Алгоритм типа покоординатного спуска на обладающем свойством усиленной замены множестве точек координатной решетки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Методы оптимизации

УДК 519.3

В.Г. Овчинников

АЛГОРИТМ ТИПА ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА НА ОБЛАДАЮЩЕМ СВОЙСТВОМ УСИЛЕННОЙ ЗАМЕНЫ МНОЖЕСТВЕ ТОЧЕК КООРДИНАТНОЙ РЕШЕТКИ

Для задачи минимизации сепарабельной координатно-выпуклой функции на конечном и обладающем свойством усиленной замены множестве точек координатной решетки предлагается и обосновывается алгоритм типа покоординатного спуска.

Введение. В настоящей работе продолжены исследования работ [1-4]. Для нахождения решения основной задачи (задачи минимизации сепарабельной координатно-выпуклой функции на конечном и обладающем свойством усиленной замены множестве точек координатной решетки) рассматривается семейство вспомогательных задач, устанавливаются лемма о связи между оптимальными решениями этих задач (аналог леммы 1 из работы[5]), лемма о соотношениях между их оптимальными значениями (аналог леммы 2 той же работы) и с помощью этих лемм показывается, как эффективный (в терминологии для матроидов [6] - «жадный») алгоритм покоординатного спуска и подход к его обоснованию для задачи [5] используются в их некоторой модификации для основной задачи.

Определения. В дальнейшем будут использоваться обозначения и терминология работ

[1-4].

Под координатной решеткой (Г, р) понимается множество {(х^ . . . , Хп): х е Г, ". е с отношением порядка, определяемым условием: (х1,...,хп) Р (у1,...,уп) тогда и только тогда, когда х. р. у. , V/ е N = {1,2,...,п}, где Г - цепь с отношением порядка р ., в которой конечны все интервалы [а., ]= {х. е Г. : а. р. х. р. }, т.е. | [а., ]| <¥. Следовательно, для всякой точ-

ки х = (х1,...,хп) решетки и любого индекса у е N, если элемент х'у не минимален, существует единственная точка т}- (х) = (хгТу,..., хпТу), где х*у = х1 при . Ф у и х у - элемент, непосредственно предшествующий ху в цепи Гу , а если ху не максимален - существует единственная точка ж у (х) = (х,^у,..., хж), где хРу = х. при . Ф у и хр - элемент, непосредственно следующий за ху в цепи Гу

Сепарабельной координатно-выпуклой функцией (СКВФ) называем заданную на множест-

п

ве точек решетки р) функцию Д(х) = ^ Д (х.), для которой всякий ее . - градиент

.=1

Д(ж. (х)) - Д(х) не убывает при переходе от х к точке ж. (х).

Лемма 1. Для СКВФ Д(х) выполняются следующие условия:

^у ^ Уу Р у^у ) ^ (У;Ру)- (У} ^ ^ )- Ду ^у^, ^ ^ е ^ ^ е N .

Доказательство. Из условий Уу ,Лу еГу, Лу ФУу РуЛу следует, что Уу не максимален в Гу и

уЖ е Гу, Лу не минимален в Гу и е Гу, |[у;-,Лу]|> 2.

При | [уу, Лу ]| = 2 из определения уЖ имеем У ужу Ф У у Р у У ужу Р у Л у и поэтому У у11 = Лу , а

из определения Лу1 имеем Уу Ру Лу1 Ру Лу Ф Лу^1 и потому Лу^1 = Уу . Отсюда следует, что при к = 1 установлена справедливость следующего предложения.

Предложение Т(к). Для СКВФ Д(х) выполняются следующие условия:

(уу Р уЛу ) л([уу , Лу ]| = к +1) ^ Ду (у/)- Ду (уу )£ Ду (лу )- Ду "Уу , Лу е Гу , "у е N .

= т +1.

У, Уу ] я Уу ]| = т +1 , ^е Гу .

Выбирая натуральное т , для которого справедливо Т(т), азатем полагая к = т +1 и выбирая по произволу индекс у е N и элементы ху, у у е Гу из условий

х] Р у У у, |[х;, У] ]| = к +1 = т + 2, покажем, что Д. (х/у)- Д (х. )< Д (уу)- Д (у/У), т.е. установим справедливость предложения Т (т +1) и, таким образом, по индукции, получим лемму.

Из условий выбора ху, у у е Гу, т.е. из соотношений ху Р у у у, | [ху-, у у ]| = т + 2, следует, что

хУ Ф уу, У е Г], х]ж Ф хУ Р ] х]ж Р ] у], |[ху, уу ]| =1 + |[хЛ уу ]| ,

Положим zJ = хуЛу . Из предыдущего абзаца имеем ^Р ууу ,

Отсюда с помощью предложения Т(т) , справедливого по выбору т, получаем

Ду (Уу)- ду (?у )£ Ду (уу )- Ду (у/у).

Из равенства zJ = хуж и определения Д(х) имеем

Ду У )- Ду(х]) < Ду У )- Ду (г у).

Отсюда и из предыдущего неравенства следует требуемое неравенство. Лемма доказана. Аналогично проверяется и следующая лемма.

Лемма 2. Если точки у решетки (Г, р) и индексы у , к удовлетворяют включениям у е I(у,л), к е I(л,у) , то у Ф к и равенства ху = Ууж, хк = Укт, хх = ух , "5 е N\ {у , к}, покоординатно задают такую точку х решетки (Г, р) , что х = ж у (тк (у)) .

Свойство усиленной замены. Для множества Q точек решетки (Г, р) следующее свойство замены - это усиленный вариант известной аксиомы Штейница о замене (см. 6.10 (И) [7]): для любой пары х,у различных точек множества Q и всякого индекса у е I(х, у) = { . е N: х. Р. у., х. Ф у.} найдется такой индекс к е I(у, х), что ж у (тк (х)) е Q и

жк (т. (у)) е Q .

В случае, когда решетку (^ р) образуют булевы п - векторы, этим свойством обладает множество Q характеристических векторов баз в матроиде М(Ы) (ср. с упражнением У1.1.9 на странице 312 [7]).

Задача А. Основной задачей настоящей статьи является следующая задача.

При предположениях, что Д(х) есть СКВФ, а множество Q точек решетки (Г, р) является конечным и обладает свойством усиленной замены, требуется минимизировать Д (х) на множестве Q, т.е. найти такую точку х е Q , что Д(х) = т.п{Д(у): у е Q}.

Для нахождения решения этой задачи рассмотрим семейство вспомогательных задач следующего вида.

Задача АтХь (от). Для индекса т собственного подмножества Ь с N\ {т }, точки х множества Q и параметра ат е РтхЬ ={ут : у = (у1,...,уп) е Q, . е Ь ^ у. = х, V. е N} названная

вспомогательная задача формулируется следующим образом.

При предположениях задачи А требуется минимизировать Д (х) на множестве

QmX£ (ат) = {(у1 ,...,уп) е Q :ут = °т,. е Ь ^ у. = х{, V. е N }, т.е. найти такую точку

Л е ^ (°т ) , что Д (Л) = ¥шЬ (°т ) , где (ат )= в ): у е ^ (<Тт )}.

Лемма 3 (ср. с леммой 1 [5]). Если для функции Д(х) и множества Q точек решетки (Г, р) выполняются предположения задачи А, х - точка множества Q, а индекс т е N и подмножество индексов Ь удовлетворяют строгому включению Ь с N \ {т }, то справедливы следующие предложения о связи между решениями вспомогательных задач:

1. Если параметр гт е РтХЬ и точка л е QmX£ (гт) удовлетворяют равенст-

ву Д(л) = ¥Хь (гт), и, кроме того, выполняется включение г Т е Рт Ь , то найдутся такой индекс у е N и такая точка у е Q, что

у е Q Хь (ст Тт ), Д (у) = Е (ст Тт ), у. = Л ж , у = Л Тт , у = Л , "5 е N \ {], т}, т Ф ] £ Ь .

^т \ т /’ ^ ' т \ т /’ у у ’ т т ’я я7 V7 ^

2. Если параметр гт е РтХЬ и точка Л е QXL (гт) удовлетворяют равенст-

ву Д ( л) = ¥Хь (&т), и, кроме того, выполняется включение & ж е РтХЬ , то найдутся такой индекс у е N и такая точка у е Q, что

у е Q Хь (и ж ), Д(у) = Е Хь (г Лт ), у . = л Ту , у = л Лт , у = л , "я е N \ {], т}, т Ф ] £ Ь .

х-'т \ т ' тут/’] у ’ т т ’я я’ I/’ ^

Доказательство. При условиях леммы докажем, что справедливо предложение 1 (справедливость предложения 2 доказывается аналогично).

Из условий леммы имеем л е QmXL (гт), Д(л) = ЕтХЬ&т ), гтТт е РХь . Из последнего включения следует, что множество QmXL &тТт) является непустым. Из этого множества, как подмножества конечного множества Q,, выберем такую точку и е QmXL (гтТт), что Д(и) = Е Хь (г Тт ).

тт

Из включений и е Q %Ь (г Тт ), л е Q %Ь (г ) имеем и е Q, л е Q , и = г Тт , л = г . Отт т т т т т т т

сюда (по определению гтТт ) получаем ит Ртлт Ф ит, т е I(и,л), и Ф л . Так как по условиям леммы множество Q обладает свойством усиленной замены, то для различных точек и , л множества Q по индексу т е I(и,л) найдется такой индекс у е I(л,и), что ж> т (Т] (и))е Q ,

жу (Тт (л))е Q . Заметим, что из включений и е QmXL (¡Гтт ), Л е QmXL (гт) следует также, что у,т £ Ь . Полагая здесь у = ж (тт(л)), у = жт(гу.(и)), с помощью леммы 2 находим:

у. = л Пу, у = л Тт , у = л , у. = и Ту, у = и Пт , у = и , "я е N \ {], т}, т Ф ] £ Ь . (1)

у у 7 т т ’ я я ^ ^ у у 7 у т т ’ ^ я я’ V 7 /5 ^ ч/

Из (1) с помощью равенств и = г Тт , л = г (имеющихся по выбору и и л), равенства

т т т т

жт

ит т = Гт , вытекающего из них, как при доказательстве леммы 1, получаем у. = л Жу , у. = и Ту , у = г Тт = и , у = г = л , у = л , у = и , "я е N \ {], т}, т Ф ] £ Ь .(2)

у У У У т т т ’ ^ т т т 7 я я7 ^ V7./’ ^

Поэтому у е QmXL (гтТт ), у е QmXL (гт). Отсюда непосредственно, т.е. с помощью определений

’е Q Хь (г т т ), у е Q х\- .

•2-'т \ т г ^ ^т \ т)

Е Хь (г тт) и Е Хь (г ), следует Д(у) > Е (г т т ), Д(у) > Е (г ), и, таким образом, с учет \ т / т \ т / •' ^ \ ' т \ т ^ ' т \ т/7 ’ г ? J

том выбора точек и и л имеем

Д (У) > (^тТт )= /(и) . Д(у) > ЕтХ‘ (г„)= Д(л). (3)

Отсюда и из (1) следует, что для доказательства леммы достаточно получить неравенство

Д(у) < Д(и). (4)

По выбору функции Д (х), используя (2), получаем

Д(У) = Д(Л) + Ду (уу )- Ду (лу )+ Дт (ут )- Дт (лт ) = Д(л) + Ду (л^^ )- Ду (лу )+ Дт (с7т ^ )- Дт (с7т )'•

Отсюда, используя неравенство Д (л) < Д (у) , имеющееся в (3), с помощью (2) получаем

Д(у) < Д(у) + Ду )- Ду (л] )+ Дт (гтТт )- Дт ((Тт ) = Д(и) + Ду ^] )- Ду (<У )+ Дт Ьт )- Дт ^т ) +

+ Д] (л] жУ )- Д] (ЛУ ) + Дт (гтТ т )- Дт (гт ) = Д(и)+ Д] («уТ У )- Д] (<У )+ Дт (гт )- Дт (гтТ” )+

+ Д] (лж )- Д] (Лу )+ Дт (гтТт )- Дт ((7т ) = Д(и) + Д] (и]Т )- Д] (и] )+ Д] )- Д] (лу ) .

Таким образом, имеем

Д(У)£ Д(и)+ Д] (и/])- Д] (и] )+ Д] (л(ж )- Д] (Л] ).

Замечая теперь, что индекс у выбирался из включения у е I(л,и), т.е. условий л . Р . и . Ф л .,

с помощью леммы 1 получаем Д.)- Д]■ (л)< Д. (и.)- Д. (ир ) . Отсюда и из предыдущего

неравенства следует требуемое неравенство (4). Лемма доказана.

Лемма 4 (ср. с леммой 2 [5]). Если для функции Д(х) и множества Q точек решетки (Г, р) выполняются предположения задачи А, х - точка множества Q, а индекс т и подмножество индексов Ь удовлетворяют строгому включению Ь с N \ {т }, то (гт) является выпуклой

функцией параметра г т е РтХЬ, т.е.

(в Р о Фв )л([|9 ,о ]с Р Хь Е Хь [в жт )-Е Хь (в )< Е Хь (о )-Е Хь [о тт ) , "в ,о е Г .

V т т т т/ Н т7 т J— т / т \ т / т \ т/ т \ т/ т \ т /7 т7 т т

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно убедиться, что разность Е Хь (в Пт )-Е Хь (в ) не убывает при переходе от параметра в е Р к параметру в Пт е Р

т \т / т \ т/ ^ г г ^ г г т т г г* т т

(поскольку с помощью этого свойства заключение леммы получается аналогично доказательству леммы 1).

Полагая г = в Пт и, следовательно, получая в = г Тт , выразим указанное свойство с пот т 7 у ^ т т ’ г ^

мощью неравенства Е х (г )- Е (г Тт )< Е (г Пт )- Е (г ) или равносильного ему нера-

г т \ т/ т \ т / т \ т / т \ т / г г

венства Е Хь (г Жт )- 2Е Хь (г )+Е Хь (г Тт )> 0 ,предполагая, что {г Тт ,г ,г Жт }с Р , т.е.

т \ т / т \ т/ т \ т / г ’ \ т 7 т7 т 7— т ’

при предположении, что множества Q Хь (г Тт ), Q Хь (г ), Q Хь (г Лт ) не пусты. Таким обра-

1 1 ’ ^т \ т /’ ^т \ т/ ’ \ т / -1 1

зом, для доказательства леммы достаточно при указанном предположении получить неравенство

Е ^ [г жт )- 2Е Хь (г )+Е Хь [г тт )> 0 . (5)

т \ т / т \ т/ т \ т / 4 '

Поскольку множество Q Хь (тт) является подмножеством конечного множества, найдется такая точка л е Q Хь (г ), что Д(л) = Е Хь (г ).

\ т/7 и \ / т \ т/

По предложению 1 леммы 3 найдутся такой индекс у е N и такая точка у е Q, что

у е Q (г Тт ), Д (у) = Е Хь (г Тт ), у. = л ж , у = л Тт , у = л , "я е N \ {], т}, т Ф ] £ Ь . (6)

^т ут/’^'7 тут / ] ] т т ’ я я7 V7 ^ ч/

По предложению 2 леммы 3 найдутся такой индекс к е N и такая точка и е Q, что

и е Q Хь (г Пт ), Д(и) = Е Хь (г Пт ), и, = л,Тк , и = л Пт , и = л , "я е N \ {к,т}, т Ф к £ Ь . (7)

•^т \ т / ’ ^ т \ т / к к ’ т т 7 я я7 V7./’ ^ ч/

Поэтому

(ГТт ) - 2 ЕтХЬ (Г т ) + Е„ХЬ (Гт"т ) = [ Д(У) - Д(^) ] + [ Д(и )-ДМ ] =

= [ Ду (л] жу )- Ду (л] )+ Дт (лтР )- Дт (л т ) ] + [ Дк )- Дк (лк )+ Дт (лт^ )- Дт (л т )] =

= [ Ду )- Д] (л] )] + [ Дк (лкТк )- Дк (лк ) ] + [ Дт (лт^ )- 2 Дт (Лт )+ Дт (лт^ )] .

Поскольку здесь слагаемое [ Д (л Тт )- 2 Д (л )+ Д (л ж )] неотрицательно по выбору

^ ь ^ т\ т / т\ т/ т\ т /л г г *

функции Д (х), из предыдущего выражения получаем следующее неравенство

Е Хь [г тт ) - 2Е Хь (г )+Е Хь [г жт )> Д.)- Д.(л )+ Дк [лкТк)- Дк (л. ). (8)

тут/ т \ т / тут/ ] \ ] / ]\ ] / ''кук/'-'кх к / ч/

Поскольку при ]=к правая часть этого неравенства неотрицательна по выбору функции Д (х), то в этом случае требуемое неравенство (5) и лемма очевидны. Поэтому считаем , что у Ф к, и с учетом этого равенства (6) и (7), представляющие по координатам точки и и у , перепишем в следующем виде.

у . = ■>, у,_ = , Ут = ”, у„ = , "я е N \ {у, к, т}, у Ф к ФтФ у.

ж. Т

У = ,У . 1 , У = Л , У = Л т , У = Л ,

у ] к к ’ т т 7 я я7

и у = л , и,_ = л/' , ит = л.,.'" ”, ия = е N \ {у, к, т}, {у, к, т}П Ь = 0. (9)

Из этих равенств и определений I (у, и), I (и, у) последовательно получаем:

{т}с !(у, и), {у, к}с I(u, у) , !(у, и)П I(u, у)=0, {т}= I(y, и), {у, к}=I(u, у) .

С помощью этих равенств по свойству усиленной замены множества Q для различных точек и и у, выбранных из условий (6) и (7), по индексу у е {у,к}= I(и,у)находим такой индекс I е I(у,и) = {т}, что ж . (тт (и )) = ж . (т1 (и))е Q. Полагая у = ж . (тт (и )) , по лемме 2 имеем:

у, = и,ж , ук = ик ,ут = итТт , уя = ия, " е N\{у,к,т}, {у,к,т}ПЬ = 0. (10)

;ти (8). Из (9) и (10) имеем: у . = и 1 = л 1, у = и = Л к , у = и ‘т = л , у = и = л , "я е N \ {/,к,т}. (11)

, / / ’ ^ к к к ’ ^ т т т 7 ^ я я я7 V 7 7 / ч/

ж, т

, . - ~ . 1 , у, = и. , у = и ' , , - ^

/ / ’ к к ’ "т т ^ у я я

Покажем теперь, неотрицательность правой части (8). Из (9) и (10) имеем:

ж, ж, Т к Т

. 1 = л . 1, у = и = Л, к , у = и ‘

/ / / к к к ’ ^ т т т 7 ^ я я я

С помощью этих равенств из включения л е QmXL (гт ) и равенства {у,к, т}П Ь = 0

,т П Ь = 0 следует,

что у е QmXL (гт). Отсюда по выбору л имеем Д(у) > Д(л). С помощью этого неравенства из (11) по выбору функции Д(х) следует Ду (У)- Ду (л/)+ Дк(лр)- Дк(лк) = Д(у) - Д(л) > 0.

Теперь из (8) вытекает требуемое неравенство (5). Лемма доказана.

Из доказанных лемм вытекают следствия.

Дополнительные обозначения. Ниже используются следующие обозначения:

Е ={у е N : у £ Ь, у Ф т, Я, (Т/ (х))е Q}, Л,1 = Д/ {хР )- Д/ (х/ )+ Дт (хтПт )- Д, (х, ),

Е&Т ={еЕ :лр <°} ,

ЕЛ ={е N :у £ Ь,у Ф т,ж/(тт (х))е Q}, Л/Л = Дкх? )- Д/(х/ )+ Дт (х т т )- Дт (хт ),

Елж = {/еЕж :Л/Л <0} ,

Следствие 1. Если х - решение задачи А Хь (х ), то Е ,Т Ф 0^ Е Хь (х )> Е Хь (х Пт ),

т т Л т т т т

Елж Ф 0^ ЕХь (х )> ЕХь [х Тт )

Л т \ т / тут/

Доказательство. Из включения у е ЕЛ , т.е. условий у е N, у £ Ь, у Ф т,ж; Дт. (х))е Q ,

Д/ (х/Т )- Д/ (х/)+ Дт (х т т )- Дт (хт)< 0, следует д(ж т (т/ (х)))< Д(х) = ^ (xm), и поскольку

у £ Ь , т £ Ь , то жт(р..(х))е QmXL [хтЛт ) и потому ЕтХь [хтЛт )< Д{жт(р(х))) и, следовательно,

Е Хь (х Лт )< Е Хь (х ). Этим получено первое заключение следствия и так как второе - получат т т т

ется аналогично, следствие доказано.

Следствие 2. Если х - решение задачи А,Хь (хт), то из множеств ЕЛТ ,Елж непустым может быть только одно.

Доказательство. Из допущения ЕЛ Ф0ФЕЛжпо следствию 1 имеем

Е Хь (х Пт )- 2Е Хь (х )+ Е Хь (х Тт )< 0 вопреки лемме 4. Следствие доказано.

т т т т т т

Задача А ь .При предположениях задачи А требуется минимизировать Д(х) на множестве

хЬ ( ) хЬ

Q ={(у1,...,уп) е Q :,. е Ь ^ у = х ,". е N }, т.е. найти такую точку л е Q , что

Д (л) = тт^Д (у): у е Q

Следствие 3. Если х - решение задачи А,Хь (хт) и ЕЛТ =0= ЕЛж, то х - решение

АХЬ

задачи А .

Следствие 4. Если х - решение задачи А,Хь (Xт) и ЕЛ =0, то х - решение задачи миними-

Хь

зации Д(л) при условиях л е Q , х Р л .

ттт

Следствие 5. Если х - решение задачи А,Хь (хт) и ЕЛж =0, то х - решение задачи миними-

хь

зации Д(л) при условиях л е Q , л Р х .

-^’ттт

Замечание. С помощью лемм 3, 4 и следствий 1-5 обосновывается следующий алгоритм для нахождения решения задачи А.

Алгоритм а(х°,ф).В приводимом ниже описании используются: х - стартовая точка

множества Q,, (р - задаваемая на множестве всех подмножеств из N функция выбора из каждого подмножества его элемента.

Ш а г 1. Положить х=х , Ь =М{ ) }, 1=2.

Ш а г I.

Подшаг 0. Если =п+1 (Ь=0), объявить х искомым решением и остановиться.

В противном случае положить т=р(Ы) и заменить Ь на Ь\{т}; сформи-

JT t J—? Р

ровать множества ЕА , ЕА .

Если Е&Т =0 л Е&п =0 идти на Увеличение t .

В противном случае: при Е&т Ф0 положить 1=t

при Е&п Ф0 положить 1=p, m=t; положить к=1.

я

Подшаг к. Сформировать множество Е .

я

Если Е =0, идти на Увеличение t.

я я я I

В противном случае положить M = min D. : j е Е i.

я

Если M > 0, идти на Увеличение t.

я я я

В противном случае определить индекс i из условий i е Е , А. = M

я. и

заменить х. на х. 1 , x на x '

г г ’ m m

увеличить к на 1.

m

Увеличение ґ. Заменить ґ на ґ+1.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. При предположениях задачи А алгоритм А^х ,ф ] находит ее решение х из любой стартовой точки х при всякой функции выбора ф.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Емеличев В.А., Овчинников В.Г. Симметричные суперматроиды / Докл. АН БССР, 1983. Т. 27. № 5. С. 389-391.

2. Емеличев В.А., Овчинников В.Г. К теории экстремума на координатных решетках // Докл. АН БССР. 1983. Т.27. № 7. С. 581-583.

3. Овчинников В.Г. Об одном свойстве подмножеств координатной решетки, на которых локальный и глобальный экстремумы координатно-выпуклой функции совпадают // Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. науки. 1984. № 5.

С. 113 / Ред. журнал «Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат.н.» Минск.1983. 6с.: Библ. 4 назв. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.01.84 № 245-84Деп.

4. Емеличев В.А., Овчинников В.Г. К теории оптимизации на антицепях, обладающих свойством замены Швейни-ца // Кибернетика, 1985. № 2. С. 55-58.

5. Овчинников В.Г. Об одной задаче целочисленного программирования // Кибернетика, 1976. № 1. С. 131-135.

6. ПападимитриуХ., Стайглиц К Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М: Мир, 1985. 512с.

7. Айгнер.М. Комбинаторная теория. М.: Мир,1982. 556 с.

Поступила 24.12.2003 г.