Динамика углового распределения поляризованных фотоэлектронов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145; 535.14

ДИНАМИКА УГЛОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ФОТОЭЛЕКТРОНОВ

©2007 г. И.Д. Андриевский, В.Б. Тлячев

On the basis the general analytical expressions of differential cross section for the K and L-shell electrons of hydrogen-like system are investigated the influence of spin orientation on the angular distribution of photoelectrons.

Исследования в области фотоэффекта носят фундаментальный характер в силу их теоретической и практической важности. Интерес к фотоэффекту не уменьшается, и в последние годы предлагаются новые теоретические модели, описывающие процесс фотоионизации (например, [1]).

Необходимо отметить, что фотоэффект сопровождается рядом важных явлений. В частности, он может быть источником поляризованных электронов как в способе Фано, основанном на использовании спин-орбитального взаимодействия, так и при «передаче спиральности» в релятивистском фотоэффекте. Обратим внимание на то, что в [1, 2] приведен обширный список литературы по данной теме.

Одной из основных характеристик процесса фотоионизации является угловое распределение вылетающих фотоэлектронов. Изучение углового распределения представляет интерес для теории атома и позволяет получить дополнительную информацию по сравнению с той, которую дает полное сечение процесса.

Несмотря на то, что свойства фотоэлектронов рассмотрены, казалось бы, весьма подробно, тем не менее, остались до конца неизученными вопросы углового распределения сечения фотоэффекта, связанные с влиянием ориентации спина электрона.

Характерной чертой всех теоретических работ, перечисленных в [1, 2], в которых исследовалось угловое распределение фотоэлектронов, являлось усреднение по начальному и конечному спиновым состояниям электрона, поэтому терялась возможность проследить влияние ориентации спина на угловое распределение. К тому же в большинстве работ рассматривалась линейная поляризация падающих фотонов и проекция спина на одно выбранное направление, хотя преимущественная поляризация фотоэлектронов была обнаружена для круговой поляризации, и ее механизм подробно рассмотрен в [2].

В данной работе мы предлагаем исследование влияния спинового состояния электронов и поляризации фотонов на угловое распределение вылетающих фотоэлектронов с К и ¿-оболочек водородоподобного атома. Рассмотрение такой физической картины связано с тем фактом, что вероятность фотоэффекта имеет максимальное значение для наиболее связанных электронов, т.е. электронов с К-оболочки, когда избыток импульса, возникающий при поглощении фотона, передается ядру,

и поэтому чем сильнее связан электрон в атоме, тем легче происходит передача импульса ядру.

Мы будем рассматривать процесс таким образом, что фотон с импульсом к и поляризацией е падает на атом (находящийся в начале координат) вдоль оси 2, а фотоэлектрон вылетает под углом 6 к этому направлению.

Характеризовать спиновые состояния электрона будем двухкомпонентным спинором юД1), входящим в

волновые функции приближения Зоммерфельда-Мауэ, который подчиним уравнению на собственные значения:

(о1}^(1) = ^(1), с = ±1. (1)

Здесь 1 - некоторый произвольно выбранный по выделенному направлению постоянный единичный вектор (в дальнейшем будем называть его вектором поляризации), характеризующий ориентацию спина электрона: при £ = 1 спин направлен по 1, при £ = -1 спин направлен против 1; о - матрицы Паули. Заметим, что определенный в соответствии с (1) спинор а>д(1) удовлетворяет условию ортонормированности.

Введение такого спинора позволяет любой матричный элемент процесса первого порядка теории возмущения представить в виде

М = (1)[6 + ( о а)]а£ (1), (2)

где £ и £ описывают ориентацию спина электрона в начальном и конечном состоянии, по и против направления вектора поляризации.

Очевидно, что картина фотоионизации атома будет определяться не только зависимостью от угла вылета фотоэлектрона и энергии падающего фотона, но также зависимостью от проекции спина электрона на некоторое выделенное направление до и после рассеяния. Для дальнейшего исследования наиболее приемлемы четыре физически выделенных случая, связанных с направлением вектора поляризации, вектором скорости фотоэлектрона и направлением падающего фотона:

- когда вектор поляризации совпадает с направлением вектора скорости;

- когда вектор поляризации совпадает с направлением падения фотона, при этом исследование углового распределения проводим только после суммирования по начальным спиновым состояниям электрона,

так как бессмысленно вводить спиральность для электронов в начальном состоянии [2];

- когда вектор поляризации перпендикулярен скорости;

- когда вектор поляризации перпендикулярен направлению падения фотона.

Мы будем рассматривать первые два. Также считаем, что падающий фотон имеет правую круговую поляризацию, при которой, как отмечалось в [2], зависимость сечения фотоэффекта от спина проявляется наиболее сильно.

Рассмотрим вопрос об угловом распределении фотоэлектронов, возникающих в результате ионизации атомов, находящихся в S или Р-состоянии, под действием фотонов круговой поляризации (конкретно - правой поляризации), т.е. когда процесс ионизации происходит для электрона, находящегося в начальном состоянии с полным моментом j=1/2. Очевидно, что тогда орбитальный момент может принимать значения l=0, 1. Таким образом, будем изучать процессы с уровня nSi/2 (Х-оболочки) и пР1/2 (L-оболочка). Все дальнейшие расчеты и обозначения производятся в соответствии с работой [2].

Дифференциальное сечение фотоэффекта, учитывающее спиновое состояние электронов, можно представить для вышеназванных случаев в виде da dD

где dD = sinШШр, 0<в<ж, 0< р <2ж ; здесь в,

р - полярный и аксиальный углы; N - нормировочный коэффициент.

Так как при l = v/v мы не можем говорить об ориентации спина электрона в начальном состоянии, формулу (3) необходимо просуммировать по начальным спиновым состояниям:

2 ^ = 2^1 + F + С'(^2- F2)]. (4)

С=+1 dD

Функции Sj , S2 , Fi и F2 зависят от в, р, и поэтому они полностью определяют угловое распределение фотоэлектронов. Их конкретный вид зависит от типа исследуемого перехода.

Используя хорошо известные волновые функции дискретного спектра водородоподобного атома исходного состояния и волновые функции конечного состояния электрона в приближении Зоммерфельда-Мауэ, получим выражения для функций Si, S2, Fi и F2 которые имеют следующий вид для Х-оболочки при задании различных спиральностей. Когда l = n:

.2.. ..2..2 А\(.. л\2(..... i\2

^2 = t(2r2M - r V - l)(l - m)[r + 3 -г(г-1)^ ]>

= N [(1 + СС) S +ÍS2) +(1 - CCXF + F )], (3)

51 =(2r2M-r2M2 - 1)|(r-1)2Гм +1)2 - 4(r + 1)(r2^-r"- 2)5};

52 =^(2r2^-r2^2 - 1)(r- 1)(r" +1)> x[r + 3-r(r- ;

F = -F = (2r2M-r2M2 -1)2 (r -1)2;

при l = v/v:

S1 = (2^ - r V - 1){(r2 - 1)(r" -1)2 -2r2(r-1)M2 + 4r(r - 1)м - 6r - 1o5};

(5)

xV7-1; (6)

F = (2^ - r2M2 -1)2(r - 1)(r +1 - 25); F2 = -{(2r2M - r V-1)2 (r- .

Здесь ju = 1-(nv), r = 1/^1 - v2 ; v - скорость фотоэлектронов, % = -/(n[ee+ ]) падающего

степень поляризации

фотона; 8 = (е+е±)ее±), е± = ^ п(пу) .

-(nv)

Для правой круговой поляризации фотона 8=1/2, £ = 1; при линейной поляризации 8=1 и £ = 0.

N = -

z 5«Ч2

8no3r4 (r- 1yr-1 ИА

; п0 - главное квантовое

число; а - постоянная тонкой структуры; ге - классический радиус электрона.

В большинстве работ по фотоэффекту обычно анализируется непосредственная зависимость сечения от угла, которую представляют графически в виде определенного профиля. Причем, как правило, исследуется поведение угла, на который приходится максимум сечения, и проследить динамику изменения направления, на которое падает максимальное значение сечения, не удается или же приходится представлять большое количество диаграмм.

Поэтому, на наш взгляд, более информативными будут графики, представляющие зависимость угла в13*, на который приходится максимум дифференциального сечения от скорости (энергии) фотоэлектронов. В дальнейшем мы будем представлять именно такие графические зависимости. Выбор данного параметра очевиден еще и с той точки зрения, что угол, на который приходится максимум дифференциального сечения, наиболее просто может быть измерен экспериментально.

Полученные выражения (3)-(6) позволяют провести полный анализ углового распределения фотоэлектронов с Х-оболочки. На рис. 1 и 2 представлены графики функциональной зависимости впах (V) для выбранных двух случаев направления вектора поляризации.

Рис. 1. Зависимость угла в™х , на который приходится максимум дифференциального сечения, от скорости фотоэлектронов для К-оболочки. Основной максимум

Кривая 1 (рис. 1) построена для случая, связанного с переворотом спина электрона (С = -С = -1) при ионизации атома фотоном круговой поляризации и вектором поляризации, выбранном в направлении падающего фотона l = n, кривая 2 (рис. 1) соответствует значениям С = С = 1 (без переворота спина). Очевидное различие говорит о влиянии спинового состояния на характер углового распределения. Более того, отметим, что кривая 2 совпадает с профилем углового распределения, построенного для дифференциального сечения, усредненного по начальным и конечным спиновым состояниям. Кроме того, кривая 2 совпадает с картиной движения максимума сечения, рассчитанного без переворота спина электрона для линейной поляризации фотона.

При выборе вектора поляризации в направлении вектора скорости вылетающих фотоэлектронов l = v/v кривая 1 на рис. 1 соответствует картине движения максимума сечения фотоэффекта как для С = 1, так и для С= -1, причем и для линейной, и для круговой поляризации падающих фотонов.

Рис. 2. Зависимость угла 6тах , на который приходится максимум дифференциального сечения, от скорости фотоэлектронов для К-оболочки. Основной и побочный максимумы

Более детальный численный анализ показывает наличие в угловом распределении наряду с основным максимум других, но более ослабленных. На рис. 2 кривая 1 построена для процесса, происходящего без переворота спина (£ = £ = -1) при круговой поляризации падающего фотона и для 1 = п, причем отметим, что, начиная со скорости v=0,8 (т.е. перехода к релятивистским энергиям), в угловом распределении уже наблюдается движение двух максимумов (кривые 1 и 2).

Таким образом, необходимо выделить, что при фотоионизации с К-оболочки влияние спиновых состояний на угловое распределение фотоэлектронов проявляется по-разному в зависимости от переходов (с переворотом и без переворота спина) и ориентации вектора поляризации. В случае переходов без переориентации спина (£ = £ = +1) для 1 = п (причем и при линейной и круговой поляризации фотона) график зависимости б"13* (V) практически не отличается от графика, построенного для углового распределения дифференциального сечения, усредненного

по начальным и конечным спиновым состояниям. Графики для l = v/v с учетом суммирования по начальным спиновым состояниям полностью совпадают с картиной углового распределения дифференциального сечения, усредненного по начальным и конечным спиновым состояниям.

Наиболее сильно влияние спина проявляется в переходе с переориентацией спина С= ~С = -1 для l = n. Обратим внимание, что переход из состояния с С = 1 в состояние с С = -1 для l = n запрещен.

Более интересна и разнообразна картина углового распределения для фотоионизации с Z-оболочки. В этом случае вычисленные функции Sj , S2 , Fj и F2 в дифференциальном сечении (3) и (4) имеют следующий вид: для l = n

S, = (у-1)2(2rV-rV -i)x

у2 (у - 1)«2 + 4у2« - + 8у(2у2« -у2«2 - l)x

-3(У2 -l)(y-1«4-у2(у2 -l)(2y2-у + 3«3 +

- 2у(зу3 + у2 + у — 1« - 4(3y2 +1« + 8}};

S2 = (1 - у)(2у 2u - у 2u2 - Ar4 (у -1)2 (у + з)«4 +

+ 4у3 (у - 1)(3у -1)«3 - 8у2 (2у3 + Зу - i)«2 + + 16у(2у2 + у + i)«- 1б(у + i)J^ ;

F =(у-1)2 [у3(у-1)«3 -у2(2у2 + 3у + 7«2 + (7)

+ 8у2« - 4J2 - 8(2у2« - у2«2 - 1)х

х [у4 (у2 - 1)у -1)«4 - у3 (у2 -1)2у2 + 3у -1)«3 + + 4у2 (3у3 + у2 - у -1)«2 - 4у(5у2 -1)« + 8у}} ; F2 = {- (у -1)2 [у3 (у -1)«3 - у 2 (2у2 + 3у + 7)«2 + + 8у2« - 4J2 + 4(у - 1)(2у2« - у2«2 - 1)х х у 4 (у -1)2 «4 - у3 (у - 1)(2у2 + 3у + 9)«3 + + 2у2 (бу2 — у + 7)«2 - 4у(5у-1)« + 8J}^; для l = v/v

S =(2у2«-у2«2 - 1)у-1)2 х

х [у2 (у -1«2 + 4у2« - 4J2 + (у - 1)(2у2« - у2«2 - 1)х з)«4 + 16у3 (2у2 - 3у - 3)«

3)«

S2 = -(.у2« -у2«2 - 1)(у - 1)л/у2 -1 х

2у4 (5у2 + 6у + 5«4 + 16у3 (2у2 -3у - 3«3 -

-16у2 (2у2 + 3у - 3«2 + 64у« + 32

2

};

у4 (у-1)(у + 3)«4 + 8у3 (у2 +1)«3 +

4;

+ 8у2 (2у2 - 5у -1)«2 - 32у(у -1)« +16 1 = (у -1)2 у3 (У -1)«3 - У2 (2у2 + 3у + 7«2 + + 8у2« - 4J2 + (у - 1)(2у2« - у2«2 - 1)х - 2у4 (5у2 + 6у + 5)«4 + 16у3 (3у +1)«3 -

- 16у2 (у2 + у + 4«2 + 64у2« - 32 F2 {-у(1 -«)[у3 (у-1)«3

V у2 -1

};

х

- у2 (¿.у2 + 3у + 1)и2 + 8/2М- + + (2у2^ - у У -1) [у5 (у -1)2 М5 - у4 (у -1)> х(2у2 + 3у + 11),и4 + 16у3 (у2 + 2)цг +

+ 8у2 (у2 - 3у + 4^-16у(2у-1)^ + 1б]}£ . Здесь коэффициент N принимает значение

N = -

l(Zo)

288m

-1

1

6 (у-

имеется в области v=0,375 (рис. 5, кривая 1); при £ = -1 максимум появляется при v=0,440 (рис. 5, кривая 2). Кривая 3 на рис. 5 соответствует круговой поляризации падающих фотонов при суммировании и по начальным и по конечным спиновым состояниям электрона. Кривая 4 на рис. 5 отражает картину движения максимума сечения для линейной поляризации падающих фотонов, причем зависимости от £ не наблюдается.

Формулы (3), (4), (7) и (8) полностью определяют диаграмму направленности фотоэлектронов при учете начального и конечного спинового состояния в случае ионизации атома из Р-состояния.

Заметим также, что, как показано в [2], для этого случая и правой круговой поляризации фотонов зависимость дифференциального сечения фотоэффекта от спина проявляется наиболее сильно.

Проведенный анализ формул (7) и (8) показывает, что угловой профиль сечения процесса с ¿-оболочки при заданной спиральности 1 = п и состояниях спина £ =£ = 1 на всем интервале изменения скоростей фотоэлектронов имеет два максимума как для круговой, так и для линейной поляризации падающего фотона. Однако, начиная со скорости V = 0,85 при линейной поляризации фотона ионизации, появляется третий, весьма ослабленный максимум (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость угла 9™х , на который приходится максимум дифференциального сечения, от скорости фотоэлектронов (ионизация атома фотоном круговой поляризации, вектор поляризации выбран в направлении

падающего фотона 1=п) для Ь-оболочки. Переход без переворота спина £= £ = 1. Кривая 1 соответствует основному; 2 - второму, 3 - третьему максимумам

Картина изменения максимума углового распределения, рассчитанная с учетом переворота спина, показана на рис. 4. Как видим, третий максимум исчезает, и появляются небольшие отличия в угловых распределениях сечения для круговой и линейной поляризации фотона.

Существенные изменения в динамике максимума углового распределения проявляются, когда вектор поляризации выбран по направлению скорости вылета фотоэлектрона. Для всех случаев поляризации имеется только один максимум. В частности, при круговой поляризации фотонов для случая £=1 максимум

Рис. 4. Зависимость угла 9шах , на который приходится максимум дифференциального сечения, от скорости фотоэлектронов (ионизация атома фотоном круговой поляризации, вектор поляризации выбран в направлении

падающего фотона 1=п) для Ь-оболочки. Переход с переворотом спина £= -£ = 1. Кривые 1, 2 относятся к случаю круговой поляризации фотона; 3, 4 - к случаю линейной поляризации фотона; кривые 1, 3 соответствуют основному максимуму; 2, 4 - второму максимуму

Рис. 5. Зависимость угла вшах , на который приходится максимум дифференциального сечения, от скорости фотоэлектронов (ионизация атома фотоном круговой поляризации, вектор поляризации выбран в направлении

падающего фотона 1=у^) для Ь-оболочки. Кривая 1 соответствует круговой поляризации фотонов при £ = 1; 2 - круговой поляризации фотонов при £ = -1; 3 - круговой поляризации фотонов при суммировании по £; кривая 4 соответствует линейной поляризации фотонов (£ = ±1)

В силу большого количества различных сочетаний спиновых состояний, поляризации фотона и выбора

n

e

0

5

n

0

направления вектора поляризации в данной работе мы не можем провести анализ всех случаев динамики картины углового распределения фотоэлектронов. Тем не менее заметим, что более подробный анализ углового распределения при фотоионизации атома с пРт уровня представлен в [3].

Наша задача состояла в том, чтобы получить общие выражения для углового распределения сечения фотоэффекта и на этой основе продемонстрировать влияние ориентации спина на поведение максимума углового распределения в зависимости от скорости фотоэлектронов. Полученные результаты свидетельствуют о нетривиальных особенностях в угловом рас-

пределении, которые не видны после суммирования по начальным и конечным спиновым состояниям.

Отметим, что процедура усреднения, примененная к полученным в статье формулам (3)-(8), приводит к известным результатам, описанным в литературе, представленной в [1-3].

Литература

1. Sorensen A.H. // Physical Review. A. 2001. Vol. 64. 012703.

2. Багров В.Г. и др. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. Вып. 6. С. 1 - 8.

3. Андриевский И.Д., Тлячев В.Б. // Труды ФОРА. 2005. № 10. С. 73-86.

Адыгейский государственный университет_15 января 2007 г.