Дискретные усреднённые математические модели однотактных преобразователей постоянного напряжения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.316

ДИСКРЕТНЫЕ УСРЕДНЁННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОТАКТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПОСТОЯННОГО

НАПРЯЖЕНИЯ

Р.А. Катаев

Предложены дискретные усреднённые математические модели однотактных импульсных преобразователей постоянного напряжения, основанные на представлении каждого из преобразователей как совокупности типовых блоков. Математические модели типовых блоков также представлены в статье. Проведён анализ точности предложенной модели.

Ключевые слова: дискретная математическая модель, усреднённая модель, импульсный преобразователь, пространство состояний, система управления.

Импульсные преобразователи электрической энергии находят широкое применение в источниках питания промышленной и бытовой аппаратуры. В связи с бурным развитием и удешевлением микроэлектронных устройств, в настоящее время стало возможным и перспективным построение системы управления такими преобразователями на основе микроконтроллеров. Цифровая система управления обладает множеством преимуществ по сравнению с аналоговой. Вместе с тем, несколько отличается подход при проектировании преобразователей с цифровой системой управления. Это связано с появлением дискретизации по времени и появлением дополнительных задержек в контурах обратной связи.

Цель данной статьи - предложить и обосновать дискретную математическую модель типовых схем однотактных преобразователей, необходимую для проектирования цифровой системы управления.

Декомпозиция задачи. На рис.1 (а, б, в) приведены схемы однотактных преобразователей постоянного напряжения. Работа таких преобразователей подробно описана в [1].

Несмотря на различия, все три схемы содержат одинаковые подсхемы:

1. Транзисторный полумост VT1-VT2 с индуктивностью L на выходе.

2. Ёмкость C с нагрузкой, которая представлена как функция тока от выходного напряжения iouT (vOUT).

Схемы различаются лишь подключениями данных подсхем между собой и к напряжению vin . Таким образом, рационально получить математические модели общих подсхем, а затем уже получить результирующие модели. Еще больший смысл это приобретает, если учесть что данные подсхемы встречаются и в других видах преобразователей, что позволяет ис-

пользовать их для анализа других типов ШИМ преобразователей, конечно в рамках сделанных при разработке моделей допущений.

Рис. 1. Схемы однотактных двунаправленных ШИМ преобразователей постоянного напряжения: а - понижающий; б - повышающий;

в - инвертирующий

Дискретные математические модели общих подсхем.

Общие подсхемы указанных преобразователей приведены на рис.2. Поскольку принцип работы рассматриваемых преобразователей основан на дискретной коммутации силовых электронных ключей и управление преобразователем производится с помощью микроконтроллера в дискретной форме, то необходимо получение дискретных математических моделей подсхем.

Получение дискретной математической модели подсхемы №1. Введем понятие коммутационной функции с единичной амплитудой:

1 1е[0, 1оы ]

0 1 е [Оы, Т]

где - момент времени, когда происходит переключение, Т - период ШИМ. При работе схемы ключи УТ1 и УТ2 принимают следующие состояния:

1 е [0,]: УТ1 замкнут, УТ2 разомкнут ,

1 е [Оы,Т]: УТ 1 разомкнут, УТ2 замкнут .

а (г) =

V

V

2

Рис. 2. Общие подсхемы рассматриваемых преобразователей: а - подсхема №1, б - подсхема №2

Применив к подсхеме №1 на рис.2 первый и второй законы Кирхгофа, запишем основные соотношения необходимые для дальнейших выкладок.

^Ж (/) • ), (2)

где v(í) - мгновенное значение напряжения на ключе УТ 2, VI - напряжение входного источника.

(1) = у(*) - У2(*), (3)

где Уь - мгновенное значение напряжения на индуктивности Ь, - на-

пряжение источника подключенного к выходу.

Ч(* ) = Ж О ) • ¡ь О ), (4)

где /1 - мгновенное значение тока потребляемого от входного источника, ¡Ь - ток через индуктивность Ь.

Для вывода математической модели подсхемы будем учитывать,

что

(,)=.

Ь Ж

Подставляя данное выражение в (3), а также учитывая выражение (2), представим математическую модель первого порядка для мгновенных значений в переменных состояния в виде:

(0 = уЖ(0 • МО - уЫО (5)

ш ь ь

Произведя усреднение данной модели за период ШИМ [2], запишем её в следующем виде:

^{ч) (1) = ^ ) - ь (^)(? ) (6)

Для дальнейших преобразований введём несколько допущений.

Допущение 1: Напряжение VI - медленно меняется на периоде ШИМ. Из данного допущения, в соответствие с [2], следует

(а • П)(^) = (¿)(г) • Ы(г) (7)

тогда уравнение (5) примет вид

)=а)(г) •м^) - ь Ы(г) (8)

Определим дискретную модель, рассматривая переменные в дискретные моменты времени относительно периода коммутации Т0:

1 кТ0 \

{ч >[к ] = ¡ь [к -1] + - I ((Ж) (г) • (п)(г) - ^)(г ))а (9)

ь (к-1)То

Допущение 2: Напряжения У1 и - медленно меняются на периоде дискретизации То. Данное допущение приемлемо, так как в современных

микропроцессорах легко реализуется частота дискретизации равная или в два раза выше частоты ШИМ. Допущение 2 позволяет рассматривать напряжения входящие в подынтегральное выражение (9) как константы, численно равные мгновенным значениям напряжения в конце (к -1) -го такта. Таким образом, выражение (9) примет вид

{'I )[к ] = /ь [к -1]+Т0 «а) [к -1] • (V, )[к -1] - (У2)[к -1]), (10)

где То - период дискретизации системы, к - номер отсчёта.

Выражение (10) является дискретной математической моделью, описывающей подсхему №1 в рамках принятых допущений 1 и 2.

Получение дискретной математической модели подсхемы №2. Запишем модель для мгновенных значений, также в переменных состояния

(г) = С • '1(г) - С '2(г ^ (11)

где vc (г) - мгновенное значение напряжения на ёмкости С, ¡1 - суммарный входной ток подсхемы, ¡2 (г) - ток нагрузки, которая представлена в виде источника тока.

Соответствующая усредненная за период ШИМ модель будет иметь

вид

а^с)(г)=С • {¡1)(г) - с (¡2>(г). (12)

Дискретную модель в усреднённых переменных состояния запишем

в виде:

1 кТ0 \

ЫМ = vc[k -1] + - • ¡{(Кг) - ('2)(г))л, (13)

С (к-1)Т)

Допущение 3. Среднее значение токов ¡1 и ¡2 неизменно не периоде

ШИМ и равно мгновенному значению токов в начале периода. Данное допущение позволяет преобразовать выражение (13) к следующему виду:

{va )[* ] = VC [k -1] + T0 •«htk -1] - № -1]), (14)

Выражение (14) является усреднённой дискретной математической моделью, описывающей подсхему №2 в рамках допущения 3.

Усредненные дискретные математические модели рассматриваемых преобразователей в пространстве состояний.

Получим уравнения движения в пространстве состояний для преобразователей представленных на рис.1. Отметим, что уравнения выхода составляются в зависимости от выбранных выходных величин. Переменными состояния во всех случаях будут являться средний ток индуктивности L: (ji )[k] и напряжение на емкости C: (ус )[k]. Внешними воздействиями

являются управляющее воздействие d[k -1] и входное напряжение

Ы )[k -1].

Приведем соответствие токов и напряжений в общих подсхемах (рис.2) и схемах преобразователей (рис. 1), в табл.1 и табл.2.

Таблица 1

Соответствие напряжений и токов общей подсхемы №1 соответствующим параметрам в схемах преобразователей (рис.1)

ис. 2а Понижающий Повышающий Инвертирующий

v1 vIN vOUT vIN + vOUT

v2 vOUT vIN vOUT

Таблица 2

Соответствие токов общей подсхемы №2 соответствующим пара_________ метрам в схемах преобразователей (рис. 1)_________________

Рис. 2б Понижающий Повышающий Инв ертирующий

j1 jL d • jL (1 - d > jL

Подставим соответствующие для каждого из преобразователей значения токов и напряжений из табл.1 в выражение (10), получим для понижающего преобразователя:

Ц [k ] = iL [k -1]+T°< d) [k -1] • (v,N >[k -1] - (vour )[k -1], (15)

повышающего преобразователя:

Ы [k ] = ii[k -1]+T°( d) [k -1] • (vour )[k -1] - (viN )[k -1], (16)

инвертирующего преобразователя:

(¡l) [k ] = iL [k -1]+T0< d) [k -1] •«vm )[k -1] + (vour >[k -1])- (viN >[k -1] .(17)

Подставим соответствующие для каждого из преобразователей значения токов из табл.2 в выражение (14), получим для понижающего преобразователя:

{va >[k] = va [k -1] + T0 •«l[k] - {'OUT%k]), (18)

повышающего преобразователя:

^C )[k ] = vc [k -1] + TO • ({d'4 )[k ] - {'OUT )[* ]), (19)

инвертирующего преобразователя:

{vc )[k] = vc [k -1] + TO •«(' - d) • >L )[k] - {'OUT)[k]). (20)

Допущение 4. Гармонические искажения тока индуктивности il являются незначительными.

Запишем результирующие дискретные математические модели для понижающего преобразователя:

iL >[k ] = 'l [k -1] + TO < d >[k -1] • {viN >[k -1] - {v<)UT >[k -1],

vc >[k ] = vc [k -1] + T0 •«L )[k ] - (iOUT >[k ]) повышающего преобразователя:

(i-l) [k ] = iL [k -1] + T°( d) [k -1] • {vout )\k -1] - (viN )[k -1],

(21)

(vc )[k ] = vc [k -1] + -0 ■ ((d) [k ] ■ (,L )[k ] - {,qut )[k ])i

T0

c

инвертирующего преобразователя:

T0

(22)

IL )[k ] = L [k -1] + T°( d) [k -1] • ((viN )[k -1] + (vout )[k -1])- Ы )[k -1],

vc )[k] = vc [k -1] + TO • ((1 - d[k]) • d[k] - {out \k])

(23)

Анализ точности дискретных математических моделей.

Для исследования точности дискретных математических моделей рассматриваемых подсхем нужно произвести сравнение АЧХ и ФЧХ моделей и подсхем, которые этими моделями описываются. На основе сравнения АЧХ и ФЧХ схемы и её модели сделаем вывод о точности модели.

Произведём сравнение результатов моделирования подсхемы №1 и соответствующей ей модели (рис.3). Как видно из графиков, АЧХ и ФЧХ схемы и модели совпадают, что позволяет говорить о точности полученной

242

модели в рамках указанных выше допущении.

500 1000 а

500 1000 б

Рис. 3. Сравнение результатов моделирования подсхемы №1 и соответствующей ей модели: а - АЧХ; б - ФЧХ подсхемы №1 и её

модели

Выводы. В статье были предложены усреднённые дискретные математические модели однотактных импульсных преобразователей постоянного напряжения. Также были сформулированы несколько допущений о токах и напряжениях в моделируемых схемах, позволяющие вывести данные модели. Предложенные модели позволяют описывать поведение схем импульсных преобразователей и могут применяться при проектировании цифровых систем управления преобразователей. Однако при проектировании следует иметь в виду, что в реальных устройствах допущения, при которых справедливы модели, могут выполняться с той или иной точностью.

Список литературы

1. В.И. Мелешин. Транзисторная преобразовательная техника. Техносфера, 2005. 632 с.

2. Sanders, Seth R., Noworolski, J. M., Liu, Xiaojun Z., Verghese, George C, “Generalized Averaging Method for Power Conversion Circuits.” IEEE Trans. Power Electron., vol. 2, NO. 2. APRIL 1991.

3. Hsu S., Brown A., Rensink L., Middlebrook R. D. Modeling and Analysis of Switching DC-to-DC Converters in Constant-Frequency Current-Programmed Mode // IEEE PESC Proceedings. 1979.

4. И.В.Капустин. «Разработка математической модели автономного инвертора с двойным преобразованием, как объекта управления промежуточным напряжением», Практическая силовая электроника №47 2012.

Катаев Роман Алексеевич, аспирант, kalaev@shl.yl.сот, Россия, Тула, Тульский государственный университет

AVERAGED DISCRETE MATHEMATICAL MODELS OF SINGLE-ENDED PWM DC-DC

CONVERTERS

R.A. Kataev

Proposed averaged discrete mathematical models of single-cycle pulse DC converters based on the representation of each of the transducers as a combination of some of typical units. Mathematical models of block types are also presented in the article. The analysis of the accuracy of the model is performed.

Key words: averaged discrete mathematical model, pulse converter, the space of states, sampling, control system.

Kataev Roman Alekseevich, postgraduate, kataev@shtyl. com, Russia, Tula, Tula State University

УДК 004.9: 681.518

АЛГОРИТМ ПЕРЕДАЧИ ИЗОБРАЖЕНИЯ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ ПОСТОЯННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

Б.В. Костров, Н.Н. Гринченко, Д.С. Степанов, А.Г. Упакова

Рассмотрены методы повышения эффективности передачи изображений по каналам связи. Повышение эффективности достигается за счет использования разработанного авторами оригинального алгоритма передачи спектрального представления изображения без постоянных составляющих (с их последующим восстановлением) с использованием помехоустойчивых кодов.

Ключевые слова: передача изображений, преобразование Уолша-Адамара, помехоустойчивое кодирование.

При проектировании современных систем передачи изображений одной из важнейших является задача обеспечения высокой достоверности и скорости передачи данных. При этом так же необходимо стремиться к минимизации энергетических затрат на передачу изображений. Уменьшение энергетических затрат можно использовать для снижения мощности передатчика, повышения скорости передачи данных, существенного уменьшения размеров очень дорогих антенн, увеличения дальности связи, экономии полосы частот и улучшения большого количества других важных свойств систем передачи данных.

Для достижения этих целей целесообразно использовать спектральное представление изображения. Изображение по своей природе является двумерным пространственным сигналом, поэтому спектральный его образ также будет двумерным. Однако логика функционирования канала передачи данных такова, что передача изображения ведётся последовательно