Моделирование вибронапряжённости авиационных конических зубчатых колёс Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 05. С. 1-20.

Б01: 10.7463/0517.0001141

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

13.03.2017 27.03.2017

УДК 629.735.45 - 621.833.24

Моделирование вибронапряжённости авиационных конических зубчатых колёс

Голованов В.В.1, Калинин Д.В.1'2, "едог@аат:ш

1 *

Кожаринов Е.В. '

1 Центральный институт авиационного моторостроения имени П.И. Баранова, Москва, Россия 2МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В статье рассмотрена специфика дефектов авиационных конических зубчатых колёс с круговым зубом по сравнению с коническими зубчатыми колёсами общего машиностроения. Установлено, что основной причиной разрушения авиационных конических зубчатых колёс является возбуждение резонансных колебаний обода зубчатого колеса вследствие попадания его собственных форм колебаний по узловым диаметрам в рабочий диапазон частот вращения передачи. Разработана модель, позволяющая исследовать влияние параметров модификации рабочей поверхности зубчатых колёс на функцию кинематической погрешности передачи при различной величине передаваемого крутящего момента. Разработана редуцированная динамическая модель конической зубчатой передачи, которая позволяет моделировать вибронапряжённость конических зубчатых колёс с различными параметрами модификации рабочего профиля. В рамках апробации динамической модели построены амплитудно-частотные характеристики по основным параметрам колебаний передачи, включая вибронапряжения во впадине между зубьями. Выявлен основной фактор, оказывающий влияние на вибронапряжённость конических зубчатых колёс.

Ключевые слова: конические зубчатые передачи, резонансные колебания, кинематическая погрешность, математическое моделирование, метод конечных элементов

Введение

Конические зубчатые передачи центральных и угловых приводов газотурбинных двигателей (ГТД) и трансмиссий вертолётов, обладая низкой массой и габаритами, работают при высоких окружных скоростях и передаваемых мощностях. Разрушение конического привода авиационного ГТД приводит к выключению двигателя в полёте, что является особенно опасным для однодвигательных летательных аппаратов. Агрегаты трансмиссии вертолётов являются нерезервируемыми системами, вследствие чего разрушение

находящегося в их составе конического привода согласно статистическим данным может привести к аварии.

Традиционно, основными видами расчёта конических зубчатых передач общего машиностроения является расчёт на контактную и изгибную выносливость зуба [1], [2], [3]. Недостаточная изгибная прочность зуба зубчатого колеса (ЗК) может привести к излому зуба, а недостаточная контактная прочность рабочей поверхности - к усталостному выкрашиванию.

Характерное разрушение авиационного конического зубчатого колеса возникает вследствие зарождения и развития трещины многоцикловой усталости во впадине между зубьями и сопровождается отделением сегмента диафрагмы колеса [4] (см. рис. 1).

Рис.1 Характерный вид усталостного разрушения авиационного конического зубчатого колеса (а) и место зарождения и развития усталостной трещины (б) [4] (фотография Н.В. Туманова)

Для определения причины, вызывающей подобного рода разрушения, в статье проведён сравнительный расчёт напряжённо-деформированного состояния (НДС) конического ЗК от действия сил в зацеплении и при колебаниях по собственной форме с узловыми диаметрами. В качестве примера рассмотрена ортогональная коническая зубчатая передача со следующими параметрами: число зубьев ведущей шестерни гх=27, ведомого колеса - г2=35, нормальный модуль тп=3 мм.

Для определения НДС ЗК от сил в зацеплении в области зарождения усталостной трещины создана конечно-элементная (КЭ) модель (см. рис. 2).

а)

б)

Рис.2 Расчётная КЭ модель для определения НДС ЗК от сил в зацеплении и кинематической погрешности

передачи

В модели, представленной на рис. 2, учтены следующие граничные условия: запрещены радиальные и осевые перемещения ведомого и ведущего зубчатых колёс в местах установки подшипников качения; между рабочих поверхностей зубьев задан нелинейный контакт без трения. К цилиндрическим поверхностям шестерни, контактирующим с подшипниками, приложено угловое перемещение относительно оси вращения шестерни, а к цилиндрическим поверхностям колеса, контактирующим с подшипниками, приложен передаваемый крутящий момент. Период пересопряжения зубьев передачи разбит на 30 шагов.

В результате решения задачи получено НДС конического зубчатого колеса на каждом подшаге в течение двух периодов переспоряжения зубьев передачи. График изменения максимальных первых главных напряжений а1 в межзубцовой впадине от угла поворота шестерни в1 представлен на рис. 3.

га

с

250 $1т

£ 200

150

100

50

о

1 1 1—1------- г 1 1 -1 / I .■ч 1 ч^Г Л 1 1 \ 1 1 \ 1 г \ I:

Г \ 1 1 \ 1 » \ 1 1 \ 1 1 \ 1 ' \ 1 V 1

1! \ 1 Ч I 1 и * 1 1 1

Период ¿с и пряжен и

иср я ■ 1 ■ 1

■ч- р 1 1

Л 1 Л 1 1 1 ! &т : -1- 01,*

О 5 10 15 20 25

Рис.3 Зависимость максимальных первых главных напряжений во впадине зуба от угла поворота шестерни

На рис. 4 и рис. 5 показаны НДС конического ЗК при фазовом угле вт, соответствующем максимальному значению первого главного напряжения во впадине между зубьями о1т.

а) б)

Рис.4 НДС конического зубчатого колеса от сил в зацеплении при фазовом угле вт а) первые главные

напряжения; б) третьи главные напряжения

а) б)

Рис.5 НДС конического зубчатого колеса от сил в зацеплении при фазовом угле вт. а) вторые главные

напряжения, б) контактные напряжения

Оценка характера распределения напряжений в ЗК при резонансных колебаниях по узловым диаметрам проведена при помощи гармонического анализа в конечно-элементной постановке, для которого использована модель ведомого ЗК, изображённая на рис. 2. Закрепление конечно-элементной модели ведомого ЗК осуществлено по посадочным поверхностям под подшипники, а к рабочей поверхности зуба приложена гармоническая сила в осевом направлении.

Анализ дефектов при эксплуатации конических зубчатых колёс авиационных ГТД показал, что наиболее опасными с точки зрения недостаточного сопротивления усталости обода являются колебания ведомого конического ЗК по формам с двумя, тремя и четырьмя узловыми диаметрами. На рис. 6 показаны перемещения и НДС конического зубчатого колеса при его колебаниях по форме с тремя узловыми диаметрами.

а) 6)

Рис.6 Распределение осевых перемещений (а) и НДС по первым главным напряжениям (б) конического зубчатого колеса при колебаниях по трем узловым диаметрам

По результатам проведённого расчёта установлено, что при действи сил от зацепления место возникновения максимальных первых главных напряжений располагается посередине впадины между зубьями, а при резонансных колебаниях по собственным формам с узловыми диаметрами место возникновения максимальных напряжений располагается во впадине у малого модуля и совпадает с местом зарождения усталостной трещины (см. рис. 1). На основании этого можно сделать вывод о том, что рассматриваемый тип разрушений ЗК происходит из-за возбуждения резонансных колебаний. Более того, согласно опыту доводки приводов авиационных ГТД напряжения в ЗК от сил в зацеплении существенно ниже, чем напряжения от резонансных колебаний полотна по узловым диаметрам.

Таким образом, причиной наиболее характерного вида разрушений авиационных конических ЗК является недостаточное сопротивление усталости обода колеса, резонансные колебания которого возбуждаются полигармонической силой в зацеплении при попадании собственной частоты колебаний зубчатого колеса в рабочий диапазон частот вращения ротора турбины высокого давления ГТД.

Для исключения проявления характерных дефектов конических зубчатых колёс систем приводов авиационных двигателей и трансмиссий вертолётов в эксплуатации необходимо разработать и внедрить комплексный подход к моделированию вибронапряжённости авиационных конических зубчатых колёс на стадии проектирования.

Кинематическая погрешность конической зубчатой передачи

Основным фактором, возбуждающим колебания в конической зубчатой передаче, является кинематическая погрешность (КП), возникающая вследствие нарушения условий сопряженности, то есть способности криволинейных рабочих поверхностей зубчатых колёс передавать равномерное вращение [5]. Причины возникновения КП можно подразделить на конструктивные (податливость деталей привода, модификация рабочей поверхности зуба), технологические (погрешность изготовления деталей привода, погрешность сборки деталей привода) и эксплуатационные (деформация деталей привода под передаваемой нагрузкой, температурная деформация деталей привода) [6].

Номинальное передаточное отношение конической передачи определяется как отношение числа зубьев ведомого колеса к числу зубьев ведущей шестерни . Таким образом, теоретическая функция угла поворота ведомого колеса в зависимости от угла поворота ведущей шестерни определяется номинальным передаточным отношением передачи. Разница между реальной функцией положения ведомого колеса в % ( в ^ ) и теоретической называется кинематической погрешностью [7]:

Д в2( в!) = в%(в!) - в| ( в!) = в%(в!) - ^ ■ в ! (1)

Подходы к расчёту КП конической зубчатой передачи впервые описаны в работах Г.И. Шевелёвой [5], Ф. Литвина [7], Г.А. Лопато [8]. Разработанные указанными авторами программные комплексы включают в себя модуль геометрического моделирования рабочей поверхности зуба с учётом параметров модификации и модуль решения контактной задачи путём вычисления функции Грина [9], но не позволяют учесть влияние деформации корпуса, опор и обода колеса на кинематическую погрешность передачи.

Перспективным подходом является расчёт кинематической погрешности передачи при помощи конечно-элементной модели в трёхмерной постановке. При этом для расчёта КП конической зубчатой передачи используется модель, аналогичная модели для расчёта НДС ведомого ЗК от сил в зацеплении (см. рис. 2).

С целью исследования влияния параметров модификации рабочей поверхности конической зубчатой передачи на функцию её кинематической погрешности в данной работе рассмотрены два комплекта зубчатых колёс с различными вариантами модификации: комплект «А» с порядком модификации 50 мкм и комплект «Б» с порядком модификации 100 мкм. Результаты рассчитанной функции КП конической зубчатой передачи для различных параметров модификации рабочей поверхности и при различной величине передаваемого крутящего момента представлены на рис. 7 и рис. 8.

тз га

а:

05

-700

-750

01."

ея 05

<1 -800

-850 -900

-950

-1000

-1050

! ; 10 15 20 25 30 3!

\ /Оч

/Г V у Гх \

Вариант модификации _А

Рис.8 График функции кинематической погрешности при передаваемом крутящем моменте Т2 = Т 1

Крутящий момент соответствует режиму работы передачи на кон-

Г1)

трольно-обкатном станке, а крутящий момент Т = 200 Н ■ м соответствует рабочему режиму передачи.

Из проведённых расчётов следует, что характер функции КП существенно зависит от величины передаваемого крутящего момента и параметров модификации рабочей поверхности. Для дальнейшего комплексного исследования влияния конструктивных параметров

передачи и условий её работы на функцию кинематической погрешности выделены следующие характерные параметры функции кинематической погрешности:

• Амплитуда функции КП Дб2а;

• Среднее за период значение функции КП Ав2т.

• Коэффициенты разложения функции КП в ряд Фурье тк.

Согласно рассчитанным графикам функции КП для передач с вариантом модификации «А» и «Б», амплитуда функции КП для комплекта «Б» превосходит амплитуду функции КП для комплекта «А» в 3.5 раза, в то время как среднее за период значение функции КП для комплекта «Б» превосходит среднее за период значение функции КП для комплекта «А» в 1.08 раза.

По результатам серии расчётов с использованием разработанной КЭ модели получены графики зависимости среднего за период и амплитуды функции КП (рис. 9) от величины передаваемого крутящего момента для конической передачи с модификацией «А».

тз ti сс

2500

й 2000

1500

1000

500

Т2, Н ■ м

75

ti ce

60

45

30

15

es

m

Ав2а

О 200 400 600

Рис.9 График зависимости среднего за период значения Дб2т и амплитуды Дб2а КП от величины

передаваемого крутящего момента Т2

Для последующей передачи в динамическую модель зубчатого зацепления осуществлено разложение в ряд Фурье функции КП вплоть до 6-й гармоники таким образом, что:

б

Д02(01) = ^ + У Ок^СВД + Ь^ЫСКвг))

1 к=1 (2)

тк = лак + ьк

где ак и Ьк - коэффициенты разложения, найденные преобразованием Фурье; тк - амплитуды коэффициентов.

Спектральный состав функции кинематической погрешности, полученный описанным способом, приведён на рис. 10.

Рис.10 Зависимость амплитуды коэффициентов разложения в ряд Фурье функции КП от передаваемого

крутящего момента Г2

Динамическая модель конической зубчатой передачи

При исследовании крутильных колебаний цилиндрической зубчатой передачи состояние системы описывается двумя координатами - углом поворота шестерни и углом поворота колеса 02(£). При этом система из двух уравнений движения относительно переменных 01 и 02 может быть сведена к уравнению относительно одной переменной х(0, заданной следующим образом [10]:

х(0 =1101(0 -¿202(0 (3)

где 11 - расстояние от оси вращения шестерни до точки контакта, 12 - расстояние от оси вращения колеса до точки контакта.

При боковом зазоре 2Ь статус контакта передачи без учёта деформаций будет описываться следующей функцией [11]:

1, х(0 > Ъ (контакт по рабочему профилю) cst(t) = О, Ъ > х(0 > —Ь (отсутствие контакта)

1, х(0 < —Ь (контакт по смежному профилю)

В конической передаче на функцию статуса контакта влияет также координата описывающая осевые перемещения обода шестерни в точке контакта, и осевой зазор в передаче Ь0г при нулевом относительном тангенциальном перемещении х(0, определённом из соответствующей формулы (3) для цилиндрических передач. Кинематическая связь между относительными тангенциальными и осевыми перемещениями может быть отражена линейной зависимостью с коэффициентами пропорциональности для контакта по рабочему профилю и для контакта по смежному (работающему на стартёрном режиме в ГТД или на режиме авторотации в трансмиссии вертолёта) профилю. Данные коэффициенты могут быть получены на основе приведённых в [12] зависимостей между осевыми и тангенциальными компонентами сил в зацеплении.

Запишем выражение для функции статуса контакта конической передачи следующим образом:

+ Ь02

= <

О,

1,

+Ь02

х(0 >

Ла

> х(0 > -

+Ь02

-1,х(0 <

Л с

дг^г) + Ь02

V с

(5)

Для наглядного представления функции статуса контакта на рис. 11 изображена кинематическая (т.е. без учёта деформации под нагрузкой) диаграмма зазора в конической зубчатой передаче.

Рис.11 Кинематическая диаграмма зазора в конической зубчатой передаче

В процессе работы передачи каждому значению координаты соответствует свой тангенциальный зазор, который условно разделён на зазор по рабочему профилю Ьм(2) и зазор по смежному профилю Ь[с(2). Упругие деформации в передаче возникают только после выборки зазора по соответствующим координатам.

Как правило, наибольшую опасность с точки зрения возникновения резонансных колебаний обода представляет собой ведомое колесо передачи, имеющее при характерном передаточном отношении авиационных редукторов большее число зубьев, и, как следствие, больший средний диаметр зубчатого венца и меньшую жёсткость в осевом направлении, с учётом чего в разрабатываемой модели принято допущение, что обод ведущей шестерни является абсолютно жёстким, а ведомого ЗК - деформируемым. В рамках дальнейшего совершенствования расчётной модели оба конических зубчатых колеса будут рассмотрены как деформируемые.

Пусть в рабочий диапазон ведомого конического ЗК попадают первые п собственных форм его колебаний, а сила в зацеплении действует в узле с номером I. В таком случае уравнение изгибных колебаний ведомого колеса в обобщённых координатах будет иметь следующий вид:

где {дк} - вектор-столбец обобщённых координат при собственных колебаниях колеса по формам с узловыми диметрами размера пх1;

а = 0 - коэффициент пропорциональности матрицы массы, определяющий внешнее демпфирование вязкого трения;

- коэффициент пропорциональности матрицы жёсткости, определяющий внутреннее демпфирование в материале на соответствующей форме колебаний;

П - диагональная матрица квадратов первых п собственных частот колеса размера

пхп;

|и(г)| - транспонированный вектор осевых компонент собственных форм в узле I размера пх1;

^гг(0 - сила, действующая на ведомое колесо от зацепления.

Основываясь на методе главных координат [13], осевая координата гг(0 может быть определена следующим образом:

(6)

(6)

Рис.12 Формы и частоты изгибных колебаний конического зубчатого колеса (а - 2 узловых диаметра,

б - 3 узловых диаметра, в - 4 узловых диаметра)

Рассмотрим крутильные колебания ортогональной конической передачи с числом зубьев шестерни z1, числом зубьев колеса 22 (рис. 13). Пусть у1 - плоскость вращения ведущей шестерни, расположенная в срединной плоскости её зубчатого венца, у2 - плоскость вращения ведомого ЗК, расположенная в срединной плоскости его зубчатого венца, у1' - плоскость, проходящая через ось вращения колеса О2 и перпендикулярная плоскости 71. Предположим, что точка приложения равнодействующей силы в контакте находится на пересечении плоскостей уь у2 и у/.

Рис.13 Модель крутильных колебаний конической передачи

Ведущую шестерню и ведомое колесо в модели крутильных колебаний представим в виде жёстких тел, вращающихся относительно осей Oi и О2, с моментами инерции I1 и I2 и угловыми координатами в1 и в 2 соответственно.

Система уравнений крутильных колебаний конической зубчатой передачи имеет следующий вид:

Г/А + Л1а12(Л1в1 - Л2в2) + 1-^(0 = 7\ (у)

1 12в2 - Л2а!2(ЛА - Л2в2) - AzFx(t) = Т2 где Т1 и Т2 - внешний крутящий момент на колесе и шестерне соответственно;

а 1 2 - коэффициент эквивалентного вязкого демпфирования крутильных колебаний в контакте, выбранный в соответствии с [14];

- тангенциальная сила в контакте между зубчатыми колёсами.

Тангенциальная и осевая сила в контакте между зубчатыми колёсами определяется по следующим выражениям:

( km(T2)(x(t) + Д02(0!) - (z^t) + b0q)rjd),cst = 1 Fx(t) = ] 0, est = 0

[km(T2)(x(t) + A92(91) - (zx(t) + b0q)7]c),cst = -1

(8)

Fiz(t) = <

V ?7

- тангенциальная жёсткость в контакте.

Ut) t 1

-,est = 1

Vd

0, cs t = 0 (9)

, est = —1

Средняя тангенциальная жёсткость в контакте кт (Т2) определена на основе среднего за период значения функции кинематической погрешности Д 02т(Т2) (рис. 9). Так как в процессе нагружения передачи изменяется площадь контакта рабочих профилей, тангенциальная жёсткость в контакте является функцией от передаваемого момента. Зависимость жёсткости в контакте от передаваемого колесом момента и среднего значения кинематической погрешности имеет следующий вид:

_ Т2

кт (Т ) " ШтТгУЦ (10)

Связь уравнений изгибных колебаний обода (6) и крутильных колебаний передачи (7) осуществляется через осевую и тангенциальную упругую силу в зацеплении (8), (9) в уравнение для определения которой входит значение осевых перемещений обода в точке контакта 21(1) .

Для моделирования вибронапряжённости конических зубчатых колёс необходимо перейти от перемещений обода в точке контакта ¿г(0 к напряжениям в межзубцовой впадине о"х(0. С целью решения поставленной задачи выполнен гармонический анализ ЗК при действии силы в осевом направлении на рабочую поверхность его зуба. Частота вынуждающей силы изменялась в диапазоне от 1000 Гц до 25000 Гц, амплитуда вынуждающей силы составляла 100 Н. Результаты гармонического анализа приведены в таблице 1. Коэффициент отношения максимального переменного первого главного напряжения во впадине к максимальному перемещению обода определена по следующей формуле:

(11)

г1к

где к - форма колебаний;

<5^ - максимальные напряжения во впадине на к-й форме колебаний, МПа;

- максимальные перемещения точки приложения силы на к-й форме колебаний,

мм.

Таблица 1. Результаты гармонического анализа ЗК

Форма Перемещения мкм Напряжения МПа ай,МПа/мкм

1 234 261 1.11

2 140 374 2.66

3 44.7 299 6.70

4 19.9 211 10.60

5 6.9 157 22.70

Переменные напряжения во впадине между зубьями определены по следующей формуле:

п

01 = ^ ВД^ (12)

к=1

Имеющиеся в модели нелинейности и параметрические зависимости делают аналитическое решение системы уравнений (6) - (9) практически невозможным, вследствие чего для решения данной системы использован численный метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Шаг интегрирования составляет Дt = 10_6 с, что в «62.5 раза меньше периода колебаний в верхней границы характерного рабочего диапазона конической передачи (1 6 кГц). На каждом временном шаге совместно решаются уравнения (6) - (9).

Апробация динамической модели конической зубчатой передачи

По результатам динамического моделирования могут быть построены АЧХ системы по всем параметрам, водящим в уравнения (6) - (9). На рис. 14 и рис. 15 приведены АЧХ системы по осевым перемещения гг, относительным упругим тангенциальным перемеще-

ниям в передаче х, осевой силе, действующей на обод ведомого ЗК и максимальным напряжениям в ободе ведомого ЗК о^ для варианта модификации «А». При расчёте АЧХ зубцовая частота изменялась в пределах от 100 Гц до 16000 Гц, что соответствует характерному диапазону частот вращения КВД маршевых двигателей гражданской авиации с запасом. Шаг изменения зубцовой частоты /^ составляет 5 Гц, что на порядок больше, чем характерная ширина резонансного пика.

Рис.14 АЧХ системы по осевым перемещения гг и относительным упругим тангенциальным перемещениям

в передаче х для варианта модификации «А»

св Ю00

С

ъ

^ 750

500

250

-

-

к.__ - -

ЫТи V__-А-_ Л .

0

4000

8000

12000

2500

ПС

¿4

2000 1500 1000 ~ 500

А,

0

16000

Ъ> Гц

Рис.15 АЧХ системы по осевой силе, действующей на обод ведомого ЗК и максимальным напряжениям

в ободе ведомого ЗК для варианта модификации «А»

Из анализа рассчитанных АЧХ установлено, что разработанная модель позволяет анализировать возбуждение резонансных колебаний как по крутильной форме зубчатого зацепления (резонансный пик на АЧХ относительным упругим тангенциальным перемещениям в передаче х), так и по изгибным формам обода ведомого конического колеса (пики на АЧХ системы по осевым перемещениям ). При этом резонансные колебания обода могут возбуждаться как основной гармоникой зубцовой частоты, так кратными зуб-цовыми гармониками (с меньшей амплитудой).

В таблице 2 приведены значения резонансных частот системы, полученные из АЧХ по перемещениям, в сравнении со значениями, полученными расчётным путём.

Таблица 2. Резонансные частоты ведомого конического ЗК (Гц)

Параметр Количество узловых диаметров

1 2 3 4

Совместные колебания 3720 4685 8740 14260

Изолированная система 3657 4626 8704 14218

Смещение 63 59 36 42

Как видно из таблицы 2, значения резонансных частот, полученных из АЧХ системы с крутильно-изгибными колебаниями, на величину до Д/ «60 Гц превосходят собственные частоты изолированных систем. Это может быть объяснено тем, что при расчёте собственных частот рассматривается изолированная система крутильных либо изгибных колебаний, а при построении АЧХ учитываются эффекты присоединённой массы и жёсткости. Величина Д/ составляет небольшую часть от величины собственной частоты (например, для двух узловых диаметров - порядка 1%), но в «2 раза превосходит ширину резонансного пика на половине амплитуды.

На рис. 16 приведено сравнение АЧХ конического зубчатого колеса по напряжениям в межзубцовой впадине для ведомого зубчатого колеса в передаче с вариантом модификации рабочей поверхности «А» и «Б» (графики кинематической погрешности при разных нагрузках приведены на рис. 7 и рис. 8).

Рис.16 АЧХ системы по максимальным напряжениям в ободе ведомого ЗК для варианта модификации

«А» и «Б»

Из проведённого расчёта установлено, что вибронапряжения на ведомом коническом колесе из комплекта «Б» превосходят вибронапряжения на ведомом коническом колеса из комплекта «А» в зависимости от формы колебаний в «4 раза. Полученный результат коррелирует с тем, что амплитуда функции КП для комплекта «Б» превосходит амплитуду функции КП для комплекта «А» в 3.5 раза.

Заключение

1. На основе сопоставления характерного вида разрушения авиационных конических зубчатых колёс и результатов проведённых расчётов установлено, что причиной характерного типа разрушения авиационных конических зубчатых колёс является возбуждение резонансных колебаний вследствие попадания собственных частот колебаний конического колеса в рабочий диапазон передачи.

2. Разработана параметрическая конечно-элементная модель конической зубчатой передачи, позволяющая проводить расчёт характерных параметров функции кинематической погрешности передачи с заданными параметрами модификации рабочей поверхности при различной величине передаваемого крутящего момента.

3. Разработана динамическая модель совместных крутильно-изгибных колебаний конической зубчатой передачи, позволяющая моделировать вибронапряжённость конического зубчатого колеса с учётом рассчитанной функции кинематической погрешности.

4. Установлено, что параметры модификации рабочей поверхности передачи оказывают существенное влияние на вибронапряжённость конических зубчатых колёс в всём рабочем диапазоне. Основным фактором, оказывающим влияние на амплитуду вибронапряжений в зубчатом колесе, является амплитуда функции кинематической погрешности при соответствующем передаваемом крутящем моменте.

Список литературы

1. ISO 10300-1:2014(E). Calculation of load capacity of bevel gears. Pt. 1: Introduction and general influence factors. 2nd ed. Publ. 2014-04-01. Geneva: ISO, 2014. 58 p.

2. Лопатин Б.А., Цуканов О.Н. Цилиндро-конические зубчатые передачи. Челябинск: Изд-во Южно-Уральского гос. ун-та, 2005. 200 с.

3. Иванов М.Н. Детали машин: учебник. 8-е изд. М.: Высшая школа, 2003. 408 с.

4. Туманов Н.В., Воробьева Н.А., Калинин Д.В., Кожаринов Е.В., Калашникова А.И. Комплексная фрактодиагностика конических зубчатых колёс // Проблемы и перспективы развития двигателестроения: Междунар. науч.-техн. конф. (Самара, 22-24 июня 2016 г.): Материалы докладов. Ч. 2. Самара, 2016. С. 171 - 173.

5. Шевелёва Г.И. Теория формообразования и контакта движущихся тел. М.: Станкин, 1999. 494 с.

6. Производство зубчатых колёс газотурбинных двигателей / Ю.С. Елисеев, В.В. Крымов, И.П. Нежурин и др.; под ред. Ю.С. Елисеева. М.: Высшая школа, 2001. 492 c.

7. Litvin F.L., Hong-Tao Lee. Generation and tooth contact analysis for spiral bevel gears with predesigned parabolic function of transmission errors. Wash.: NASA, 1989. 202 p.

8. Лопато Г.А., Кабатов Н.Ф., Сегаль М.Г. Конические и гипоидные передачи с круговыми зубьями. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1977. 423 с.

9. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин: Справочник. 4-е изд. М.: Машиностроение, 1993. 639 с.

10. Parker R.G., Vijayakar S.M., Imajo T. Non-linear dynamic response of a spur gear pair: modelling and experimental comparisons // J. of Sound and Vibration. 2000. Vol. 237. № 3. Pp. 435-455. DOI: 10.1005/jsvi.2000.3067

11. Кожаринов Е.В. Динамическая модель конической зубчатой передачи авиационного ГТД // Известия Московского гос. техн. ун-та МАМИ. 2015. Т. 4. № 3(25). С. 94 - 105.

12. Громан М.Б., Шлейфер М.А. Конические передачи с круговым зубом. М.: Машиностроение, 1964. 176 с.

13. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: учебник. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

14. Yping Cheng, Teik С. Lim. Dynamics of hypoid gear transmission with nonlinear time-varying mesh characteristics // Transactions of the ASME. J. of Mechanical Design. 2003. Vol. 125. № 2. Pp. 373-382. DOI: 10.1115/1.1564064

15. ГОСТ 21354-87. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные внешнего зацепления. Расчёт на прочность. Введ. 1989-01-01. М.: Изд-во стандартов, 1993. 130 с.

Science ¿Education

of the Baurnan MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 05, pp. 1-20.

DOI: 10.7463/0517.0001141

Received: 13.03.2017

Revised: 27.03.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Modeling Vibration Intensity of Aircraft Bevel Gears

V.V. Golovanov1, D.V. Kalinin1,2, [email protected]

1 *

E.V. Kozharinov '

1Baranov Central Institute of Aviation Motor, Moscow, Russia 2Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: bevel gears, resonant oscillations, transmission error, mathematical modeling, finite element method

The subject is the aircraft bevel gears, which are part of the drive systems of gas turbine engines and helicopter transmissions. The article deals with defect specifics of the aircraft conical gears with a circular tooth as compared to the conical gear wheels of general engineering. The finite element method has been used to find by calculation that the main reason for destruction of aircraft bevel gears is a resonant vibration excitation of the gear wheel rim due to its nodal diameter eigenvibrations happened to be within the operating range of the transmission rotation frequencies. A parametric finite element model has been developed. It allows us to investigate the impact of modification parameters of the drive side of gear wheels on the function of the kinematic transmission error at different values of transmitted torque. Using the method of main coordinates, a reduced dynamic model of the bevel gear has been developed to allow simulating the vibration intensity of bevel gears with various parameters of the working profile modification. Within the framework of evaluation test of the dynamic model, amplitude-frequency characteristics have been constructed for the main parameters of transmission oscillations, including vibrational stresses in the teeth space. It is found that modification parameters of the transmission drive side have a significant effect on the vibration intensity of the bevel gears in the entire operating range. The main factor affecting the vibration stress amplitude in the gear wheel is the amplitude of the kinematic error function with the corresponding torque transmitted. The obtained research results can be used when designing the new aircraft drives and modernizing the existing ones. As part of the further development, it is expected to create a technique for recording the damage accumulation in the conical gears, taking into account the typical flight profile of a gas turbine engine or a helicopter.

References

1. ISO 10300-1:2014(E). Calculation of load capacity of bevel gears. Pt. 1: Introduction and general influence factors. 2nd ed. Publ. 2014-04-01. Geneva: ISO, 2014. 58 p.

2. Lopatin B.A., Tsukanov O.N. Tsilindro-konicheskie zubchatye peredachi [Cylinder-bevel gears]. Chelyabinsk: South Ural State Univ. Publ., 2005. 200 p. (in Russian).

3. Ivanov M.N. Detali mashin [Machine parts]: textbook. 8th ed. Moscow: Vysshaia shkola Publ., 2003. 408 p. (in Russian).

4. Tumanov N.V., Vorobjeva N.A., Kalinin D.V., Kozharinov E.V., Kalashnikova

A.I. Kompleksnaia fraktodiagnostika konicheskikh zubchatykh koles [Bevel gear wheels all-round failure analysis]. Problemy iperspektivy razvitiia dvigatelestroeniia: Mezhdunarodnaia nauchno-tekhnicheskaia konferentsiia [Problems and prospects of engine development: Intern. Scientific-Technical Conf. (Samara, 22-24 June 2016)]: Proc. Samara, 2016. Pp. 171 - 173 (in Russian).

5. Sheveleva G.I. Teoriia formoobrazovaniia i kontakta dvizhuschikhsia tel [Theory of forming and contact of moving bodies]. Moscow: Stankin, 1999. 494 p. (in Russian).

6. Proizvodstvo zubchatykh koles gazoturbinnykh dvigatelej [Manufacture of cogwheels of gas turbine engines] / Yu.S. Eliseev, V.V. Krymov, I.P. Nezhurin a.o.; ed. by Yu.S. Eliseev. Moscow: Vysshaia shkola Publ., 2001. 496 p. (in Russian).

7. Litvin F.L., Hong-Tao Lee. Generation and tooth contact analysis for spiral bevel gears with predesigned parabolic function of transmission errors. Wash.: NASA, 1989. 202 p.

8. Lopato G.A., Kabatov N.F., Segal M.G. Konicheskie i gipoidnye peredachi s krugovymi zub'iami [Conical and hypoid gears with circular teeth]. 2nd ed. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1977. 423 p. (in Russian).

9. Birger I.A., Shorr B.F., Iosilevich G.B. Raschet naprochnost' detalej mashin [Calculation of the strength of machine parts]: Handbook. 4th ed. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1993. 639 p. (in Russian).

10. Parker R.G., Vijayakar S.M., Imajo T. Non-linear dynamic response of a spur gear pair: modelling and experimental comparisons. J. of Sound and Vibration, 2000, vol. 237, no. 3, pp. 435-455. DOI: 10.1005/jsvi.2000.3067

11. Kozharinov E.V. Dynamic model of GTE bevel drive. Izvestiia MSTU MAMI [Proc. of the Moscow State Technical Univ. MAMI], 2015, vol. 4, no. 3 (25), pp. 94 - 105 (in Russian).

12. Groman M.B., Shlejfer M.A. Konicheskie peredachi s krugovym zubom [Bevel gears with a circular tooth]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1964. 176 p. (in Russian).

13. Biderman V.L. Teoriia mekhanicheskikh kolebanij [Theory of mechanical oscillations]: Textbook. Moscow: Vysshaia shkola Publ., 1980. 408 p. (in Russian).

14. Yping Cheng, Teik C. Lim. Dynamics of hypoid gear transmission with nonlinear time-varying mesh characteristics. Transactions of the ASME. J. of Mechanical Design, 2003, vol. 125, no. 2, pp. 373-382. DOI: 10.1115/1.1564064

15. GOST 21354-87. Peredachi zubchatye tsilindricheskie evol'ventnye vneshnego zatsepleniia [Cylindrical evolvent gears of external engagment]. Moscow, 1993. 130 p. (in Russian).