CC BY
33
Интерпретация мезомеханических характеристик пластической деформации на основе аналогии с теорией электромагнитного поля Максвелла
С. Йошида
Южно-Восточный университет штата Луизиана, Хаммонд, LA 70402, США
В рамках физической мезомеханики вводится множество новых концепций и новых терминов. В данной работе дано толкование новых терминов, основанных на подобии с теорией электромагнитного поля Максвелла. Уточнена суть пластической деформации как волнового явления, отражающего релаксацию напряжений. Обоснована справедливость рассмотрения разрушения как диссипативного процесса, связанного с релаксацией напряжений.
1. Введение
Физическая мезомеханика [1] является новой теорией пластической деформации и разрушения, основанной на принципе калибровочной инвариантности [2]. Уникальность этой теории, а также ее отличительная черта, состоят в том, что физическая мезомеханика основана исключительно на фундаментальных принципах физики, вне зависимости от какого-либо эмпирического формализма. По этой причине физическая мезомеханика способна описывать на единой теоретической основе все стадии деформации, включая стадию разрушения, и применима к исследованию любых неоднородных сред. Подобные преимущества делают физическую ме-зомеханику достаточно полезной для использования в различных инженерных приложениях, например в неразрушающих методах контроля [3] или в компьютерном моделировании новых материалов [4].
В физической мезомеханике пластическая деформация описывается как локально определенное линейное преобразование линейного элемента. С учетом требования инвариантности лагранжиана относительно преобразований получена система уравнений, описывающая самосогласованную взаимосвязь между трансляционной и ротационной модами деформации. Математичес-
ки процесс вывода уравнений аналогичен выводу в рамках теории Максвелла. Следовательно, механическое поле пластически деформирующегося объекта обладает волновыми характеристиками. С физической точки зрения волновые характеристики представляют поток энергии, который связан с напряжением, вызванным действием внешней силы. С этой позиции весь процесс пластической деформации может быть рассмотрен как релаксация напряжений, причем релаксация проявляется в затухающем характере волны. В таком контексте разрушение может представляться как стадия деформации, на которой единственным способом релаксации напряжений является образование не-сплошности [5].
В то время как достаточно легко осмыслить изложенные выше теоретические построения с математической точки зрения, физический смысл формулировки не всегда ясен. Ранее многочисленными исследователями эта концепция была описана с привлечением множества терминов мезомеханики, которые представляют собой довольно обширную терминологию в калибровочной теории, но полностью отличаются от терминологии, используемой в общепринятых теориях деформации. По мнению автора подобные трудности в
© Йошида С., 2001
значительной мере препятствуют потенциальным возможностям использования физической мезомеханики, особенно в инженерных приложениях. Одним из путей достаточно простой систематизации концепции является использование аналогии с теорией электромагнитного поля Максвелла. В предыдущих работах [5-7] автором была дана интерпретация различных экспериментально наблюдаемых явлений на основе аналогии с теорией Максвелла. Целью настоящей работы является всестороннее объяснение некоторых отчасти расплывчатых терминов мезомеханики на основе аналогии с теорией Максвелла.
2. Теоретическая формулировка
Теоретические основы физической мезомеханики изложены во многих работах [1, 2, 8]. Вкратце, физическая мезомеханика описывает пластическую деформацию как преобразование локально определенного линейного элемента п
Л?=Р/Пц, (1)
где i и j — внутренние индексы; ц — внешний индекс; Пг- — г-ая компонента вектора, определяющего линейный элемент в положении ц; в — матрица преобразований п. Объемный элемент, соответствующий локальной системе координат, будем считать структурным элементом деформации. Предполагается, что внутри структурного элемента деформации среда непрерывна. С физической точки зрения различные элементы, такие как зерна, блоки и ячейки, могут быть структурными элементами деформации.
Преобразование, выраженное через в, классифицируется как группа Ли GL(3, R) — общая группа преобразований третьего порядка, которая описывается девятью независимыми параметрами (действительными числами). Эти числа соответствуют девяти степеням свободы, связанным с динамикой, а именно: трансляционные степени свободы, ротационные степени свободы и степени свободы в изменении длины линейного элемента. Пластический режим может характеризоваться как ситуация, в которой в зависит от глобальных координат. В такой ситуации становится необходимым введение компенсационного поля, известного как калибровочное поле, для того чтобы переопределить пространственную производную так, чтобы лагранжиан был инвариантен к преобразованиям. Переопределенная производная известна как ковариантная производная D [9]. Инвариантный к преобразованиям лагранжиан можно записать как
L = giJDцп?Dцn“С$ - ^, (2)
где gij — метрический тензор внутреннего пространства; С — безразмерная упругая константы среды, характеризующая внешнее пространство; I—параметр, отра-
жающий размер структурного элемента деформации; а — тензор напряжений и а — индекс группы.
С помощью принципа наименьшего действия, примененного к калибровочному полю, можно вывести полевое уравнение. После суммирования по индексам группы полевое уравнение может быть записано в следующем виде:
divV = j0, (3)
го^ = ^, (4)
дt
1 ^ т
го^ = —- J, (5)
с от
divю = 0, (6)
где V — вектор, представляющий скорость смещения; j0 — временная компонента четвертого вектора, связанного с симметрией; ю — вектор, определяющий угол линейного элемента, и J — пространственная компонента четвертого вектора. Уравнения (3)-(6), называемые далее базовыми, описывают самосогласованную взаимосвязь между трансляционным V и ротационным ю полями.
3. Смысл мезомеханической концепции пластической деформации
3.1. Сдвиговая неустойчивость
В физической мезомеханике принято считать, что пластическое течение начинается в материале, когда тот теряет сдвиговую устойчивость [10]. Также полагается, что пластическая деформация имеет ротационную моду деформации. Математически эти утверждения в большинстве случаев эквивалентны вышеупомянутому утверждению, что пластическая деформация характеризуется ситуацией, в которой в зависит от глобальных координат. В общем, матрица преобразований, описывающая деформацию, может быть записана как в = Е + + 8, где Е — единичная матрица и 8—тензор дисторсии. Тензор 8 можно затем разложить на симметричную е и антисимметричную ^ части, где первую, как правило, называют тензором деформации, а вторую — тензором поворота. Когда материал находится в упругой области, и е и ^ можно выразить через постоянные еп, е8 и юг, известные как нормальная деформация, деформация сдвига и поворот соответственно. Когда в материале начинается пластическое течение, в начинает зависеть от пространственных координат. Следовательно, различные части одного тела поворачиваются по-разному. Физическая мезомеханика определяет эту ситуацию как “потерю материалом сдвиговой устойчивости” или “появление ротационной моды деформации”. Заметим, что пока материал находится в упругой области, тело может вращаться, но как единое целое. Причем этот поворот — не деформация, это — поворот жесткого тела.
Продолжая рассматривать пластическую деформацию как локальное преобразование, было бы полезно рассмотреть теорию Максвелла с точки зрения калибровочной теории. Рассмотрим уравнение Максвелла, записанное в той же форме, что и основные уравнения физической мезомеханики:
divE = , (7)
є е эн іОЕ = —^——, дt (8)
ЭЕ . гоШ =є е— +1, е дг (9)
divH = 0. (10)
Здесь Е — электрическое поле; q — плотность заряда; 8 е — диэлектрическая постоянная; Н — магнитное поле; ц—магнитная проницаемость и ^ — плотность тока проводимости. По этой аналогии п соответствует волновой функции заряженной частицы, в соответствует преобразованию и(1) и электромагнитное поле — калибровочному полю. Рассмотрим теорию Максвелла в рамках полевой теории [11]. Преобразование и(1) описывает фазовое преобразование. Если и(1) зависит от пространственных координат, необходимо ввести калибровочное поле. Под влиянием калибровочного поля заряженная частица больше не является свободной, т.е. она взаимодействует с полем, либо чувствует силу, действующую на поле. Таким образом, уравнение Шре-дингера описывает динамику частицы в результате взаимодействия с полем, или, что эквивалентно, лагранжиан имеет член, учитывающий взаимодействие. Рассмотрим эквивалентный случай для механического поля. Когда материал деформируется пластически и, следовательно, матрица в зависит от пространственных координат, требуется введение калибровочного поля для определения ковариантной производной. Тогда в лагранжиане появляется член взаимодействия — первое слагаемое в уравнении (2). Это означает, что возникает поле сил и деформация происходит под действием силы. Основные уравнения описывают динамику, связанную с таким взаимодействием. Заметим, что в упругой области, поскольку
нет необходимости вводить ковариантную производную, нет ни калибровочного поля, ни полевого уравнения.
3.2. Волна пластической деформации и трансляционно-ротационное синергетическое взаимодействие
Давайте вернемся к теории Максвелла и рассмотрим смысл волновых характеристик. В уравнениях (7)—(10) будем считать, что поле Е статическое. Тогда первый член в правой части уравнения (9) равен нулю, а второй член не зависит от времени (поскольку, если бы существовала зависимость от времени, поле Е не было бы статическим). Если, по некоторым причинам, поле Е начинает зависеть от времени, тогда с учетом уравнения (9) магнитное поле изменяется. В свою очередь, в уравнении (8) появляется электрическое поле, которое уменьшает исходную зависимость поля Е от времени. Таким образом, поле обладает волновыми характеристиками. Весь процесс можно интерпретировать как процесс естественной обратной связи, в котором изменения в электрическом поле компенсируются изменениями в магнитном поле, и наоборот. Теперь рассмотрим основное уравнение физической мезомеханики с той же точки зрения. Если поступательное смещение V изменяется как функция от времени, то возникает ротационная мода ю. В теле возникает поворот, который уменьшает поступательное движение. В качестве примера рассмотрим простой двумерный случай. Предположим, что горизонтальная компонента и смещения V начинает возрастать в плоскости образца (рис. 1). Заметим, что поскольку и имеет размерность скорости, то возрастание соответствует ускорению. Тогда согласно уравнению (5) х-компонента гОю уменьшается, что означает в данном случае, что ю2 — единственная компонента ю, дю2/ду < 0. Другими словами, выше той области, где V увеличивается, материал поворачивается по часовой стрелке, а ниже — против часовой стрелки (рис. 1). Очевидно, что эти повороты уменьшают первоначальные изменения в величине и. Таким образом, поле смещений обладает волновыми характеристиками. Физи-
Рис. 1. Появление ротационной моды деформации вызывает уменьшение первоначального изменения трансляционной моды деформации. Заметим, что ю 2 направлено перпендикулярно плоскости бумаги
Рис. 2. Модель двумерных структурных элементов деформации (СЭД) с пружинной связью. Один конец каждой пружины прикреплен к одному элементу, второй конец принадлежит соседнему элементу
ческая мезомеханика связывает этот механизм с трансляционно-ротационным взаимодействием [10].
Согласно этому аргументу динамику, связанную с синергетическим взаимодействием, можно представить простой моделью механики. Детали этой модели будут описаны в следующей работе. Вкратце, в этой модели структурные элементы деформации связаны между собой пружинами и смещению структурных элементов деформации от положения равновесия соответствует растяжение или сжатие пружин. Следовательно, сила, действующая на элемент со стороны соседей, представляет собой упругое последействие, выраженное через жесткость пружины. Таким образом, поступательное движение, переданное соседним структурным элементом деформации, преобразуется сначала во вращательное движение, а затем передается в другой элемент как поступательное движение. Этот механизм объясняет волновые характеристики поступательного и вращательного движения. С точки зрения сохранения энергии можно сказать, что изменения при поступательном движении накапливаются в пружине в виде потенциальной энергии. Заметим, что продольное действие (вертикальная сила как функция вертикальной координаты) не оказывает влияния на волновые характеристики в том же смысле, в каком электростатическая сила не влияет на образование электромагнитных волн. Рис. 2 иллюстрирует схематично такую модель в двумерном случае. Заметим, что эти аргументы справедливы и для трехмерного случая.
3.3. Заряд и сохранение заряда
В теории Максвелла заряд определяется как источник Е-поля. Согласно уравнению (7) Е-поле генерируется электрическим зарядом. Аналогично, в физической мезомеханике можно сказать, что поле V генерируется посредством уравнения (3), и с этой точки зрения естественно называть j0 зарядом. Учитывая, что левая сторона уравнения (7) представляет пространственную неоднородность скорости изменения V, это уравнение
можно интерпретировать как уравнение, отображающее ситуацию, в которой заряд j0 вызывает возникновение заряда скорости вдоль пространственных координат, или, что то же самое, ускорение происходит вдоль пространственных осей. Рассматривая j0 как константу, можно считать, что ускорение имеет линейную зависимость от смещения. С этой точки зрения далее можно было бы говорить, что все уравнение эквивалентно описывает систему масса - пружина, описываемую с помощью j0 [7]. В приведенной выше модели этой пружине соответствует пружина, помещенная на границу структурного элемента деформации. С материа-ловедческой точки зрения это может интерпретироваться как концентрация напряжений на границе структурных элементов деформации.
В калибровочной теории электрический разряд имеет более глубокий смысл. Он сохраняет величину, связанную с инвариантностью лагранжиана. Математически такое сохранение заряда можно описать уравнениями (7) и (9). Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (9) и используя общепринятое математическое соотношение div rot A = 0, где A — заданный вектор, можно записать закон сохранения заряда dq/dt + divi = 0. В физической мезомеханике справедливы те же математические аргументы, и закон сохранения заряда j0 можно записать, подставив уравнение (3) в уравнение (5) и используя соотношение div rot A = 0. Это означает, что вызванная действием внешних сил концентрация напряжений может перемещаться в форме электрического тока, но не может исчезать [7].
3.4. Пластическая деформация как релаксация напряжений
Электромагнитная волна несет электромагнитную энергию в форме вектора Умова-Пойнтинга. Рассмотрим эквивалентную величину в механическом поле:
div( V хю) = ю • rotV - V • rotw =
1 d Л 1 d (11)
:(ю • ю) + (V • V) + V • J.
2 dt
2с2 dt
Небольшое исследование гармонического осциллятора, в основе которого лежит система масса - пружина, позволило обнаружить, что первый член в правой стороне уравнения (11) представляет потенциальную энергию, запасенную пружиной [6]. Очевидно, что второй член представляет кинетическую энергию массы, соединенной с пружиной. Из аналогии с электромагнитной теорией третий член можно интерпретировать как энергию, переносимую движущимся зарядом, т.е. ток проводимости.
Уравнение (11) свидетельствует о том, что в механическом поле пластически деформирующегося объекта механическая энергия может распространяться либо в форме волны пластической деформации или в форме
движущегося заряда. Как указано выше, заряд у 0 представляет концентрацию напряжений и генерирует поле трансляционных смещений V. Исходя из этих утверждений возможна следующая интерпретация. Когда в материале происходит концентрация напряжений, генерируется поле трансляционных смещений V и его изменения с течением времени вызывают появление ротационных смещений в синергетическом режиме. Подобное синергетическое взаимодействие генерирует волну, которая распространяется по материалу с фазовой скоростью с и переносит механическую энергию. Эту механическую энергию можно интерпретировать как поток энергии напряжений, вызванный концентрацией напряжений. Следовательно, волновые характеристики можно интерпретировать как релаксацию напряжений, именно поэтому волну пластической деформации называют волной релаксации. Третий член в уравнении (11) указывает на то, что поток заряда у , т.е. J, является альтернативным способом релаксации энергии напряжений. Смысл этого второго пути релаксации напряжений будет обсужден в следующем разделе.
3.5. Затухание пластической деформации и заряда
В рамках физической мезомеханики считается, что волна пластической деформации является затухающей волной и при ее полном затухании происходит разрушение материала [5]. Хорошо известно, что при распространении электромагнитной волны в проводящей среде она затухает экспоненциально и заряд, если он существует, движется. Обсудим затухание волны пластической деформации на основе аналогии с теорией Максвелла. В общем, затухающее электрическое поле можно записать в следующем виде:
Е(0 = Е0е_|К 5т(2л/'\ + ф), (12)
где к — проводимость; /' — частота волны затухания и ф — задержка по фазе, вызванная затуханием. Поскольку среда обладает свойством проводимости, может течь ток проводимости. Если это происходит, часть энергии диссипируется. Экспоненциальный член в уравнении (12) описывает затухание поля Е как волны, он связан с током проводимости законом Ома. Обусловленная им энергия диссипации представляет собой активные (омические) потери.
Исходя из математического подобия механическую диссипацию следует определять подобным образом. С механической точки зрения экспоненциальное затухание соответствующее затуханию в уравнении (12), представляет собой вязкое демпфирование.
Следовательно, больший смысл имеет описание динамики через поле смещений, а не через скорость смещений. По аналогии с теорией Максвелла вынесем экспоненциальный член в начало и запишем выражение для волны смещений [6]:
X (^ = — Х0е эт(2:п;у^ + ф)51п(^П у), (13)
у I Х )
где X — смещение от точки положения равновесия вдоль направления х; у — коэффициент демпфирования, описывающий вязкость среды; V 0 и V7 — частоты незатухающей и затухающей волн соответственно, ф — задержка по фазе и X — длина волны. Здесь уравнение (13) имеет форму стоячей волны, поскольку согласно физической мезомеханике волна пластической деформации становится стоячей волной перед разрушением материала. Следовательно, при исследовании разрушения удобнее использовать понятие стоячей волны [5]. Заметим, что незатухающая волна в этом контексте означает волновое решение, записанное в виде (13) без экспоненциального члена. Из выражения для волны смещения (13) можно получить выражение для волны смещений и:
и = —
(2^)
= -(2п)2
т
Х0е~у‘ , ч . Г 2п
0 =81п(2пу ---------У
(2п)2 — -у2 ^ Х
т
где
(15)
а при переходе ко второй строке в уравнении (14) используется аналогия с моделью массы - пружины [6]. Уравнение (14) точно описывает ситуацию, когда волна смещений затухает из-за демпфирования, выраженного через у.
Подставляя уравнение (14) в уравнение (15) в двумерном случае получаем, что ток Зх имеет вид:
'2 (16)
Л = ^ и + 1Т X, с с
где Зх — х-компонента тока X
Заметим, что с увеличением у ток Зх возрастает. Это указывает на то, что с увеличением коэффициента затухания течет больший ток, приводящий к более высокой диссипации энергии. Согласно аналогии с теорией Максвелла, это соответствует ситуации, когда с увеличением удельной электрической проводимости возрастает ток проводимости и, как следствие, большая электрическая энергия диссипируется посредством омических потерь.
Как было упомянуто выше, в физической мезоме-ханике ток 3 является потоком заряда у 0 и у 0 представляет собой систему масса - пружина. Следовательно, движение у 0 означает, что вся система масса-пружина, а не только масса, смещается из положения равновесия. Это значит, что кинетическая энергии массы не
|-1 разрушение
О 10 20 30
Время, мин
Рис. 3. Наблюдаемая волна смещений и (случай затухающих осцилляций)
разрушение
□ □ линия 100
□ —□—г-. «HL-. w лини А лини я ¿.ъи ія 400 *
♦ ♦
0 5 10 15
Время, мин
Рис. 4. Наблюдаемая волна смещений и (случай сверхдемпфирования)
сохраняется, как потенциальная энергия пружины. Так выглядит физическая картина тока J вследствие диссипации энергии.
Подробности процессов диссипации, вызывающие экспоненциальное затухание волны пластической деформации, не ясны до сих пор. Однако существуют экспериментальные результаты, согласующиеся с вышеупомянутой моделью вязкости [7]. На рис. 3 и 4 приведены волны смещения, наблюдаемые в серии экспериментов на растяжение образцов из алюминиевых сплавов в направлении, перпендикулярном оси растяжения. Эти рисунки свидетельствуют о том, что волна пластической деформации затухает в виде колебаний или экспоненциально. Хорошо известно, что в зависимости от относительной величины к и т гармонические осцилляции в системе масса - пружина затухают либо в виде колебаний (затухающий “звон”), либо экспоненциально
(сверхдемпфирование). Одно возможное объяснение этих характеристик затухания состоит в том, что каким бы ни был механизм диссипации при пластической деформации, затухание смещения в течение процесса подобно вязкости.
4. Заключение
Различные понятия мезомеханики обсуждаются с использованием аналогии с теорией электромагнитного поля Максвелла. Базовый механизм, объясняющий волновые характеристики пластической деформации, появляющиеся в результате введения калибровочного поля, рассматривается с более феноменологической точки зрения. Волна пластической деформации и ток в рамках физической мезомеханики записаны в том же самом математическом виде, как и их аналоги в теории Максвелла, а их смысл определяется как волна релаксации и механическая диссипация энергии.
Литература
1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
2. Егорушкин В.Е. Калибровочная динамическая теория дефектов в неоднородно деформируемых средах со структурой. Поведение границы раздела // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - № 2. -С. 51-68.
3. Yoshida S. Predictive nondestructive evaluation based on a field theoretical approach // Proc. Seventh Annual International Conference on Composite Engineering, 2000. - P. 975-976.
4. Psakhie S.G. Movable cellular automata method as a computational technique of physical mesomechanics // Abstr. of International Workshop “Mesomechanics’2001”, March 26-28, 2001. - Tomsk: ISPMS, SB, RAS, 2001. - P. 30-31.
5. Yoshida S. Consideration on fracture of solid-state materials // Phys. Lett. A. - 2000. - V. 270. - P. 320-325.
6. Yoshida S. Mesomechanics as wave dynamics and its applications // Abstr. of International Workshop “Mesomechanics’2001”, March 2628, 2001. - Tomsk: ISPMS, SB, RAS, 2001. - P. 37-38.
7. Yoshida S. Mesomechanics as a wave theory — consideration based on analogy to Maxwell electromagnetic theory // Abstr. of International Confer. “CADAMT’2001”, March 29-31, 2001. - Tomsk: ISPMS, SB, RAS, 2001. - P. 27.
8. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е. Спектр возбужденных
состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле // Изв. вузов. Физика. - 1987. - Вып. 30.- № 1. - С. 36-51.
9. Kenyon I.R. General relativity. - Oxford, New York, Tokyo: Oxford University Press, 1990. - P. 58-63.
10. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеханики // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.
11. Aitchison I.J.R., Hey A.J.G. Gauge theory in particle physics. - England: IOP Publishing Limited, 1989.
