Научная статья на тему 'Дискретные модели динамических систем стимулирования'

Дискретные модели динамических систем стимулирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
138
29
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Павлов О. В.

Рассматривается задача стимулирования в динамической системе со связанными периодами функционирования. Приводится математическая постановка задачи. Для решения задачи оптимального управления предлагается численный метод.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

DISCRETE MODELS OF DYNAMIC SYSTEM STIMULATION

The paper deals with the task of stimulation in adynamic systemwith соnnected functioning periods. Mathematical statement of the task is presented. A numerical method is proposed for solving the task of optimal management.

Текст научной работы на тему «Дискретные модели динамических систем стимулирования»

ББК У9(2)245

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СТИМУЛИРОВАНИЯ

© 2006 О. В. Павлов Самарский государственный аэрокосмический университет

Рассматривается задача стимулирования в динамической системе со связанными периодами функционирования. Приводится математическая постановка задачи. Для решения задачи оптимального управления предлагается численный метод.

Введение

Рассматривается детерминированная динамическая организационная система, состоящая из центра и агента. Агент выполняет действие (производит продукцию), за произведенное действие центр выплачивает материальное вознаграждение. В качестве центра может рассматриваться как управляющая компания, в этом случае агент - дочерняя компания, так и менеджмент предприятия, в этом случае агент - трудовой коллектив. В качестве целевой функции центра рассматривается получение прибыли в долгосрочной перспективе с горизонтом планирования Т. Состояние системы описывается параметром х, под которым понимается себестоимость, трудоемкость продукции, несоответствие продукции принятым требованиям. На практике часто используется комплексный параметр х, представляющий комбинации различных показателей с соответствующими весовыми коэффициентами. Рассматривается динамическая организационная система со связанными периодами функционирования.

Задача дальновидного центра состоит в переводе организационной системы из начального состояния х0 в состояние в конеч -ный момент времени х(Т) таким образом, что -бы максимизировать целевую функцию центра за весь временной период г=1, Т. Для этого центр выбирает оптимальную плановую траекторию параметра х(г). С целью выполнения (реализации) этой плановой траектории х(г) центр использует систему стимулирования, при построении которой учитывает горизонт планирования Т и дальновидность агента. Целевая функция центра зависит от действий, выбираемых агентом (реакции

агента). Под действиями агента понимается выбор фактического параметра у(г). В свою очередь целевая функция агента зависит от системы стимулирования и плановой траектории х(г).

Статическим механизмам управления в организационных системах посвящено большое работ [1-10], в меньшем количестве работ [11-17] рассматриваются динамические механизмы управления.

1. Общая постановка задачи стимулирования динамической организационной системы

Центр реализует программное управление, сообщает агенту плановую траекторию параметра х(г) и функцию стимулирования

а(г) за ее выполнение на Т временных периодов. Агент, зная плановую траекторию и функцию стимулирования центра, выбирает действие - фактическую траекторию параметра у(г). Считается, что центр и агент обладают дальновидностью и учитывают Т периодов функционирования.

Целевая функция центра представляет собой суммарную разность между доходом центра и затратами на стимулирование агента за периоды времени г = 0,Т :

Т

Ф(г) = 2 [Н(у(г), г) - а (х(0, у(г), а (г), г] г=1

(1)

где Н(у(г),г) - доход центра;

а(х(г),у(г),а(г),г) - функция стимулирования центра; х(г) - плановая траектория, выбранная центром; у(г) - фактическая реализа-

ция траектории агентом; а{() - материальное вознаграждение агента, выплачиваемое центром за уменьшение параметра.

Конкретный вид функции дохода центра определяется решаемой задачей. Ниже приводится несколько примеров функции дохода центра.

1. Задача об уменьшении себестоимости продукции:

И(уО)Л) = ч(г)[р(г) - у(г)],

где q(t) - объем выпускаемой продукции, р^) - цена продукции, у(^ - фактическая себестоимость продукции.

2. Задача об уменьшении трудоемкости продукции:

И(у^)Л) = q(t)p(t) .

3. Задача об увеличении качества продукции (уменьшении дефектов и несоответствий продукции требованиям):

И(уО), t) = q(t)p(t) - ^уО^ 2 О),

где у(0 - комплексный параметр, характеризующий количество дефектов и несоответствий продукции; 7 - коэффициент, переводящий затраты центра в денежное выражение; 7y(t)q (t) - затраты центра на устранение дефектов и несоответствий продукции.

Функция стимулирования в каждый момент времени t имеет следующий вид:

ст (у^), хО), t) = I + [ х^) - уО)]а О) или

а (у(0,х(0,0 = г + а О), (2)

y(t)

где I - постоянная часть функции стимулирования.

Таким образом, центр стимулирует агента выбирать такие действия, которые приводят к уменьшению параметра у Система стимулирования является пропорциональной: материальное вознаграждение пропорционально усилиям агента по уменьшению фактического параметра у (^ по сравнению с плановым х(0.

Динамика изменения планируемого параметра описывается дискретным уравнением:

х(0 = х($ -1) - и^)х($ -1), х(0) = х0, г = 1,Т,

(3)

где и(^ - управляющая функция центра, характеризующая интенсивность уменьшения параметра.

В начальный момент времени известно начальное значение состояние системы

х( 0 ) = хо .

(4)

На управление центра наложены ограничения:

0 < u(t) < ки ,

(5)

ku(t) - максимально возможное уменьшение параметра агентом во временной период t. Экономический смысл ограничения (5) состоит в том, что агент не может уменьшить параметр у(^ на сколь угодно большую величину в периоде t.

У центра есть два вида управления: выбор функции и(/), которая определяет плановую траекторию х^), и функции стимулирования a(t). Центр информирован о целевой функции агента и, следовательно, может предсказать поведение агента на Т периодов. Целевая функция центра, а следовательно, и выбор центром управляющих функций и(^ и

a(t) зависит от реакции агента у(/).

Целевая функция агента представляет собой суммарную разность между функцией стимулирования и функцией затрат агента за все периоды времени t = 1,Т:

Т

I

t=1

/(0 = I (х^^ОаОМ) - е(уО),уО -1), о

(6)

где c(y(t), y(t -1), t) - затраты агента.

Функция затрат агента имеет следующий вид:

с(у^), * - 1), 0 = М^М, (7)

у()

где ¡5 - коэффициент, переводящий усилия агента в денежное выражение. Экономический смысл выражения (7) состоит в следующем: с уменьшением параметра у(г) агенту требуется большее количество усилий для уменьшения параметра на одну и ту же величину. Затраты агента в период t зависят от величины параметра в предыдущий период t-1. Агент обладает дальновидностью и понимает, что снижение контролируемого параметра в текущем периоде приведет к росту его затрат в будущих периодах.

Таким образом, целевая функция агента, а следовательно, и реакция агента у(г) зависят от плановой траектории центра х(г), величины материального вознаграждения

a(t) и затрат агента в каждый период t.

Динамика изменения фактического параметра у(г) описывается дискретным уравнением

у() = у( -1) - v(t)у(г -1), г = 1,Т , (8)

где v(t) - управляющая функция агента, ко -торая характеризует интенсивность уменьшения параметра во временной период г .

В начальный момент времени известно начальное значение фактического параметра

у(0) = х0 . (9)

На управление агента наложены следу -ющие ограничения:

0 < v(t) < ку(г), (10)

ку(г) - максимально возможное уменьшение параметра агентом во временной период г. Экономический смысл ограничения (10) состоит в том, что агент не может уменьшить параметр у(г) на сколь угодно большую величину в периоде г. Управляющей функции v(t) соответствует фактическая траектория пара-метраy(0),y(1), у(Т).

Порядок функционирования динамической системы следующий:

1. Центр выбирает управляющую функцию и(г) и сообщает агенту соответствующую плановую траекторию х(г) и функцию

материального поощрения а(г) на Твременных периодов.

2. Агент, зная плановую траекторию x(t) и функцию стимулирования a(t), выбирает управляющую функцию v(t), которой соответствует фактическая траектория y(t).

3. Определяются значения целевых функций центра и агента в каждом временном периоде t =1, T.

Сформулируем динамическую задачу стимулирования:

' T

'YjHf y(v* (t),t),t] -of x(u(t ),t ),y(v* (t),t),a(t),t)]}® max,

t=i

x(t) = x(t -1) -u(t)x(t -1),t = 1,T x(0)=x0,

%ofx(u(t),t),y(v(t),t),a(t),t] - cfy(v*(t),t),y(t-1),t]}>

t=1

>Y/ofx(u(t),t),y(v(t),t),a(t),t] -cfy(v(t),t),y(t-1),t]}, " v(t) > 0,

t=1

y(t)=y(t-1)-v*(t)y(t-1), t = 1,T, y(0) = Xo.

(11)-(14)

Так как центр использует заданную пропорциональную систему стимулирования, то задача сводится к определению управляющих

функций u(t) и a(t), которые переводят организационную систему из начального состояния в начальный момент времени в конечный момент времени таким образом, чтобы максимизировать целевую функцию центра (11). Целевая функция центра зависит от управляющей функции агента v*(t), которая выбирается агентом так, чтобы перевести организационную систему из начального состояния в конечное, максимизируя собственную целевую функцию (13).

2. Численный метод решения динамической задачи стимулирования

Традиционный подход к решению статической задачи стимулирования [7] заключается в следующем. Определяется действие агента как функция материального вознаграждения центра. Затем эта функция подставляется в целевую функцию центра, и решается задача согласованного планирования, в результате решения которой определяются параметр функции стимулирования центра. Однако этот подход для решения задач динамического стимулирования неприменим.

Предлагается подход к решению задачи стимулирования, основанный на последо-

вательном решении задач оптимального управления . При известных фиксированных

управляющих функциях и(^ и a(t) задача агента (13)-(14) является задачей оптимального управления. Для решения задачи оптимального управления могут быть применены дискретный принцип максимума Понтряги-на [16] или метод динамического программирования Р. Беллмана [17]. Центр выбирает

начальное управление и(^ и a(t) и соответствующую начальную плановую траекторию х(0. Зная целевую функцию агента, центр при выбранном управлении решает задачу оптимального управления для агента (13)-(14). Из решения задачи центр определяет реакцию агента на свое выбранное управление. Подставляя полученное управление агента у^) и соответствующую ему фактическую траекто -рию у(^ в (11)-(12), центр решает свою задачу оптимального управления, в ходе решения которой определяет новые управляющие функции и соответствующую плановую траекторию х(0. Затем центр снова решает задачу оптимального управления для агента с новыми управлениями центра. Итерационный процесс продолжается пока не будет получена требуемая точность решения.

Схема решения задачи может быть сформулирована следующим образом:

1. Выбираются начальные управления

и1^) и al(t), исходя из опыта и здравого смысла.

2. Рассчитывается плановая траектория х1^) по формуле (11).

3. При известных и1^) и а1(t) находится решение задачи оптимального управления для агента (13)-(14). Определяется оптимальное управление агента у1^) и соответствующая фактическая траектория у1^).

4. Для найденной реакции агента у1^) и соответствующей ей фактической траектории унаходится решение задачи оптимального управления для центра (11)-(12). Определяется новое оптимальное управление центра и2^) и а (t). Рассчитывается новая плановая траектория х2^) по формуле (11).

5. Производится сравнение разности

Т

^[х1 (()- х2 (()] с заранее заданной погреш-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1=1

ностью е . Если разность больше погрешности, то в качестве управлений центра принимаются новые управления и= и2^) и 1 2

а (t) = а (t) и осуществляется переход к пункту 2, в противном случае итерационный процесс заканчивается.

Предложенный метод решения может быть применен для широкого круга практических задач внутрикорпоративного и межкорпоративного стимулирования.

Список литературы

1. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

2. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974.

3. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: Наука, 1971.

4. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. - М.: Наука, 1976.

5. Бурков В. Н. Основы математической теории активных систем. - М.: Наука,1977.

6. Бурков В. Н., Кондратьев В. В. Механизмы функционирования организационных систем. - М.: Наука. Главная редакция физико -математической литературы, 1981.

7. Бурков В. Н., Новиков В. А. Как управлять проектами. - М.: СИНТЕГ-ГЕО, 1997.

8. Бурков В. Н. Новиков Д. А. Как управлять организациями. - М.: Синтег, 2004.

9. Горелик В. А., Кононенко А. Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого -экономических системах. - М.: Радио и связь, 1982.

10. Кононенко А. Ф. О многошаговых конфликтах с обменом информации // Вы-числ. матем. и матем. физ. - 1977. № 4. -С. 922-931.

11. Соколовский Л. Е. Модели оптимального функционирования предприятия. -М.: Наука, 1980.

12. Васборд Э. М., Жуковский В. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. - М.: Советское радио, 1980.

13. Тынянский Н. Т., Жуковский В. И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой (бескоалиционный вариант) // Математический анализ, 1977, т. 15. - С. 21-32.

14. Новиков Д. А., Смирнов И. М., Шохина Т. Е. Механизмы управления динами-

ческими активными системами. - М.: ИИПУ РАН, 2002.

15. Косачев Ю. В. Экономико-математические модели эффективности финансово-промышленных структур. - М.: Логос, 2004.

16. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами. - М.: Наука, 1973.

17. Белман Р. Динамическое программирование. - М., 1960.

DISCRETE MODELS OF DYNAMIC SYSTEM STIMULATION

© 2006 O. V. Pavlov

Samara State Aerospace University

The paper deals with the task of stimulation in a dynamic system with connectedfunctioning periods. Mathematical statement of the task is presented. A numerical method is proposed for solving the task of optimal management.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.