Динамика пластинки под действием импульсных температурных и силовых нагрузок Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

вершинах ребра, которому эта точка пересечения принадлежит. Таким образом в результате получается набор точек, принадлежащих плоскости сечения, со своими координатами и соответствующими значениями газодинамических параметров. По этим точкам, используя триангуляцию Делоне, строится новый набор треугольников (рис. 3). Таким образом, переходим к задаче, которая решалась при построении изолиний для двумерного случая [2]. Качество полученной треугольной сетки невысокое (большинство треугольников не являются правильными или близкими к правильным), так как сетка тесно связана с исходной четырехгранной сеткой.

Рис. 2. Сечение Рис. 3. Триангуляция сечения

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М. : Наука. 1982. -392 с.

2. Ливеровский Р. ИШевырев С. П. Численное моделирование плоских задач сверхзвуковой газовой динамики на треугольной сетке // Вестн. РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. 2014. № 4. С. 23—32.

УДК 539.3

O.A. Мыльцина, М. Ю. Сурова

ДИНАМИКА ПЛАСТИНКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИМПУЛЬСНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ И СИЛОВЫХ НАГРУЗОК

Для функции прогиба изотропной прямоугольной пластинки, находящейся в условиях конвективного теплообмена и подвергающейся кратковременному воздействию сосредоточенной силы и температуры, получено аналитическое решение, на основании которого проводится количественный анализ влияния геометрических параметров на термоупругое динамическое поведение пластинки.

Рассматривается изотропная прямоугольная пластинка, находящаяся в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой через основные плоскости. Предполагается, что внешняя плоскость пластинки подвергается воздействию (на коротком промежутке времени |Ь2 — Ь1 << 1) сосредоточенной силы и температуры в виде

д (х,у,Ь) = (х — хьу — у{) (Н(Ь — ¿1) — Н(Ь — ¿2)),

Т + (Ь) = То+ + Т+ (Н(Ь — Ь1) — Н(Ь — Ь2)).

При этом учитывается линейное демпфирование. Температурное поле определяется на основании решения уравнения нестационарной теплопроводности для температурной функции при линейной аппроксимации температуроного поля по толщине. В начальный момент времени термоупругая система находится в состоянии покоя и на краях отсутствует перепад температуры по толщине.

Решение несвязной термоупругости начинается с определения температурного поля. Решение уравнения нестационарной теплопроводности для температурной функции 91 (х, у, Ь) [1,2] с однородными краевыми условиями

при х = 0, х = а : 91 =0, при у = 0, у = а : 91 = 0,

запишем в виде

01(х, у, Ь) = ^ ^т(Ь) 8Ш ^ 8Ш тр. (1)

к,т

Подстановка (1) в уравнение, рассмотренное в [1] на основании стандартных преобразований приводит к уравнениям относительно коэффициентов ряда (1)

„а I РДкт „ = 6 кА ДТ, —

и кт т а2 и кт и кт

—в (6дК + 72) вктё1 + 6квТ+ (Н(Ь — Ь1) — Н(Ь — Ь2)) , (2) решения которых запишутся в виде [3]

„кт(Ь) = Е1,пв а2 ' + Е|т +

+Е3т £ ( — !)«(1 — е-^ <"•>) Н (Ь — Ь.)

¡=1 ^ '

(3)

где Е\т = — Ка7 Д^) ДТкт определяются из начальных условий при Ь = 0 $1 = Т0+ — Т — которые соответствуют условиям „кт(0) = (Т+ —

— T )ekm = ATkm для коэффициентов ряда (1), E|m = 6Kaf ^gpm Efm = = 6^ffg^T+ ^f = B/O - параметр Био. ^

Решение уравнения термоупругости пластинки с шарнирно опертыми краями сводится к интегрированию неоднородного дифференциального уравнения

gD + D w,t +V2V2w = d — ^ (4)

при однородных краевых условиях, которые в функции прогиба имеют вид

при x = 0, x = а : w = 0, w,11 = 0;

при y = 0, y = а : w = 0, w,22 = 0,

будем разыскивать в виде, тождественно удовлетворяющем всем краевым условиям

w(x, y,t) = Y, Wkm(t) sin ^ sin mfy. (5)

km

Подстановка (5) в дифференциальное уравнение (4) и стандартные преобразования приводят к неоднородным дифференциальным уравнениям относительно коэффициентов ряда

wkm + yfw km + Yl? Lkmwkm = qkm(t) + Yf? aLkm^fcm(t), (6)

здесь

qkm(t) = 4^ sin ^ sin ^ (H(t — ti) — H(t — t2)) ,

Lkm =(kn)2 + (mf )2 ,

д - коэффициент демпфирования. В случае комплексных корней характеристического уравнения для дифференциального уравнения (6) решение примет вид [3]

, , о ) о о eSk m ,

wkm(t) = e ^ (Cfcm sin kkmt + Ckm COs + Akm + Bkme +

2

+ ^ (Dkmi sin kkmt + D^mi COs kfcmt) + ( — H (t — ti) +

i=1 2

E, — t ) ( 1 • 2 ) i i — eSkm t \

í e M г (Fkmi sin kkmt + Fkmi COs + Akm + Bkme °2 ) X

i=1

xH (t —ti), (7)

где постоянные интегрирования Clkm (/ = 1, 2) определяются из начальных условий w = 0 w,t = 0 при t = 0.

Расчеты проводились при значениях параметров: f = 1, h = 0,005, 112 — t 11 = 0, 005 c, ß = 0,00007, сосредоточенная сила приложена в точке (f, D? q0 = 10 T+ = T— = 20, материал типа дюралюминий.

Количественный анализ, проведенный на основании аналитического решения, показал следующие закономерности.

1. В случае отсутствия температурного скачка колебания термоупругой системы симметричны относительно временной оси и быстро затухают вне интервала действия сосредоточенной силы (рис. 1. T+ = = 0, BIO = 10).

2. При наличии температурного скачка T+ заданной величины затухающие колебания становятся асимметричными относительно временной оси с той же тенденцией затухания (рис. 2. T+ = 100, BIO = 10).

3. Существенное влияние на величину размахов колебаний оказывает

BIO

ют при той же частоте (рис. 3. T+ = 100, BIO = 0, 5 рис. 4. T+ = = 100, BIO = 100).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Белосчточный Г.Н., Мылъцииа O.A. Динамика пологой оболочки постоянного кручения в условиях конвективного теплообмена через основные поверхности с окружающей средой при быстронеременных но временной координате темнературно-силовых воздействиях // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред : материалы XXI Междунар. симпозиума им. А.Г. Горшкова. М. : ООО «ТРИ». 2015. Т. 1. С. 21-24.

2, Рассудов В.М., Краешков В. П., Панкратов И. Д. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1973, 157 с,

3, Белосчточный Г. Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек // Докл. Академии военных наук, 1999, 1, С, 14-26,

УДК 539.3

Ю. Н. Нагар, В. Ю. Ольшанский, И. Ф. Паршина, А. В. Серебряков

СВЯЗАННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО

ЦИЛИНДРА

В настоящее время с целью совершенствования приборов навигации активно ведутся разработки новых конструкций датчиков инерциаль-ной информации (ДИИ). Были предложены и производятся ДИИ с разной конструкцией чувствительных элементов. Широкое распространение получили биморфные, камертонные гироскопы. Встречаются также конструкции гироскопов с присоединенной массой [1]. Перспективными представляются модели вибрационных гироскопов с цилиндрическим резонатором, примером может служить конструкция, предложенная в патенте [2].

Для описания работы вибрационного гироскопа с резонатором, выполненным из пьезокерамического материала, в форме цилиндра необходимо решить задачу связанной электроупругости. Постановка осесим-метричной задачи электроупругости в цилиндрических координатах для случая, когда пьезокерамика имеет радиальную поляризацию, содержится в работе [3]. Система уравнений для перемещений и электрического потенциала с учетом наличия кориолисовых сил и вязкого сопротивления материала принимает вид

сзз

Сц Мг

д 2 и

дг2 г дг с33 г2

г 1 ди^

, С13 - С12 дм

+---^—Ъбзз

г

дг

'дМ +(\- езЛ 1 д^'

дг2 V е33 / г дг

+

С44

+ 615

д

дг2

= Р

д 1 ди,

у

д2иг диг ^ ди^

1 "" —

д£2

м

+___и__г_

ддг 2 г ддг г 2

+ п

2

ры2г,

( д 2и^

= Я^т + п

ди^ ди^

+

(1)