CC BY
31
Динамика системы псевдоспинов в структурно-неустойчивом кристалле
Е.Е. Слядников
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В структурно-неустойчивом кристалле исследуется движение псевдоспинов относительно молекулярного поля в простом приближении хаотических фаз, когда затуханием можно пренебречь. Псевдоспиновая волна является мягкой модой, с одной стороны, понижающей симметрию сильновозбужденного состояния, а с другой стороны, восстанавливающей симметрию высокотемпературной (низкотемпературной) фазы.
1. Введение
Экспериментально было обнаружено, что неустойчивый кристалл относительно структурного перехода исходная - конечная фаза как при изменении температуры в окрестности ГМА, так и при изменении внешней силы в окрестности стс испытывает переход в сильновозбужденное состояние [1-3]. Для теоретического описания структурного перехода в сильновозбужденное состояние предлагается микроскопическая модель, описывающая деформированный кристалл как квантовую систему псевдоспинов [4, 5]. Причина возникновения сильновозбужденного состояния в кристалле заключается в том, что внешнее воздействие (изменение температуры, механическая сила), стимулирующее структурный переход «исходная - конечная фаза», уменьшает площадь горба, разделяющего минимумы двухямного потенциала атома. Это приводит к существенному увеличению квантового туннелирования атома и уменьшению асимметрии двухямного потенциала. Возникает неустойчивость состояния исходной кристаллической решетки с асимметричным двухямным потенциалом относительно возникновения сильновозбужденного состояния решетки с симметричным двухямным потенциалом. В результате неустойчивости на нижней границе внешнего воздействия (при температуре Т-) возбуждается мягкая коллективная мода — псевдоспиновая волна, переводящая кристалл из низкотемпературной фазы в сильновозбужденное состояние. При дальнейшем увеличении внешнего воздействия на верхней границе (при температуре
Т +) происходит конденсация мягкой псевдоспиновой волны, которая переводит кристалл из сильновозбужденного состояния в высокотемпературную структуру. В рамках приближения молекулярного поля [5] можно изучить только термодинамические (стационарные) свойства системы псевдоспинов. Поэтому для изучения динамических свойств структурно-неустойчивого кристалла, например частоты мягкой псевдоспиновой волны, необходимо выйти за рамки приближения молекулярного поля и использовать приближение хаотических фаз.
В данной работе исследуется движение псевдоспинов относительно молекулярного поля в простом приближении хаотических фаз, когда затуханием можно пренебречь.
2. Гамильтониан и основные уравнения
Поскольку нас интересует отклик системы псевдоспинов на компоненту механического поля й, ^), изменяющую асимметрию двухямного потенциального рельефа и зависящую от времени и пространственных координат, запишем гамильтониан квантовой системы псевдоспинов в виде [4]
2 2 7 +
+ 32 Щт$)$2т + Ш,- (0 7,т
н = -2^0#
© Слядников Е.Е., 2003
Здесь S? , Sf, Sz — операторы Паули для спина -2; Йю0 — расщепление энергий нечетного и четного состояний атома; hJj — константа двухчастичного взаимодействия; frljm — константа трехчастичного взаимодействия. Вследствие временной зависимости H средние значения спиновых переменных также зависят от времени, поэтому будем обозначать их
\t) = ( S“) t
Гейзенберговские уравнения движения для средних значений спиновых операторов (в системе единиц, где Й = 1) имеют вид
dS;
(t)/dt = -i ([Si, H])t.
(2)
В приближении хаотических фаз, являющемся прямым обобщением приближения молекулярного поля на случай задач с временной зависимостью, усредним правую часть уравнения (2), используя соотношение [6]:
р = Пр-
(3)
то есть снова приближенно заменяя матрицу плотности системы многих частиц произведением одночастичных матриц плотности. Эта процедура эквивалентна замене среднего значения произведения двух операторов произведением средних:
(Б“ =(^)М- (4)
где а, р = (х, у, I). Теперь уравнения движения приобретают вид
Л8,. (, Vdt = S, (,) х h, (,), (5)
где зависящее от времени молекулярное поле h, (,) описывается выражением
\ (,) = -[Э(н),/Э8, (,)]. (6)
Эти уравнения эквивалентны уравнениям для свободной прецессии псевдоспина вокруг мгновенного значения молекулярного поля в данном узле [6].
Поскольку нас интересует линейный отклик псевдо-спиновой системы на компоненту механического поля (,), имеющую вид
(,) = 8й, ехр(,ю,), (7)
мы можем заменить 8, (,) суммой постоянного члена 8, (равного среднему значению приближения молекулярного поля) и зависящего от времени малого отклонения 88, ехр(,ю,) от решения приближения молекулярного поля, то есть
8, (,) = 80 +88, ехр(,ю,). (8)
Аналогично
hi(t) = h0 + 8Ьг- exP(i'rot).
(9)
Уравнения движения (2) теперь могут быть записаны с использованием выражений (7)-(9) в виде
,ю88, =88, х Ьг0 + 8г0 х8Ь, + 88, х 8Ь,. (10)
Член 80 хЬ° тождественно равен нулю, так как среднее значение псевдоспина ориентировано вдоль направления молекулярного поля.
Из гамильтониана (1) получаем зависящее от времени молекулярное поле h, (,) в виде
ь, (,) =
г \
®0, 0, 2 j (t) + 2 hmS*, (t)Sm (t)] +Ц- (t)
(11)
так что амплитуда отклонения 8Ь, от среднего значения молекулярного поля определяется выражением
(
8h,. =
0, 0,2
J + j S0z
J ij / j iim s m
8SZ + 8Ц
(12)
Поскольку Б-У = 0 как в сильновозбужденном состоянии, так в высокотемпературной и низкотемпературной фазах, то уравнения движения для компонент вектора отклонения псевдоспина 88, приобретают вид
jS z +
Ej s 0z S
Aijmuj u;
m
Jj + 22 JjmS>
■ 8Sf +
8SZ + 8Ц- [8Sf,
(13)
j + j s0z
Jij jijm Sm
8s; [-
j s 0 Z i ^Л j s Oz s 0 Z
JijSj +^2JijmSj Sm
8S? -
- Si0? 8Ц- -i2
s Oz
ijm Sm
8SZ + 8Ц- ^ 8S?, (14)
im8S,z = -ro08Sf.
(15)
Выражения (13)-(15) представляют собой систему 3N нелинейных уравнений, связывающих амплитуды флуктуаций псевдоспинов относительно молекулярного поля с амплитудой зависящей от времени компоненты механического поля. Собственные частоты системы псевдоспинов можно вычислить, полагая 8й, = 0 и решая однородную систему линейных уравнений (13)-(15) относительно ю. Представленная выше система 3Л^ уравнений может быть сведена к N системам трех уравнений для заданного волнового вектора путем преобразования к нормальным координатам, как это делается в случае фононов. Фурье-образы средних значений операторов отклонения псевдоспина являются искомыми коллективными переменными:
+
8Бд =28Б exP(-,qR,),
,
8^ = 28^, ,).
(16)
3. Уравнения динамики в сильновозбужденном состоянии
Рассмотрим свободную прецессию псевдоспина в сильновозбужденном состоянии кристалла, достигнутом за счет изменения температуры, где Б [ = 0. Используя координаты (16), получаем для прецессионного движения с волновым вектором q систему нелинейных уравнений
= {Jq8sq + 8^ }8Б^, (17)
гю85^ = {ю0 - /я Б 0х} 85^ -
- 5 0Х8^ - {Jq8Sq + 8Ц, }8Б£, (18)
,ю8БЯ =-ю08Б^. (19)
Однородная система линеаризованных уравнений (17)-(19) при 8^ = 0 имеет нетривиальное решение только в случае, если определитель этой системы
,0 0 0
0
,ю - Ю0 + JqБ
0х
00
0
,0
(20)
тождественно равен нулю. Результирующее секулярное уравнение для собственных частот имеет три решения
ю1 (q) = 0,
®2,3^) = 00(00 - JqS0х ) Б0 х = (1/2)Л(ю0/2^Т).
(21)
(22)
Решение ю1 (q) = 0 соответствует продольной моде, то есть движению в направлении молекулярного поля, параллельного Бх в сильновозбужденном состоянии кристалла. Два других решения ю23(я) отвечают поперечным возбуждениям и описывают свободную прецессию псевдоспинов относительно молекулярного поля [6]. Однако на нижней и верхней границах интервала (Т- Т +) частота прецессии становится малой величиной вследствие ослабления двухчастичного взаимодействия псевдоспинов, когда
2ю0 - "qth(Юo/2kвT) —— 0,
(23)
то есть при Т — Те. Разумно предположить, что, по крайней мере в пределе Т — TMA, аналогично случаю мягких фононов структурный переход из сильновозбужденного состояния в высокотемпературную (низкотемпературную) фазу связан с конденсацией мягкой псевдо-спиновой волны. Тогда в окрестности Те можно разложить ю23^0) по степеням Т - Т
ю2,3(я0) = (д<02,3(Л0)/дТ)Т=Т0 (Т Те) =
= Х(Я0)(Т -Тс/ Тс), (24)
^0) = (ю2 J(qoV4kвTc2)ch ->0/^), (25)
в то время как ю2>3(я Ф q0)T=Т Ф 0, где q0 — волновой вектор мягкой (критической) моды. В сильновозбужденном состоянии при Т — TMA квадрат частоты мягкой псевдоспиновой волны, как и в случае мягких фононов, является линейной функцией Т - Т в окрестности точки ^.
Структура высокотемпературной (низкотемпературной) фазы определяется «замороженными» смещениями в левую (правую) яму двухямного потенциального рельефа, отвечающими мягкой моде. Критический волновой вектор q 0, очевидно, таков, что ю2>3(я) обращается в нуль с приближением к Т при q = q0, то есть, как и раньше, при этом значении величина Jq принимает максимальное значение. Для короткодействующих взаимодействий между ближайшими соседями возможны два случая: Jij > 0 и Jij < 0. В рамках нашей модели перехода высокотемпературная фаза - сильновозбужденное состояние - низкотемпературная фаза Jj > 0
и, следовательно, максимум величины Jq достигается при q = 0:
Jq = Jo, (26)
Чmax ^
и мода псевдоспиновой волны становится мягкой модой в центре зоны Бриллюэна, то есть в пределе Т — TMA для q 0 = 0
ю2,3(0) = ^(0)(Т - ТТ). (27)
Параметром порядка, который представляет собой замороженную координату, соответствующую мягкой нормальной моде, в данном случае служит однородная спонтанная разность заполнения (поляризация) левого и правого минимума двухямного потенциального рельефа. Положительное значение разности заполнения соответствует низкотемпературной структуре, а отрицательное значение — высокотемпературной фазе. В сильновозбужденном состоянии разность заполнения левого и правого минимума двухямного потенциального рельефа равна нулю.
В качестве примера зависимости ю23 от волнового вектора рассмотрим случай простой кубической решетки, где каждый атом имеет шесть ближайших соседей на расстоянии а. Тогда для фурье-образа Jq получаем
Jq = 2J[cos(qxa) + cos( qya) + cos(qza)], (28)
где J = Jj предполагается одинаковым для всех шести ближайших соседей. При малых q в пределе Т — TMA функции Jq и ю2 3 (я) могут быть разложены в пространстве обратной решетки вблизи центра зоны Брил-люэна (Я = 0):
ю2,з(я) = М0)(Т - ТУTc) + pq2 +..., (29)
^ ,-.2 2 / 2 2.2.2 р ~ ю0а I6, q = qx + qy + qz.
Следовательно, закон дисперсии псевдоспиновых волн аналогичен закону дисперсии магнонов в ферромагнетиках. В сильновозбужденном состоянии при температуре, близкой к Т(;, и Т(. — ТМА проекции траекторий отклонений псевдоспинов на плоскость yz (перпендикулярную молекулярному полю) имеют форму эллипсов, малая ось которых (в направлении Бу) уменьшается при приближении к и система становится неустойчивой в направлении Б1. Поскольку параметр порядка пропорционален Б1, рассмотренное движение действительно связано с флуктуациями параметра порядка, в то время как движение в направлении молекулярного поля (мода ю1) не дает вклада в эти флуктуации [6].
Таким образом, в сильновозбужденном состоянии только мода ю2 3 дает вклад в динамическую восприимчивость Х+1 (я, ю), зависящую от волнового вектора q и частоты ю, которая в пределе Т(. — ТМА имеет вид
Х+2 (Я, ю) = 8Б, / 8Ц =Ю0Б0х/(ю+-ю2), (30)
22
где ю+ = ю2 з — квадрат частоты мягкой моды в сильновозбужденном состоянии.
4. Уравнения динамики в высокотемпературной (низкотемпературной) фазе
В состоянии высокотемпературной (низкотемпературной) фазы Бх, так же как и Б1, отлична от нуля и молекулярное поле имеет в плоскости xz направление, в общем случае не совпадающее с направлением осей. Используя ту же процедуру, что и в предыдущем параграфе, получим нелинейные уравнения движения, соответствующие волновому вектору q:
,ю8БяХ = У0 Бя01 +10( Б01 )2}8БУ +
+ {(Jq + 21 ч Б 01 ^ + 8^ }8БяУ, (31)
,ю8Бу = {ю0 - (Jq + 2^Б01 )Б0х }8Б^ -
- и0Б01 +10(Б01 )2}8Бях -
- Б0х8^ - {(Jq + 21 чБ01 ^2 +
+ 8Ц, }8Бях, (32)
,ю8Б, = -ю08БЯ. (33)
Однородная система линеаризованных уравнений (31)—(33) при 8^я = 0 имеет нетривиальное решение только в случае, если определитель этой системы
тождественно равен нулю. Результирующее секулярное уравнение записывается в виде следующего уравнения для определения собственных частот:
,ю{-ю2 - Ю0[-Ю0 + Jq Б 0 х + 21 я Б 0 2 Б 0х ] +
+ [ JoS 02 + 1Ч (Б 02 )2]2}. (35)
Одно из решений такое же, как и в сильновозбужденном состоянии
ю1(я) = 0 (36)
а два других имеют вид
ю2,з(Я) = [ J0Б02 + 1Ч (Б02 )2]2 +
+ ю0(ю0 - JqБ0х - 21чБ02Б0х). (37)
Поскольку для высокотемпературной (низкотемпературной) фазы при Т — Тс выполняется Б0х — ю0/J0 , то мода псевдоспиновых волн ю2 3 является критической только в длинноволновом пределе я — 0. В этом предельном случае квадрат частоты мягкой моды определяется спонтанной разностью заполнения
ю2,з(я) = и0б02 + 1Ч(Б02)2]2 - (21 яIJo)ю2^S02. (38)
Поскольку при Т — Tc и ТМА — Т(. параметр порядка Б0 2 стремится к нулю, то собственные частоты ю2 з (0) также стремятся к нулю. В этом случае вследствие того, что направление молекулярного поля в высокотемпературной (низкотемпературной) фазе не перпендикулярно направлению разности заполнения Б2, обе моды, ю1 и ю2 з, дают вклад во флуктуации разности заполнения. При отсутствии туннелирования, когда ю0 — 0, собственный вектор мягкой моды не имеет проекции на направление разности заполнения (поляризации) и спектр флуктуаций разности заполнения в высокотемпературной (низкотемпературной) фазе дается дельта-функцией в точке ю1 = 0. Необходимо также понимать, что в то время как в сильновозбужденном состоянии мода псевдоспиновых волн может стать мягкой модой при любом значении критического волнового вектора я0 (из области 0 < я0 < я*, где я* — волновой вектор на границе зоны Бриллюэна), для которого Лч имеет максимум, в высокотемпературной (низкотемпературной) фазе мода становится мягкой только при Я 0 = 0. В нашей модели критическое значение волнового вектора в сильновозбужденном состоянии равно я 0 = 0, поэтому собственные векторы отклонений псевдоспинов, то есть локальные атомные смещения, одинаковы как в сильновозбужденном состоянии, так и высокотемпературной (низкотемпературной) фазе.
-/502 - 10(Б02)2 0 5. Обсуждение результатов
J°S02 + 10(Б02)2 ,ю -ю0 + ^ + 2^qS°2)S°x (34) Одним из главных свойств рассматриваемого струк-
0 ю0 т турного перехода низкотемпературная структура - силь-
новозбужденное состояние - высокотемпературная фаза является то, что спонтанное появление отличного от нуля параметра порядка в высокотемпературной (низкотемпературной) фазе нарушает внутреннюю симметрию системы, то есть некоторые элементы симметрии кристалла, которые есть в сильновозбужденном состоянии, теряются. Действительно, при переходе кристалла из сильновозбужденного состояния в высокотемпературную (низкотемпературную) фазу теряется, например, операция отражения г — - г. При структурном переходе почти второго рода свободная энергия в высокотемпературной (низкотемпературной) фазе имеет один локальный минимум в точке Б2 = 0 и один глобальный минимум в точке Б2 Ф 0. Причем последний минимум связан с операцией симметрии, теряемой при переходе из сильновозбужденного состояния в высокотемпературную (низкотемпературную) фазу [6]. Вторая производная от свободной энергии и частота моды, восстанавливающей симметрию (пропорциональная второй производной) будут, таким образом, отличны от нуля при всех температурах выше Т + (ниже Т-). При подходе к Т + (Т_) со стороны высоких (низких) температур в случае почти непрерывного структурного перехода (перехода почти второго рода) упомянутые выше минимумы свободной энергии должны слиться в один минимум, соответствующий сильновозбужденному состоянию кристалла с нулевым значением параметра порядка. Перед таким слиянием минимумов свободной энергии вторая производная от свободной энергии по параметру порядка и частота моды, восстанавливающей симметрию, должны непрерывно уменьшаться при Т — Т + (Т_). При Т = Т + (Т_) частота этой мягкой моды практически обращается в нуль. С другой стороны, при подходе к Т + (Т_) со стороны сильновозбужденного состояния частота мягкой моды понижающей симметрию сильновозбужденного состояния также уменьшается при Т — Т + (Т_).
Восстанавливающая сила для смещений атомов, отвечающих такой моде, стремится к нулю до тех пор, пока псевдоспиновая волна не конденсируется на границе устойчивости. Следовательно, статические смещения атомов при почти непрерывном переходе из сильновозбужденного состояния в высокотемпературную (низкотемпературную) фазу представляют собой замороженные смещения мягкой псевдоспиновой волны. Параметром порядка при таком переходе является статическая компонента собственного вектора мягкой псевдоспи-новой волны. Так как низкотемпературная (высокотемпературная) фаза характеризуется макроскопической спонтанной положительной (отрицательной) разницей заполнения левого и правого минимума одночастичного потенциального рельефа, одинаковой на каждом узле, то мягкая псевдоспиновая волна является длинноволновой (я — 0). Следовательно, псевдоспиновая волна является мягкой модой, с одной стороны, понижающей симметрию сильновозбужденного состояния, а с другой стороны, восстанавливающей симметрию высокотемпературной (низкотемпературной) фазы.
Литература
1. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-23.
2. Тюменцев А.Н., Литовченко И.Ю., Пинжин Ю.П., КоротаевА.Д., Сурикова Н.С. Новый механизм локализации деформации в аусте-нитных сталях. I. Модель неравновесных фазовых (мартенситных) превращений в полях высоких локальных напряжений // ФММ. -2003. - Т. 95. - № 2. - С. 86-95.
3. Пушин В.Г., Кондратьев В.В., Хачин В.Н. Предпереходные явления и мартенситные превращения в сплавах на основе никелида титана // Изв. вузов. Физика. - 1985. - № 5. - С. 5-20.
4. Слядников Е.Е. Двухуровневая квантовая система в деформированном кристалле // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 3. - С. 23-28.
5. Слядников Е.Е. Структурный переход в сильновозбужденное состояние в деформированном кристалле // Физ. мезомех. - 2003. -Т. 6. - № 5. - С. 29-36.
6. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые ато-
мы. - М.: Мир, 1978. - 421 с.
Dynamics of pseudospin system in a structurally unstable crystal
E.E. Slyadnikov
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
For a structurally unstable crystal consideration is given to the pseudospin motion relative to the molecular field in a simple approximation of chaotic phases, when attenuation can be neglected. The pseudospin wave is a soft mode. On the one hand, it decreases the symmetry of the highly excited state and, on the other one, restores the symmetry of the high-temperature (low-temperature) phase.
