CC BY
2УДК 629.5.03:539.3/.6
С.Н. Царенко, А.А. Молчан, А.А. Мхоян
Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003 e-mail: tzarenko@gmail.com
ДИНАМИКА ВАЛОПРОВОДА ГРЕБНОГО ВИНТА ПРИ ЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ РАЗГОНА
В работе представлена математическая модель крутильных колебаний валопровода гребного винта, возникающих в режиме разгона. Рассмотрен случай разгона, когда скорость меняется по линейной зависимости от времени. Получены расчетные зависимости для определения деформаций и крутящих моментов в сечениях вала. Выполнено сравнение динамических коэффициентов для двух случаев разгона: линейного и экспоненциального.
Ключевые слова: валопровод, режим разгона, математическая модель, динамические усилия, крутильные колебания, собственная частота, метод Фурье.
S.N. Tzarenko, A.A. Molchan, A.A. Mkhoyan
Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatsky, 683003 e-mail: tzarenko@gmail.com
DYNAMICS OF THE PROPELLER SHAFT LINE IN LINEAR ACCELERATION MODE
The paper presents a mathematical model of torsional vibrations of the propeller shaft line arising in the acceleration mode. The case of acceleration is considered, when the speed varies linearly with time. Calculated dependences for determining deformations and torques in shaft sections are obtained. The dynamic coefficients are compared for two cases of acceleration: linear and exponential.
Key words: shaft line, acceleration mode, mathematical model, dynamic forces, torsional vibrations, natural frequency, dissipative forces, Fourier method.
Валопровод предназначен для передачи крутящего момента от двигателя гребному винту. Помимо кручения, он испытывает продольные и поперечные воздействия статического и динамического характера [1]. Статические расчеты, как правило, выполняются классическими методами сопротивления материалов. Учет динамических воздействий - более сложная задача, для решения которой используют как точные, так и приближенные методы сопротивления материалов и математической физики [2-5].
Наиболее интенсивным динамическим воздействиям валопровод подвергается при переходных режимах работы (разгон, торможение) и аварийных ситуациях. В работе [6] проведено исследование динамики валопроводов для случая, когда выход на номинальную скорость вращения осуществляется по экспоненциальному закону, данная зависимость наилучшим образом отражает физическую природу процесса. Однако задать точно зависимость углов поворота при разгонном режиме не представляется возможным, так как она во многом будет зависеть от типа двигателя (дизельный, электрический), от системы управления движителем. Поэтому для решения многих технических задач используют линейную аппроксимацию, в частности для определения времени разгона электродвигателей.
Целью работы является исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) ва-лопровода гребного винта в режиме разгона, когда угловая скорость изменяется по линейной зависимости.
Расчетные зависимости
Основные допущения для вывода расчетных зависимостей примем такие же, как в работе [6]. А именно — систему валов валопровода заменим однородным упругим стержнем длиной I, крутильной жесткостью ОЗр и равномерно распределенным по длине моментом инерции масс у^р (рис. 1). На конце вала располагается гребной винт с моментом инерции 1м и учитывается момент гидродинамического сопротивления, пропорциональный квадрату угловой скорости. Левый торец вала поворачивается по заданному закону движения - 9 = / (7), моделирующего разгонный режим. Движение произвольного сечения вала рассматривается как сложное, состоящее из переносного движения левого торца вала и относительного движения деформации вала. Углы поворота для произвольного сечения определяются зависимостью:
Рис. 1. Расчетная схема валопровода
у = 6 + ф,
(1)
где ф — угол закручивания.
Уравнение углов закручивания имеет вид [6]:
аф ^ faeY
dYq2 дг2 дг у ' Удг) у ' дг2
здесь введены следующие обозначения: = x / l - безразмерная координата; т = tc /1 - безразмерное время,
c = ^GJp / yJp - скорость распространения крутильных волн в стержне; 8(х) - дельта-функция Дирака;
Ц 2GJ '
p
Rc - коэффициент гидродинамического сопротивления; 9Н0М - номинальная угловая скорость;
(2)
Rc =■
ОЗ I
р
При выводе угловой скорости вращения вала на номинальную величину 9Н0М за промежуток времени Т в соответствии с линейным законом с учетом ранее введенных обозначений получим зависимость:
0 I Tc
(3)
Дальнейшие обозначения будут: точка — для производных по т, штрих — по Постановку начальной и граничной задачи (2) сохраним, как в работе [6]:
Ф(0,т) = 0; =
<р&0) = 0; ф&0) = 0.
(4)
(5)
2
Решение уравнения (2) в соответствии с методом Фурье находится в виде ряда произведения функций:
да
ф(5,т) = £Ф„ (SK (т). (6)
п = 1
Собственные функции Ф„ принимаются, исходя из удовлетворения уравнения вида [7]:
Ф'' + Х2Ф = 0, (7)
п п п ' V /
где Хп — собственные значения.
В соответствии с первым граничным условием (4) решение уравнения (7) будет иметь вид:
Ф п (5) = ^. (8)
к п
Второе граничное условие (4) дает уравнение для нахождения собственных значений:
tan ^ , (9)
п
здесь Z = /м / (yJ l) — относительная инерционная нагрузка.
С учетом свойства ортогональности собственных функций с весом, уравнение для нахождения функций wn будет иметь вид:
w +2Д w +X2w =-^ф;(1)Г—Т +^т(ф' (1)-1-^2Ф (1))^?, (10)
" " " " A2 Isrj А\2 " " " дт2
п V / п п
где А2 = (2Ял - sin2Хп + sin2 Хп) / (4^3) — квадрат нормы собственных функций; Дп = цФп (1)/А2.
Подставив выражение для скорости (3) в уравнение (10), его решение находим в виде:
wn (т) = Апет sin(3„T + В„е^х cos(3„x + С„т2 +Dnx + En, (11)
где Ри =4 ^ П - Д П;
An, Bn — произвольные постоянные, которые находятся из начальных условий (5); Cn, Dn, En — коэффициенты, определяемые из равенства значений при соответствующих степенях переменной т левой и правой частей уравнения (10). Собственные частоты крутильных колебаний будут:
®„ = в„с /1. (12)
Выражения для углов поворота, угловых скоростей и крутящих моментов произвольных сечений вала можно представить в виде:
со * л у С\ 1
= (14)
1 п = 1 ^п Т
аз °°
= |3„Х + 5^СО8|3„х + СХ2+ЯХ + £). (15)
п = 1
Динамический коэффициент примем как отношение крутящего момента в сечении вала к номинальному моменту сопротивления:
Ш и
= 1п|3„х + 5 ^со8|3„х + С г+Ях + £„). (16)
"Ч^нсм 11 = 1
Результаты моделирования
Чтобы сопоставить результаты двух режимов разгона, параметры модели примем такими же, как в работе [6] для траулера «Механик Ковтун»: номинальная частота вращения 0НОМ = 16,3 рад/с; длина валопровода I = 11,35 м; приведенная жесткость валопровода = 1,33 • 108 Н • м2; скорость распространения волн крутильных колебаний в стальном стержне с = 3 200 м/с; относительная инерционная нагрузка ^ = 22; коэффициент гидродинамического сопротивления Дс = 587 кг • м2; время разгона Т = 0,105 с.
На графике рис. 2 штриховой линией показана угловая скорость поворота левого торца вала в соответствии с законом движения (3), сплошной линией - угловая скорость правого торца вала по зависимости (14). На рис. 3 представлена зависимость динамического коэффициента (16) от времени для левого торца вала (£, = 0), численно максимальное значение динамического коэффициента составляет Кд ~ 6,6, что почти вдвое меньше динамического коэффициента, найденного для случая экспоненциального разгона (Кд = 11) [6].
Рис. 2. Угловые скорости Рис. 3. Динамический коэффициент
торцевых сечений валопровода на левом торце тт
С одной стороны, очевидным является вывод о том, что линейный режим разгона является более благоприятным по сравнению с экспоненциальным. Использование линейного режима позволяет снизить динамические напряжения в валопроводе, а также при относительно небольшой перегрузке уменьшить время выхода на номинальную скорость вращения. Однако с другой стороны, следует принять во внимание, что на практике при выходе на номинальную скорость вращения инерционные нагрузки уменьшаются до нуля, а при линейном режиме разгона они сохраняют постоянную величину. Таким образом, линейная аппроксимация разгонного режима не в полной мере отражает физическую природу процесса, а ее использование в расчете может давать существенно заниженные значения динамических нагрузок.
Литература
1. Судовой механик: Справ. / Под общ. ред. А.А. Фока. - Одесса: Феткс, 2008. - Т. 1. - 1036 с.
2. Ларин А.А. Роль исследований крутильных колебаний валопроводов в развитии динамики машин // Питання ютори науки i техшки. - 2009. - № 4. - С. 2-9.
3. Коврижных М.Н., Глушков С.С. Расчет амплитуд свободных колебаний дискретных многомассовых систем // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. - 2008. - № 2. - С. 162-164.
4. Мартьянов В.В. Оценка угрозы возникновения резонансных колебаний на примере расчета крутильных колебаний судового валопровода пассажирского теплохода пр. Р118 // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. -2020. - Т. 12, № 2. - С. 359-368. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-2-359-368.
5. Jee Jaehoon, Chongmin Kim, Yanggon Kim. Design Improvement of a Viscous-Spring Damper for Controlling Torsional Vibration in a Propulsion Shafting System with an Engine Acceleration Problem // Journal of Marine Science and Engineering. - 2020. - Vol. 8. - P. 428. DOI: 10.3390/ jmse8060428.
6. Царенко С.Н., Рак А.Н., Безлобенко Б.Н. Динамика валопровода гребного винта при разгонных режимах // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2021. - Т. 13, № 4. - С. 548-558. DOI: 10.21821/2309-5180-2021-13-4-548-558.
7. ФилипповА.П. Колебания механических систем. - Киев: Наукова думка, 1965. - 716 с.
