CC BY
66
Динамика пластической деформации и заряда пластической деформации
С. Йошида
Юго-Восточный университет Луизианы, Хаммонд, Луизиана, 70402, США
Пластическая деформация рассматривается с точки зрения полевой динамики, аналогичной электродинамике Максвелла. Заряд пластической деформации рассматривается как величина, эквивалентная электрическому заряду. Изучено взаимодействие заряда пластической деформации с полем смещений. Рассматриваются силы поля и константы определяющих соотношений. Предпринята попытка найти физические законы, подобные законам Кулона, Фарадея и Ампера, и обсуждается их смысл.
1. Введение
Традиционные теории трактуют пластическую деформацию как необратимую деформацию: пластическая деформация остается после снятия нагрузки и диссипации энергии. Физическая мезомеханика [1], современная калибровочная теория пластической деформации и разрушения, рассматривает пластическую деформацию как процесс релаксации напряжений. Основываясь на формализме, аналогичном электродинамике Максвелла, в физической мезомеханике получена система уравнений (основные уравнения), довольно схожих с уравнениями Максвелла, и дано определение заряда пластической деформации как величины, эквивалентной электрическому заряду. Решение основных уравнений представляет собой затухающие волновые характеристики поля смещений (волна пластического смещения). В электромагнитном поле энергия поля диссипирует при движении электрического заряда, вот почему электромагнитные волны затухают в проводящих средах. Эти аргументы позволяют сделать вывод: пластическая деформация может характеризоваться как процесс релаксации энергии, в ходе которого энергия напряжений дис-сипирует при движении зарядов пластической деформации. С этой точки зрения заряд пластической дефор-
мации играет фундаментальную роль в пластическом течении и очень важно понять динамику этого процесса.
Подобие формул физической мезомеханики и электродинамики указывает на то, что две теории существенно аналогичны. По-видимому, возможно описать заряд пластической деформации подобно тому, как описывается электрический заряд в электродинамике. Предполагается, что динамику можно описать на основе взаимодействия поля смещений и заряда пластической деформации через силы поля, аналогичные силам электрического и магнитного полей. Также считается, что отдельные материалы можно охарактеризовать, используя константы материала, эквивалентные диэлектрической и магнитной проницаемости. Учитывая универсальность электродинамики, можно ожидать, что подобная постановка окажется более универсальной в отличие от традиционных теорий с более феноменологичным подходом.
В этой работе предпринята попытка описания динамики пластической деформации в свете аналогии с электродинамикой. Определены силы поля и с учетом этих сил найден заряд пластической деформации. Рассмотрены физические законы, эквивалентные законам Кулона, Фарадея-Ленца и Ампера.
© Йошида С., 2003
2. Основные аналогии с электродинамикой
Физическая мезомеханика описывает пластическую деформацию как преобразование GL(3, R) на локально определенном элементе линии [2]. После суммирования по всем групповым индексам, основные уравнения можно записать в виде [1-3]:
V- V = J0,
- V = 1 •
1^“)'-- ? (£ Ч*"1-
^ю- 0.
(1)
(2)
(3)
(4)
Здесь V — скорость поступательного смещения; J и J — соответственно временная и пространственная компоненты четырех векторов, связанных с зарядом симметрии [1, 2]; ю — угол отклонения элемента линии от равновесной ориентации [3]; с{ — скорость пластической деформации.
Основные уравнения очень похожи на уравнения Максвелла. Математически подобие является результатом того, что лагранжиан, связанный с калибровочной инвариантностью, имеет ту же форму, что и в электродинамике. Исследуем физический смысл, который стоит за этим подобием. Уравнения Максвелла выводятся из лагранжиана как вариация калибровочного поля [4]. Соответствующее поле вещества является волновой функцией заряженной частицы. Калибровочное поле описывается как компенсационное поле, которое вводится, если предположить пространственную зависимость фазового превращения заряженной частицы. Пространственная зависимость превращения приводится к рациональному виду, учитывая, что неестественно полагать, что все заряженные частицы в этом универсуме трансформируются одинаково [5]. Под калибровочным полем в качестве компенсационного поля понимается взаимодействие заряженной частицы с полем. При компенсации, полагая, что все заряженные частицы имеют свободу трансформироваться различным образом, заряженные частицы начинают взаимодействовать с полем (они не являются больше свободными частицами). Полевые переменные Е и В задаются как две переменные, описывающие калибровочное поле. Первая из них является производной калибровочного поля по времени, а вторая — по пространству.
Эквивалентную ситуацию в физической мезомеха-нике можно описать следующим образом. Лагранжиан дает основные уравнения при вариации калибровочного поля [2]. Соответствующее материальное поле является радиус-вектором, который представляет собой элемент линии, соединяющий две соседних точки. При компенсации вводится калибровочное поле, чтобы учесть
пространственную зависимость при линейном преобразовании локальных элементов линии. Другими словами, когда все точки среды свободно могут преобразовываться различным образом, взаимодействие с полем накладывает ограничение на эти преобразования. Две полевые переменные V и ю определяются как производные калибровочного поля по времени и пространству.
Таким образом, поле V соответствует полю Е (так называемая первая полевая переменная), а поле ю соответствует В (вторая полевая переменная).
3. Потенциалы
В электродинамике мы имеем выбор при описании электромагнитных явлений: мы можем использовать либо две полевые переменные, либо потенциалы [6]. С учетом взаимодействия заряженных частиц с полем потенциал может считаться некоторым ограничением на заряженные частицы. Будем предполагать, что потенциал может описываться подобным образом в физической мезомеханике.
В электродинамике определены два типа потенциалов — скалярный и векторный. Первый рассматривается как временная компонента четырехмерного калибровочного поля, второй является его пространственной компонентой. Таким образом, поля Е и В можно определить как
Е - "^е -
дА е дt
В Ае.
(5)
(6)
Здесь фе — скалярный потенциал; А е — векторный потенциал.
На основе аналогии скалярный и векторный потенциалы в физической мезомеханике могут быть определены как
ЭА р
V-йфр+1Т •
ю-^х А р,
(7)
(8)
где фр — скалярный потенциал; А р — векторный потенциал в поле смещений. Разница в знаках с уравнениями электродинамики объясняется тем, что уравнение (2) имеет знак, противоположный своему двойнику в уравнениях Максвелла. Это отличие в знаках полностью обусловлено способом определения ю и не имеет существенного значения. Рассмотрим физический смысл этих потенциалов. В электродинамике скалярный потенциал можно рассматривать как работу, которую необходимо совершить при движении электрического заряда в поле Е. С этой точки зрения скалярный потенциал в физической мезомеханике можно рассматривать как работу, совершаемую при движении заряда пластической деформации в поле V (рис. 1). Если положительный за-
Рис. 1. Концепция скалярного потенциала в физической мезомеханике
ряд движется в том же направлении, что и поле V, скалярный потенциал исчезает. Если заряд и поле V двигаются в противоположных направлениях, заряд приобретает потенциал.
Векторный потенциал А р можно трактовать следующим образом. Поле V имеет размерность скорости. Таким образом, Ар является его интегралом по времени, т.е. он имеет размерность смещения. С учетом того, что при компенсации калибровочное поле отражает взаимодействие заряда с полем при пространственной зависимости превращения, можно считать, что это смещение обусловлено силой сопротивления, накладываемой полем на заряд для ограничения свободы локального превращения. Следовательно, векторный потенциал А р можно считать величиной, подобной потенциалу массы, связанной с пружиной. Смещение обусловлено действием силы сопротивления, вызванной пружиной, с увеличением смещения потенциал становится больше. В соответствии с такой интерпретацией можно считать, что поле ю представляет вращательное движение структурного элемента деформации, испытывающего воздействие сил сжатия пружин, налагаемое соседними структурными элементами деформации [3]. Другими словами, если структурный элемент деформации поворачивается при различных силах контактного взаимодействия с соседними элементами, на границах со структурными элементами деформации возникают силы сопротивления, аналогичные силе сжатия пружины. Рисунок 2 схематически иллюстрирует динамику этого процесса.
4. Силы поля
Альтернативным способом описания взаимодействия с полем является концепция силы поля. Другими словами, пока существуют потенциалы, существуют силы поля. Поэтому далее рассмотрим силы поля в физической мезомеханике. В электродинамике сила электрического поля (первая сила поля) задается как произведение электрического заряда и электрического поля. Исходя из соответствия между полями Е и V, можно сделать вывод, что первая сила поля в физической мезомеханике Fp1 имеет вид:
*р1 = Яр V, (9)
где ар — заряд пластической деформации. Левая часть
/2
уравнения (9) имеет размерность N = кг • м/с , а V — м/с. Следовательно, др имеет размерность удельного массового расхода (кг/с). В электродинамике правая часть уравнения, соответствующего уравнению (1), представляет плотность заряда, разделенную на диэлек-тическую проницаемость. Поэтому уравнение (10) можно записать в виде:
V- V = р рДр, (10)
где р р — плотность заряда пластической деформации; ер соответствует диэлектрической проницаемости линейной среды. Левая часть уравнения представляет скорость потока, исходящего из единичного объема, и имеет размерность 1/с. Поскольку [рр] = [др]/м3 = = (кг/м3)(1/с) и [рр/ер] = Ус, [ер] = кг/м3, то можно считать, что ер представляет плотность. Используя такую интерпретацию, плотность заряда пластической деформации р р можно считать расходом плотности потока, исходящего из единичного объема (удельный массовый расход на единицу объема). Таким образом, заряд пластической деформации др можно считать скоростью изменения массы потока, исходящего из замкнутого объема. Если чистый поток направлен наружу, заряд положителен, в противном случае — отрицателен.
Рассмотрим смысл такой интерпретации с точки зрения теории дислокаций. Будем считать, что среда находится под действием растягивающей нагрузки и в определенном месте среды существует положительный за-
Рис. 2. Модель поворота структурного элемента деформации (СЭД). Силу сопротивления на границах структурных элементов деформации можно моделировать силой сопротивления пружины
Рис. 3. Схематическое представление положительного (слева) и отрицательного (справа) зарядов пластической деформации. При положительном заряде количество движения, исходящего из замкнутого объема, больше входящего в объем. При отрицательном заряде количество движения, входящего в замкнутый объем, больше исходящего из объема количества движения
ряд пластической деформации. Поскольку заряд положителен, чистый расход тоже положителен. Так как среда находится в условиях растяжения, поток массы, исходящий через верхнюю поверхность объема, больше входящего через нижнюю поверхность объема (растягивающая нагрузка считается направленной вверх). Рисунок 3 представляет схематическое изображение этого случая. Поскольку масса не может образовываться в замкнутом объеме (закон сохранения массы), это означает, что общая масса объема уменьшается, т.е. генерируются атомные вакансии. Это соответствует классической картине генерации дислокации. Необходимо подчеркнуть, что заряд пластической деформации сам по себе не представляет дислокацию. В работе Егоруш-кина [7] изложена динамика дислокации на основе физической мезомеханики. В этой работе плотность дислокаций характеризуется как величина, изменение которой со временем вызывает поворот в поступательном течении, и течение может иметь отклонение от поступательного. Таким образом, в данном контексте, поток V, генерирующий заряд пластической деформации, соответствует поступательному течению, вызванному изменением плотности дислокаций. Отметим также, что такая динамика дислокации характерна для более низкого масштабного уровня, чем уровень, на котором рассматривается динамика заряда пластической деформации. Это отражает важное представление физической мезомеханики о том, что пластическая деформация поддерживается посредством развития на масштабном уровне; динамические процессы на более низком масштабном уровне вызывают развитие динамических процессов на более высоком масштабном уровне.
Такая интерпретация приводит к рациональному виду первой силы поля, действующей на заряд пластической деформации. В случае положительного заряда количество движения, исходящего из замкнутого объема, больше количества движения, входящего в объем. Согласно теореме момента импульса (см. (11)), этот случай эквивалентен ситуации, в которой внешняя сила действует на объем и таким образом полное линейное количество движения объема изменяется при взаимо-
действии. Тогда первая сила поля может рассматриваться по существу как сила:
Ар = FАt. (11)
Здесь Др — изменение количества движения; F — внешняя сила; Аt — время взаимодействия. Необходимо подчеркнуть, что ДF действует в направлении Др, которое пропорционально V в данной точке, следовательно, первая сила поля пропорциональна потоку V. Подобным образом можно рассмотреть силу поля, действующую на отрицательный заряд пластической деформации.
Рассмотрим теперь случай, когда положительный заряд пластической деформации существует в вихревом потоке. Если заряд поместить неподвижно в такое поле, он будет испытывать действие только первой силы поля вдоль линии течения вихревого потока. Однако, если заряд движется с некоторой скоростью под действием некоторой другой внешней силы, ситуация меняется. В качестве примера на рис. 4 показан заряд, движущийся в положительном направлении х с постоянной скоростью w. Если заряд пластической деформации переместится на Ах = wДt, то сила поля, действию которой он подвергается, возрастет в перпендикулярном направлении на ^ = я р wДt дV/ дх, поскольку ^-компонента фонового потока V увеличивается на Дх (д^ дх). Проинтегрировав это выражение и записав результат для трехмерного случая, получим
Гр2 = <?р(хю)
(12)
где | V х Vdt = ю. Это — вторая сила поля в физической
мезомеханике, эквивалентная силе магнитного поля в электродинамике. Отрицательный знак w указывает на то, что направление Fp2 противоположно соответствующей силе в электродинамике, т.е. магнитной силе.
5. Константы материала
В электродинамике, определяющие соотношения характеризуются диэлектрической проводимостью ее и магнитной проводимостью це. В случае линейных сред
Рис. 4. К описанию второй силы поля в физической мезомеханике
вектор плотности электрического потока D и магнитное поле Н связаны с Е и В соотношениями D =ее Е и В = ЦеН. Как упоминалось в предыдущем разделе, в физической мезомеханике величину ер , аналог диэлектрической проводимости, можно рассматривать как плотность среды. Рассмотрим другую определяющую константу ц р, которая соответствует магнитной проницаемости це. Для простоты рассмотрим х-компонен-ту из (3) в двумерном случае, когда ю описывает вращение в плоскости х—у. В этом случае, как показано в [3], х-компоненту (3) можно записать в следующей форме:
1 ди
(Уха») х = - -2 — -ц, Л =
т
ди
■ Цр ]х
(13)
Здесь с2 заменяется ЦДу)2/т [3]. Эта замена основывается на интерпретации с{ как фазовой скорости волновых характеристик при и, фазовая скорость выражается как произведение частоты и длины волны. Здесь выражение угловой частоты массы, связанной с пружиной [д/т^], используется в качестве частоты, а Ду = X/2п рассматривается как пространственная периодичность X на радиан; т — масса структурного элемента деформации; k — жесткость пружины; и — х-компонента V, цр — величина, эквивалентная магнитной проницаемости линейной среды; jх — х-компонента j, определенная как
j = 'Т/Цр • (14)
По аналогии с электродинамикой с можно записать в следующем виде:
с, = 1
(15)
Подставив уравнение (15) в (13), получим уравнение цр = т/ k (Ду)2. Умножив числитель и знаменатель правой части этого уравнения на ДхДг и учитывая, что €р представляет плотность т/(ДхДуДг), найдем Цр в
виде1:
АxАz кАу '
(16)
Так как кАу представляет поперечную жесткость пружины при вращении структурного элемента деформации [3], величину, обратную правой части уравнения
(16), можно рассматривать как силу, разделенную на площадь поперечного сечения. Значит, ц р можно рассматривать как константу материала, чья обратная вели-
чина представляет плотность сдвиговых напряжений, вызванных вихревым движением Vхю (жесткость при сдвиге). Интересно отметить, что скорость волны пластического смещения определяется плотностью среды ер и жесткостью при сдвиге У Цр.
6. Физические законы, аналогичные законам электродинамики
6.1. Закон Кулона
Как обсуждалось выше, положительный и отрицательный заряды деформации можно определить как величины, пропорциональные положительному и отрицательному значению V • V соответственно. Если мы поместим положительный заряд вблизи отрицательного, положительный заряд будет испытывать влияние V-поля, генерируемого отрицательным зарядом, и наоборот. Следовательно, заряды с разными знаками будут притягиваться. Подобным образом, если поместить рядом заряды с одинаковым знаком, они будут отталкиваться. Эта взаимосвязь подобна закону Кулона в электродинамике. Маловероятно, что поле V, генерируемое зарядом пластической деформации, является сферически симметричным, как в случае электрического заряда. Поэтому, вероятно, взаимодействие двух зарядов не будет точно таким же, как в электродинамике. Детали этого взаимодействия и его роль в процессе пластической деформации пока остаются неясными.
6.2. Закон Фарадея-Ленца
Уравнения (2) и (3) можно интерпретировать как некое представление закона Ленца, что легко сделать, используя следующие аналогии с электродинамикой. Рассмотрим рисунок 5. Представим, что поле В внутри страницы (внешнее поле В) увеличивается со временем. Согласно закону Фарадея такое увеличение поля В вызовет появление поля Е в указанном направлении. Это поле Е, в свою очередь, индуцирует ток в таком направлении, что магнитное поле, порожденное индуцированным током, противодействует начальному изменению внешнего поля В. Если среда диэлектрическая, то индуцированный ток будет током смещения и, как следствие, среда поляризуется. Если среда проводящая, то индуцированный ток будет током проводимости.
Ситуация в физической мезомеханике почти аналогичная. Представим, что на рис. 5 структурный элемент деформации2 ускоряет вращение по часовой стрелке (вращение, вызванное извне) со временем. С учетом уравнения (2) это вызывает появление поля V, как показано на рис. 5. Наведенное поле V, в свою очередь, индуцирует ю в направлении против часовой стрелки (ис-
1 Для неизотропных материалов мы можем применять ту же самую формулировку, используя разные Цр в направлениях х, у и г.
2 Структурный элемент деформации определяется как элемент, все точки которого испытывают одинаковое локальное превращение [2].
кДх
Рис. 5. Закон Ленца в электродинамике (слева) и в физической мезомеханике (справа). На правом рисунке положительные (отрицательные) заряды пластической деформации движутся в одинаковом (противоположном) направлении, что и индуцированное поле V (пунктирные стрелки), создающее диполи. -кАх обозначает силу притяжения пары зарядов пластической деформации противоположных знаков, формирующих диполь, которую можно рассматривать как эффективную силу сопротивления пружины, чья жесткость равна 1/ ц р
пользуя уравнение (3)), так что вызванный внешними причинами поворот компенсируется. Этот эффект противодействия можно объяснить следующим образом. Посредством первой силы поля наведенное поле V вызывает движение зарядов пластической деформации вдоль границы структурного элемента деформации. Если среда подобна диэлектрику, одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов пластической деформации (связанных зарядов пластической деформации) будет двигаться в противоположных направлениях, образуя диполи. Если среда подобна проводнику, возникает течение свободных зарядов пластической деформации. Связанные заряды соответствуют току смещения, свободные — току проводимости. Если формируются диполи, между парами зарядов пластической деформации противоположных знаков возникают силы притяжения. Эти силы притяжения противодействуют вызванному извне повороту структурного элемента деформации и могут интерпретироваться как эффективная жесткость пружины [3]. Этот эффект учитывается первым членом в правой части уравнения (3). Он вызывает колебательное движение, обуславливающее волновые характеристики поля смещений [3]. Пока не ясно, является ли сила притяжения, вызванная диполями, единственным фактором, определяющим эффективную жесткость пружины. Если течет ток проводимости, встречной силы не возникает.
6.3. Закон Ампера
Рассмотрим физический смысл второго члена уравнения (3). Используя константы материала ер и цр, запишем (3) в виде:
£(Ух.) = -Ср|^р, (.7,
где J из уравнения (3) заменяется ^, определенным уравнением (14). Величина ]р подобна плотности тока в электродинамике. Левая часть уравнения (17) представляет собой разность максимального и минимального значений силы, действующей на элемент структурной деформации, который испытывает воздействие соседних элементов структурной деформации на границах. Поэтому естественно полагать, что ток ]р течет вдоль границ. Как показано ранее [3], первый член описывает консервативное взаимодействие полей V и Ю, что можно объяснить вышеупомянутым законом Фарадея-Ленца (рис. 5). Второй член представляет неконсервативную динамику, вызванную течением тока проводимости. Если элемент структурной деформации движется влево под действием разности максимального и минимального значений силы сдвига, вызванного соседними элементами деформации, его движение может ускориться в соответствии с первым членом правой части
(17), либо может потечь заряд пластической деформации (ток проводимости). В первом случае смещенный элемент возвращается к такому положению, где равнодействующая сила сдвига противоположна. Однако, если течет ток проводимости, энергия, обусловленная этим потоком, не восстанавливается и происходит ее
Таблица 1
Аналогии электродинамики и физической мезомеханики
Электро- динамика Е В ее V ц е
Физическая мезомеханика V Ю Плотность Жесткость при сдвиге
ер — диэлектрическая проницаемость; ц е — магнитная проницаемость
диссипация. В электродинамике этому случаю соответствует течение тока проводимости в газообразной среде. Когда течет ток проводимости, а не ток смещения, система теряет энергию через омические потери. Уравнение (17) представляет ситуацию, когда поле Ю может иметь ротационную характер: либо через консервативный канал (первый член в правой части или ток смещения), либо неконсервативный канал (второй член или ток проводимости). Закон Ампера указывает, что этот эффект осуществляется через неконсервативный канал. Отметим, что ток проводимости течет вдоль границы структурных элементов, поэтому можно считать, что диссипативная сила подобна силе трения.
7. Заключение
Пластическая деформация рассмотрена с точки зрения диссипации энергии при движении зарядов (заряда) пластической деформации. Основываясь на аналогии с электродинамикой, рассмотрены силы поля и связанные с ними физические законы, например закон, соответствующий закону Кулона, и их физический смысл. Взаимодействие заряда пластической деформации и по-
ля смещений интерпретируется аналогично закону Ленца. В такой постановке можно всесторонне описать динамику пластической деформации в линейных средах, независимо от типа материала и вида нагружения.
Литература
1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
2. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле // Изв. вузов. Физика. - 1987. - Вып. 30. - № 1. - С. 36-51.
3. Yoshida S., Toyooka S. Field theoretical interpretation on dynamics of plastic deformation — Portevin - Le Chatelie effect and propagation of shear band // J. Phys. Condens. Matter. - 2001. - V. 13. - P. 67416758.
4. SchiffL.I. Quantum mechanics. - Tokyo: McGraw Hill, 1968. - 521 p.
5. Aitchison I.J.R., Hey A.J.G. Gauge theories in particle physics. — Bristol-Philadelphia: IOP Publishing, 1989. - 571 p.
6. Griffiths DJ. Introduction to electrodynamics, Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1999. - 576 p.
7. Егорушкин В.Е. Динамика пластической деформации. Волны лока-
лизованной пластической деформации в твердых телах // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т.1. - С. 50-77.
Dynamics of plastic deformation and plastic deformation charge
S. Yoshida
Department of Chemistry and Physics, Southeastern Louisiana University, Hammond, Louisiana, 70402, USA
Plastic deformation is considered from the viewpoint of a field dynamics analogous to Maxwell’s electrodynamics. The plastic deformation charge is identified as a quantity equivalent to the electric charge, and its interaction with the displacement field is discussed. Field forces and constitutive relation constants are considered. Physical laws corresponding to Coulomb’s law, Faraday’s law and Ampere’s law are sought, and their meanings are considered.
