Длинноволновая неустойчивость бинарной смеси в высокочастотном вибрационном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 3 (25)

УДК 536.25

Длинноволновая неустойчивость бинарной смеси в высокочастотном вибрационном поле

С. М. Ишутов

Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 E-mail: Sergey.Ishutov@mail.ru

Теоретически исследована устойчивость механического квазиравновесия горизонтального слоя бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии, находящегося в высокочастотном вибрационном поле. Границы слоя считаются твердыми, изотермическими и непроницаемыми. Ось вибраций наклонена к горизонтальной оси под произвольным углом. Исследование основано на системе уравнений, описывающих поведение средних полей. В рамках линейной теории устойчивости рассмотрено поведение длинноволновых возмущений, основанное на методе разложений по малому параметру (волновому числу). Получены зависимости числа Рэлея от угла наклона оси вибраций, числа Гершуни и параметра разделения смеси.

Ключевые слова: бинарная смесь; термодиффузия; вибрации; длинноволновая неустойчивость

Для бинарной смеси в бесконечном горизонтальном слое случаи продольных [4] и поперечных [6] высокочастотных вибраций кардинально отличаются. В присутствии поперечных вибраций вибрационный механизм генерации течения, проявляющий себя для продольных вибраций, не действует [6]. Эффект вибраций при этом чисто стабилизирующий: при произвольных значениях параметров бинарной смеси, критическое число Рэлея монотонно увеличивается с ростом вибрационного параметра. Кроме того, в случае поперечных высокочастотных вибраций длинноволновая неустойчивость бинарной смеси, характерная для некоторого интервала параметра термодиффузии, не зависит от числа Г ершуни [6]. С этой точки зрения интересно получить зависимость порога длинноволновой неустойчивости от угла наклона вибраций к горизонтали. Ранее, в работе [11] рассмотрено квазиравновесное состояние плоского горизонтального слоя, заполненного бинарной смесью с учетом вибраций, направленных под углом к горизонтальной оси, но без учета эффекта термодиффузии. Как известно, длинноволновая мода неустойчивости в этом случае отсутствует. Длинноволновая мода неустойчивости может возникать в отсутствие потока вещества на границе бинарной смеси, когда более выгодны крупномасштабные течения [4-7]. Источником длинноволновой неустойчивости в однородной жидкости могут

© Ишутов С. М., 2013

1. Введение

Вибрационная тепловая конвекция [1, 2] - является одним из основных источников движения неизотермической жидкости в условиях невесомости. В общем случае влияние вибраций на поведение жидкостей и смесей характеризуется амплитудой и частотой вибраций, а также направлением оси вибраций. В [3] изучалась устойчивость виб-рационно-конвективного течения, возникающего под действием продольных вибраций произвольной частоты в плоском слое жидкости. Решения, характеризующие поведение жидкости при изменении параметров могут испытывать бифуркации. Устойчивость равновесия горизонтального слоя бинарной смеси с учетом термодиффузии, ограниченного твердыми, непроницаемыми границами, помещенного в поле продольных вибраций рассмотрена в [4, 5]. Случай поперечных вибраций изучен в [6-8].

При высокочастотном воздействии, когда период вибраций меньше, чем все характерные времена системы [2], для получения уравнений конвекции используется процедура осреднения [9]. При этом амплитуда и частота вибраций объединяются в единый безразмерный параметр, называемый вибрационным числом Рэлея или числом Гершуни [10].

служить и другие причины. Например, в [12] изучена неустойчивость квазиравновесия неравномерно нагретого плоского наклонного слоя однородной жидкости, находящегося в статическом гравитационном и высокочастотном вибрационном полях в длинноволновом пределе.

В данной статье изучена длинноволновая мода неустойчивости несжимаемой бинарной смеси с учетом термодиффузии, заполняющей горизонтальный слой и подвергающийся гармоническим колебаниям с высокой частотой, ось которых находится под произвольным углом к горизонтальной оси.

2. Постановка задачи

Рассмотрим бесконечный плоский горизонтальный слой бинарной смеси с учетом эффекта Соре, ограниченный двумя параллельными, твердыми пластинами г = 0,г = к (рис. 1). Ось х декартовой системы координат направлена вдоль слоя. На пластинах поддерживаются постоянные разные температуры. Температура нижней плоскости постоянна и равна О, температура верхней плоскости также является постоянной и берется за точку отсчета. Случай 0>О отвечает нагреву снизу, а 0<О -нагреву сверху. Обе границы непроницаемы. Слой заполнен бинарной смесью, состоящей из нереагирующих компонент и его границы непроницаемы для этих компонент.

Т « ШШ

V 4

и малых амплитуд

Ъ «-

X ’ О

где х ~ тепловой коэффициент диффузии, V -кинематическая вязкость, В - коэффициент диффузии.

После нормализации и обезразмеривания осредненных уравнений вибрационной конвекции система примет вид

----V (р ■ V)» = -Ур + VrAv + Ra Рг(г + С\ +

5/

дС_

"а"

С/л Рг{со ■ У)[(7 +С)п-а],

— + (о-У)Г = АТ,

5/ х ’

+ (о-УХ’ = 1а-а{(' -<<■:! ) ,

(2.4)

Рис. 1. Геометрия задачи

Уравнение состояния смеси может быть записано в виде

р = р(1-ргГ-рсС), (2.1)

где р - плотность смеси при определенных средних значениях температуры и концентрации; Т и С- отклонения температуры и концентрации от своих средних значений; /?г и /?с - тепловой и концентрационный коэффициенты расширения (/?с>0).

Введем неинерциальные координаты, связанные с колебательной системой (полость жидкости).

Будем рассматривать предельный случай высоких частот (но ниже акустических):

"2 "2 г'21 (2.2)

V • о = О, У ы = 0 ,

Ух(о = У(Т + С)хп , где V - векторная скорость, у - единичный вектор, направленный вертикально вверх, и> - соле-ноидальная часть вектора (ртТ + рсС)п . Введены

параметры: На = g\Sт®h3 /му - число Рэлея;

(й- = (рО. рг0/г)2 / 2ух - число Г ершуни; /V = V у - число Прандтля; 1,е = I) у - число Льюиса и 6 = -офс р7 - параметр разделения смеси.

При обезразмеривании использовались следующие масштабы: к - толщина, к2 /у - время, % IИ - скорость, © - температура, /?г0/ /Зс -

концентрация, ру2/к^ - давление.

Число Рэлея На положительно, когда система нагревается снизу и отрицательно при нагреве сверху. Число Гершуни всегда положительно.

Безразмерная форма граничных условий для горизонтального слоя бинарной смеси с твердыми, изотермическими, непроницаемыми границами имеют вид:

при 2 = 0, г = 1: г = 0, м>2 = 0,

дС сТ п --------6— = 0 .

дг дг

(2.5)

(2.3)

при г = 0. Т = \, при г = 1: Т = 0.

3. Механическое равновесие

При определенных условиях возможно квазиравновесие, то есть состояние, при котором средняя скорость равна нулю, но колебательная часть в целом существует. Чтобы найти квазиравновесное состояние, необходимо задать V = 0. 5/5/= 0, р = р0, т = Т0, С = С0 и и> = и>0,тде Р0,Т0,С0 и и>0 - распределения в состоянии механического равновесия. Основная система уравнений приводит к следующим необходимым условиям для квази-равновесного поля:

V(r0 + С0 )х [Ray - GsV(w0 ■ п)] = 0,

АТ0=0,АС0=0, (3.1)

V • Wq = О, V х w0 = V(r0 + С0)х п .

Квазиравновесное состояние существует только в некоторых специфических случаях геометрии и условий нагрева и колебаний. Для горизонтального плоского слоя квазиравновесное состояние возникает в структуре со следующей формой:

T=l-z-

5Со

dz

■ = —e.w,

= -(l + e)zcosa.

(3.2)

Профили температуры и концентрации линейны и м>0у =4:02=0.

Для изучения линейной устойчивости механического квазиравновесия, рассматриваем малые двумерные смещения всех равновесных полей:

Т0 + Т', С0 + С', р0 + р’, и>0 + и>V .

После линеаризации основной системы уравнений (2.4), получаем

Ш

•{(и,о ' УКГ +С')г-и/] + (и/-У)[(г0 +С0]п-ги0}

Ж'

= -Vp' + Pr Av + Ra Рг(Т' + С')у + Gs Рг-

dt

■ + v-VT„ = AT'.

(3.3)

дС'

dt

+ v-VC0 =LeA(C' + eT'),

(3.4)

(3.6)

(3.7)

V-v = 0,

V-w' = 0, Vxw' = V(T' + C')xn ,

с граничными условиями: при z = 0 и z = 1: v = 0,Т' = 0,w'z = 0, дС' дТ

dz dz

Представим функции тока в системе (3.3) для средней и колебательной компонент скорости в виде

д¥ 5Т dF dF

vx = = ~^T’W* =^’wz =~^r- (3-5)

dz ox dz ox

Смещения представим как

('I'. Т’, С’, F) = (<p(z). 0(z).g(z). /(z))exp(- At - ikx), здесь к - волновое число, X - скорость распада, cp(z), 9(z), i(z), f(z) - амплитуды.

Подставляя разложение такого вида в систему уравнений (3.3), получим

—— XDq> = D2 ср + ikRa(9 + £,) + Gsk(1 + є) •

Pr

cosa + /']cosa + A/'sina},

-AS - ifop = DQ ,

— A£, — ікщ = LeD- Є0),

Df = (d'+4')oosa + ik(e + £)sma, здесь штрих означает дифференцирование по поперечной координате z и оператор D = d2/dz2-к2.

Граничные условия также преобразуются:

при г = 0,1: ф = ф' = 0,9 = 0, / = 0,

-е0' = 0.

Система уравнений (3.6) соответствует спектральной амплитудной задаче со скоростью распада X как с собственным значением и с амплитудами как с компонентами

собственных векторов. Характерные значения скорости распада зависят от всех параметров задачи:

X = },(На, (г.\, Рг, Ье, 6, к).

В целом скорость распада - комплексная величина: Х = ХГ + /7_;. потому что спектрально амплитудная задача не является самосопряженной. Если /., = 0, границы устойчивости определяются состоянием X = 0 (монотонный режим неустойчивости). Если Xг- Ф 0 . границы устойчивости определяются условием = 0, и в этом случае - это частота средних колебаний (колебательный режим неустойчивости). В соответствии с таким подходом осреднения, частота Xг- должна быть мала по сравнению с частотой колебаний.

4. Предельный случай

длинноволновых возмущений

Из-за условия непроницаемости для концентрации, длинноволновая неустойчивость с к=0 играет существенную роль в некотором диапазоне параметров. В таком случае спектр скоростей распада и границы устойчивости для длинноволновых возмущений могут быть определены путем применения метода возмущений с волновым числом к в качестве малого параметра. Решение сформулировано в виде разложения по степеням:

Ф = Ф0 + Ахр1 + к2ф2 н—

9 = 90 +кд, +к2 9^ +•••

$ = $0+Щ1+к2$2+- (4.1)

/ = /о + ¥\ + к2/2 +■■■

X = Хо + кХ^ + к2Х 2 + • • •

Подставляя разложения (4.1) в систему амплитудных уравнений (3.6) и приравнивая члены с одинаковыми порядками, получаем систему последовательных приближений (граничные условия для каяедого порядка задаются из (3.7)).

Для нулевого порядка:

^0 п _ IV

Фо - Фо 5

Рг

—XqQq =90,

(4.2)

^-0^0 — ^е(^0 80о)?

Я'=(0о+£о)ю$ос.

Решение спектральной задачи в нулевом порядке (4.2) с граничными условиями (3.7) запишем в виде

(4.3)

^о=О,0о=О,/о=О,Л=О,#о=1-

Для первого порядка имеем неоднородную систему:

О = ср(v + iRa^Q + z'Gs^l + e)cos a ,

01=0,

-Л =Le(^-s9”),

fi = (^i + #{)cos a + i sin a .

Условие разрешимости дает = 0 . Решение имеет вид

= 0,вх = 0,£j = const,

z(z - О-

/sina

fi =-----------zl

(4.4)

q>Y = — ~ \Ra + (l + s)cos aGs]z2 (z -1)2.

Для второго порядка имеем

0 = qf2 + г (Ля + (l + e)cos aGs) + Gs cos of I, —/cpj = 02 ,

- ^2 - /£9?! = Ze(^2 - e(?2 - l) ,

/2" = (^2 + й)005 a sina •

(4.5)

Условие разрешимости для неоднородной системы может быть определено путем интегрирования третьего уравнения (4.5) по ъ в интервале от 0 до 1.

1

(Ье + Л2)-1е^(р1с1г = 0. (4.6)

о

После подстановки ф1 из (4.4) мы получим ^2 =£е-^у[йя + (1 + е)со5аС75]. (4.7)

Скорость распада X (как видно из (4.7)) вещественная и значит, длинноволновая неустойчивость имеет монотонный вид. Условие устойчивости определяется из условия Х2 = 0 .

Эго приводит к решению 720Ье

Ra = -

■ - (l + e)cos aGs .

(4.8)

Соре при нагреве снизу и в случае аномального эффекта Соре при нагреве сверху.

В противоположном предельном случае, когда На = 0 (невесомость):

720Ье

-----. (4.10)

е(£ + 1)со5а

Неустойчивость в этом случае обусловлена колебательным механизмом и существует в диапазоне 6 > 0 (нормальный эффект Соре) и е < -1 (сильный аномальный эффект Соре) (рис. 2). В пределах интервала -1 < е < 0 длинноволновая неустойчивость отсутствует. Формально в этом интервале число Гершуни отрицательно. Области неустойчивости находятся выше выделенных областей (рис. 2). В качестве примера были взяты параметры, соответствующие смеси этанол-вода.

Рис. 2. Условия длинноволновой неустойчивости (Ra = 0, Le=0.01)

Данное решение согласуется с известными значениями в предельных случаях горизонтальных и вертикальных вибраций (а = 0,90°) [4, 7]. Решение содержит четную функцию косинус, что соответствует постановке задаче (вибрации под углом наклона я - а оказывают такое же воздействие на систему, как и вибрации под углом а).

Когда Сй- = 0 (то есть в случае отсутствия вибраций) или в случае вертикальных вибраций, получаем следующее решение:

720Ье

Иа =-------. (4.9)

6

Отсюда следует, что длинноволновая неустойчивость существует в случае нормального эффекта

Рис. 3. Зависимость числа Рэлея от числа Гершуни и угла наклона вибраций (Ье=0.01, е=-0.25)

При любых значениях угла наклона и числа Гершуни, число Рэлея остается отрицательным в области значений параметра разделения смеси -1 < 6 < 0 и система подогревается сверху.

5. Заключение

В данной работе теоретически исследовалась длинноволновая мода неустойчивости плоского горизонтального слоя бинарной жидкости с учетом эффекта Соре под действием гравитационного поля и высокочастотных вибраций произвольного направления. В рамках линейной теории устойчивости рассмотрено поведение длинноволновых возмущений, основанное на методе разложений по

малому параметру (волновому числу). Получены и проанализированы зависимости числа Рэлея от угла наклона оси вибраций, числа Гершуни и параметра разделения смеси. Показано, что общий результат согласуется с известными значениями в предельных случаях горизонтальных и вертикальных вибраций.

Список литературы

1. Гершуни Г. 3., Жуховицкий К М. О свободной тепловой конвекции в вибрационном поле в условиях невесомости // Доклады Академии наук СССР. 1979. Т. 249. № 3. С. 580-584.

2. Gershini G. Z„ Lyubimov D. К Thermal Vibrational Convection // Jonh Wiley & Sons. 1997.

3. Гершуни Г.З., Келлер И.О., Смородин Б.Л. О вибрационно-конвективной неустойчивости в невесомости: конечные частоты // Доклады Академии наук. 1996. Т. 348. № 2. С. 194-196.

4. Gershuni G. /., Kolesnikov Ss К, Legros J. С., Mvznikova В. I. On the vibrational convective instability of a horizontal binary-mixture layer with Soret effect // Journal of Fluid Mechanics. 1997. Vol. 330. P. 251-269.

5. Smorodin B. /... Mvznikova В. I. Convective instability of the thermovibrational flow of binaiy mixture in the presence of Soret effect // Philosophical Magazine. 2003. Vol. 83, N. 17-18, P. 2155-2170.

6. Gershuni G. Kolesnikov A, K, Legros J. С.,

Mvznikova В. I. On the convective instability of a horizontal binaiy mixture layer with Soret effect under transversal high frequency vibration // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1999. Vol. 42. P. 547-553.

7. Smorodin B. L., Mvznikova B. /., Keller I. O. On the Soret-driven thermosolutal convection in vibrational field of arbitrary frequency // Lecture Notes in Physics. 2002. Vol. 584. P. 372.

8. Smorodin B. L., Mvznikova В. I., Legros J. C. Evolution of convective patterns in a binaiy-mixture layer subjected to a periodical change of the gravity field// Physics of Fluids. 2008. Vol. 20, N. 9. 094102.

9. Зеньковская С. М., Симоненко II. Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Известия Академии Наук СССР. Механика жидкости и газа. 1966. № 5, С. 51-55.

10. Miulditn . i.. Ryzhkov I. I., Melnikov D. E., Shevtsova V. Experimental evidence of thermal vibrational convection in a nonuniformly heated fluid in a reduced gravity environment // Physical Review Letters. 2008. Vol. 101, N. 8. 184501.

11. Браверман Л. М. Некоторые задачи вибрационно-конвективной устойчивости однородной жидкости и смеси: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Перм. гос. ун-т. Пермь. 1987. 215 с.

12. Демин В. .А.. Термовибрационная конвективная неустойчивость наклонного слоя жидкости: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Перм. гос. ун-т. Пермь. 1998. 161 с.

On the long-wave instability of a binary mixture under high frequency vibration field

S. M. Ishutov

Perm State University, Bukirev St. 15. 614990. Perm

A theoretical examination is made of the mechanical quasi-equilibrium stability of a horizontal, bi-narv'-mixture layer with Soret effect in the high-frequency vibrational field. The boundaries of the layer are assumed to be rigid, isothermal and impermeable. The axis of vibration is inclined to the horizontal axis at an arbitrarily angle. The study is based on the system of equations describing the behavior of mean fields, in the limit of long-wave disturbances the regular perturbation method is used with the wavenumber as a small parameter. The dependences of the Rayleigh number on the angle of inclination of the axis of vibration. Gersuni number and separation parameter of the mi xture are obtained.

Keywords: binaiy mixture; high frequency vibrations; long-wave disturbance