CC BY
7
Доказательство алгоритмов частных экспертиз в задачах проектирования распределенных АСУ
А.С. Лакаев, И.Б. Алексеев Кафедра «Вычислительные системы и сети» Московского государственного института электроники и математики (технического
университета)
В докладе приведено доказательстве работоспособности алгоритмов работы частных экспертиз методического аппарата определения функционально -производственного содержания распределенных АСУ, обеспечивающего целенаправленную работу и гармоничное использование профессиональных знаний и опыта разнородных групп экспертов: пользователей и разработчиков распределенных АСУ [4].
Механизм экспертной работы на каждом этапе определяется принципами, заложенными в методе Дельфи, и представляет собой циклический алгоритм подготовки, реализации и обработки результатов экспертного опроса. Сходимость
выходных результатов (количество циклов работы экспертов) определяется заданной
1 2
точностью экспертизы а , а на соответствующем этапе.
Пусть X0-исходная матрица предпочтений экспертов на первом этапе размером п х т, где п - количество предлагаемых для оценки ИРЗ, т - количество характеристик ИРЗ (принадлежность к тому или иному комплексу, важность комплекса и важность задачи в комплексе).
X1 = X0 + А1 X2 = X1 + А2
ХК = Хк1-1 + Ак , (1)
ук1 „1
где X - матрица предпочтений экспертов первого этапа размером п х т на к
цикле оценки; А к - корректирующая матрица экспертов первого этапа размером п
1 1 •, „ х т на к цикле оценки; к = 1,2,... количество циклов первого этапа, определяемое
требуемой точностью а1.
г1
аУ
, (к=
Рассмотрим последовательность корректирующих матриц А —
1,2,...) одного и того же типа п х т (1 = 1,2,...п;] = 1,2,.. ,ш), которая отражает циклическую работу экспертов на первом этапе. Под пределом такой
.к1
последовательности матриц А понимается матрица
А — Нш Ак1 — Нш 4
к ^да к ^да
(2)
Докажем, что последовательность анализируемых матриц является сходящейся, то есть имеет предел (а значит, будет доказана сходимость работы методического аппарата на первом этапе, т.е. конечность работы экспертов первого этапа).
Для сходимости последовательности матриц Ак (к1 = 1,2,.) к матрице А необходимо и достаточно, чтобы [2]
А - Ак
^ 0
при
к ^ да
где
А - любая каноническая норма матрицы А:
(3)
либо Щт — шахЛ| аи\
либо
1 = шах ^ к
(ш - норма) (1 - норма)
(4)
(5)
либо
—
(к - норма)
(6)
При этом 11ш
к ода
Действительно, если Ак ^ А—
ау
то
а и - аЦ
(7)
<ех при к1 > ) ,
так
что .
А - А
<£[. В силу свойств нормы имеем:
А - А
при
к1 > ^),
2
а
к
к
где I - матрица типа п х т , все элементы которой равны единице. Следовательно
Нт
A - A'
к ^ re
= 0
Обратно, пусть выполнено условие (4). Тогда при к1 > N (а1) имеем:
к1
aü - aü
A - A'
< s
(9)
и, следовательно, lim ak = ajj, так что lim Ak = A
Кроме того, если A ^ A, то
к^ге
<
A - A1
^ 0 при к ^ re.
Поэтому
lim
к ^re
(10)
Таким образом, при выполнении условий (3) (интерпретация работы экспертов дельфийским методом) количество внутренних циклов работы на первом этапе - конечно, а, следовательно, предложенный алгоритм работы методического аппарата на этом этапе конечен и имеет практическую перспективу.
Пусть У 0 - исходная матрица предпочтений экспертов второго этапа размером п х п, где п - количество ИРЗ, определенных на первом этапе. По аналогии с формальным описанием работы экспертов на первом этапе запишем:
X *1 = У 0 У 1 = У 0 + В 1
у 2 = у 1 + В 2
к
к
у к = у к -1 + В
(11)
2
где у *2 - матрица предпочтений экспертов второго этапа размером п х п на к цикле
2
оценки характеристики связности ИРЗ; В * - корректирующая матрица экспертов
второго этапа размером п х п на к 2 цикле оценки характеристики связности ИРЗ;
к 2= 1,2,. количество циклов второго этапа для оценки характеристики связности
ИРЗ, определяемое требуемой точностью £ ;
Как уже было отмечено, для сходимости последовательности матриц в к' к матрице В необходимо и достаточно, чтобы
В - в к21| ^ 0 при к ^ да (12)
где ||в || - любая каноническая норма матрицы В (см. (4, (5), (6)).
Доказательство необходимости и достаточности условия (3) для сходимости
2
корректирующих матриц В к аналогично проведенному выше для матрицы А .
Таким образом, при выполнении условий (9) количество внутренних циклов работы на втором этапе - конечно. Учитывая аналогичный вывод, сделанный ранее для первого этапа, можно утверждать, что предложенный алгоритм работы методического аппарата конечен и имеет практическую перспективу. Подробное описание работы методического аппарата и содержание математического инструментария при проведении каждой экспертизы приведено в [4].
Литература
1. Демидович В.П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. Гос. изд-во физ-мат. литературы, 1960
2. Алексеев И.Б., Комиссаров В.М. Методический аппарат определения функционально - производственного содержания распределенных АСУ (настоящий сборник).
