CC BY
28
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Ни же городе ко го университета им. Н.И. Лобачевского,2014, № 4 (1), с.339-342
УДК 534.014
© 2014 г.
ДИНАМИКА НАКЛЕЕЧНИКА ПРИ ПОЛИРОВАНИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН
Е.М. Гаврищук/ В.Н. Комаров,2 В. С. Метрикин,3 А.Г. Панасенко2
1Институт химии высокочистых веществ им. Г.Г. Девятых РАН, Н. Новгород 2Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
3НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
v.s. [email protected]
Поступила в редакцию 06.06.2014
Численно-аналитическими методами с использованием математической модели процесса шлифования диэлектрических пластин изучается возможность регулирования процесса относительного съема материала при шлифовании на станках для различных областей полируемых пластин за счет настройки геометрических параметров станка. Указаны значения геометрических и динамических параметров, при которых возникают режимы движения с остановками наклеечника.
Клюоеиъи слоир: шлифование, полирование, трение, математическая модель, наклеечник, полировальник.
Постановка задачи
В работах [1, 2] основное внимание уделено качеству обработки поверхности пластин. Ниже исследуется динамика химико-механического полирования диэлектрических пластин свободного наклеечника, на оси которого действуют силы трения. Принципиальная схема механизма шлифования (станки типа 3ПД-320) представлена на рис. 1.
Процесс полирования обеспечивается трением, возникающим при относительном движении пластины, приклеенной к наклеечнику (малый круг с центром О4), и полировальника (большой круг с центром О3). Относительное движение наклеечника и полировальника обеспечивается за счет вращения полировальника с угловой скоростью ю0 и работы кривошипно-шатунного механизма вследствие вращения кривошипа О1В с угловой скоростью ю. Кривошип О1В действует на тягу ЛВ, шарнирно закрепленную в точках Л и В, так что жесткая конструкция ЛО2О4 совершает совместно с наклеечником колебательное движение по полировальнику. Различные точки пластин на наклеечнике движутся с различными скоростями относительно полировальника, поэтому скорость съема материала на них будет различной.
Математическая модель
При разработке математической модели принято, что относительный съем материала пропорционален относительной скорости полируемой детали и полировальника (закон Престона [3]).
Вводя обозначения
ОхВ = Ъ, AB = с, AO2 = d, O2O3 = —o, O2O4 = R, O2O1 = f, O3O4 = r, y = и проводя ряд несложных преобразований, получим формулу для вычисления относительной скорости Vr полировальника и наклеечника в виде
Vr = R0 ([Р2 (юо - Ф) sin Y + Pj Oosin ц]2 + + [рФ + Р2(ф- юо)cos Y - PjOocos ц]2)1/2,
где
ю
Ф = ■
Ъ ( ) Ъ
—cos( Ф - у)--cos у
f d
Ъ COS( Ф - у) - sin Ф
Ф( t) =
G - Ф i(t)
2 ^Vf2
+ Ъ2 - 2 fb sin у Р= —, Pi = Vj+рфф-2cosO),
= sin( ф + S),
R
Р2 = -
r
Ro' sin S =
cosS = sin^ = cos|a =
Ф = Ф-Фo, f - Ъ sin у
+ Ъ2 - 2 f sin у Ъ cos у
Vf2 + Ъ2 - 2 fo sin у sinO
д/l + р(р - 2cosO) '
р-cosO ■y¡1 + р(р - 2cosO)'
o
О = f2 + а2 + Ь2 - с2, Ф1 ^) = 2^тц>,
cosф0 =
f2 - с2 + а2 2fd
Из закона Престона следует, что относительный съем материала в различных точках пластин на наклеечнике 5(г,у) = 5(р2,у) определяется из соотношения
2 я / ш
5 = | к (().
0
На рисунке 2 для f = 22.7, с = 22.5, а = 3.5, Л0 = 40, Ь = 0.4 в трехмерном пространстве [у, р2, Уг/Л0] представлены результаты расчета относительной величины съема материала на полируемых пластинах наклеечника при ю0 = 0.5.
Рассмотрим процесс полирования в режиме свободного наклеечника. В этом случае вращение наклеечника определяется действием момента М1 сил трения со стороны полировальника на наклеечник и момента сил трения на
оси наклеечника М2 .
Для определения М1 выберем систему ко-
г г
ординат х у , параллельную системе ху, с началом, совпадающим с центром наклеечника. В этой системе силы инерции, действующие на малые части наклеечника, равные АТ = -Ат 1¥0,
где Ат - масса части, 1¥0 - ускорение центра наклеечника, не создают вращающего момента, т.к. наклеечник имеет форму диска, а шлифуемые пластины крепятся, как правило, симметрично, не изменяя положения центра тяжести, совпадающего с центром диска. Таким образом,
имеем, что момент М1 определяется действием только сил трения между наклеечником (пластинами на наклеечнике) и полировальником.
Специфика сил трения, связанных с процессом полирования, составляет отдельную большую задачу. Поэтому упростим задачу и примем, что сила трения, действующая на элемент наклеечника площадью равна
арт = -уУ^.
Допустимость такого представления сил трения основывается на том, что абразив вместе со смазкой подобен жидкости с большой вязкостью. Константа у пропорциональна ее вязкости. Тогда можно записать
= СыТ^ ] = -у{гУг ^.
Для вычисления векторного произведения
[гУ г ] перейдем от системы координат х, у' к системе Е,С,л , неподвижной относительно наклеечника, в которых оно записывается в виде
[гУг] = г ^СуУ [еЕ ес] + [ееес]) =
= г(СО^у)УгС - ^М^е )ел,
где
г = гcos(Y)e? + гsin(Y)ee, у = у е + у е
УгЕ = ((ш0 -шз)г^п(Г) + ш0гsin(ц)),
УгС = (ш1Л -(ш0 -ш3)г^^) -ш0г^(ц)), ш 3 - угловая скорость наклеечника в системе х и у, ось Е направлена по 04^, ось С - по 04и , оси Е, С, "Л образуют правую тройку.
Тогда момент относительно оси л можно вычислить следующим образом
г0 2я
Мл=-у| | г 2[cos2(Y)(ш(
Л +
+ (ш3 -ш0)гСОS(Y) -ш0гcos(ц)) -- ((шз -ш0)гsin(Y) -
Динамика наклеечника при полировании диэлектрических пластин
341
-ю0 r sin(|)) sin(Y)]drdY =
r0 2я
= -х{ {r2[cos2(YXK-®0)r-
00
- sin2 (Y)(œ3 - ю0)r)]drdY =
ir0 3 4 2r dr = -x^r0 (Юз -Ю0)/2.
0
Здесь r0 - радиус наклеечника.
Если пренебречь моментом инерции наклеечника и трением на оси наклеечника, то
(ю3 -ю0) =0 и
Vr = д/ю0 r 2 sin2(|) + (ю1Я -ю0 r cos(|))2 =
= V®2r2 +®2R2 -2ra0ra1rRcos(|) =
= R0^/ю^ +fflj2 p2 - 2ю0ю1рр2cos(|).
Таким образом, в выбранной системе координат имеем
d®3 4 J-T- = - Х^Т (®з -Ю0) + M FR , (1) dt
где J - момент инерции наклеечника с пластинами.
Примем в дальнейшем, что момент трения представляется в виде
MFR =
B,ю2 > 0 -B,ю2 <0 [-B, B], ю2 = 0.
Так как ю 3 = ю 1 + ю 2, где ю 2 - скорость наклеечника относительно его оси, ю 1 - угловая скорость поводка наклеечника, которую можно приближенно считать равной ю1 = A sin(Qt + ф0), ю0 - скорость полировальника, уравнение (1) перепишется
dia2 dt
+ А,Ю2 =
= - A(Q cos(Qt + ф0) + X sin(Qt + ф0)) +
+ Хю 0 - M FR (ю 2) / J, X = / (2 J ).
Вводя безразмерные время х = Qt + ф0, координату х = (ю2-ю0)/ю0 и параметры k = X/Q, f = A>/X2 + Q2 /(Ою 0), a = B /(J(B 0Q).
это урав-
нение перепишем в виде
х + kx = -f cos(x-02) - a • sign(x +1),
cos
Ф 2 =Q /V X2 +Q2, sin Ф 2 = X /V X2 + Q2.
(2)
Фазовое пространство рассматриваемого уравнения (2) - двумерное в координатах (т, х). В нем имеется прямая Г( х = -1), которая делит плоскость на три подпространства Х+ (х >-1), Х_ (х < -1) и Г( х = -1). Движение изображающей точки в указанных подпространствах описывается соответственно уравнениями
x + kx = - f cos(x- Ф 2) - a, x > -1, x + kx = - f cos^-Ф2) + a, x <-1, x = -1.
Отметим, что движение изображающей точки в подпространстве Г( x = -1 ) происходит в интервалах времени Д; е , хм ], соответствующих стыку фазовых траекторий, приходящих из подпространств X_, X+ . Очевидно, что каждый из интервалов определяется из уравнений x+ = -1, x+ = 0,
x- = -1, х- = 0.
На рис. 3 приведены фазовые траектории для различных значений параметра a =9; 7; 6.5 соответственно и при фиксированных остальных, равных b = 0.0003, k = 0.71, b1 = 3.2 (b1 = a/k). Общим для всех параметров является наличие интервалов Д; остановок наклеечника, которые уменьшаются с ростом коэффициента трения относительного покоя a (рис. 3а-3в). Начиная только с некоторых значений a происходит вращение с остановкой наклеечника (рис. 3б).
С увеличением значения параметров b, b1 длительности остановок растут. С увеличением параметра k интервалы Д; сдвигаются в область меньших времен, а амплитуда колебаний х уменьшается.
В идеальном случае, когда можно пренебречь трением на оси наклеечника (М2=0), из уравнения (1) следует, что при очевидном соотношении (хг04тс /2)/( Jra0)>0 будем иметь lim ш 3 (t ) = ш 0. А это означает, что угловая
t ^ œ
скорость наклеечника ш2 относительно своей оси равна ш2 = ш0 -œ1(t). Отметим, что для выбранных значений параметров механизма имеет место соотношение raj = ф ~ 0.25sin(rat + ф0) и, следовательно, га2 > 0.
Если предположить, что М2 ^ 0 и может быть аппроксимирован силой трения, подчиняющейся закону Кулона - Амонтона, то из (1) следует, что limra3(t) = га0 +Дга , где Дга - малая
постоянная, равная
Дш= 2 М 2I ^/(W4).
В этом случае в установившемся режиме будем иметь
Vr = R0 ([р2 ДюsinY + p1 QûSin^]2 +
Îf 2
Отметим, что согласно (3) имеет место:
- в идеальном случае (М2 =0) отсутствует
зависимость относительной скорости Vr от
(3)
положения точки на наклеечнике р2, то есть съем материала на шлифуемом диске будет равномерным по его поверхности;
- трение на оси наклеечника приводит к слабой зависимости Vr от р2 и, таким образом, к неравномерности величины съема.
Список литературы
1. Nanz G., Camille L.E. // IEEE Trans. Semicond. Manuf. 1995. V. 8. P. 382.
2. Гаврищук Е.М., Комаров В.Н., Метрикин В.С., Панасенко А.Г. Математическое моделирование процесса шлифования пластин на станках типа 4ПД-200 и 3ПД-320// Известия Самарского НЦ РАН. 2011. Т. 13. № (3). С. 992-995.
3.Хомич Н.С., Луговик А.Ю., Федорцев Р.В. и др. Моделирование кинематики процесса магнито-абразивного полирования кремниевых пластин // Вестник БНТУ. 2009. № 1. С. 33-38.
4. Хомич Н.С. Магнитно-абразивная обработка изделий. Минск: БНТУ, 2006. 218 с.
5. Дьяконов В.П. MAPLE 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 688 с.
GLUER DYNAMICS AT POLISHING DIELECTRIC WAFERS
E.M.Gavrishchuk, V.N. Komarov, V.S. Metrikin, A.G. Panasenko
The article studies a possibility to regulate the process of relative material removal from wafers by adjusting grinder geometries. The values of geometric and dynamic parameters are given for which the motion regimes with halts of the gluer arise.
Keywords: grinding, polishing, friction, mathematical model, gluer, polisher.
References
1. Nanz G., Camille L.E.// IEEE Trans. Semicond. Manuf. 1995. V. 8. P. 382.
2. Gavrishchuk E.M., Komarov V.N., Metrikin V.S., Panasenko A.G. Matematicheskoe modeliro-vanie processa shlifovaniya plastin na stankah tipa 4PD-200 i 3PD-320// Izvestiya Samarskogo NC RAN. 2011. T. 13. № (3). S. 992-995.
3. Homich N.S., Lugovik A.Yu., Fedorcev R.V. i dr. Modelirovanie kinematiki processa magnito-abrazivnogo polirovaniya kremnievyh plastin // Vest-nik BNTU. 2009. № 1. S. 33-38.
4. Homich N.S. Magnitno-abrazivnaya obrabotka izdelij. Minsk: BNTU, 2006. 218 s.
5. D'yakonov V.P. MAPLE 9 v matematike, fi-zike i obrazovanii. M.: SOLON-Press, 2004. 688 s.
