CC BY
79
The variant of energy-saving system of automatic regulation with digital filters is proposed. The methodology for the calculation of such a system is described. A comparative analysis of the quality of transient processes in energy-saving control system and the relevant single circuit systems is performed.
Key words: energy-saving system of automatic regulation, digital filter, quadratic integral criterion of quality, transition processes.
Sobolev Alexey Valerevich, candidate of technical science, docent, manager of department, AlexSobolev 75@mail. ru, Russia, Novomoskovsk, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia (Novomoskovsk Institute),
Lyashenko Alexander Ivanovich, leading programmer, alexlyashenko a Jive.ru, Russia, Novomoskovsk, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia (Novomoskovsk Institute),
Soboleva Julia Vladimirovna, applicant, Soboleva2135@rambler.ru, Russia, Novomoskovsk, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia (Novomoskovsk Institute),
Vent Dmitriy Pavlovich, doctor of technical science, professor, manager of department, dventa.list.ru. Russia, Novomoskovsk, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia (Novomoskovsk Institute)
УДК 621.316
УСРЕДНЁННЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОТАКТНЫХ ШИМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПОСТОЯННОГО
НАПРЯЖЕНИЯ
Р.А. Катаев
Предложены усреднённые дискретные математические модели однотактных импульсных преобразователей постоянного напряжения, основанные на представлении каждого из преобразователей как совокупности неких типовых блоков. Математические модели типовых блоков также представлены в статье. Проведён анализ точности предложенной модели.
Ключевые слова: усреднённая дискретная математическая модель, импульсный преобразователь, пространство состояний, дискретизация, система управления.
Импульсные преобразователи электрической энергии находят широкое применение в источниках питания промышленной и бытовой аппаратуры. В связи с бурным развитием и удешевлением микроэлектронных устройств, в настоящее время стало возможным и перспективным построение системы управления такими преобразователями на основе мик-
роконтроллеров. Цифровая система управления обладает множеством преимуществ по сравнению с аналоговой. Вместе с тем, несколько отличается подход при проектировании преобразователей с цифровой системой управления. Это связано с появлением дискретизации по времени и появлением дополнительных задержек в контурах обратной связи.
Цель данной статьи - предложить и обосновать дискретную математическую модель типовых схем однотактных преобразователей, необходимую для проектирования цифровой системы управления.
Декомпозиция задачи
На рис.1 (а, б, в) приведены схемы однотактных преобразователей постоянного напряжения. Работа таких преобразователей подробно описана в [1].
Несмотря на различия, все три схемы содержат одинаковые подсхемы:
1.Транзисторный полумост УТ1-УТ2 с индуктивностью Ь на выходе.
2.Ёмкость С с нагрузкой, которая представлена как функция тока от выходного напряжения Оит (уОит).
Рис. 1. Схемы однотактных двунаправленных ШИМ преобразователей постоянного напряжения: а - понижающий; б - повышающий; в - инвертирующий
Схемы различаются лишь подключениями данных подсхем между собой и к напряжению уш . Таким образом, рационально получить математические модели общих подсхем, а затем уже получить результирующие модели. Еще больший смысл это приобретает, если учесть что данные подсхемы встречаются и в других видах преобразователей, что позволяет использовать их для анализа других типов ШИМ преобразователей, конечно в рамках сделанных при разработке моделей допущений.
209
Дискретные математические модели общих подсхем. Общие подсхемы указанных преобразователей приведены на рис.2. Поскольку принцип работы рассматриваемых преобразователей основан на дискретной коммутации силовых электронных ключей и управление преобразователем производится с помощью микроконтроллера в дискретной форме, то необходимо получение дискретных математических моделей подсхем.
б
С
Ч<Ус)
Рис. 2. Общие подсхемы рассматриваемых преобразователей: а - подсхема №1; б - подсхема №2
а а) =
Получение дискретной математической модели подсхемы №1.
Введем понятие коммутационной функции с единичной амплитудой:
1 1е[0, 1оы ]
Д 1 е [Оу, Т] , (1)
где - момент времени, когда происходит переключение, Т - период ШИМ. При работе схемы ключи УТ1 и УТ2 принимают следующие состояния:
1 е [0,1Оы ] : УТ1 замкнут УТ2 разомкнут 1 е [1Оы, Т]: УТ1 разомкнут УТ2 замкнут
Применив к подсхеме №1 на Рис.2 первый и второй законы Кирхгофа, запишем основные соотношения необходимые для дальнейших выкладок.
Л1) = й (7) • ), (2)
где у(г) - мгновенное значение напряжения на ключе УТ 2, у1 - напряжение
входного источника.
VЬ (1) = Ч1) - ^2(г ), (3)
где VI - мгновенное значение напряжения на индуктивности Ь, у2 - на-
пряжение источника подключенного к выходу.
Ч(*) = й (1) • *Ь (1), (4)
а
V
2
где 11 - мгновенное значение тока потребляемого от входного источника, 1Ь - ток через индуктивность Ь .
Для вывода математической модели подсхемы будем учитывать,
что
. , г Жт (1)
^Ь(1) = .
ш
Подставляя данное выражение в (3), а также учитывая выражение (2), представим математическую модель первого порядка для мгновенных значений в переменных состояния в виде:
^(1) = у ш (1) • vl(t) -1). (5)
ш Ь Ь
Произведя усреднение данной модели за период ШИМ [2], запишем её в следующем виде:
Ш {1ь) (1) = Ь(ш • ^) - Ь )(1). (6)
Для дальнейших преобразований введём несколько допущений. Допущение 1: напряжение V! - медленно меняется на периоде
ШИМ. Из данного допущения, в соответствие с [2], следует
(ш • ^)=(ш)(1) • ) (7)
тогда уравнение (5) примет вид
^ь) (1)=Ь(ш)(1) • (^) - -Ь^^(1). (8)
Определим дискретную модель, рассматривая переменные в дискретные моменты времени относительно периода коммутации Т):
1 кТ0 \
(,ь)[к] = Ь[к-1]+- I (<ш)(0 • (п)(г) - Ы(0)Ш1 (9)
Ь (к-1) То
Допущение 2: напряжения Vl и V2 - медленно меняются на периоде дискретизации То. Данное допущение приемлемо, так как в современных микропроцессорах легко реализуется частота дискретизации равная или в два раза выше частоты ШИМ. Допущение 2 позволяет рассматривать напряжения входящие в подынтегральное выражение (9) как константы, численно равные мгновенным значениям напряжения в конце (к -1) -го такта. Таким образом, выражение (9) примет вид
{>1 >[к ] = т [к -1] + ТО ((ш)[к -1] • <п)[к -1] - V )[к -1]), (10)
где То - период дискретизации системы, к - номер отсчёта.
Выражение (10) является дискретной математической моделью, описывающей подсхему №1 в рамках принятых допущений 1 и 2.
Получение дискретной математической модели подсхемы №2.
Запишем модель для мгновенных значений, также в переменных состояния
(1) = ^ • >1(1) - -1 >2(1 ), (11)
ш С С
где vC (1) - мгновенное значение напряжения на ёмкости С, < - суммарный
входной ток подсхемы, >2(1) - ток нагрузки, которая представлена в виде источника тока.
Соответствующая усредненная за период ШИМ модель будет иметь вид
}(‘) = С (>1)(‘) - С ^). (12)
Дискретную модель в усреднённых переменных состояния запишем в виде:
1 к Т0 \
(Ск = vс[k-1] + -■ Д(<1>(0 - Ы(0Ш, (13)
С (к-1>Т)
Допущение 3. Среднее значение токов < и <2 неизменно не периоде ШИМ и равно мгновенному значению токов в начале периода.
Данное допущение позволяет преобразовать выражение (13) к следующему виду:
>[к ] = vс [к -1] + Та • «<1 )[к -1] - <>2)[к -1]), (14)
Выражение (14) является усреднённой дискретной математической моделью, описывающей подсхему №2 в рамках допущения 3.
Усредненные дискретные математические модели рассматриваемых преобразователей в пространстве состояний. Получим уравнения движения в пространстве состояний для преобразователей представленных на Рис.1. Отметим, что уравнения выхода составляются в зависимости от выбранных выходных величин. Переменными состояния во всех случаях будут являться средний ток индуктивности Ь: (<ь )[к ] и напряжение на емкости С: {ус )[к]. Внешними воздействиями являются управляющее воздействие (Щ. )[к -1] и входное напряжение ^IN )[к -1].
Приведем соответствие токов и напряжений в общих подсхемах (Рис.2) и схемах преобразователей (Рис. 1), в табл.1 и табл.2.
Подставим соответствующие для каждого из преобразователей значения токов и напряжений из табл.1 в выражение (10), получим для понижающего преобразователя
{'ь >[к ] = 'ь [к -1] + Т0{ ш) [к -1] • {*т )[к -1] - (VоиТ >[к -1] (15)
повышающего преобразователя
{'Ь >[к ] = 'Ь [к -1] + у( ш) [к -1] • Ыгт )[к -1] - ы )[к -1] (16)
инвертирующего преобразователя
(<ь) [к ] = <ь [к -1] + Т0 (Щ >[к -1] • «vIN )[к -1] + (VоиТ )[к -1])- Ы >[к -1](17)
Таблица 1
Соответствие напряжений и токов общей подсхемы №1 соответствующим параметрам в схемах преобразователей (рис. 1)
Рис. 2а Понижающий Повышающий Инвертирующий
VIN VOUT VIN + ЮиТ
VOUT VIN VOUT
Таблица 2
Соответствие токов общей подсхемы №2 соответствующим ______ параметрам в схемах преобразователей (рис. 1)_____________
Рис. 2, б Понижающий Повышающий Инв ертирующий
<1 <Ь Щ-'т (1 - ш) • <ь
Подставим соответствующие для каждого из преобразователей значения токов из табл.2 в выражение (14), получим для понижающего преобразователя
Ос )[к ] = vс [к -1] + Т0 • ((<Ь }[к ] - {оиТ >[к]) (18)
повышающего преобразователя
<vс )[к] = vс [к -1] + Т0 • «Щ • <ь )[к] - (опт)[к]) (19)
инвертирующего преобразователя
>[к] = vс [к -1] + Т0 • «(1 - Ш) • <ь )[к] - {'оиТ >[к]) (20)
Допущение 4. Гармонические искажения тока индуктивности ‘Ь являются незначительными.
Запишем результирующие дискретные математические модели для понижающего преобразователя
( <ь) [к ] = <Ь [к -1] + Т0 (Ш >[к -1] • ^ >[к -1] - (Vоит )[к -1]
Ь (21)
< ^ >[к] = vс [к -1] + Т0 •«>Ь Хк ] - (‘ОПТ )[к ])
213
повышающего преобразователя
к )[к ] = 1ь [к -1]+Т0 (а) [к -1] • (гаит )[к -1] - {уш )[к -1]
ус )[к] = Ус [к -1]+С •«4[к] •{к )[к] - {юит )[к])
инвертирующего преобразователя
{к )[к] = 1ь [к -1] + т0(а)[к -1] • ((уш )[к -1] + (удит >[к -1]) - (у;м )[к -1]
(22)
I
)[к] = ус [к -1] + С. ((1 - ^)[к]) • {іь }[к] - (іаит )[к])
(23)
Анализ точности дискретных математических моделей
Для исследования точности дискретных математических моделей рассматриваемых подсхем нужно произвести сравнение АЧХ и ФЧХ моделей и подсхем, которые этими моделями описываются. На основе сравнения АЧХ и ФЧХ схемы и её модели сделаем вывод о точности модели.
Произведём сравнение результатов моделирования подсхемы №1 и соответствующей ей модели (рис.3).
атр(\/0 ^ \ тосіеі) атр(\/0_5сИ)
\
-40
■60
-80
-100
■120
■140
■160
-180
100
рИа5е(У0_тос)е1) \ / БСИ)
\ /
4ШІІК
500 1000>
5000 10000
а б
Рис. 3. Результаты моделирования подсхемы №1 и соответствующей ей модели: а - АЧХ; б - ФЧХ подсхемы №«1 и её модели
Как видно из графиков, АЧХ и ФЧХ схемы и модели совпадают, что позволяет говорить о точности полученной модели в рамках указанных выше допущений.
В статье были предложены усреднённые дискретные математические модели однотактных импульсных преобразователей постоянного напряжения. Также были сформулированы несколько допущений о токах и напряжениях в моделируемых схемах, позволяющие вывести данные модели. Предложенные модели позволяют описывать поведение схем импульсных преобразователей и могут применяться при проектировании цифровых систем управления преобразователей. Однако при проектиро-
214
вании следует иметь в виду, что в реальных устройствах допущения, при которых справедливы модели, могут выполняться с той или иной точностью.
Список литературы
1. В.И. Мелешин. Транзисторная преобразовательная техника. Техносфера, 2005. 632 с.
2. Sanders, Seth R., Noworolski, J. M., Liu, Xiaojun Z., Verghese, George C, “Generalized Averaging Method for Power Conversion Circuits.” IEEE Trans. Power Electron. Vol. 2. №. 2, 1991.
3. Hsu S., Brown A., Rensink L., Middlebrook R.D. Modeling and Analysis of Switching DC-to-DC Converters in Constant-Frequency Current-Programmed Mode // IEEE PESC Proceedings. 1979.
4. И.В.Капустин. «Разработка математической модели автономного инвертора с двойным преобразованием, как объекта управления промежуточным напряжением», Практическая силовая электроника №47 2012.
Катаев Роман Алексеевич, аспирант, kataev@shtyl. com, Россия, Тула, ЗАО «Ирбис-Т»
AVERAGED DISCRETE MATHEMATICAL MODELS OF SINGLE-ENDED PWM DC-DC
CONVERTERS
RA.Kataev
Proposed averaged discrete mathematical models of single-cycle pulse DC converters based on the representation of each of the transducers as a combination of some of typical units. Mathematical models of block types are also presented in the article. The analysis of the accuracy of the model is performed.
Keywords: averaged discrete mathematical model, pulse converter, the space of states, sampling, control system.
Kataev Roman Alekseevich, postgraduate, kataev@shtyl.com, Russia, Tula, JSC “Ir-
bis-T"
