CC BY
22
PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES
THE FOURTH DEGREE DIOPHANTINE EQUATION IN THREE
VARIABLES Bokareva L.L.1 (Republic of Kazakhstan), Bokarev N.L.2 (Russian Federation) Email: [email protected]
'Bokareva Lidia Leonidovna - Learner, MUNICIPAL GOVERNMENT INSTITUTION SCHOOL № 6 OF THE AKMAT OF SHAKHTINSK, SHAKHTINSK, REPUBLIC OF KAZAKHSTAN;
2Bokarev Nikita Leonidovich - Student, FACULTY OF ECONOMICS, FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION NOVOSIBIRSK STATE UNIVERSITY, NOVOSIBIRSK
Abstract: in this paper, a special case of the Fermat equation and some fourth-degree equations in three variables is considered. A general formula for finding all solutions of an indefinite fourth-degree equation with three variables x4 + y2 = z2, where x, y, z с N, that is, a formula that allows finding all right-angled triangles, one of the legs of which is an exact square of a natural number, has been found. The use of arithmetic functions allowed us to write the solutions found in the form of a single formula.
Keywords: diophantine equation, the fourth degree equation in three variables.
ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕНИ ОТ ТРЁХ
ПЕРЕМЕННЫХ Бокарева Л.Л.1 (Республика Казахстан), Бокарев Н.Л.2 (Российская Федерация)
1Бокарева Лидия Леонидовна - учащаяся, Коммунальное государственное учреждение Общеобразовательная школа № 6 акимата г. Шахтинска, г. Шахтинск, Республика Казахстан; 2Бокарев Никита Леонидович - студент, экономический факультет, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, г. Новосибирск
Аннотация: в работе рассмотрен частный случай уравнения Ферма и некоторые уравнения четвёртой степени от трёх переменных, найдена общая формула нахождения всех решений неопределённого уравнения четвёртой степени с тремя переменными х4 + у2 = z2, где х, у, z с N, то есть формулу, которая позволяет найти все прямоугольные треугольники, один из катетов которых является точным квадратом натурального числа. Использование арифметических функций позволило записать найденные решения в виде единой формулы.
Ключевые слова: диофантово уравнение, уравнения четвёртой степени от трёх переменных.
Рассмотрим уравнение
х4 + у2 = z2 (1)
где x, y, z е N.
Перепишем уравнение (1) следующим образом:
X4 = (2 + у) (2 - у) (2)
и пусть
X = рХ1, у = РУ1, 2 = р21, (3) где (Х1, у1, 21) =1 [1, с. 56-60]. Тогда уравнение (3) примет вид
р2 Х1 = (21 + у1) (21 + у1) (4)
Пусть также
21 + у1 = а, 21 - у1 = Ь, (5)
откуда
а + Ь а — Ъ
*1=—У1=— (6) где (а, Ь) = 1, тогда равенство (4) запишется:
р2 х14 = ав. (7)
Покажем, что (а, Ь) < 2. Так как (х1, у1, 21,) = 1, то (у1, 21) = 1, что весьма несложно проверить. Пусть (а, Ь) = й, тогда
а = d а1, Ь = й Ь1,
гдеа1, Ь1 е КГ, (а1, Ь1) = 1 и, поэтому, а1 и Ь1 не могут быть одновременно чётными. Таким образом, из выражений (6) следует,
что ¿1 = + ¿1),у1 = ^ — ¿1). Имеем (г1,у1) = - (а1 + Ь1, а1 — Ь1),
2
откуда (а1 + Ь1, а1 — Ь1) = - . (8) Как видно из выражения (8), или й = 1 (а1 и Ь1 - оба нечётные), или й = 2 (а1 и Ь1 - разной чётности). Итак,
(а1, Ь1) < 2. (9)
Рассмотрим уравнение (7) при условии (9). Очевидно, что р2 | (аЬ), следовательно, можно записать
«1 = П!=1 р2 ,¿1 = ь' ■ ПГ=х+1р2 , (10)
где р1 , а', Ь' е N ([ = 1,1"), (а', Ь ) <2. Подставив выражение (31) в равенство (7) получим:
Х14 = а'- Ь', (11)
где а', Ь' е Н, (а', Ь' ) < 2. Рассмотрим отдельно два случая (а', Ь' ) = 1 и (а', Ь') = 2. 1) Пусть (а', Ь') = 1. Тогда из уравнения (11) следует, что
а' = т4, Ь '= п4, (12) где т, п е М, (т, п) = 1. В этом случае, вспомнив условия (2) и (5), получим следующую формулу:
х = ртш,у = р"4 П!=1Рг2— п4П[=5+1Рг2,„ = ш4 П|=1Рг2+ п4 П[=5+1Рг2 ,
где р, т, п е М, (т, п) =1, ш2 ■ П;=1Р; > п2 ■ ПГ=^+1 Рг Р - свободное от квадратов число. Поскольку у, 2 е N имеем формулу:
2ршп
X =
(2,ш -Щ=1Р; + П"П[=Х+1Р;)'
= 1^1 ' " 111 = 5+11
= 7 ^4-Щ=1Й2 — п4-ПГ=,+1й2
У Р(2,Ш • П|=1 Р£ + п ■ П[=х+1Р1)2 , ( ) ш4-П!=1Р£2+ п4-ПГ=,+1Р£2
г = 2р
(2,ш -П?=1Рг+ п-ПГ=5+1Р;)2'
где р, т, п е М, (т, п) = 1, т2 ■П!=1Р; > ^ ■ ПГ=я+1 Рг р - свободное от квадратов число.
В справедливости формулы (13) легко убедиться, подставив её в уравнение (1). Полагая фиксированными натуральными числами, отвечающими условиям, наложенным на них, получим частные решения уравнения (1). Например, р = 2, т = п = 1: <2, 3, 5>; р = 1, т = 2, п = 1: <4, 30, 34> и так далее.
2) Пусть теперь (а', Ь') = 2. Тогда
а' = 2а", Ь' = 2Ь (14) где (а", Ь") = 1 и, следовательно, уравнение (7) примет вид
Х14 = 4а"- Ь",
где а", Ь" е М, (а", Ь" ) = 1. Очевидно, что х должно делиться на 2, то есть, хг = 2х2, а, значит, 4х24 = а"■ Ь",. Таким образом, или 4 | а", или 4 | Ь". В первом случае, а" = 4т4, Ь" = п4, то есть, х2 = тп, хг = 2тп. Вспомнив выражения (14), (11), (6), (1), получим формулу
X г
х = 2ртп,у = р ( 4ш4 • П П р£2 — п4 • р¿2 ),
¿=5+1
2 = р(4ш4 • П!=1 л2 + п4 • ПГ=,+1 рг2) (15) где р, т, п е М, (т, п) = 1, п - нечётно (так как (а", Ь" ) = (4т4, п) 4= 1), 2т2 П!=1 Рг > п2 ПГ=х+1 р1• Если же 4 | Ь", то по аналогии получим:
х = 2ртп,у = р ( ш4 • П П р£2 — 4п4 • ^П р;2 ),
V ¿=1 ¿ = 5+1 '
2 = р(т4 -Щ=1Р;2 + 4п4 • ПГ=х+1Р12) (16) где р, т, п е Н, (т, п) = 1, т - нечётно (так как (а", Ь" ) = (т4, 4п) 4= 1), т2 П;=1Р; > 2п
ПГ=5+1Р. •
Формулы (36) и (37) можно объединить в единую формулу [2]
2ршп _ 4ш4 • Щ=^2 — п4 • ПГ=5+1Р12 (2,п),У = Р (2,п)2
„ _ 4ш4 П;=1Рг2+ п4 ПГ=5+1Рг2 П1Л
^ = Р (2,П)2 , (1 7)
где р, т, п е М,(т, п) = 1, р = ПГ=1 Р; (р' = Pj тогда и только тогда, когда 1 = Д 2т2 П|=1 Р; > п ПГ=^+1Рг
Полагая в формуле (17) р, т, п конкретными натуральными числами, отвечающими условиям, наложенным на них, получим частные решения уравнения (1). Например, р = т = п = 1: <2, 3, 5> и так далее.
Видно, что при некоторых параметрах формулы (13) и (17) могут давать одинаковые частные решения уравнения. Можно показать, что формула (17) является частным случаем формулы (13).
Действительно, положим в формуле (13) р = 2р', тогда в этой формуле (2, 2тП|=1Р; + пПГ=х+1 РО = (2,2т + п) = (2, п) и, следовательно, формула (34) примет вид [3]: _ 2р'шп _ , 4ш4 • Щ=1Р,2 — п4^П^=5+1р,2 Х=(2,п),У = Р^ (2, п)2 ,
4т4'П!=1Рг2+ "4'ПГ=5+1Рг2 Пт 2 = р---, (18)
где р', т, п е М, (т, п) = 1, р' = ПГ=1Р; р = Pj тогда и только тогда, когда I = ]), 2т2 П|=1Р; > п2 ПГ=Х+1Р; • Если в формуле (17) положить, что р - нечётное число,
тождественность формул (17) и (18) очевидна.
2р'(2ш)п , ((2т)4 • П|=1 Рг2 — •ПГ=5+1Р12) Х^"(^,У = 2Р--М2-,
7 _ 9г,' ((2ш)4 П!=1Рг2+ п4 П[=5+1Рг2)
^ = 2Р • (2,П)2 ,
или
2р'ш(2п) , (4т4 • П!=1 Р12 - (2п)4^ПГ=5+1Р^2) Х^-(^,у = 2р---,
7 _ 9г,' (ш4 П;=1Рг2+ (2п)4 П[=5+1Рг2)
^ = 2Р • (2,П)2 ,
где р, т, п е М, (т, п) = 1, р=ПГ=1 Р; (р1 = Pj тогда и только тогда, когда I = у). Несложно показать, что обе формулы являются частным случаем формулы (13), достаточно положить в
1=1
формуле (13) р - нечётным числом и, в первом случае, т = 2т1, во втором - п = 2п. Таким образом, формула (17) является частным случаем формулы (13).
Итак, все решения уравнения (1) можно записать в виде единой формулы:
2ршп
х =-
(2,р)(2,т -Щ=1Рг+ ^-ПГ^+^У
у = 2р т4-Щ=1Рг2 — "4ПГ=;+1Рг2 (19)
2 = 2р "4 П!=1Рг2+ п4ПГ=5+1Рг2 2
где р, т, п е КГ, (т, п) = 1, т2 П!=1 Р; > п2 ПГ=х+1 Р;, р - свободное от квадратов число. При фиксированных натуральных числах т и п можно найти частные решения. Например, варьируя параметры в формуле (19), получим частные решения уравнения (1), некоторые из которых приведены в таблице ниже:
Таблица 1. Частные решения уравнения (1)
р m n х у z х4 + у2 = z2
1 1 1 2 3 5 24 + 32 = 52
2 1 1 4 30 34 44 + 302 = 342
3 1 1 3 12 15 34 + 122 = 152
5 1 1 10 495 505 104 + 4952 = 5052
6 1 1 12 192 240 124+ 1922= 2402
Список литературы /References
1. Бокарев Н.Л.Некоторые классические диофантовы уравнения / Н.Л. Бокарев, Е.В. Буякова. [Электронный ресурс]. Научно-методический электронный журнал «Концепт», 2014. Т. 26. С. 56-60. Режим доступа: https://e-koncept.ru/author/4048/ (дата обращения: 25.07.2019).
2. Бокарев Н.Л. Диофантовы уравнения второй степени от трёх переменных / Н.Л. Бокарев, Е.В. Буякова. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://cyberleninka.rU/article/v/diofantovy-uravneniya-vtoroy-stepeni-ot-tryoh-peremennyh/ (дата обращения: 25.07.2019).
3. Кожегельдинов С.Ш. О задачах, связанных с пифагоровыми тройками // Межвузовская конференция, посвящённая 150-летию со дня рождения Абая. / С.Ш. Кожегельдинов. Семей: СГУ имени Шакарима,1991. С. 132-133.
