Дискретная математическая модель цифровой системы управления погружным электроцентробежным насосом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621-52

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОГРУЖНЫМ ЭЛЕКТРОЦЕНТРОБЕЖНЫМ НАСОСОМ

В,Л. Стариков

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская. 244

Рассмотрена математическая модель цифровой системы управления погружным электроцен-тробежным насосом с учетом процесса квантования по времени. Найдена дискретная передаточная функция замкнутой системы. Определена граница устойчивости в функции периода квантования.

Ключевые слова: погружной эяектроцентробежный насос, цифровая система управления, квантование по времени, дискретная передаточная функция, экстраполятор нулевого порядка

Все современные системы управления погружными электро центробежными насосами строятся на основе цифровой микропроцессорной техники, которой присущ эффект квантования по времени. Собственно, частоты квантования по времени в частотном преобразователе и контроллере высоки по сравнению с полосой частот пропускания системы управления, и их можно не учитывать при синтезе регуляторов. Но существуют и медленные процессы квантования по времени. К ним следует отнести частоту опроса датчика динамического уровня. В зависимости от типа применяемого датчика период квантования может меняться в широких пределах. Например, период опроса эхолота может составлять 10 минут и более.

В связи с этим актуальной задачей является исследование влияния квантования по времени на работу системы управления погружным электроцентробежным насосом.

Влияние квантования по времени на работу цифровой системы управления можно учесть с помощью математического аппарата 2-преобразований [1], который базируется на дискретном преобразовании Лапласа для решетчатой функции.

Функциональная схема системы управления погружным электроцентробежным насосом (рис. 1) содержит задатчик требуемого динамического уровня, регулятор динамического уровня, частотный преобразователь, собственно погружной электро-центробежный насос и датчик динамического уровня жидкости в скважине.

Приведенной функциональной схеме соответствует структурная схема непрерывного прототипа системы управления погружным электроцентробежным насосом

(рис. 2), на которой приняты следующие обозначения: ^рОу(р) - передаточная функция регулятора динамического уровня; ^сп - коэффициент передачи частотного преобразователя; ^ду(Р) - передаточная функция асинхронного электродвигателя, входящего в состав электроцентробежного насоса; ^'нас (Р) - передаточная функция насоса; - площадь затрубного пространства скважины; Р - плотность добываемой жидкости; % - ускорение свободного падения; ^»р - коэффициент продуктив-

Стариков Владимир Александрович - аспирант кафедры «Электропривод и промышленная автоматика».

ности пласта жидкости; - коэффициент передачи датчика динамического уровня; Нет - статический уровень ЖИДКОСТИ В скважине; ^зад(Р) И Ндт (р) и30_

Сражения задающего воздействия и выходной координаты (динамического уровня

жидкости в скважине) соответственно; Нос{р) _ изображение сигнала обратной связи; О »ас (Р) и (2пл(р) — изображения расхода насоса и притока жидкости из пла-

ста соответственно; Р - комплексная переменная.

Рис. 1. Функциональная схема системы управления погружным электроцентробежным насосом

Р и с. 2. Структурная схема непрерывного прототипа системы управления погружным

электроцентробежным насосом

Ввиду того, что инерционностью насоса и асинхронного электродвигателя можно пренебречь, а передаточная функция регулятора динамического уровня выбирается по формуле

^рду{р) =

р +1

/

кпрРё

а0 , р +1

\а\

194

I

где ^¿>у и кнас - коэффициенты передачи электродвигателя и насоса соответственно,

°0 и а1 - коэффициенты желаемой диаграммы изменения динамического уровня жидкости в скважине, структурная схема системы управления погружным электро-центробежным насосом с учетом процесса квантования по времени принимает вид, приведенный на рис. 3.

Р и с. 3. Структурная схема системы управления погружным электроцентробежным насосом с учетом процесса квантования по времени

На рисунке приняты следующие обозначения: ИЭ1 - импульсный элемент первого рода, ИЭ2 - идеальный импульсный элемент второго рода, Э - экстраполятор нулевого порядка, НЧ - непрерывная часть системы.

В состав квазинепрерывного объекта в данном случае входят регулятор динамического уровня, частотный преобразователь, асинхронный электродвигатель, центробежный насос и собственно скважина. Следует отметить, что функцию экстрапо-

лятора нулевого порядка в рассматриваемой ческого уровня. Введение в структурную схему идеального импульсного элемента второго рода сделано с целью формального изображения экстраполятора в виде динамического звена с передаточной функцией

^э(Р). Цифровая часть системы, в которой происходит квантование по времени с большим периодом дискретизации Т, представлена сравнивающим устройством.

При переходе к г-преобразованиям и дискретны м передаточн ы м фу н кция м

структурную схему рассматриваемой системы можно изобразить следующим образом (рис. 4).

системе выполняет регулятор динами-

Р и с. 4. Структурная схема системы управления погружным электроцентробежным насосом при переходе к дискретным передаточным функциям

Здесь квазинепрерывный объект управления с учетом экстраполятора нулевого

порядка представлен дискретной передаточной функцией ^о(2).

В соответствии с общим правилом [1] найдем дискретную передаточную функцию непрерывной части с учетом экстраполятора нулевого порядка

щ [г) =—г\——!-----------------------------------1 (п

г [Р (а0р + а,)| '

где г = ерГ; Z- условное обозначение перехода к г-преобразованию.

Разложим в (1) выражение в фигурных скобках на элементарные дроби

1 А | В | С

р1(а0р + а[) р2 р ДоР + °1 ’ ^

где А, В и С - неизвестные коэффициенты, которые необходимо найти.

Приведем правую часть (2) к общему знаменателю и числитель полученной дроби приравняем к 1

(а0В + С)р2+(а0А+а\В)р + а1А = \, (3)

Из анализа (3) следует, что равенства выполняется при условиях:

м = и ]

айА + ахВ = 0;> (4)

ЯдВ + С ~ 0. j

Решая систему уравнений (4) относительно коэффициентов А, В к С, получим

л = -1.г = -^.с = 2г

1 " а°- с-°±

2 ; и ~ _2 ■ (5)

С учетом (5) выражение (2) запишется следующим образом:

р2(а0р + а1) а^р2 а\р а*(а0р + ау)' Подставляя (6) в (1), получим

(6)

*Ь(,) = ^г С7)

г [щр а{р й| (&оР+ а])}

По таблицам г-преобразований [1] найдем изображения от элементарных дробей:

( 1 1 7я

(8) (9) (10)

[«I V«oP + wI^J и\ \z-ii)

-—Г

ГДе (У = € а° ■

Подставляя (8), (9) и (10) в (7) и пользуясь свойством линейности ъ-преобразований, после несложных преобразований найдем дискретную передаточную функцию непрерывной части с учетом экстраполятора нулевого порядка;

1Г0{г) = -

и

«1

я0(1-йО

2 +

«о 0-<0 та

а.

_____________________а±- (11)

(2 - 1){2 - й?)

С учетом (11) дискретная передаточная функция замкнутой системы управления погружным электроцентробежным насосом принимает следующий вид:

НхйЮ 1 + *^о(0 Т а0(\-еі)

. + яоО-^) _ Ц

(12)

г2-

1 + £/ +

кддуа оО _ ¿0 ^ддуТ

г + с/ +

«1

Я|

о, «1

Передаточная функция (12) позволяет исследовать устойчивость и динамические свойства цифровой системы управления погружным электроцентробежным насосом с учетом процесса квантования по времени.

В устойчивой цифровой системе корни характеристического уравнения должны быть по модулю меньше 1, то есть лежать внутри круга единичного радиуса плоскости корней 2 [1]. Для рассматриваемой системы характеристическое уравнение имеет вид

1 + </ +

ЬддувоП-^О кддут

г + а + —-—г~------—— =0

«I

(13)

Использование известных критериев устойчивости для уравнения (13) невозможно. Поэтому подстановкой

1 + УУ

г = -

1 -

перейдем от комплексной величины г к комплексной величине IV:

1 +\\> , &дду® о(1~^)

- + с/ +

г\ + хЛ2 . , ^/)ду^0 0 ^) ^ддуТ \ + й1 + = —

І1-И7 . °\ Я| .

1 —IV

«і

.(14)

Эта операция отображает внутреннюю часть круга единичного радиуса на левую половину м’-плоскости, что позволяет использовать известные алгебраические критерии устойчивости для характеристического уравнения (14). Умножая левую и

правую часть (14) на 0 — т^)2, после несложных преобразований получим:

2 + 2с1+-

(1-^)

дОу

а,

= 0.

IV2+2

1-йзГ-

т

а,

(15)

Для преобразованного характеристического уравнения (15) можно применить критерий устойчивости Раусса-Гурвица [2], в соответствии с которым необходимым

и достаточным условием устойчивости рассматриваемой системы является положительность всех коэффициентов:

~ ~ , 2А(М>,о0(1 -с/)

1 + ¿а н—■ -----т------------___--.— у.

а( в[

\ , kùàyao0 ~d) kàùTdx

I ~d-------— ---------+ -——

«і

кмуП 1-rf)

X 0.

«і

(16)

При положительных и ненулевых значениях параметров ао, а\, кму и Т последнее неравенство в (16) выполняется всегда, поэтому условие устойчивости системы управления погружным электроцентробежным насосом можно переписать следующим образом:

^ ^ 2*^(1 -d) ködyT(\-d) ft[

L “h Ли -1------------------------------->- Ui I

of Ö,

, j kffâyüÿil — d) kfâyTd

1 ~d~ —г------+ —-— X 0.

(17)

Неравенства (17), определяющие границу устойчивости, содержат аргумент Т

как в явном виде, так и в завуалированном под параметром ^ _ а0 . Поэтому целесообразно граничные значения Т искать численными методами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Микропроцессорные системы автоматического управления / В. А. Бесекерский, Н. Б. Ефимов, С. И. Зиатдинов и др.; Под общ. Ред. В. А. Бесекерского. - Л.: Машиностроение, 1988. - 365 с.

2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975. -768 с.

Статья поступила в редакцию 4 мая 2009 г.

UDC 621-52

DISCRET MATHEMATICAL MODEL OF DIGITAL CONTROL SYSTEM BY SUBMERSIBLE ELECTRIC-CENTRIFUGAL PUMP

V.A. Starikov

Samara State Technical University,

244, Molcxtogvardeyskaya sir.. Samara, 443100

Mathematical model of digital control system by submersible electric-centrifugal pump with allowance for time quantization process is considered. Discrete transfer function of closed-loop system has been found. Stability threshold in function of quantization period has been defined.

Key words: submersible electric-centrifugal pump, digital control system, time quantization, discrete transfer function, zero-order hold.