CC BY
28
А_
Математическое моделирование физических процессов
УДК 535.21 1
В.И. Иванов, A.A. Кузин, А.И. Ливашвили, В.К. Хе
ДИНАМИКА СВЕТОИНДУЦИРОВАННОй ТЕПЛОВОй ЛИНЗЫ В ЖИДКОФАЗНОй ДВУХКОМПОНЕНТНОй СРЕДЕ
Образование тепловой линзы под действием излучения в поглощающей среде является одним из первых нелинейно-оптических эффектов, хорошо изученных как экспериментально, так и теоретически [1, 2]. Значительно меньше изучено самовоздействие излучения в двух-компонентных средах, в которых существуют концентрационные механизмы кубичной нелинейности среды, обусловленные, в частности, таким явлением, как термодиффузия (в жидкостях — эффект Соре [3]). Термодиффузионное самовоздействие излучения исследовалось в ряде работ [3—6], посвященных в основном изучению стационарных режимов тепловой линзы. Детальное исследование динамики светоинду-цированного тепломассопереноса в двухкомпо-нентной среде позволит решить важную прикладную задачу термолинзовой спектроскопии многокомпонентных сред.
Цель работы — теоретический анализ динамики тепловой линзы, возникающей в жидко-фазной бинарной среде под действием Гауссова пучка излучения, обусловленной в том числе термодиффузионными потоками компонент.
Объектом исследования является двухком-понентная жидкофазная среда (коллоидный раствор, двухкомпонентная смесь), состоящая из дисперсной фазы и дисперсной среды.
Излучение с Гауссовым поперечным профилем интенсивности падает на слой среды толщиной й. Коэффициент поглощения среды не
зависит от концентрации компонент и значительно меньше обратной длины рассматриваемого слоя, так что затуханием излучения можно пренебречь и задача становится цилиндрически симметричной. При взаимодействии светового поля с рассматриваемой средой возникают радиальные тепловой и концентрационный потоки, обусловленные соответствующими градиентами. Систему балансных уравнений, связывающих эти потоки, можно записать в следующем виде [6]:
dT = aV2T ^exp (-r2/r02); (1) dt cpp
— = DV2C + DTC V2T, (2)
dt
где Т — температура среды; C (r ,t) — массовая концентрация растворенной компоненты; a = \Jcpp (k — коэффициент теплопроводности среды); cp ,p — соответственно теплоемкость и плотность среды; а — коэффициент поглощения излучения, а = const; I0 — интенсивность света в центре Гауссова пучка; D — коэффициент диффузии частиц дисперсной фазы; r0 — радиус
2 1 did
светового пучка; V =--1 r—
r dr^ dr
Рассмотрим случай малых концентраций дисперсной фазы (C << 1) и малых ее изменений; это позволяет линеаризовать второе уравнение системы, записав искомую концен-
4
Математическое моделирование физических процессов
трацию в виде суммы невозмущенной части С0 и возмущенной С^:
где
С (г ) = Со + См (г ) = Со(1 + С '(г )),
С) = ^фй << 1.
С
(3)
о
дС' д(
= БУ2С'+ БТС' У2Т;
Т {г ,0) = То, дГ\г=0 = 0;
С' (г,0) = 0 , ^ I г_о = 0; 0 < г < дг
(5)
(6)
(7)
Т (г ) = То +
[Е1(- г V Го2) - Е(-Г 2/(г2 + ))],
(8)
4А
где Б1 — интегральная показательная функция.
Воспользовавшись соответствующим представлением интегральных показательных функций [8], можно из формулы (8) получить выражение для температуры, справедливое для приосевого приближения (г2/г02 << 1):
Т(г ) = То +
а!ого
4Х
1п
1 +
4аХ
'о ;
4аГ
г02 г02 + 4а^
+ О
Г 4
Кг0 у
(9)
Используя выражение (8), перепишем уравнение (5) в виде
дС = БУ2С 'Ч[ехр(-г 2/ го2)-
„2
г02 + 4а?
ехр(- г 2/(г02 + 4а?))
После проведения соответствующих преобразований, с учетом неравенства (3), получим систему уравнений переноса с начальными условиями:
дТ = аУ2Т + ^ ехр(- г2/г02); (4)
д СрР
а10БТ где % = —.
А
Задача допускает точное решение методом функции Грина [7], которое можно записать в следующем виде:
С '(г ) = к к ' 4Б I
Б1
(
а - Б
г2 + 4Б
Г2 +
л /
- Б1 -
- Б1
г 2
V го у
у
V
го2 + 4at
(11)
Асимптотика этого выражения вблизи оси пучка (при г21г0 << 1) имеет вид:
С„„ =-
а
Равенство нулю производных на оси кюветы выражает факт конечности искомых функций Т(г, Г) и С '(г).
Температура среды устанавливается значительно быстрее и не зависит от пространственного распределения частиц. Поэтому решим сначала тепловую задачу (4), (6), используя соответствующую для нее функцию Грина [7]. После проведения необходимого интегрирования получим точное решение:
Б
(
а - Б
1п
4Б I а - Б
Л
1п
1 +
4Б?
(12)
, 4at
1 + "Г Го )
2
16аБ?
2
Го2 (Го2 + 4Б1 )(го2 + 4а1) I
Полученные результаты позволяют вычислить фокусное расстояние Тлинзы, образованной в слое среды (считаем линзу тонкой, так что самовоздействие пучка заключается только в модуляции его фазы, поперечное распределение интенсивности на длине слоя не изменяется).
Поскольку в однофазной жидкости при неоднородном нагреве также возникает тепловая линза (обусловленная, например, тепловым расширением среды и соответствующим уменьшением показателя преломления), то в дисперсной среде существуют два тепловых механизма нелинейности, вклады от которых аддитивны. Фокусные расстояния тепловой и концентрационной линз соответственно равны
[9]-
/г =
Рс =
' дТ
дС
д2Т дг 2
д2С дг 2
-1
г=0 -1
г=0
(13)
(14)
0
2
2
+
2
2
а
2
о
2
4
2
4
Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки 4' 2011
f dn Л где I — I и
1эг)
дп дС
являются постоянными для
данного вещества (и для разных сред могут иметь разный знак).
Проводя вычисления для фокусных расстояний тепловой и концентрационной линз с использованием равенств (9) —(14), получим:
8d aI0
1 + -
4at
du
dT
-i
^ I ; (15)
Fe = —.
8d aI0C0DT
(r02 + 4Dt )(r02 + 4at) fdn V1. (16)
at2
dC
ной только изменением температуры в одно-компонентной среде) и термодиффузионной линз существенно разные. Для оптической силы результирующей линзы = Г^1 + Г^1 имеем окончательное выражение:
8 d aI0 X
f 2 ^ 1+
4at
v
-1
dn dT
(17)
"Co D
at
2
0 T (r02 + 4Dt)(r02 + 4at) 19C
dn
Таким образом, временные закономерности формирования обычной тепловой (обусловлен-
Полученные результаты могут быть использованы для развития методов термолинзовой спектроскопии и диагностики многокомпонентных жидкофазных сред.
2
U
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахманов, С.А. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде [Текст] / С.А. Ахманов, А.П. Сухоруков, Р.В. Хохлов // Успехи физических наук.—1967.— Т. 93.—Вып.1— С. 19-70.
2. Альтшулер, Г.Б. Нелинейные линзы и их применение [Текст] / Г.Б. Альтшулер, Г.Б. Инночкин // Успехи физических наук.-Т. 163.-№ 7-С. 65-84.
3. Giglio, M. Thermal lens effect in a binary liquid mixture: A new effect [Text] / M. Giglio, A. Vendramini // Appl. Phys. Lett.-1974.-Vol. 25.-No. 10. - P. 555-557.
4. Vicary, L. Pump-probe detection of optical nonlin-earity in water-in-oil microemulsion [Text] / L. Vicary // Philosoph. Mag. B.-2002.-Vol. 82.- P. 447-452.
5. Иванов, В.И. Самовоздействие гауссова пучка в жидкофазной микрогетерогенной среде [Текст] / В.И. Иванов, К.Н. Окишев, Ю.М. Карпец, А.И.
Ливашвили // Изв. Томск. политехн. ун-та.— 2005.— Т. 308.- № 5 - С. 23-24.
6. Иванов, В.И. Термоиндуцированное самовоздействие гауссова пучка излучения в жидкой дисперсной среде [Текст] / В.И. Иванов, А.И. Ливашвили, А.А. Кузин // Вестник НГУ. Сер. Физика.— 2010.Т. 5.- № 1- С. 5-8.
7. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики [Текст] / А.Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2000.- 576 с.
8. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения [Текст] / Н.Н. Лебедев. - М.: Физматгиз, 1963- 312 с.
9. Там, Э.Э. Сверхчувствительная лазерная спектроскопия [Текст] / Э.Э. Там, Р.Р. Бердж, Х.Л. Фанг [и др.] Под ред. Клайджера Д. // М.: Мир, 1986.- 520 с.
УДК 539.3
В.М. Жгутов
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕйНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
оболочек переменной толщины
Оболочки как элементы разного рода кон- Тонкостенные элементы современных струкций широко применяются в различных конструкций в виде оболочек предназначены областях техники и строительства. для работы под воздействием механических
