CC BY
56
УДК 621.833.1
ДИНАМИКА ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС С ШТИФТОВЫМИ СОЕДИНЕНИЯМИ
© 2006 М И. Курушин, А.М. Курушин Самар ский госу дар ственны й аэр окосмический у нивер ситет
В процессе вращения зубчатого колеса соединенного с валом штифтами при изменении углового поло -жения штифтов жесткостные параметры упругой системы могут меняться и это может служить причиной как вынужденного параметрического возбуждения так и параметрической неустойчивости и резонансов упругой системы в которую входят такие соединения. В данной работе и исследуются условия и причины таких колебаний. Вывод такой, что только одноштифтовое соединение может вызывать динамическую неустойчивость упругих систем в том числе и с зубчатыми колесами.
Целью настоящего исследования является: разработать методику, алгоритм и программы расчета статики и динамики штифтовых соединений и исследовать ее на примере упругих систем с зубчатыми колесами. С точки зрения статики при вращении упругой системы с штифтовым соединением (рис.1) упругая система представляется, во-
Рис.1. Упругая модель зубчатого колеса с двумя штифтами
первых, как статически неопределимая, распределение усилий между штифтами и сту-пицей (а ее необходимо принимать податливой наравне с штифтами) зависит от соотношений жесткостей штифтов и ступицы и их относительного положения при вращении, а во-вторых, как система с переменной жесткостью, так как при вращении меняется как бы конструкция упругой системы опять же за счет вращения штифтового соединения и изменения относительного расположения их в упругой модели. При исследовании динамики упругой системы зубчатой пары с разным количеством штифтов были сделаны следующие допущения (рис 2): 1. контакт зубьев зубчатых колес заменялся постоянной по величине жесткостью (не учитывалось влияние пересопряжения зубьев); 2. ведущее зубчатое колесо вращается равномерно независимо от характера поведения ведомого колеса, чтобы опять же
Рис.2. Упругая модель зубчатой передачи с штифтовыми соединениями
у честь влияние на динамику только штифтовых соединений; 3. модель упругого взаимодействия ступицы зубчатого колеса и штифтов принималась линейной и показана на рис 3 и 4. Согласно рис. 4 при смещении ведомого зубчатого колеса относительно посадочного места на валу на величину Х0 и У0 а также поворота его на угол ф величины контактных деформаций в сопряжении штифта, зубчатого колеса и вала будут
Рис. 3. модель упругого контакта штифта, вала и ступицы
І,
Рх
Рп
+ Б2 • і
ХО УО 3
аі2
а2у
т • =-г; + руо + 2 буш ~х' л;
а2ф ґ д,^ \
і —¥=р7. я+ум7 - м,-і.
аі2 2 ^ 7 ґ
іу аі
ёф —-ю аі у
ё2 ф м
аі2
= мТ
- б7 • я-і.
аф м
аі
ю
Рис.4. Геометрические и силовые параметры штифтового соединения
Ах = ХО - г • біп( а + ф) ;
Ау = УО - г • соБ(а + ф).
Соответственно при линейной постановке задачи усилия от штифтов на зубчатое колесо будут Рхш = СШ • АХ ;
Б = С Ау
УШ Ш 3
Крутящий момент на ведомое зубчатое колесо от усилий в штифтах
М = БХШ• г• Бт(а + ф) + БУШ • г• соБа+ф).
Усилия на зубчатое колесо со стороны вала
Бхо = Со • Хо;
Буо = Со • Уо.
Момент трения в сопряжении зубчатого ко™ 4
леса с валом М,
Р
где СШ и СО - соответственно жесткости в контактах штифта и вала; і- коэффициент трения в контакта ступицы зубчатого колеса и вала; а-угловое положение штифта относительно зацепления зубьев зубчатых колес; г-радиус расположения штифтов. Дифференциальные уравнения плоского движения ведомого зубчатого колеса и массы вала под его ступицей
т • — = -Рхо +1 Рхш-1-^;
где т, І - масса и массовый момент инерции ведомого зубчатого колеса; Ім - массовый момент инерции вала под ступицей ведомого зубчатого колеса; X- коэффициент демпфирования колебаний.
Контактные жесткости штифта и сту -пицы ведомого зубчатого колеса определялись по зависимостям соответственно
СШ = 1.79 • Е • ІШ ; Со = 1.79 • Е • 1о,
где Е - модуль упругости материала деталей; ІШ и Іо - соответственно длины штифта и ступицы ведомого зубчатого колеса.
Была составлена так же система линеа-р из ир ов анных диффер енц иаль ных ур ав нений для определения собственных частот упругих систем и выяснения как условий резонанса, так и возможности возникновения параметрической неустойчивости и параметр ических р езонансов.
Для примера ниже приведены результаты исследований динамики упругой системы пары зубчатых колес с штифтами при следующих исходных параметрах: радиусы основных окружностей зубчатых колес 100 мм; внутренний радиус ступицы ведомого зубчатого колеса 50 мм; ширина ведомого зубчатого колеса и его ступицы 40 мм; длина штифта 20 мм; диаметр штифта 6 мм; контактные жесткости: ступица-вал 15.106 кг/см; штифт-ступица-вал- 7518000 кг/см; зубьев зубчатых колес 640000 кг/см; Статическое нормальное усилие в зацеплении зубьев зубчатых колес от действия крутящих моментов-6000 кг.
На рис. 5 приведены графики изменения усилий и крутящего момента в статике на ведомое зубчатое колесо при одноштифтовом соединении его с валом при заданных смещениях колеса относительно вала -Х0=У0=0.0001 см. Эти данные получены из программы динамики упругой системы из подпрограммы определения усилий при заданных смещениях зубчатого колеса. Видно, что при смещении зубчатого колеса при одноштифтовом соединении возбуждается только крутящий момент и никаких радиальных усилий не возникает.
Рис. 5. Усилия и крутящий момент на зубчатое колесо при одноштифтовом соединении его с валом при заданных смещениях колеса относительно вала -Х0=У0=0.0001 см.
ы
г
э
и
і
К. 5 Ї £ ш • І |
Ї* I §
о й
8
о
угловое положение штифтов (рад)
Рис. 6. Окружные и радиальные составляющие усилий на штифты при двух штифтовом соединении его с валом при заданных смещениях колеса относительно вала -Х0=у0=0.0001 см. Г $Нг1 - радиальная составляющая усилия на штифт 1, Г shr2 - радиальная составляющая усилия на штифт 2, Г 8Ы1 - окружная составляющая усилия на штифт 1, Г sht2 -окружная составляющая усилия на штифт 2.
Аналогичные исследования показали, что только одноштифтовое соединение возбуждает упругую систему. Другое любое количество штифтов в соединении при точном их изготовлении и размещении по радиусам и в окружном направлении не возбуждают упругие системы. Но сразу же необходимо отметить, что в динамике переменный кру-тящий момент будет передаваться на зубья зубчатых колес и от них, естественно, усилия будут передаваться на валы.
На рис. 6 показан случай двухштифтового варианта упругой системы. Видно, что в
этом случае ни крутящий момент, ни усилия на зубчатое колесо и на вал колебаний не возбуждают. На сами же штифты при любом их количестве в соединении действуют радиальные усилия, гармонически изменяющиеся по первой гармонике, что может приводить к наклепу и к усталостным поломкам деталей соединения. Это и имело место при доводке турбовинтового двигателя НК-12. в месте соединения сателлитной шестерни с шестерней-валом тремя цилиндрическими штифтами.
Рис. 7. Собственные частоты колебаний по первой крутильной форме в зависимости от углового положения штифта относительно полюса зацепления при вращении ведомого
зубчатого колеса
На рис. 7 приведены значения собственных частот колебаний упругой системы по первой (крутильной) форме в зависимости от углового положения штифта относительно полюса зацепления при вращении колес. Видно, что собственные частоты крутильных колебаний в зависимости от углового положения штифта изменяются в широком диапазоне от 3550 до 4850 1/мин. А это значит, что при частоте вращения более
чем в два раза указанного диапазона возможна параметрическая неустойчивость упругой системы (параметрический резонанс). Кроме того, собственные частоты линейных колебаний ведомого зубчатого колеса вдоль осей ОХ и ОУ как раз находятся в районе 10000 ... 11000 1/мин.
На графиках рисунков 8, 9 и 10 это хорошо видно. На рис. 8 показано изменение у силия в зу бьях зу бчатых колес пр и одном
Рис. 8. Усилия в зубьях зубчатых колес при одном штифте в соединении в начале движения. Частота вращения ведущего зубчатого колеса 14250 об/мин. Коэффициент демпфирования в
упругой системе Х=4000 кг*сек/см
о
2500000 2000000 1500000 1000000 500000 0 1 -500000 -1000000 -1500000 -2000000 -2500000
угол поворота ведущего зубчатого колеса (рад)
Рис. 9. Усилия в опорах ведомого зубчатого колеса при одном штифте в соединении в начале движения. Частота вращения ведущего зубчатого колеса 14250 1/мин:
1-вдоль оси ОХ (перпендикулярно линии зацепления зубчатых колес);
2- вдоль оси OY (вдоль линии зацепления зубчатъа колес);
3- суммарное усилие на вал зубчатого колеса.
80000000 60000000 ^ 40000000
& 20000000
к
1 0 § -20000000
> -40000000
-60000000
-80000000
Л Л п А Л Л
А ,Л 1 ь *1 /
л к. Л I г Т\ Г Г г/
/ 9 /
и \
\ 1 К «V
*>*>\* >>>\<? угол поворота ведущего зубчатого колеса (рад)
Рис.10. Усилия в зубьях зубчатъгх колес и в опорах ведомого зубчатого колеса при одном штифте
в соединении в процессе установившегося движения.
Частота вращения ведущего зубчатого колеса 14250 1/мин; зацепление зубьев беззазорное, коэффициент демпфирования в упругой системе Х=4000 кг*сек/см
1-усилия в зубьях зубчатых колес;
2-усилия в опорах ведомого зубчатого колеса вдоль линии зацепления колес.
штифте в соединении. Частота вращения ведущего зубчатого колеса 14250 1/мин. Коэффициент демпфирования в упругой системе очень большой: Х=4000 кг* сек/см.
Зубчатые колеса выполнены беззазор-ными, поэтому в зацеплениях зубьев усилия могут быть и отрицательными. Как показывают расчеты, наличие зазоров в зацеплении практически не изменяет поведение упругой системы и наличие параметрической неус-
тойчивости ее. Частоты колебаний не совпадают с частотой вращения зубчатых колес, то есть упругая система колеблется с собственными частотами. На рис.10 показаны установившиеся колебания при таких же условиях нагружения, что и в предыдущем случае. Видно, что колебания упругой системы происходят также в режиме собственных форм и частот. На рис. 11 показано изменение усилий в зацеплении зубчатых
18000
16000
14000 "
2 12000 _ 2 '
E 10000 " \
g 8000 “ & 6000 -
4000 "
2000 "
0 "i 32 67 32 74 32 угол 80 32 повор 86 32 ота ве 92 32 дущего 99 33 > зубчг 05 33 того к 11 33 олеса 18 33 (рад) 24
Рис.11. Усилия в зубьях зубчатых колес и в штифте ведомого зубчатого колеса при одном штифте в соединении в установившемся режиме. Частота вращения ведущего зубчатого колеса 800 1/мин:1-усилия в зубьях зубчатых колес; 2- полное усилие в штифте ведомого зубчатого колеса. Коэффициент демпфирования в упругой системе X = 0.5 кг * сек / см .
колес и в штифте одноштифтового соединения в установившемся режиме при частоте вращения 800 1/мин. Видно, что колебания небольшие, но проявляет себя и вторая гар -моника.
В результате всех этих исследований было установлено:
1. Один штифт в соединении возбуждает только крутильные колебания в упругих системах, а при наличии зубчатых передач в них это, ввиду упругой связности, может приводить к колебаниям и в координатных напр авлениях у пругих систем.
2. Штифтовые соединения с одним штифтом могут быть мощными источниками как вынужденных колебаний упругих систем с зубчатыми колесами, так и резонансов и параметр ическо й неу стойч ивости.
3. Штифтовые соединения с двумя и больше штифтами при условии, что они выполнены
абсолютно одинаковыми, не возбуждают упругие системы. Влияние неточностей изготовления и расположения штифтов требует дополнительного исследования.
4. На сами штифты при любом их количестве в соединении действуют радиальные усилия, гармонически изменяющиеся по первой гар -монике, что может приводить к наклепу и к у сталостны м поло мкам д еталя м соед ине ния.
5. Район параметрической неустойчивости упругой системы по оборотам лежит в диапазоне собственных частот упругой системы при крайних положениях штифта при вращении соединения.
6. В области параметрической неустойчивости даже при сильном демпфировании упру -гая система колеблется по всем собственным формам и частотам.
DYNAMICS OF TOOTHED WHEELS WITH PIN CONNECTIONS
© 2006 M.I. Kurushin, A.M. Kurushin Samara State Aerospace University
At gyration of a toothed wheel pinned with the shaft and at change of an angular standing of pins rigid parameters of an elastic-system can vaiy. It can cause both the forced parametric excitation, and parametric instability and resonances of an elastic-system, which includes such joints. Requirements and the reasons of such oscillations are investigated. Conclusion is done, that only single-pin connection can induce a dynamical instability of elastic-systems including systems with toothed wheels.
