CC BY
5Нелинейная динамика. 2016. Т. 12. № 4. С. 633-650. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru Б01: 10.20537/па1604007
ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
УДК: 517.938.5+531.38
М8С 2010: 70Е05, 70Е17, 37J35, 34А05
Дискриминантное множество и бифуркационная диаграмма интегрируемого случая М. Адлера и П. ван Мёрбеке
В работе приводится в явном виде спектральная кривая и дискриминантное множество интегрируемого случая М. Адлера и П. ван Мёрбеке. Предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. С помощью критических точек ранга 0 и 1 отображения момента предлагается алгоритм выделения бифуркационной диаграммы отображения момента из вещественной части дис-криминантного множества. Алгоритм работает при условии, что вещественная часть дис-криминантного множества содержит бифуркационную диаграмму.
Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, спектральная кривая, бифуркационная диаграмма
Получено 29 августа 2016 года После доработки 20 сентября 2016 года
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №14-01-00119, 16-01-00170 и совместного гранта РФФИ и АВО №15-41-02049.
Рябов Павел Евгеньевич peryabov@fa.ru
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации 125993, Россия, г. Москва, Ленинградский проспект, д. 49 Институт машиноведения РАН им. А. А. Благонравова 119334, Россия, г. Москва, ул. Бардина, д. 4
Московский физико-технический институт (государственный университет) 141701, Россия, г. Долгопрудный, Институтский переулок, д. 9
Бирючева Екатерина Олеговна biryucheva.katerina@gmail.сот
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова 119991, Россия, г. Москва, Ленинские горы, д. 1
П.Е.Рябов, Е. О. Бирючева
1. Введение
Как известно, общий случай интегрируемости, изученный М.Адлером и П. ван Мёр-беке [1], является в динамике твердого тела одним из наиболее сложных. Его появлению в отечественной литературе мы обязаны прежде всего работам А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко [2, 3], посвященным интегрированию уравнений Эйлера на конечномерных группах Ли. Другим случаем интегрируемости на зо(4), открытым позже и не менее сложным, является случай Борисова-Мамаева-Соколова [4], для которого найдены инвариантные соотношения третьей степени. В результате на зо(4) возникает новое семейство интегрируемых квадратичных гамильтонианов с дополнительным интегралом четвертой степени. Существование дополнительного интеграла четвертой степени, найденного в [1], связано с особой симметрией зо(4), допускающей вещественное представление в виде прямой суммы зо(3) ® во(3). Уравнения Эйлера на алгебре Ли зо(4) = во(3) ® во(3) также описывают вращение твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение [5-8]. Эти уравнения исследовал В. А. Стеклов [9] в качестве модели вращения Земли. Современный обзор интегрируемых семейств метрик определенного вида на зо(4) и их механическая интерпретация содержится в книгах [10-15].
Фазовая топология интегрируемого случая М. Адлера и П. ван Мёрбеке до сих пор не исследовалась. На первом этапе топологического анализа необходимо найти бифуркационную диаграмму отображения момента. Вопросам анализа особенностей спектральной кривой и ее связи с бифуркационной диаграммой отображения момента посвящены работы [16-23].
В настоящей работе приводится в явном виде спектральная кривая и дискриминант-ное множество интегрируемого случая М.Адлера и П. ван Мёрбеке. Предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. Показано, как с помощью невырожденных особенностей ранга 0 и 1 отображения момента можно выделить бифуркационную диаграмму отображения момента из вещественной части дискриминантного множества спектральной кривой, ассоциированной с Ь — А парой интегрируемого случая М. Адлера и П. ван Мёрбеке. Алгоритм выделения бифуркационной диаграммы из дискриминантного множества работает при условии, что вещественная часть дискриминантного множества содержит бифуркационную диаграмму.
2. Гамильтониан и фазовое пространство. Дополнительный интеграл
Уравнения движения имеют вид уравнений Пуанкаре - Жуковского - Ламба
где трехмерный вектор М имеет смысл кинетического момента системы «тело+жидкость», а компоненты трехмерного вектора & пропорциональны компонентам вектора завихренности жидкости.
На коалгебре д = зо(4)* ^о(4) = во(3) ® во(3)) с координатными функциями М6(М, &) определены скобки Ли-Пуассона
{Мг, М3} = -ег]кМк, {Мг, Б,} = 0, {Бг, = егзквк. (2.2)
Скобка (2.2) имеет две функции Казимира
= (М, М), = (5, 5). (2.3)
Как известно, для заданной функции Гамильтона Н от М, 5 уравнения движения с помощью скобки Ли-Пуассона можно записать в гамильтоновой форме
Х = {х,Н}. (2.4)
Здесь х — любая из переменных Ы,, Sj.
На совместном уровне функций Казимира
= № = а2, Р2 = б2} = §2 х §2 (2.5)
индуцированная скобка Пуассона невырожденна и ограничение системы (2.4) дает гамиль-тонову систему с двумя степенями свободы. Рассмотрим следующий гамильтониан
Н = (М ,АМ ) + 2(М, В 5) + (5, С 5), (2.6)
где диагональные (3 х 3)-матрицы А, В, С имеют следующий вид:
А = diag[a:2«2, а2 а2, а^],
В = diag[(аl - а2)(аз - а1)а2аз, (а2 - а1)(аз - а2)а1аз, (аз - а1)(а2 - аз)а1а2], С = diag[а2а3(а2аз - 4а1), а1аз(а1 аз - 4а2), а1а2(а1 а2 - 4а2)].
Чтобы утверждать, что система является вполне интегрируемой по Лиувиллю, необходимо указать еще один независимый первый интеграл, находящийся в инволюции с гамильтонианом (2.6). Мы приводим дополнительный интеграл в следующей симметричной форме:
К = 3 а^ - аi)ЫjSjS2 + ^(а, - аj)(а, - аи)ЫiSt3 -
^ , (2.7)
(М, М аи ЫiSi + 2(а2 + а2к )S2].
Отметим, что выражение (2.7) отличается от форм дополнительного интеграла, использованных в оригинальных работах, посвященных доказательству алгебраической интегрируемости (см. [1, 11]). Дополнительный интеграл (2.7) наиболее приближен по виду к интегралам, указанным в работе [25] и в книге [14].
Теорема 1. {Н, К} = 07 если а1 + а2 + аз = 0. 3. Представление Лакса и спектральная кривая
В работе [24] А. Рейман и М. Семенов-Тян-Шанский указали для интегрируемого случая М.Адлера и П.ванМёрбеке представление Лакса со спектральным параметром Ь(г) = = [Ь(г),А(г)\. Рассмотрим, следуя результатам работы [24], представление Лакса со спектральным параметром
¿(*) = [ад,А(,г:)],
где матрицы Ь и А имеют вид
ад =
А(г) =
0 -±(М3 + 53) ±(М2 + Б2) -I (М1 — Sl) 0 0 а1 г
\(М3 + Б3) 0 (М2 — 52) 0 а2г 0
-\(М2 + Б2) т^Мг + Бг) " » 4 (М3 — 53) а3г 0 0
\[Мг - Бх) ±(М2-Б2) ±(М3-53) 0 0 0 0
0 0 а3г 0 0 51 —52
0 а2г 0 0 —51 0 53
а1г 0 0 0 52 —53 0
0 -|(г/-з +г>3) — У1) 0 0 Ь1 г
+ г>з) 0 — У2) 0 Ь2г 0
-|(г/-2 +г>2) 0 -±(и3 — У3) Ь3г 0 0
^{У'1 -г'1) ^{и-2 ~ г>2) т;{и3 — 1>3) 0 0 0 0
0 0 Ь3г 0 0 У1 —У2
0 Ь2 г 0 0 —У1 0 У3
Ь1г 0 0 0 У2 —У3 0
В приводимых выше формулах необходимо произвести замену
2 3 2 3 2
VI = тт а-2аз(510:2«з — М\а2аз — 45102 — 2М\а^)
3
У-2 = | 0301(620301 - М20з01 - 45*20! - 2.\ 1><ф
Vз = 4 0102(530102 — Мз0102 — 45зо| — 2М3а3),
3
п\ = 2а2а3(М1а2а3 — 51а2а3 — ), и2 = 2а3а1(М2а3а1 — 52а3а1 — 252а2), и3 = 2а1а2(М3а1а2 — 53а1а2 — 253а3),
Ъ\ = | 010203(20203 + о2), Ъ2 = | 010203(20103 + а^), = | 010203(20102 +
Спектральная кривя Е(¿,0, ассоциированная с матрицей Ь(г), определяется как алгебраическая кривая
Е(г, С) = {(г, С) е С2: det(Ь(г) — (Е) = 0},
(3-1)
где через Е обозначена единичная матрица соответствующего размера.
Спектральная кривая (3.1) для Ь — А пары Реймана и Семенова-Тян-Шанского имеет явный вид
Е (г, С): С • (Е d2г С= 0,
(3.2)
где
(б = 16, (4 = -16(а1 + а2 + а3)г2 + 8(а2 + 3Ь2), (2 = [а2 + 3Ь2 - 4(а1 + а1а2 + а2)г2]2,
(о = -16а1а2аз^6 + 4Нг4 - 4[Ь2(Ь2 + 3а2)(а1 + а1а2 + а2) + к]г2 + Ь2(а2 - Ь2)2.
Здесь а, Ь, Н, к — постоянные казимиров и первых интегралов Н, К.
В таком виде спектральная кривая представлена здесь впервые и именно дополнительный интеграл в виде (2.7) был найден как соответствующий коэффициент в выражении для ( о спектральной кривой (3.2).
4. Дискриминантное множество спектральной кривой
Кривую (3.2) можно рассматривать как нулевой уровень отображения Е: С х С —С. Обозначим через £ С М4(а, Ь, к,Н) множество таких значений интегральных постоянных, для которых 0 является критическим значением отображения Е. Множество £ в конечных
точках С х С определяется системой уравнений
£(г,() = 0, ^£(г,О = 0, щ£(г,() = 0. (4.1)
В работах [17, 20] множество £ называется дискриминантным множеством спектральной кривой Е(г, ().
Теорема 2. Дискриминантное множество £ является объединением поверхностей кратных корней многочленов Р(Ь) и Q(s), где
Р(Ь) = 16а1 а2а2ьз - 4НЬ2 + 4[Ь2(Ь2 + 3а2)(а2 + а1 а2 + а2) + к]Ь - Ь2(а2 - Ь2)2, Q(s) = 16(а1 - а2)2(2а2 + а1)2(а2 + 2а1 )2s3 + 12[9Н - 4(а2 + а1а2 + а2)2(а2 + 3Ь2)^2 + + 12[а2(а2 + а1а2 + а2)(а2 - 21Ь2) - 9k]s - а2(а2 - 9Ь2)2.
Доказательство. Рассмотрим нетривиальную часть спектральной кривой Е(г, С):
Е ы м = о.
Тогда система (4.1) сводится к двум возможностям: либо
С = 0,
Р (Ь) = Р'(Ь) = о,
либо к системе из трех уравнений
' Ш3 + [8а2 + 24Ь2 - (16а2 + 16а2 + 16а2)ф2 + [3Ь2 + а2 - (4а2+4а1 а2+4а2)t]2s -
- 16азЬза2а2 + 4НЬ2 - [4Ь2(Ь2 + 3а2)(а1 + а1а2 + а2) + 4к]Ь + Ь2(а2 - Ь2)2 = 0,
- 4(а2 + а2 + а2)s2 - 2[3Ь2 + а2 - 4(а1 + а1а2 + а2)Ь](а2 + а1а2 + а2> - (4.2)
- 12аза2а2ь2 + 2НЬ - Ь2(Ь2 + 3а2)(а2 + а1а2 + а2) - к = 0, ^ 48s2 + 16[а2 + 3Ь2 - 2(а1 + а2 + а3)ф + [3Ь2 + а2 - 4(а2 + аа + а2)Ь]2 = 0.
В обоих случаях использованы переменные Ь = г2, s = £2.
Подставим в систему (4.2) условие коммутирования первых интегралов а1 + а2 + аз = = 0 (например, выражая аз = -а1 - а2). В результате такой подстановки третье уравнение системы (4.2) раскладывается в произведение двух множителей:
[4,з - 4Ь(а1 + а1а2 + а2) + а2 + 3Ь2][Ш - 4Ь(а2 + а1а2 + а2) + а2 + 3Ь2] = 0.
Откуда
8 = (а2 + ага2 + - ^(а2 + 3б2), (4.3)
либо
« = + «1«2 + а1)1 - -^(а2 + 3б2). (4.4)
В случае (4.3) первые два уравнения системы (4.2) приводят к поверхности кратных корней многочлена Р(Ь), то есть Р(Ь) = Р'(Ь) = 0, а в случае (4.4) — к системе Q(t) = = <?'(*) = 0. ' ■
Предложение 1. Поверхности кратных корней многочленов Р(Ь) и Q(s) имеют следующее параметрическое представление:
71
2 2 2 Ь2(а2 - Ь2)2 1г(г) = 8 а\а1а11 + 4 ——,
Ь2(а2 _ ь2)2
Щ) = 4а2а|а|£2 - Ъ2{Ъ2 + 3а2)(а2 + ага2 + а2) Н--——,
8 а2(а2 _ 9Ь2)2
Цз) = —§=(ац - а2)2('2а2 + аг)2(а2 + 2а1)2з - ----+
27 108s2
+ + аюъ + а|)2(а2 + 362), 9
4 а2(а2 — 9Ь2)2
= -^(«1 - а2)2(2а2 + а02(а2 + 2«1)282 - ' —- +
а2(а2 - 21Ь2). 2 ^
Н--рг-(а^ + а1а2 + а2).
9
Доказательство. Для доказательства достаточно разрешить системы уравнений Р(Ь) = = Р'{Ь) = 0 и (^{в) = = 0 относительно /г и /г. ■
На рисунке 1 изображена вещественная часть дискриминантного множества £ и его увеличенный фрагмент для следующих значений параметров: а = 0.66, Ь = 0.86, а1 = 1, а2 = 0.77.
Точкам пересечения Р.. дискриминантых кривых отвечают следующие значения параметров Ь., .в. и Н., к.:
Ь(а + Ь) а(а - 3Ь)
р1 ¿1 =--г. „ , «1
2а^ ' 2(а2 + 2а1)(2а2 + а1)'
Н1 = а1а2[а1 а2(а2 - 7Ь2 - 10аЬ) - 4Ь(а2 + а2)(а + Ь)], к1 = -аЬ[2аЬ(а1 + а2) + а1а2а2 - Ь2(а2 + 2а1)(2а2 + а1)],
Рис. 1. Вещественная часть дискриминантного множества Я и его увеличенный фрагмент для значений параметров а = 0.66, Ь = 0.86, а\ = 1, а = 0.77.
Р2 : ¿2 =
Р
Р
Р5
Рб
Ъ(а + Ъ) 2а2(а1 + а2):
82 =
а(а — 3Ь)
2(а2 + 2а1 )(а1 — а2)'
Ъ.2 = а2(а1 + а2)[а2(а + Ь )(а1 + а2) + 2аЬ(а2 + 2а1)(а1 — а2) + 4Ь а1] к2 = аЬ[Ь2(а2 + 2а1 )(а1 — а2) + а(а — 4Ь)а2 (а1 + а2) — 2аЬа2 ],
3
¿3 = —
Ъ(а - Ъ) 20:1(0:1 + а2)'
83
а(а + 3Ь)
2(а1 — а2)(2а2 + а1):
Ь3 = а1(а1 + а2)[а1(а + Ь )(а1 + а2) + 2аЬ(а1 — а2)(2а2 + а1) + 4Ь а2] к3 = —аЬ[а1(а2 — Ь2 + 4аЬ)(а1 + а2) + 2Ь(а + Ь)а2 ], Ь(а — Ь) а(а + 3Ь)
4 •
¿4 = —
2а2(а1 + а2)'
Й4
2(а2 + 2а1)(а1 — а2)'
Н4 = а2(а1 + а2)[а2(а + Ь )(а1 + а2) — 2аЬ(а2 + 2а1)(а1 — а2) + 4Ь а1] к4 = —аЬ[а2(а2 — Ь2 + 4аЬ)(а1 + а2) + 2Ь(а + Ь)а2 ],
¿5 =
Ь(а — Ь)
Й5 =
а(а + 3Ь)
2а1а2 2(а2 + 2а1 )(2а2 + а1)
Н5 = а1а2[а1 а2(а2 — 7Ь2 + 10аЬ) + 4Ь(а1 + а2)(а — Ь)], к5 = —аЬ[2аЬ(а1 + а2) — а1а2 а2 + Ь2(2а2 + а1)(а2 + 2а1)], Ь(а + Ь) а(а — 3Ь)
¿6 =
2а1(а1 + а2):
вб = —
2(01 - а2)(2а2 + 01)'
Н6 = а1(а1 + а2)[а1(а + Ь )(а1 + а2) — 2аЬ(а1 — а2)(2а2 + а1) + 4Ь а2] к6 = аЬ[а1(а2 — Ь2 — 4аЬ)(а1 + а2) — 2Ь(а — Ь)а2],
P7 : t7 = -
(a2 - b2)
s7 = —
(a2 - 9b2)
4aia2 ' 4(2a2 + ai)(a2 + 2ai):
h7 = —2aia2[(a2 — b2)a2 — 2b2a1a2 ],
k7 = iaia2(a4 + 354 - VIa2b2) + ±(a? + a|)(a4 - 364 - 14a2b2),
Ps : t8 =
(a2 — b2)
s8 = —
(a2 — 9b2)
4a2(ai + a2^ "" 4(a2 + 2ai)(ai — a2)' hs = 2(ai + a2)a2[(a2 — b2)a2 + 2b2a2(ai + a2)],
k8 = |a?(a4 - 364 - Ua2b2) - f)2a2(a2 + 362)(ai + a2),
Pg : tg =
(a2 - Ь2) 4ai(ai + a2):
sg =
(a2 — 9b2)
4(2a2 + ai)(ai — a2)'
hg = 2ai(ai + a2)[(a — b )a2 + 2b ai(ai + a2)], k9 = iai(a4 - 364 - Ua2b2) - aib2{a2 + 362)(ai + a2).
Для точек возврата Ql, Q2 и точки касания Qo ограничимся лишь приведением значений параметров Ь и в:
Qi:
Q2: Qo:
\
22
a2(a2 — 9b2)
16(ai — a2)2 (2a2 + ai)2 (2ai + a2)2
¿cusp -
\
22
to = so =
b (a - b2) 16a2a2a2
(a.2 + ЗЬ2) 4(af + aia2 + a2)
5. Аналитическая классификация особенностей ранга 0 отображения момента
Здесь мы покажем, что узловым точкам пересечения вещественной части дискрими-нантных кривых Pi—Рб отвечают невырожденные особенности ранга 0 отображения момента. Напомним некоторые определения. Фиксируем значения казимиров a и b и рассмотрим интегральное отображение
F: Vttb ^ М2,
полагая (h,k) = F(x) = (H(x),K(x)). Отображение F принято также называть отображением момента. Обозначим через C совокупность всех критических точек отображения момента, то есть множество точек, в которых rank dF(x) < 2. Множество C можно стратифицировать рангом отображения момента, представив его в виде объединения C = C0 UC1. Здесь Cr = {x: rank dF(x) = r}. Множество критических значений £ = F(C^V4 b) называется бифуркационной диаграммой.
scusp -
Множество С0 исчерпывается неподвижными точками системы (2.1):
Р: Р2: Рз: Ра :
Р5:
с11 = (М1 = 0,М2 = 0,Мз = а, 5*1 — 0,52 = 0,5з = Ь),
с21 = (М1 = 0,М2 = 0,Мз = —а, = 0,52 = 0,5з = —Ь),
с12 = (М1 = а, М2 = 0,Мз = 0,51 = Ь,52 = 0,5з = 0),
с22 = (М1 = —а, М2 = 0,Мз = 0,51 = —Ь,52 = 0,5з = 0),
с1з = (М1 = 0,М2 = а, Мз = 0,51 = 0,52 = —Ь,5з = 0),
с2з = (М1 = 0,М2 = —а, Мз = 0,51 = 0,52 = Ь,5з = 0),
С14 = (М1 = а, М2 = 0,Мз = 0,51 = —Ь, 52 = 0,5з = 0),
С24 = (М1 = —а, М2 = 0,Мз = 0,51 = Ь, 52 = 0,5з = 0),
С15 = (М1 = 0,М2 = 0,Мз = а, 51 = 0,52 = 0,5з = —Ь),
С25 = (М1 = 0,М2 = 0,Мз = — а, 51 = 0,52 = 0,5з = Ь),
с1б = (М1 = 0,М2 = а, Мз = 0,51 = 0,52 = Ь,5з = 0),
с2б = (М1 = 0,М2 = —а, Мз = 0,51 = 0,52 = —Ь,5з = 0).
Рб:
Отметим, что остальным точкам Р7-Р9 не соответствует никакая особенность ранга 0. Узловые точки Р1 —Рб пересечения дискриминантных кривых образуют нульмерный остов бифуркационной диаграммы £, поскольку им отвечают особенности ранга 0 отображения момента. Выясним тип точек с^.
Хорошо известно [26], что в неподвижной точке матрица линеаризации канонических уравнений с гамильтонианом Н задает оператор Ан: Кб ^ Кб, у которого характеристический многочлен содержит только четные степени. Соответствующие собственные числа полностью определяют характер устойчивости, если все они различны. В силу вырожденности скобки (2.2) или, что то же самое, в силу наличия интегралов (2.3), два собственных числа оператора Ан нулевые. Обозначим через дн (ц) характеристический многочлен Ан, сокращенный на ц2. Очевидно, многочлен дн(ц) есть биквадрат. Заменяя в уравнениях (2.4) гамильтониан Н на первый интеграл К, той же процедурой получим оператор Ак и биквадратный трехчлен дк (ц).
Полагая Л = ц2, выпишем явно квадраты корней дн (ц) в точках Рк, к = 1,..., 6:
Р1:
Р2:
Рз:
Л1 = —4(2а2 + а1)(а2 + 2а1)[(а + Ь)а1 + 2Ьа2 ][2Ьа1 + (а + Ь)а2
Л2 = -|а1а2[(а, + 6)0:1 + 26а2][26о1 + (а + 6)а2](а2 + 2о1)2(2а2 + О!)2,
Л1 = 4(а2 + 2а1)(а1 — а2)[(а + Ь)а1 + (а — Ь)а2][—2Ьа1 + (а — Ь)а2](а1 + а2 )2а2, Л2 = -|а2(а1 + а2)[(а, + 6)01 + (а - 6)а2][-26о1 + (а - 6)а2](о1 - а2)2(а2 + 2а1)2,
Л1 = —4(2а2 + а1)(а1 — а2)[(а + Ь)а1 + (а — Ь)а2][(а + Ь)а1 + 2Ьа2](а1 + а2 )2а2, Л2 = -|а1(а1 + а2)[(а, + 6)о1 + (а - 6)а2][(а, + 6)01 + 26а2](о1 - а2)2(2а2 + а\)'2,
Рл
Р5
Рб
\1 = 4(а2 + 2а1}(а1 — а2)[(а — Ъ)а1 + (а + Ъ)а2][2Ъа1 + (а + Ъ)а2](а1 + а2) а2,
А2 = -|о2(а 1 + о2)[(а, - Ъ)а\ + (а + Ъ)а2}[2Ъа1 + (а + 6)0:2](«1 - о2)2(а2 + 2а1)2,
9
\1 = —4(2а2 + а1)(а2 + 2а1)[—2Ьа1 + (а — Ь)а2][(а — Ь)а1 — 2Ъа2]а\а2,
Л2 = —^0102[—26о1 + (а — 6)а2][(а, — 6)01 — 26а2](а2 + 2о1)2(2а2 + О!)2, 9
\1 = —4(2а2 + а1)(а1 — а2)[(а — Ъ)а1 — 2Ъа2 ][(а — Ъ)а1 + (а + Ъ)а2](а1 + а2 )2а1,
А2 = -^01(01 + а2)[(а, - Ъ)а\ - 2Ьа2][{а - Ь)а\ + (а + Ъ)а2](а\ - а2)2(2а2 + а^2. 9
Напомним, что в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы, имеющей два функционально независимых первых интеграла Н, К, тип неподвижной точки определяется для так называемых невырожденных точек. Критерий невырожденности состоит в том, что операторы Ан, Ак линейно независимы и найдется такая их линейная комбинация, у которой все собственные числа различны [27, 28]. Пусть А такая комбинация. Оператор А называется в этом случае регулярным элементом (алгебры симплектических операторов, порожденной парой Ан, Ак). Говорят, что неподвижная точка имеет тип «центр -центр», если все собственные числа А чисто мнимые, тип «седло-седло», если все они вещественные, и тип «центр-седло», если одна пара собственных чисел чисто мнимая, а вторая — вещественна. Теоретически имеется еще один случай, когда собственные числа А имеют вид (±а ± М) с аЪ = 0. Такие неподвижные точки называются фокусными. При этом характеристический многочлен регулярного элемента неприводим над М. Однако уже из полученных выражений для дн (р) следует, что в рассматриваемой задаче фокусных точек нет.
Для выбранных значений параметров а = 0.66, Ъ = 0.86, а1 = 1, а2 = 0.77 тип точек с^, которые являются особенностями ранга 0, определяется из следующей таблицы 1.
Таблица 1
<р4 ' а,ь Образ в М2(/?, А:) Тип
с11 С21 Р1 центр - центр
С12 С22 Р2 центр - седло
С13 С23 Рз центр - центр
С м С24 Ра центр - седло
С15 С25 Ръ центр - центр
С16 С26 Ре седло - седло
С учетом таблицы 1 и выбранных значений параметров а = 0.66, Ъ = 0.86, а1 = 1, а2 = 0.77 предполагаемая бифуркационная диаграмма £ показана на рисунке 2.
Рис. 2. Предполагаемая бифуркационная диаграмма Я и ее увеличенный фрагмент для значений параметров а = 0.66, Ь = 0.86, а\ = 1, а2 = 0.77.
6. Критические точки ранга 1 отображения момента
В этом разделе мы опишем явно некоторые критические точки ранга 1, которые лежат в прообразе дискриминантных кривых, соединяющих точки нульмерного остова , к = 1,..., 6. Мы не ставим целью найти все критические точки ранга 1, а существенно предполагаем, что вещественная часть дискриминатного множества содержит бифуркационную диаграмму. С одной стороны, это недостаток, поскольку о существовании общих теорем о включении бифуркационной диаграммы в вещественную часть дискриминантного множества на сегодняшний день нам не известно. С другой стороны, опыт исследования конкретных механических систем подсказывает, что это так.
Критические точки ранга 1 отображения момента Т удобно определять из условия
гапк(Я х К х х ) < 4, (6.1)
проверяя обращение в нуль миноров четвертого порядка. При этом можно использовать тот факт, что интегральные многобразия = {х еР^ь • Н(х) = Н,К(х) = к} инвариантны относительно преобразований фазовых координат
Т1: (М1 ,М2, Мз, Бь в2, БЗ) ^ (-М1М2, Ы3, -Бь Б2, БЗ), Т2: (М1 ,М2, Мз, Б1, Б2, БЗ) ^ М, -М2, М3, Бь -Б2, Б3), тз : (М1 ,М2, МЗ, Бъ Б2, Бз) ^ (М1 ,М2, -М3, Б1Б -БЗ).
Рассмотрим множество М1 неподвижных точек преобразования Т1:
М1 = {(М, Б) е рь : М1 = Б1 = 0}.
Множеству М1 заведомо принадлежат неподвижные точки системы (2.1): сц, С21, С13, С23, С15, С25, С16, С26. Исключая их, найдем пересечение М1 с оставшейся частью множества критических точек С.
Полагая в (6.1) Ы\ = =0, приходим к одному уравнению, которое представляет собой произведение двух полиномиальных выражений:
[(«1 + о?)5зМ2 + 0:26*2Мз - (о! + 2а2^бэ] х
о2(о!М3 + 3а26з)М23 - 3а1 [а!(а! + а2)Мз + 2а2(2а2 + а^з^М?2 + + {а^аМ + 3а25з)М32 + 3а!(2а2 + а!)6 - 5^)Мз + (2а2 + а!)2 х х [3522а2 - (2а! + 02)52]5з}М2 - [3а3(Мз + 5з)2 + 3а2а2М?2 + 60102(20? + 3а!)5зМз + + 3а2(5а! + 8а!а2 + 4а2)5| + (а! - а2)(2а2 + а1)2S"2]M352 = 0.
В первом случае критические точки ранга 1, которые принадлежат множеству М1, имеют следующую параметризацию:
' Мх = 61 =0,
(о! + о2)2[а262 - (б2 + 2аю2£)2]
(6.2)
М
52 =
11
а1(2а2 + а1)[а2 - Ь2 - 4а2(а1 + а2)£]
2 = [а2 - Ь2 + 201(01 + а2^]2[а2Ь2 - (Ь2 + 2а1 а?^2]
М2 — -
2 2
412а\(а1 + 2а2)[а2 - Ь2 - 4а2(а1 + а2)£]
Во втором случае критические точки ранга 1, которые также принадлежат множеству М1, определяются системой уравнений
М1 = 51 = 0,
2 [2(2о1 + о2)(2о2 + о^^2 + 2а2(2о1 + а2)(о! - 4а2)з + а2(а2 - 962)]2 х А1
М3 =
М
21 •
52 -53=
108а3(2а2 + а1)[а2 - 9Ь2 + 4§(2а1 + а2)(а1 - а2)][а2 - (2а2 + а1 )2в]2в2 [а1 а2 + 3Ь2(2а2 + а1) - 2а1(2а2 + а1)(2а1 + а2)в]2А1
12а1 (2а2 + а1 )[а2 - (2а2 + а^^^а2 - 9Ь2 + 4(2а1 + а2)(а1 - а2)в] где А1 = [а2 + 2(2а2 + а1)(а1 - а2)в]2 - 9а2Ь2.
(6.3)
Теперь рассмотрим множество М2 неподвижных точек преобразования Т2,
М2 = {(М, Б) е рь: М2 = 52 = 0},
которому принадлежат неподвижные точки системы (2.1): сц, С21, С12, С22, С14, С24, С15, С25. Как и в предыдущем случае, исключая их, найдем пересечение М2 c оставшейся частью множества критических точек С.
Полагая в (6.1) М2 = 62 = 0, приходим к одному уравнению, которое представляет собой по-прежнему произведение двух полиномиальных выражений:
[(о! + 02)5зМ1 + 0161М3 - (2о1 + 02)6163] х
х о2(о2Мз + 3о16з)М13 - 3о2[02(01 + 02)Мз + 201(201 + 02)636М? + + {о2(о2Мз + 3о16з)М32 + 3о2(2о1 + о?)^? - 632)Мз + (2о1 + 02)2 х х [36?о! - (202 + о!)6|]6з)}М1 + [3о2(М3 + 6з)2 + 3о201М32 + + 6о1 о2(3о2 + 2о1 )М363 + 3о1(5о2 + 8о1о2 + 4о2)6? -
(6.4)
- (о! - а?)(2о1 + а?)262]61Мз
0.
В первом случае критические точки ранга 1, которые принадлежат множеству М2, имеют следующую параметризацию:
( М2 = 5*2 = 0,
М
52 =
12
(«1 + о2)2 [а2Ь2 - (Ь2 + 2аю2£)2] а2 (а2 + 2а1)[а2 — Ъ2 — 4а1(а1 + а2)£]
2 _ [а2Ь2 - (Ъ2 + 2а1а2г)2}[а2 -Ь2 + 2о2(о1 + а2Щ М1 - 77) П- , чг.9 7~> 7" 7" , .
4£2а2(а2 + 2а1 )[а2 — Ъ2 — 4а1(а1 + а2 )£]
Во втором случае (6.4):
М2 = 52 = 0,
М
2 _ [2(2о2 + ск1)(2ск1 + а2)'Ав2 - 2а2(2а2 + а1)(4а1 - а2)в + а2{а2 - 962)]2А2
1У1о = ----------—-——-
22
52 =
108а3 (2а1 + а2)[а2 — 9Ъ2 — 4(2а2 + а1)(а1 — а2>][а2 — (2а1 + а2 )2в]2в2
[а2а2 + 362(2а1 + а2) - 2о2(2о2 + 01Х201 + а2)§]2А2
12а2(2а1 + а2)[а2 - (2аг + а2)28]2[а2 - 9Ь2 - 4(2а2 + 01X01 - а2)з]'
22
где А2 = [а2 — 2(2а1 + а2)(а1 — а2)в]2 — 9а2Ъ
Наконец, рассмотрим множество Мз неподвижных точек преобразования Тз,
Мз = {(М, Б) е рь: Мз = 5з = 0},
которому принадлежат неподвижные точки системы (2.1): С12, С22, С13, С23, С14, С24, сю, С26. Исключая их, найдем пересечение Мз с оставшейся частью множества критических точек С. Подставляя в (6.1) Мз = 5з =0, приходим к одному уравнению, которое представляет собой, как в предыдущих случаях, произведение двух полиномиальных выражений:
[(а1 — а2)5152 + а2М5 — а^М2] х
х |(а1 + а2)2[(а1 + а2)М2 — 3а152М — 3(а1 + а2)[а2М2(а1 + а2) + + 2а152(а1 — а2)]51М12 + [(а1 + а2 )2[(а1 + а2)М2 — 3а152]М22 —
— 3(а1 — а2)(а1 + а2)2 (52 — 5|)М2 — 52(а1 — а2)2(3512а1 + 52а + 2а25|)]М1 —
— 3а2(а1 + а2 )251 М2з + 6а2(а1 — а2 )5152М22 —
— М251 (а1 — а2)2 (252а1 + а2 52 + 3а252)} = 0.
В первом случае критические точки ранга 1, которые принадлежат множеству Мз, удовлетворяют системе уравнений:
( Мз = 5з = 0,
(6.5)
М
52 =
1з
о2 {а 6 - [Ь2 - 2а2{аг + о2Х]2} (а2 — а2)(а2 — Ъ2 + 4а1а2Ь)
2 {а2Ъ2 - [Ь2 - 2а2(а! + а2Щ2}[а2 - Ъ2 + 20:1(0:1 + а2Щ2
]\/12 —— о Ту 5 о *
4(а1 + а2)з(а1 — а2 )(а2 — Ъ2 + 4а1 a2í}í2
2
Во втором случае (6.5):
М
23 •
Мз = = 0,
м2 =
5? =
[2(о2 + 2ск1)(ск1 - а2) « + '2а\ах + 5о2)(о2 + 20:1)5 + а2(а2 - 9Ь2)]2А3 108(о:1 + а2)3(о1-а2)[а2 - (01-02)25]2[а2 - 962 + 4(2а2+01)(а2+201)ф2'
[(о1 + о2)а2 + 362(о1 - а2) - 2(а? - а?)(а2 + 2а1 )в]2А3 12(о2 - о2)[а2 - (о1 - а2)28]2[а2 - 9Ь2 + 4(2а2 + 01)(а2 + 201)5]'
22
где А3 = [а2 + 2(а1 - а2)(2а2 + а1)в]2 - 9а2Ь2.
Здесь параметры Ь и в одновременно являются параметрами дискриминантных кривых 71 и 72 соответственно. Поскольку левые части выражений для семейств содержат квадраты фазовых переменных, то правые части должны быть неотрицательными. В таблице 2 приведены соответствующие области изменения параметров Ь и в для выделения вещественных решений из семейств ЛЛ^. Здесь использованы следующие значения параметров: а = 0.66, Ь = 0.86, а1 = 1, а2 = 0.77.
Таблица 2
Кривая Семейство Область существования Сегмент кривой
71 Мп [*1;*5] и [*з;*б] [Р1 Ръ] и [Р3 Ре]
71 М12 [*1;*б] и [*4;*2] [Р1 р5] и [Р4 Р2]
71 м13 [*з;*4] и [*6;*2] [Рз Ра] и [Ре Р2]
72 М21 [в3; «1] и [в5; в6] [Рз Р1] и [Р5 Ре]
72 Мо 2 [в2; «1] и [в5; в4] [Р2 Р1] и [Р5 Ра]
72 М2 3 [в3; «2] и [в6; в4] [Рз Р2] и [Р6 Ра]
Таким образом, приведенные выражения и области изменения параметров позволяют выделить сегменты дискриминантных кривых, которые вместе с узловыми точками р-р и определяют бифуркационную диаграмму £ отображения момента Т. Напомним, что наш алгоритм работает при условии, что вещественная часть дискриминантного множества содержит бифуркационную диаграмму.
В качестве приложения полученных выражений вычислим тип критических точек ранга 1. При этом достаточно определить тип (эллиптический/гиперболический) в какой-нибудь одной из точек (Н,к) € £ гладкой ветви бифуркационной диаграммы [29]. Мы это сделаем для критических точек ранга 1 из семейств М11 и М21, которые принадлежат множеству М1 и имеют явную параметризацию в виде формул (6.2) и (6.3).
Тип критической точки Хо ранга 1 в интегрируемой системе с двумя степенями свободы вычисляется следующим образом. Необходимо указать первый интеграл Р, такой, что (1Р(хо) = 0 и с!Р = 0 в окрестности этой точки. Тогда, в частности, точка Хо оказывается неподвижной для гамильтонова поля sgrad Р и можно вычислить линеаризацию этого поля в точке Хо — симплектический оператор Ар в четырехмерном касательном пространстве к фазовому пространству в точке хо. Этот оператор будет иметь два нулевых собственных числа, оставшийся сомножитель характеристического многочлена имеет вид /л2 - Ср. При Ср < 0 получим точку типа «центр» (соответствующее периодическое решение имеет
эллиптический тип, является устойчивым периодическим решением в фазовом пространстве, пределом концентрического семейства двумерных регулярных торов), а при Cf > 0 получим точку типа «седло» (соответствующее периодическое решение имеет гиперболический тип, существуют движения, асимптотические к этому решению, лежащие на двумерных сепаратрисных поверхностях).
В нашей задаче ситуация осложнена тем, что фазовое пространство задано в R6 двумя неявными уравнениями (2.5) и вычислять ограничения операторов на касательные пространства затруднительно. Однако функции в левых частях уравнений (2.5) служат функциями Казимира для естественного продолжения на R6 скобки Пуассона симплектической структуры пространства S2 х S2, поэтому при вычислении симплектических операторов вида Af они лишь добавят два нулевых корня в характеристический многочлен, имеющий в целом шестую степень. Таким образом, мы заранее знаем, что при условии sgrad F = 0 искомый коэффициент Cf есть коэффициент при р4 в характеристическом многочлене Zf (р) оператора Af в R6:
Zf (р) = р4(р2 - Cf).
Сам же оператор Af вычисляется и при наличии вырожденных скобок Пуассона (для рассматриваемого здесь пространства R6 они определены явно формулами (2.2)). Отметим, что при вычислении характеристического многочлена через определитель соответствующей (6 х 6)-матрицы трудности для некоторых функций оказываются слишком высоки даже при использовании мощных современных систем аналитических вычислений. Однако, заранее зная в данном случае структуру искомого многочлена, можем найти
CF = | trace (A2f).
Предложение 2. Тип критических точек ранга 1, заданных системами (6.2) и (6.3), определяется знаками квадратов характеристических показателей
р2 =
[16(ai - a2)2(2a2 + ai)2(2ai + a2)2s3 - a2(a2 - 9b2)2][a2 + 3b2 - 4(a2 + aa + a2)s]2
324s4
[16^ ,2^,2^,2+3 2 b2)2l[„ 2 , 3 2 4(,
2 [16а?а2а2£3 - Ь2(а2 - Ь2)2][а2 + 3Ь2 - 4(а? + аа + а|)^]2 , ч " =-^-' (6-6)
где Ь и в — значения параметров в соответствующей точке (6.2) и (6.3) кривых 71 и 72. Критические точки имеют тип «центр» при р2 < 0 и тип «седло» при р2 > 0. При р = 0 критические точки вырожденны. На кривых 71 и 72 множество вырожденных критических точек отвечает точкам возврата и точке касания.
Доказательство. Рассмотрим функцию Ь = Н + аК. Вычисляя ее косой градиент в точках (6.2) и (6.3) и приравнивая его к нулю, найдем
а = —^ в точках Мц и а = —в точках М-21- (6-7)
Полученные поля sgrаd Ь обращаются в нуль лишь в самих рассматриваемых точках (6.2) и (6.3), но не в окрестности, а следовательно, основное требование к интегралу Ь выпол-1
2
но. Найденные выражения средствами компьютерной алгебры разлагаются на множители,
нено. Вычислим - trace (А^), подставим значения (6.7), затем — (6.2) и (6.3) соответствен-
Таблица 3
Кривая Сегмент на кривой Тип
71 (Pi;P5) э л липтиче ский
71 (P2;P6)U(P6;Qo)U(Q0;Q2) гиперболический
71 (P3;P4)U(P4;Q2) э л липтиче ский
72 (Pi;P2)U(P2;P3) э л липтиче ский
72 (P5;QO)U(QO;QI) э л липтиче ский
72 (P4;P6)U(P6;g1) гиперболический
которые дают искомые значения (6.6). Характер критических точек определяется знаком величин (6.6). Тот факт, что при равенстве этой величины нулю критические точки вырож-денны (то есть нельзя указать другого интеграла с ненулевым характеристическим значением), вытекает из того, что коэффициент при H в функции L отличен от нуля (он просто равен единице), а равенство dH = 0 приводит к критическим точкам ранга 0. Связь множества ¿t2 = Ос геометрическими свойствами кривых 7^2 проверяется непосредственно. ■
Для выбранных значений параметров a = 0.66, b = 0.86, ai = 1, = 0.77 тип критических точек ранга 1 определяется из таблицы 3.
7. Заключение
В работе приводится в явном виде спектральная кривая, коэффициентами которой являются первые интегралы рассматриваемого интегрируемого случая Адлера и ван Мёр-беке. Дискриминантное множество спектральной кривой представлено в виде объединения поверхностей кратных корней двух многочленов. С помощью критических точек ранга 0 и 1 отображения момента предлагается алгоритм выделения бифуркационной диаграммы отображения момента из вещественной части дискриминантного множества. Алгоритм работает при условии, что вещественная часть дискриминантного множества содержит бифуркационную диаграмму.
Благодарности
Авторы выражают благодарность А. В. Борисову и И. С. Мамаеву за плодотворные обсуждения и ценные советы, касающиеся как содержания работы, так и методологии исследования.
Список литературы
[1] Adler M., van Moerbeke P.A. A new geodesic flow on so(4) // Probability, Statistical Mechanics
and Number Theory: A Volume Dedicated to Mark Kac / G.-C.Rota (Ed.). (Adv. Math. Suppl.
Stud., vol.9.) Orlando, Fla.: Acad. Press, 1986. P. 81-96.
[2] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв.
АН СССР. Сер. Матем., 1978, т. 42, №2, c. 396-415.
[3] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу, 1979, т. 19, с. 3-94.
[4] Борисов А. В., Мамаев И. С., Соколов В. В. Новый интегрируемый случай на so(4) // Докл. РАН, 2001, т. 381, №5, с. 614-615.
[5] Greenhill A. G. On the general motion of a liquid ellipsoid under the gravitation of its own parts // Proc. Cambridge Philos. Soc., 1880, vol.4, pp.4-14.
[6] Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельной жидкостью: I, II, III // Собр. соч.: Т. 1 / Н.Е.Жуковский. Москва: ГИТТЛ, 1949. С.31-152.
[7] Poincare H. Sur la precession des corps deformables // Bull. Astron., 1910, vol.27, pp. 321-356.
[8] Моисеев Н.Н., Румянцев В. В. Динамика твердого тела с полостями, содержащими жидкость. Москва: Наука, 1965. 440 с.
[9] Stekloff V. A. Sur le movement d'un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale remplie par un liquide incompressible et sur les variations des latitudes // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (3), 1909, vol. 1, pp. 145-256.
[10] Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия: Методы и приложения. Москва: МГУ, 1988. 413 с.
[11] Adler M., van Moerbeke P., Vanhaecke P. Algebraic integrability, Painleve geometry and Lie algebras. (Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), vol.47.) Berlin: Springer, 2004. 483pp.
[12] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: УдГУ, 1995. 432 с.
[13] Борисов А. В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 296 с.
[14] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела: Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 576 с.
[15] Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. Москва: Наука, 1991. 320 c.
[16] Audin M. Spinning tops: A course on integrable systems. (Cambridge Stud. Adv. Math., vol.51.) Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. 148 pp.
[17] Браилов Ю.А. Геометрия сдвигов инвариантов на полупростых алгебрах Ли // Матем. сб., 2003, т. 194, №11, c. 3-16.
[18] Рябов П.Е. Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач // Механика твердого тела, 2007, №37, с. 97-111.
[19] Bolsinov A. V., Oshemkov A. A. Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable systems // Regul. Chaotic Dyn., 2009, vol. 14, nos. 4-5, pp. 431-454.
[20] Коняев А. Ю. Бифуркационная диаграмма и дискриминант спектральной кривой интегрируемых систем на алгебрах Ли // Матем. сб., 2010, т. 201, №9, c. 27-60.
[21] Bolsinov A., Izosimov A. Singularities of Bi-Hamiltonian systems // Comm. Math. Phys., 2014, vol.331, no. 2, pp. 507-543.
[22] Ryabov P. E. New invariant relations for the generalized two-field gyrostat //J. Geom. Phys., 2015, vol.87, pp.415-421.
[23] Izosimov A. Singularities of integrable systems and algebraic curves // Int. Math. Res. Notices, 2016, vol.2016, no. 17, 50pp.
[24] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. A new integrable case of the motion of the 4-dimen-sional rigid body // Comm. Math. Phys., 1986, vol. 105, no.3, pp. 461-472.
[25] Болсинов А. В., Борисов А. В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли // Матем. заметки, 2002, т. 72, №1, c. 11-34.
[26] Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Москва: Наука, 1966. 531 с.
[27] Lerman L.M., Umanskii Ya.L. Structure of the Poisson action of R2 on a four-dimensional symplectic manifold: 1 // Selecta Math. Sov., 1987, vol.6, no. 4, pp. 365-396.
[28] Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы: Геометрия, топология, классификация: В 2-х тт. Ижевск: УдГУ, 1999. 444 с.; 448 с.
[29] Болсинов А. В., Борисов А. В, Мамаев И. С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // УМН, 2010, т. 65, №2, с. 71-132.
The discriminant set and bifurcation diagram of the integrable case of M. Adler and P. van Moerbeke
Pavel E. Ryabov1, Ekaterina O. Biryucheva2
1 Financial University under the Government of Russian Federation Leningradsky pr. 49, Moscow, 125993, Russia
Blagonravov Institute for Machine Science, Russian Academy of Sciences ul.Bardina 4, Moscow, 119334, Russia
Moscow Institute of Physics and Technology (State University) Institutskiy per. 9, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701, Russia
2 Lomonosov Moscow State University Leninskie Gory 1, Moscow, 119991, Russia
1peryabov@fa.ru, 2biryucheva.katerina@gmail.com
The paper presents explicitly the spectral curve and the discriminant set of the integrable case of M. Adler and P. van Moerbeke. For critical points of rank 0 and 1 of the momentum map we explicitly calculate the characteristic values defining their type. An algorithm is proposed for finding the bifurcation diagram from the real part of the discriminant set with the help of critical points of rank 0 and 1. The algorithm works under the condition that the real part of the discriminant set contains the bifurcation diagram.
MSC 2010: 70E05, 70E17, 37J35, 34A05
Keywords: integrable Hamiltonian systems, spectral curve, discriminant set, bifurcation diagram
Received August 29, 2016, accepted September 20, 2016
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2016, vol. 12, no. 4, pp. 633-650 (Russian)
