки 7e(t2) ДО точки 7e(ti), такая, что цикл 7з ' 74 гомологичен циклу 72. Тогда

1 ( ,„ 1 ( . „ 1

h{E, Mz) = ^ JpedO = i- J pedO = i- JpedO.

Y2 73-74 73

Из (4) получаем, что рд = ±д/2(Е — U^(MZ, в)), поэтому

e2(E,Mz) z2(E,Mz) ,_

1 f /о^ rr тиД _ 1 f - Z)(l - Z>) - М*

I2(E, Mz) = — [ (E-UeS(Mz,e))dß = - [

n J n J 1 — z2

Lzj — — i V ~~ ^ fttt \1vj-z i V HU,V — — i -;---dz.

01 ( E, Mz) zi ( E, Mz)

I2{E,MZ) = i J

Таким образом, вне луча (7) переменная действия 12(Е,Мг), отвечающая указанному циклу 72, имеет вид

г2{Е,Мг) ,_

1 г ^тжт)йг

П У 1 —

( Е, Ы2)

В результате мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. Для всех пар (Е,Мг) € Ф(М4) переменную действия 1\(Е,Мг) можно определить по формуле (6). Для, всех пар {(E,Mz) € Ф(М4) | Mz > 0} (аналогично для всех пар {(E,Mz) € Ф(М4) | Mz < 0}) переменную дейс твия I2(E,Mz) можно определить по формуле

П J 1 — z2

zi

где zi,z2 — корни уравнения, W(E,Mz, z) = 2(E — z)(1 — z2) — M2 = 0 т,акие, ч,то —1 < z1 < z2 < 1м W(E,Mz, z) > 0 для, z e (zbz2).

7. Исследование линий уровня переменных действия. В п. 6 (см. теорему 1) были получены формулы для переменной действия I2(E,Mz) для всех пар {(E,Mz) e Ф(М4), Mz > 0} и для всех пар {(E, Mz) e Ф(M4), Mz < 0}. Построим линии уровня функции Ii(E, Mz) = Mz на всем множестве Ф(M4), а линии уровня функции l2(E,Mz), определенной формулой (9), только в области {(E,Mz) e Ф(M4) \ Mz > 0}

Если же в области {(E, Mz) e Ф(M4) \ Mz < 0} строить линии уровня функции I2E, Mz), а в точках, где Mz = 0 доопределить их по непрерывности, то линии уровня функции l2(E,Mz) не будут гладкими ни в области {(E,Mz) e Ф(M4) \ E < 1} ни в области {(E,Mz) e Ф(M4) \ E > 1}.

Утверждение 3. Линии уровня, построенные по формуле I2(E,Mz) = const в области {(E,Mz) e Ф(M4) \ Mz > 0, E < 1}, можно гладко продлить в область {(E,Mz) e Ф(M4) \ M ^ 0, E < 1} по формуле I2(E, Mz) — I1(E, Mz) = const при Mz < 0 и по непрерывности и при Mz = 0.

Доказательство. 1. Используя теоремы анализа о перестановке пределов и о перестановке предела и интеграла, получаем, что lim I2 = lim (I2 — Ii) = lim (I2 — Mz) = lim I2. Значит, функция

' Mz ^0+ Mz Mz^ü- Mz ^0-

I2(E, M) непрерывна в точке M = 0 а также Jim I2(E, M) = I2(E, 0).

2. Покажем, что линии уровня гладкие, т.е. ME o<M<e ~ M'e -£<м<0 (уравнением I2(E,Mz) = c задается зависимость M = M (E)).

При M > 0 продифференцируем по E уравнение I2 (E, M) = c (штрих — это производная по E):

z2

1 Г 2(1 — z2) — 2MM' . .

- / — V ; -+ z[ • 0 - z[ • 0 = 0

тг У 2^2(Е - z)( 1 - z2) - М2( 1 - z2)

zi

z2 z2

1 i dz 1 „ ^ „ . ( dz

=> - / ; - -MM' / -, = 0

W ^/2(E - z)(l - z2) - M2 VT J (1 -z*)y/2(E-z)(l - z2) - M2

zi zi

=> M' =

z2

Г dz

z2

м f_ dz_

JZ1 (1-Z*)y/2(E-Z){l-Z*)-M*

B'

Последнее равенство учитывает условие М ~ е. Аналогично при М < 0 продифференцируем по Е уравнение 12 (Е, М) — М = с. Получим для М' следующее выражение:

¿2 /

М' =

21 ^2{Е-х){\-х2)-М2 А

м Г _ , -В + ТТ

¿1

¿2

Здесь пользуемся тем, что М ~ —е. Покажем, что ^ ~ ~в+ж' как интеграл А = / —щ===

¿2

конечен, то необходимо показать, что В = М [-, ~ т.е.

¿2

[ А2 п

„ V- к--х)(\-х2)-Ы 2

¿1 V

¿2

У (1 - г2)л/2(Е - г)(1 -г2) - М2 2 М

¿1

Лемма 3. При Е < 1, \М\ к* е, где е мало, имеем,

¿2

Г Аг п

I

(1 - г2)^2(Е - г)(1 -г2) - М2 2 М'

Доказательство. Разобьем отрезок интегрирования на три части (выделим отрезки, содержащие особенности подынтегральной функции):

[21,22] = [21,21 + Н] и 2 + Н, г2 — Н] и 2 — Н, 22], где Л, фиксировано и мало (можно взять, например, к = ^'д2^ ~ Пкг)- Тогда

¿1+Ь, Х2 —Н ¿2

1 =/+/+/ ■ (10)

¿1 21+Н ¿2 —Н

Рассмотрим в сумме первое слагаемое. Сначала оценим его снизу:

XI+Н ¿1+Н

[ Ах [ Ах

>

} (1 - г2)Л/2(Е - х){1 - г2) - М2 .) 2(1 + х)^2{Е - гг)(1 - гг)(1 + г) - М2

¿1 ¿1

= [* = 1 + 2]= У

<И Г АЛ/2(Е - 21)(1 - 21)(1 + г) - М2

2г^2(Е-г1)(1 -г^-М2 ] ЩЕ - гг)(1 - гг)

(' Ар

р = у/2(Я - 21)(1 - гг)(1 + г)-М2

р2 + М2

" магс^м - магс^ м и >

>МаГС^ М ^ -~°+МйГСЧМ 2 М

Н 0 = М

~ 0, то ^—^ оо). Теперь оценим первое слагаемое сверху:

¿1+Н

[' Ах

.1 (1 - г2)л/2{Ё- ,г)(1 - г2) - 1Р <

¿1

zi+h

f dz

<

(1 - (21 + h))( 1 + z) л/2(Е - (Zl + h))( 1 - (Zi + h))( 1 + z) - M2

= [i = i+z] = y

zi

dt

(1 - (21 + h))ty/2{E - (21 + /¿))(1 - (21 + /i))i - M2 dy/2(E - (21 + /&))(! - (21 + h))t - M2

p

J (E — (zi + Щ1 — (zi + й))21 = - (21 + /&))(! - (21 + h))t - m2

dp

_ 2 1 Р +н 2 1 У2(Е - г)(1 - г2) - М2 +н

1-(21+/,)МаГС^М ^ < 1-(21+/г)МаГС^ М ^ •

Далее аналогично оценке снизу получаем, что последнее выражение в предыдущей выкладке равно

2 п , 2 П ( Ь / Ь2 \\ П П ,

~ [М и 0 21 и -1] ~ ---- = (1 + 77 + О( — ] ] ——- < ——-(1 + К).

1 — (21 + Ь) 2М ] 2 — Ь 2М V 2 \AJJ2M 2М

Следовательно,

Z2

ж [ ж (Л

2М < У (1 _ 22)л/2(_Е/ - 2)(1 - 22) - М2 < 2М +

Z1

Ь

Z2

С й2 П

zi

(1 - г2)л/2(Е - z)(l - z2) - М2 2М

Теперь рассмотрим второе и третье слагаемые в сумме (10). Второе слагаемое:

z2-h

/' (¿2 J (1 - z2)^/2(E- z)( 1 - 22) -ЛР <

zi+h

z2 —h z2-h

dz dz

< / --= = G / , = const,

J (1 - (21 + h)2)^2{E - 2)( 1 - (21 + /г)2) - M2 J VA^

zi+h zi+h

где A, С = const.

Третье слагаемое:

z2 z2

dz dz

<

J (1 — г2)л/2(Е — z)(l — z2) — M2 J (1 - E2)V2(1 - E2){E - z) - M2

z2 — h z2 — h

z2

d\/2(E — z)(l — z2) — M2 _ ^/2(E - z)(l - z2) - M2 _ y/2(l - E2)h _

\zo—h i Ш - COnst.

- I - ---

1-Е2 1-Е2 1-Е2

Z2-h

Таким образом, второе и третье слагаемые дают незначительный вклад в сумму, поэтому I ~ • Лемма 3, а значит, и утверждение 3 доказаны. □

Утверждение 4. Линии уровня, построенные по формуле I2(E,MZ) = сопбЬ в области {(ЕМ^:) € Ф(М4) | М > 0, E > 1}, можно гладко продлить в область {(E,MZ) € Ф(М4) | М ^ 0, E > 1} по формуле 12^, М^:) — 2I1(E, М^:) = еош! при Mz < 0 и по непрерывност,и при Mz = 0.

r^j

8. Особые точки и бифуркационная диаграмма. Изучим бифуркационную диаграмму Е отображения момента, т.е. множество точек (Е(х),Мг(ж)) € М2, х € М4, таких, что гЫФ(х)\м4 < 2. Иными словами, Е состоит из особых значений, отвечающих особым точкам ранга 1 и ранга 0.

Лемма 4. 1) Отображение момента имеет ровно два особых значения ранга 0, а именно (Е, Мх) = (±1, 0).

2) В прообразе каждого особого значения лежит в точности одна критическая точка отображения М4 0

Доказательство. По определению особых точек ранга 0 имеем АЕ\м4 = д,Мг\м4 = 0. Так как АМг\м4 = 0, то х = рх = у = ру = 0. Отсюда, учитывая уравнения, задающие фазовое пространство, получаем, что особые точки, удовлетворяющие этим равенствам, имеют координаты (рх,ру,рг,х,у,2) = (0, 0, 0, 0, 0, ±1). Заметим, что в этих точках АЕ\м4 = 0. А значит, это особые точки ранга 0 отображения момента. Получаем, что особые значения, отвечающие этим точкам, равны (Е, Мг) = (±1, 0) и в прообразе каждого такого особого значения лежит ровно одна особая точка ранга 0 □

Утверждение 5. Точка х = (в,р,рд ,рч>) € (Т * Б2 \ Т*0 0 ±1)Б2) является особой, т.е. гЫФ(ж) < 2 в

л / Рв = 0, том и только в том случае, когда, < 2 8;п40

УРф ~ соъв •

Доказательство. Из формулы (4) получаем, что gradЕ = |рд, + зт0, о|, gradМг =

{0,1, 0, 0}. Поэтому градиенты линейно зависимы тогда и только тогда, когда р$ = 0 и — + = 0,

□

Лемма 5. Бифуркационная диаграмм,а, отображения момента системы состоит из двух множеств:

a) кусочно-гладкой кривой, задаваемой уравнением \Мг \ = Мх (Е); где

Мг(Е) :=1(3-Е2 + Ел/Е2 + 3)\/Е+л/Е2 + 3, 1;

9

b) изолированной особой точки с координатам,и (Е,Мг) = (1, 0).

Доказательство. 1. Пусть (Е,МХ) € Ф(Т*Б2 \ Т*0 0 ±1)Б2). Тогда из утверждения 4 следует, что

особые значения первых интегралов имеют следующий вид: (Е,М2) = (^ — со^в, 81° е ) = (

-—При переходе к последнему равенству была сделана замена £ = совв. Из последнего равенства следует, что £ > 0.

Выразим £ через Е, решив квадратное уравнение 2ЕЬ = 1 — 3£2, откуда получим £ = Так как £ > 0, то £ = Подставим это выражение для £ в формулу для Мг, получим, что

\мг{1)\ = \ММШ = \Мг{Е)\ = 1(3 - Е2 + Е^Тъ)л/Е + /ё^Тз.

2. Пусть (Е,Мг) € Ф(Г(*00±1)5'2). Тогда Е = Рх+Т>у+Рг ^ мг = хру — урх = 0. Запишем градиенты первых интегралов: gradE = {рх,ру, 0, 0}, gradMz = {-у,х,ру, -рх]. Отсюда видно, что условием линейной зависимости градиентов являются равенства рх = 0, ру = 0. Значит, рх = 0 (ввиду условия 2 = ±1).

Получаем, что точки, принадлежащие бифуркационной диаграмме, в этом случае имеют вид (Е, Мг) = (±1, 0) при этом Мх(—1) =0 □

Вывод. Бифуркационную диаграмму образуют графики функций Мг = ±МХ(Е), где Мг{Е) = |(3 —

Е2 + Ел/Е2 + 3)л/Е + л/Ё2 + 3 (заметим, что Мг{Е) ^ 0 при Е ^ -1), и точка (Е, Мг) = (1, 0). □

Следствие 2. Бифуркационная диаграмма, отображения момента состоит из двух гладких дуг, исходящих из особого значения ранга 0 с координатами (—1, 0) и изолированного особого значения ранга 0 (1, 0)

Лемма 6. 1) Особая точка ранга 0, отвечающая изолированному особому значению (Е, Мх) = (1, 0), является невырожденной и имеет тип фокус-фокус.

2) Особая точка ранга 0, отвечающая особому значению (Е, Мх) = (-1, 0), является невырожденной и имеет тип центр-центр.

Доказательство. Проверим утверждения с помощью алгоритма из работы [1, § 1.10.2]. Симплектиче-

0Е

екая структура в критических точках из условия леммы задается канонической матрицей И =

-Е 0

Критическая точка х не вырождена тогда и только тогда, когда существуют числа Х и ц, такие, что матрица ХЛе + цЛмг имеет различные собственные значения. Здесь Ае = П-1А2Е\х, Лмг = 0.-1й2Мх\х.

Первый интеграл Мх = хру — урх не зависит от координаты поэтому для случаев 1 и 2 матрица С2Мх |(о,о,о,о,о,±1) будет одинаковой. Исследуем матрицу С2Е|(о,о,о,о,о,±1)- И3 формул (2), применяя разло-

жение по формуле Тейлора в окрестности точек из условия леммы, имеем 2 = ± (1 — 'т ^у—Ь ■ ■ ■) (знак "+" перед скобкой соответствует 2 = 1, знак " —" — значению 2 = —1). Тогда С2|(ододо>±1) = +(хСх + уСу)

И с22|(о,о,о,о,о,±1) = +(С2х + С2у).

Из формул (2) имеем рх = —рхх+руу; поэтому йрг = —^[(рхйх + хйрх +руйу + уйру)г — (рхх + руу)йх], и, значит, Ср% |(о,о,о,о,о,±1) = 0.

Е

др % др % др % др %

й2Е = (12рх + (12ру + -^-йр2йрх + -^-йр2йру + -^-(1рх(1х + -^-йр2йу + (I2 г,

дрх

dPy

dy

поэтому с учетом равенств Срх|(о,о,о,о,о,±1) = 0 и С22|(о о>о>о о>±1) = +(С2х+С2у) заключаем: С2Е^д^^д^

С2рх + С2ру + С2х + С2у-

Выпишем нужные нам матрицы:

d2Mz =

/ 0 00-1\ 0 010 0 10 0 V—10 0 0 J

d2E =

/10 0 0 \ 010 0 00 0 \00 0 ^1/

Q-1 =

/00—1 0 \ 00 0 —1 10 0 0 V01 0 0/

Тогда Amz =

/0 —10 0 \ 10 0 0 0 0 0 —1 \0 0 1 0 у

Ae =

/0 0 ±1 0 \ 00 0 ±1 10 0 0 V01 0 0 у

Поэтому их линейная комбинация

/0 —ц ±X 0 \

ц 0 0 ±x

X 0 0 —ц \0 X ц 0 У

случае 1 (что соответствует +X) имеет характеристическое уравнение (к2 — X2 + ц2)2 + 4Х2ц2 = 0 и, следовательно, собственные числа к = ±\/А2 — ¿f2 ± 2г\/л = ±(А±г/х). Значит, критическая точка (0, 0, 0, 0, 0,1) не вырождена и имеет тип фокус фокус.

В случае 2 (что соответствует — X) характеристическое уравнение имеет вид (к2 + X2 + ц2)2 — 4Х2ц2 = 0 и, следовательно, собственные числа вида к = ±\/—(А2 ± 2 А ¡л + ¿t2) = ±?'( А ± ¡л). Значит, критическая точка (0, 0, 0, 0, 0, — 1) не вырождена и имеет тип центр-центр. □

Следствие 3. Особый слой T0 = Ф-1(1, 0) С M4, соответствующий критическому значению отоб-

(1, 0) ( )

9. Построение решетки и вычисление матрицы монодромии изолированного особого значения.

При помощи полученных выше формул для переменных действия (см. формулы (1)) автором написана компьютерная программа на языке С++ и в пакете Wolfram Mathematica 7.0. Программа решает систему уравнений

Г к(Е,Мг) = А, \12(Е,Мх) = В

относительно неизвестных Еж Мх для всех возможных пар (А, В) е Z х Z. Для численного решения уравнения используется метод бисекции и формула численного подсчета интеграла. Получающийся результат, т.е. пару чисел (Е,Мх), изображаем на плоскости М2(Е, Мх). Множество всех пар чисел, являющихся решениями данной системы, образует искомую целочисленную решетку переменных действия, показанную на рис. 1.

Рис. 1. Решетка переменных действия для системы "сферический маятник"

После построения решетки К можно перейти к вычислению группы монодромии особых точек в образе отображения момента. Однако знания только решетки для этого недостаточно. Следует воспользоваться линиями уровня функций Д и /2. Дело в том, что, сделав однократный обход по замкнутому контуру вокруг особенности, необходимо "протащить" вдоль него базис (в1,в2) элементарной ячейки (параллелограмма) решетки К, чтобы в конце сравнить исходный базис с его образом после обхода контура.

/1 /2 линии уровня (подробнее алгоритм переноса базиса вдоль контура см. в [7]).

/1 /2 /1 /2 окрестности какого-то одного тора Лиувилля (т.е. точки на плоскости М2/,/2)), следует затем продолжить их по непрерывности на все множество Ф(М4). Ясно, что в общем случае функции /1 и /2 многозначны на образе отображения момента. Чтобы выбрать однозначные ветви, приходится делать разрезы на Ф(М4). В случае сферического маятника переменная /1 линейна та плоскости (Е,Мг) и определена всюду и однозначно на Ф(М4), а переменная /2 многозначна. Для выбора однозначной ветви достаточно сделать разрез на плоскости М2(Е,МХ), идущий по оси Мх = 0, с координатами Е € (1, те). Это луч. Таким образом, монодромия может быть вычислена по решетке на плоскости с разрезом.

На рис. 1 показаны целочисленные линии уровня функций действия, отвечающих паре исчезающих циклов на торах при подходе к первой или второй дуге бифуркационной диаграммы вне горизонтального луча, выходящего из изолированного особого значения вправо. Решетку образуют попарные точки пересечения этих линий.

(1, 0)

пе

матрица монодромии БЬ(2, Z)-coпpяжeнa матрице Тем не менее полезно вычислить эту матрицу,

исходя из свойств решетки К.

Определение 5. Порядок координатных осей на плоскости М2(Е, Мх), содержащей в себе образ отображения момента (либо ОЕ = Ох, ОМ2 = Оу, либо наоборот), задает ориентацию (т.е. определяет положительное направление обхода вокруг любой точки из М2(Е, Мх)) на М2(Е, Мх) и тем самым на образе отображения момента. Зафиксируем нумерацию линий уровня функций /1, /2 так, чтобы ориентация,

Ф(М4)

нумерацией координатных осей. Эту ориентацию будем называть согласованной с данной нумерацией линий уровня переменных действия.

Зафиксируем порядок линий уровня переменных действия /1, /2 В соответствии с определением 5. Возникает однозначно определенное положительное направление обхода вокруг изолированного особого значения отображения момента. Выберем начальный "базис" (в! , в2) решетки К, исходящий из точки решетки, отличной от особого значения (вектор в1 направим вдоль первой линии уровня, а вектор в2 — вдоль второй в смысле фиксированного порядка линии уровня). Обойдем вокруг особого значения по замкнутому контуру в положительном направлении по определенным правилам: 1) путь не должен проходить через ячейку, содержащую особое значение; 2) каждая следующая ячейка на пути должна оставаться между теми же самыми линиями уровня одного семейства, что и предыдущая, и сдвигаться относительно второго семейства линий уровня на единицу (подробнее см. алгоритм в [5]). В результате получим новый "базис" (е^е^), в который перешел "базис" (в1 ,в2).

Замечание 3. Базисные векторы в1, в2 указывают направление возрастания значений /1, /2. Так как при возрастании Мх переменная 1\ = Мх возрастает, то вектор "направлен вверх". Так как > 0, то при возрастании Е возрастает и /2, значит, век тор в1 "направлен вправо" (с м. рис. П).

Пусть матрица М — это матрица перехода между базисами (в1 ,в2) и (е1 ,в2), ад. ( вМ =М х ( в1

\е2/ V е2

Далее опишем, как эта матрица связана с матрицей монодромии особого значения системы.

Напомним определение матрицы монодромии.

Определение 6. Пусть (71,72) — базисные циклы на торе Т (где £ — регулярное значение отображения момента), (71,72) — циклы на торе, в которые перешел еазис ((71,72) в результате деформации

тора при обходе вокруг особенности. Матрица М, такая, что =М (71)' назь1вается матрицей мо-

нодромии особого значения системы по отношению к базису (71,72) на торе.

Напомним, что существует канонический изоморфизм из множества циклов на торе Т^ (где £ — регулярное значение) в множество целочисленных ковекторов решетки К, который ставит в соответствие любому циклу на торе некоторую функцию (переменную действия) на базе слоения Лиувилля. Ее дифференциал в данной точке дает нам искомый целочисленный ковектор.

Пусть (е1 ,е2) и (е1' , е2') — базисы из ковекторов, сопряженные базисам (е1,е2) и (е1, е!^) соответственно. В силу указанного изоморфизма можно переформулировать определение 6 следующим образом.

еМ , Je1

Определение 7. Матрица M, такая, что ^ 2' J =M J > называется матрицей монодромии особого

значения системы по отношению к базису из ковекторов (е1 ,е2) решетки R.

__ ~ -1 Следствие 4. Матрица M связана с матрицей M соотношением M = M1

Утверждение 6. Для, системы "сферический ,маятник" .матрица монодромии, соответствующая изолированному особому значению (E, Mz) = (1, 0), принадлежит классу сопряженности матрицы M =

1 в группе SL(2, Z).

Доказательство. Зафиксируем порядок линий уровня переменных действия согласно определению 5: Ii = const — первая, I2 = const — вторая. Выберем базис на решетке: вектор ei направим вдоль линии уровня Ii = const, а вектop e2 — вдоль линии vровня I2 = const. Осуществляем обход вокруг особой

ии

из возможных способов обхода показан на рис. 1. В результате обхода получаем матрицу M ■ 1 0

-11

M=

1 1 01

□

10. Вычисление меток для "сферического маятника". Пользуясь результатами и. 7, мы изобразили на решетке линии уровня переменных действия (рис. 2). Теперь мы можем вычислить числовые метки, пользуясь полученной решеткой. Посчитаем метки на молекуле, отвечающей гладкой кривой, начало и конец которой соответствуют

атомам A, и при этом кривая не проходит через точку фокус фокус. Для A

базис на близком к этому атому торе Лиувилля. Сравнив эти два базиса (при движении по гладкой кривой), мы найдем метки. В случае "сферического маятника" грубая молекула W имеет вид A-A. Поэтому осталось найти только метку r (см. [1, гл. 3]).

В нашем случае выбор базиса на торе Лиувилля эквивалентен выбору базиса решетки на плоскости (в точке, являющейся образом этого тора). Цикл на торе соответствует целочисленному ковектору на решетке (так как любому циклу на торе отвечает функ-Рис. 2. Вычисление меток для системы "сферический маятник" Щ1Я переменная действия на базе

слоения Лиувилля. Ее дифференциал в данной точке это искомый целочисленный ковектор).

Лемма 7. Около неособой точки граничной кривой бифуркационной диаграммы одна из линий уровня, переменных действия, параллельна, этой кривой.

Доказательство. Рассмотрим на торе в окрестности атома A цикл 7, который стягивается в точку па атоме A. Возьмем y в качестве одного из двух циклов, образующих базис па торах вблизи атома A. Тогда, используя формулу (1), имеем I = ^ J"а. При подходе к границе бифуркационной диаграммы 7 —> 0,

Y

поэтому I — 0. Значит, около границы бифуркационной диаграммы значения переменной действия I

примерно одинаковы и малы, поэтому около этой границы линии уровня {I = c, c = const} параллельны

□

Выберем по базису на решетке вблизи каждой из двух граничных кривых бифуркационной диаграммы. В силу леммы 7 решетка переменных действия устроена следующим образом: одно семейство линий уровня параллельно границе бифуркационной диаграммы, а второе семейство траневереально этой границе, поэтому один (будем считать его первым) базисный вектор на решетке параллелен границе бифуркационной диаграммы. Второй базисный вектор выбираем так, чтобы он был траневереален первому базисному вектору и чтобы эти векторы образовывали положительно ориентированный (см. определение 5)

базис на решетке. Далее переносим один базис к другому по линиям уровня и записываем матрицу пере-MM

Для системы "сферический маятник" есть два типа инвариантов Фоменко-Цишанга (меченых молекул): один из них отвечает уровню энергии —1 < E < 1 ("слева" от изолированного особого значения), другой — уровню энергии E > 1 ("справа" от особенности).

Теорема 2. Для системы "сферический маятник" уровням энергии —1 < E < 1 отвечает м,ет,ка, г = 0; а уровням, энергии Е > 1 — метка г = \.

X

раллелен бифуркационной диаграмме, а второй вектор (ц) лежал на линии уровня Д = const. Согласно [1], ц

ц

Первый случай. Вычислим метки для молекулы, соответствующей гладкой кривой, начинающейся и заканчивающейся на атомах А и пересекающей ось Е в некоторой точке слева от точки (Е,Мх) = (1,0), т.е. в точке с координатой Е < 1. На рис. 2 изображен путь, по которому мы переносим первый базис ко второму, чтобы найти матрицу склейки. В результате матрица склейки имеет вид

Второй случай. Вычислим метки для молекулы, соответствующей гладкой кривой, начинающейся и заканчивающейся на атомах А и пересекающей ось Е в некоторой точке справа от точки (Е, Мх) = (1,0), т.е. в точке с координатой Е > 1. На рис. 2 базисы в этом случае изображены сплошными и пунктирными линиями. На рис. 2 также изображен путь, по которому мы переносим первый базис ко второму, чтобы вычислить матрицу склейки. Матрица склейки имеет вид

Согласно работе [1, гл. 4.3], изоэнергетическая поверхность QE0 = {Е = Ео} при Ео > 1 диффео-морфна трехмерному проективному пространству ЯР3, а при —1 < Ео < 1 — трехмерной сфере Б3.

Автор приносит особую благодарность научному руководителю А. Т. Фоменко, а также Е. А. Кудрявцевой за помощь в подготовке данной работы.

Работа выполнена при поддержке гранта № 14.740.11.0794.

1. Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

2. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-

3. Фоменко А. Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике //

Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283-287.

4. Cushman R.H., Bates L.M. Global aspects of classical integrable systems. Basel: Birkhauser, 1997.

5. Cushman R.H., Duistermaat J.J. The quantum mechanical spherical pendulum // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1988. 19, N 2. 475-479.

6. Пуссен В. Лекции по теоретической механике. Т. 2. М.: ИЛ, 1949.

7. Кантонистова Е. О. Целочисленные решетки переменных действия для обобщенного случая Лагранжа // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 54-58.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1075.

Поступила в редакцию

20.06.2012