CC BY
28
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 1 Физико-математические пауки 2009
УДК 621.373.8
ДИНАМИКА КОМПРЕССИИ ФАЗОМОДУЛИРОВАННЫХ ИМПУЛЬСОВ ИЗ МАЛОГО ЧИСЛА осцилляций ПОЛЯ
О .И. Пасека, В.Е. Лобанов, А. П. Сухорукое
Аннотация
Построена теория компрессии коротких оптических импульсов с квадратичной фазовой модуляцией в диспергирующей среде. Приведены результаты численного моделирования уравнения для напряженности электрического поля световой волпы. Найдены условия, при которых импульс сжимается до одного периода осцилляций. Проведены оценки оптимального индекса фазовой модуляции для достижения максимальной компрессии импульса.
Ключевые слова: предельно короткий импульс, осцилляции поля, фазовая модуляция. диспергирующая среда, компрессия.
Введение
Продольно короткио оптичоскио импульсы (ПКИ), содоржащио носколько колебаний электромагнитного поля, находят всо болоо широкое применение в нелинейной оптике, медицине, спектроскопии и диагностике сверхбыстрых процессов II материалов, в лазерной физике при изучении взаимодействия света с веществом, в телекоммуникационных системах и других областях [1]. Импульсы, содержащие всего 3 5 осцилляций поля, получены экспериментально в ближнем инфракрасном диапазоне длин волн с помощью параметрических генераторов [2, 3]. Для получения ПКИ используются различные методы компрессии импульсов с фазовой модуляцией в средах с частотной дисперсией (волокнах, решетках и др.). Оптические импульсы приобретают фазовую модуляцию в самих лазерах или при распространении в нелинейных и диспергирующих средах. В нелинейных средах для сжатия импульса используется эффект самокомпрессии [4, 5]. В последнее время выполнены работы по сжатию импульсов, обладающих спектральным суперконтинуумом [6]. Сильная компрессия достигнута при параметрическом усилении импульсов с чирпом частоты [2, 3, 7 9]. Огромной дисперсией, необходимой для эффективной компрессии, обладают полые фотонные волокна, заполненные газом [10].
Теория компрессии пикосекундных импульсов развивалась с помощью метода медленно-меняющихся амплитуд (ММА) во втором приближении теории дисперсии [2, 11]. Одиако для предельно коротких фемтосекундных импульсов такой метод становится неприменимым, так как спектральная ширина импульсов из небольшого числа осцилляций поля сравнима с шириной спектра. Поэтому для описания распространения предельно коротких импульсов используют или метод ММА с учетом дисперсии более высоких порядков (третьего, четвертого и т. д.) [2], или метод медленно меняющегося профиля (ММП) электрического поля оптического импульса [12 16].
В данной статье мы используем метод ММП для анализа предельной компрессии импульса из малого числа осцилляций с квадратичной фазовой модуляцией
(ФМ). Выполнен комплекс численного моделирования уравнения для электрического поля оптической волны при варьировании индекса ФМ и длительности импульса. Найдено оптимальное значение индекса, при котором импульс сокращается в диспергирующей среде до одного периода осцилляций поля. Дальнейшему сжатию препятствуют хроматические аберрации, обусловленные дисперсией третьего порядка.
1. Описание динамики компрессии импульсов
В приближении ММА световую волну можно представить в виде Е(г,Ь) = = А(г, €) ехр[—гшоЬ + гк(ш 0)г], где А = А(г,€) - амплитуда комплексной огибающей, к(шо) ~ волновое число па несущей частоте и0. Распространение сигнала в диспергирующей среде во втором приближении теории дисперсии описывается параболическим уравнением для амплитуды волнового пакета
dA . ^ d2A
^ 09 ’
dz д2т
(и
z
координата, вдоль которой распространяется излучение, т = t — z/u, и
1
u=
дк
дю
D2 =
- I (д2к\
~ 2 і, ЖР )
— 1 ди
2 и2 дю
коэффици-
ент дисперсии групповой скорости. Уравнению (1) соответствует закон дисперсии к(и) = к(ш0) + Q/u + D2 Q2, и = и0 + О. При подаче па вход в среду гауссова импульса с квадратичной фазовой модуляцией
Ао(т) = Ао exp [-(1 - %в)т2/T0\ (2)
решение уравнения (1) согласно [8, 9] выглядит как
A(z,T)
Eo
ІТо
T(z
exp
T 2(z
Длительность импульса меняется с расстоянием следующим образом:
1 1/2
T(z) = To (1 — sign (в D2) !в! z/ld)2 + z2/l2
(3)
Здесь введена длина дисперсионного расплывания /^ = Тд/4 |^2|. Спектральная ширина сигнала с огибающей (2) сохраняется постоянной Ашр = 2^/1 + в2/Та.
Если в В2 > 0, то происходит компрессия ФМ импульса. Как следует из простого анализа выражения (3), минимальная длительность
Тс = Т0/у/1 + р
(4)
достигается на расстоянии = [31а/(1 + в2) (см-? например, [15, 16]). В точке компрессии интенсивность возрастает в VI +в2 раз. С увеличением индекса модуляции длительность сжатого импульса сокращается как Тс « То/в- Однако следует иметь в виду, что метод ММА справедлив при обязательном выполнении условия ш0 Т(г) ^ 1 и слабом влиянии дисперсии высших порядков. Отсюда следует ограничение, накладываемое в теории ММА на величину индекса модуляции: в ^ 1М0Т0/2п. Выполнение этого условия обеспечивает узкополосность спектра сигнала: Ашр = 2-^/1 + в2/То <С шо- Таким образом, индекс ФМ неявно ограничен сверху, в ^ <^0Тэ/2. Если же длительность импульса становится сопоставимой
с периодом осцилляций поля Т(г) < 2п/шо и Дш^ > шо, то формула (3) теряет свою силу и необходимо переходить к другим методам учета дисперсии среды.
В связи со вышесказанным обратимся к методу ММП, полагая Е = Е(г,т), где т = £ — г/со, с0 - скорость света па низких частотах. С помощью этого метода можно свести анализ уравнений Максвелла к решению следующего уравнения [15. 17. 181
дЕ ^ д3Е ~д!~ (о)
Этому приближению отвечает дисперсия к(ш) = ш/со + ш3. Так как поле Е(г, т) является действительной функцией, то вместо комплексной амплитуды (1) зададим на входе в среду гауссов импульс с квадратичной фазовой модуляцией в двух видах: при наличии осцилляций поля в виде
Е(г = 0, т) = Ео ехр(—т2/Т0) сов(шот — вт2/Т0) (6)
или в виде
Е(г = 0, т) = Ео ехр(—т2/То2) эт(шот — вт2/То2). (7)
Отметим, что импульс (6) описывается четной функцией и имеет конечную
величину площади 12 = J Е(г,т) Лт, а другой импульс (7) задается нечетной
функцией с нулевой площадью. Это обстоятельство сказывается на форме волны в точке компрессии. Задача (5)-(7) решалась путем численного моделирования с
контролем сохранения интегралов движения 1\ = J Е2(г,т) Лт, /2 = J Е(г,т) Лт,
'*=/т- .
Уравнение (5) описывает дисперсию 3-го порядка, к(ш) = ш/со + В3 ш3, которая вызывает хроматические аберрации, то есть асимметричные искажения профиля поля. Так как затруднительно определить длительность такого импульса по заданному уровню поля, то для характеристики сигнала выберем среднеквадратичную длительность с помощью следующего интегрального выражения:
/ [т — тс(г)]2Е2(г,т) Лт
Т1-аМ = "-------7---------------, (8)
/ Е2(г, т) Лт
I тЕ2(г,т)Лт
где тс(г) = ---------- положение центра диспергирующего импульса. Для
I Е2(г,т)Лт
начального гауссова импульса длительностью без ФМ имеем Тт_8(0) « То/\/2.
Уравнение (5) решалось численно спектральным методом при помощи быстрого преобразования Фурье. На рис. 1 представлены результаты моделирования распространения импульса для случая шоТо = 10, в = 2.5, То = 10, В3 = 0.01. На врезках показаны слева направо профили поля на входе в среду, в точке компрессии и далеко за ней. Видно, что в точке компрессии сигнал превращается в однопериодный импульс, а при дальнейшем распространении он уширяется и претерпевает сильные асимметричные искажения. Сплошная кривая показывает изменение среднеквадратичной длительности (8). Минимальная длительность Тс = 0.4121 достигается в точке компрессии гс = 2.774. На этом же рисунке показан процесс сжатия гауссова
Т, отн. ед.
Рис. 1. Динамика компрессии импульса с с квадратичной модуляцией фазы, в = 2.5 при N = П0Т0 = 10, рассчитанная численно во 2-м приближении ММ А (пунктирная кривая) и методом ММП (5) (сплошная кривая). Во врезках показаны профили поля па входе, в точке компрессии и за пей
Е, отн. ед.
Рис. 2. Изменение с расстоянием длительности импульса с параметром числа осцилляций ш0Т0 = 10 для разных индексов ФМ: в = 2.5 и в = 4.5; сплошные кривые получены числешю методом ММП, пунктирные аналитически методом ММА
импульса согласно методу ММА во 2-м приближении теории дисперсии по формуле (3). Так как во 2-м приближении аберрации отсутствуют, импульс сжимается сильнее: Тс = 0.3914 та расстоянии гс = 2.873.
Рассмотрим теперь влияние индекса ФМ на степень дисперсионного сжатия. На рис. 2 сплошными кривыми показаны зависимости длительности от расстояния для тех же параметров, что и на рис. 1. На том же рисунке показана компрессия для большего значения индекса модуляции в = 4.5. Для сравнения показаны результаты расчета по методу ММА (пунктирные кривые) при В2 = 3В3и>о = 0.03. Как видно, увеличение индекса ФМ обеспечивает лучшую компрессию: метод ММА дает завышенную оценку степени компрессии, равной То/Тс. Но при этом возникает естественный вопрос, до какой предельно малой длительности можно сжимать импульс и чему равен оптимальный индекс модуляции.
Рис. 3. Зависимость нормированной длительности (коэффициента компрессии) предельно сжатого импульса с начальным профилем (6) (черные кружки) и (7) (светлые кружки) при разных числа начальных осцилляций поля N = ш0Т0 = 5 и N = 10 от индекса начальной квадратичной ФМ в
На рис. 3 показана зависимость минимальной длительности в точке компрессии импульса (6) с N = шоТО = 10 от индекса модуляции. Как видно, с увеличением индекса сначала степень сжатия увеличивается. Затем эффективность компрессии снижается и при оптимальном значении индекса ec.pt ~ 3.2 достигается абсолютный минимум шш Тс « 0.3То = 0.6Тт_я. При дальнейшем увеличении индекса профиль поля в точке компрессии искажается еще сильнее, и сжатие становится малоэффективным. Эффект насыщения степени компрессии не наблюдается во 2-м приближении теории дисперсии, (сплошная кривая, формула (4)).
Оптимальную величину параметра вор1 для получения однопериодного импульса можно оценить следующим образом. Как известно, в ходе компрессии ширина спектра не меняется. На входе в среду спектральная ширина импульса при сильной ФМ равна Дш^ = 2р/Т0. В точке компрессии фазовой модуляцией можно пренебречь, и ширина спектра будет определяться длительностью одного полу периода Тобс = п/шо, а именно Дшонс = 2/Тобс = 2шо/п. Приравнивая эти две ширины Дшр = Дшонс, получим соотношение вор1 « ш0Т0/п. Для Т0 = 10 , ш0 = 1 находим вор1 ~ 3 что удивительно хорошо согласуется с данными на рис. 3. Величина ворг накладывает ограничение сверху на индекс модуляции частоты: при в > вор1 импульс не укорачивается, а наоборот, удлиняется. Таким образом, сжатие импульса до одного периода исходных осцилляций поля можно получить при оптимальной компрессии с в = вор1 ■
Заключение
Нами развита теория компрессии импульса из малого числа осцилляций с квадратичной фазовой модуляцией в рамках метода медленно меняющегося профиля поля. Численно решено уравнение для электрического поля при варьировании индекса ФМ, числа осцилляций и длительности входного импульса. Найдена оптимальная величина индекса модуляции, при которой возможно сжатие импульса до одного периода осцилляций поля. При превышении оптимальной величины длительность в точке компрессии увеличивается.
Работа выполнена при поддержке грантами «Ведущие научные школы» (НШ-671.2008.2), РФФИ (Л* 08-02-00717, 09-02-01028).
Summary
0.1. Paseka, V.E. Lobanov, A.P. Sukhorukov. Dynamics of Pliase-Modulated Few-Cycle Pulse Compression.
The theory of short optical pulse compression with quadratic phase modulation in dispersive media is elaborated. Results of numerical simulation of the equation for a light wave field are presented. The conditions whereby the pulse is compressed up to one optical period are discussed. The optimum phase modulation index is determined.
Key words: few-cycle pulse, field oscillations, phase modulation, dispersive medium, compression.
Литература
1. Херман И., Вилъгелъми Б. Лазеры сверхкоротких световых импульсов. М.: Мир.
1986. 368 с.
2. Baltuska A., Wei Z. et al. Optical pulse compression to 5 fs at a 1-MHz repetition rate //
Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 102 104.
3. Beddard Т., Ebrahimzadeh М., Reid T.D., Sibbett W. Five-optical-cycle pulse generation in the mid infrared from an optical parametric oscillator based on aperiodically poled lithium niobate // Opt. Lett. 2000. V. 25. P. 1052 1054.
4. Ахма'поо С.А., Вислоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. 312 с.
5. Аграоал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.:Наука, 1996. 323 с.
6. Dudley J.M., Coen S. Fundamental limits to few-cycle pulse generation from compression of supercontinuum spectra generated in photonic crystal fiber // Opt. Expr. 2004.
V. 12, No 11. P. 2423 2428.
7. Kinder P., New G.H.C. Few cycle pulse propogation // Pliys. Rev. A. 2003. V. 67, No 2. P. 023813-1 023813-8.
8. Witte S., Zinkstok R, Hogervorst W., Eikema K. Generation of few-cycle terawatt light
pulses using optical parametric chirped pulse amplification // Opt. Expr. 2005. V. 13,
No 13. P. 4903 4908.
9. Tavella F., Nomura Y., Veisz L., Pervak V., Marcinkevicius A., Krautsz F. Dispersion management for a sub-10-fs, 10 TW optical parametric cliirped-pulse amplifier // Opt. Lett. 2007. V. 32, No 15. P. 2227 2229.
10. Nurhuda М., Suda A., Kaku М., Midorikawa K. Optimization of hollow fiber pulse compression using pressure gradients // Appl. Pliys. B. 2007. V. 89. P. 209 215.
11. Виноградова M.B., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука, 1990. 432 с.
12. Brabee Т., Krausz F. Nonlinear optical pulse propagation in the single-cycle regime // Pliys Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 3282 3285.
13. Brabee Т., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: frontiers of nonlinear optics // Rev.
Mod. Pliys. 2000. V. 72, No 2. P. 545 591.
14. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. 1997.
Т. 111. С. 404 419.
15. Дубровская О.В., Сухорукое А.П. Нелинейное взаимодействие двух световых пучков // Изв. РАН. Сер. физ. 1992. Т. 56, 12. С. 184 192.
16. Карамзин Ю.Н., Поташников А.С., Сухорукое А.П. Взаимодействие ультракоротких электромагнитных импульсов в среде с квадратичной нелинейностью // Изв. РАН. Сер. физ. 1996. Т. 60, Л» 12. С. 29 35.
17. Козлов С.А. Спектральные уравнения в фемтосекундной нелинейной оптике // Проблемы когерентной и нелинейной оптики. СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2000.
С. 143 160.
18. Козлов С.А., Самарцев В.В. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. СПб:
Изд-во СПбГУ ИТМО, 2007. 218 с.
Поступила в редакцию 02.02.09
Пасека Ольга Игоревна студент кафедры фотопики и физики микроволн физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Е-таі1: оїдаранекавдтаіі.сит
Лобанов Валерий Евгеньевич кандидат физико-математических паук, докторант физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Е-таі1: ьаИоЬапоь вдтай. сит
Сухорукое Анатолий Петрович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой фотопики и физики микроволн физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Е-таі1: apsm.su вдтай. сит
