CC BY
36
УДК 631.31:62-338
Динамика и моделирование транспортно-технологических машин для сельского хозяйства
В. П. Жаров
(Донской государственный технический университет)
Изложены научные основы динамики и механико-математического моделирования транспортнотехнологических машин для сельского хозяйства как нестационарных колебательных систем с переменными параметрами, с голономными и неголономными связями при нестационарных случайных возмущениях, что позволило на основе предложенного метода использования множителей Лагранжа в качестве выходных переменных динамических систем сельскохозяйственных машин представить последние в виде матриц и графов.
Ключевые слова: динамика, моделирование, переменные параметры, голономные и неголономные связи, нестационарные случайные возмущения, множители Лагранжа, матрицы, графы.
Введение. Обзор работ по теме исследования [1] показал, что транспортно-технологические машины для сельского хозяйства представляют в общем виде нестационарные стохастические динамические системы с сосредоточенными и распределёнными параметрами, с голономными и неголономными связями при детерминированных и случайных возмущениях.
Ввиду отсутствия общих методов моделирования этих систем, используем метод учёта дополнительно налагаемых голономных и неголономных связей и их реакций с использованием множителей Лагранжа в качестве выходных переменных динамических систем сельскохозяйственных машин, что позволит представить уравнения движения в матрично-операторной форме или в виде графа.
Динамика и моделирование сельскохозяйственных машин. Предлагаемая форма записи уравнений движения нестационарной колебательной системы с переменными массами, конфигурация которой определяется совокупностью 5 обобщённых координат д,„ (т = 1, 2, ..., з), подчинённой г голономным нестационарным идеальным связям, описываемым уравнением = = (¿71, ф, ..., ¿75/ 0 = 0 (ц = 1, 2, 3, ..., г), а также г* неголономным нестационарным линейным
5
идеальным связям, описываемым уравнениями вида =^сигП7ц'т +аг = 0, где V = 1, 2, ..., /;
/77=1
амт, а« — коэффициенты, зависящие от обобщённых координат и времени, полученных из общего уравнения механики переменных масс с использованием принципа затвердевания в лагранжевых координатах, имеет вид:
д*П д*Ф -А -А ,
+ --- +------> ^ ---- - > ^ --1:1 = 'гг, +Ч>
сії
(д*тл
УдЯ'т;
--/"ЛЯі'Я 2,-,Я
дЯт дЯ'т и"»дцт и"чая'т 'т гт'
/77=1
где Т, П — кинетическая и потенциальная энергия системы; Ф — диссипативная функция Релея;
д* д*
Ъ — обобщённые активные силы; \\>т — обобщённые реактивные силы;-------------,------— частные
дЯт дЯ'т
производные по указанным переменным при группе переменных, принятых за независимые; V К — множители Лагранжа соответственно для голономных и неголономных связей.
1586
В общем виде система уравнений (1) с учётом условия физической реализуемости системы в матричной форме записи для активных обобщённых сил записывается как:
тп] • [<7"(0]+т)] • тт+[Од] • ып]=що] • [г(0]+[жо] • ит+ют • [/чо] (2)
где [М (0], [Л (0], [С (*)] — матрицы инерции, демпфирования и жёсткости системы соответственно; [I (0], [Я(0], [С(0] — матрицы инерции, демпфирования и жёсткости возмущений соответственно; [ц (0] — матрица-столбец выходных переменных системы; |/(0] — матрица-столбец входных переменных системы.
Аналогично записывается матричное уравнение для реактивных обобщённых сил.
Общий вид матричного уравнения (2) в компактной форме записи представлен на рис. 1.
—.и 41 „II 42 _тг я:; а! 2 41 Яг • • * Яг *1 А.2 * » *
Ми М12 М^ М1В+1 М 1э+2 м1п 1*11 1*12 1^15 К1г+1 1^13+2 1*111
М21 Мг2 м25 М2Б+1 М 25+2 мгп + К 21 К 22 к.2Б+1 |*2Б+2 |*2п
• • • •
Мп1 мп2 МпБ Мп5+1 Мпэ+2 Мпп Кп1 Кп2 * * . Кпэ+1 К.пз+2 . * . К пп
41 42 . . . 4= X, А.2 . . . ^7 Г, г; 1 т г; £ . . . С
Си С12 С .в С 13+1 С1г+2 С 1п 1_п 1_12 1_1т Рп □Г Р1ГГ1
С 21 С 22 С 22 Сгг+1 С 2г+2 Сгп \-21 \-22 1_2т + Р21 СЬ Ргт
• • * •
Сп1 С п2 . . * Спз С П5+1 С г.1.) * * . Спп 1-т1 1_гп2 1_тт Рт1 Рт2 * * . Ртт
и . . .
Рп Р12 01т
йг1 022 О 2т
•
От1 От2 ♦ . . Отт
Рис. 1. Общий вид матричного уравнения движения нестационарной колебательной системы с голономными и неголономными связями в компактной форме записи (для упрощения записи аргумент времени везде опущен):
<71, 01, ■ ■■, Яв — обобщённые координаты; Х\, Х2, ..., V*— неопределённые множители Лагранжа для голономных и неголономных связей (э + г = л); Мы, — элементы инерционных матриц, /?«, — диссипативных матриц, С«, /?ц„ —
жёсткостных матриц
Матричное уравнение (2) практически не ограничивает число входных и выходных переменных системы. Однако при очень большом числе степеней свободы колебательной системы её анализ и синтез встречают значительные трудности. В связи с этим большой практический интерес представляют вопросы упрощения колебательных систем в смысле уменьшения числа степеней свободы.
С этой целью представим колебательную систему, описываемую матричным уравнением (2), в виде графа. Для этого используем основные положения теории графов [2, 3] и их связь с матричной формой записи уравнений движения рассматриваемой колебательной системы.
Как известно, линейной или приводящейся к линейной системе соответствует сигнальный, или ориентированный, граф, отражающий причинно-следственные связи между входными и выходными переменными (сигналами) системы. Вершины (узлы) этого графа соответствуют сигналам, а соединяющие их ветви (дуги) — коэффициентам передач ветвей. Применительно к рассматриваемым колебательным системам вершинам-источникам (независимым или свободным переменным) соответствуют входные возмущения и их производные, а зависимым (базисным) вершинам (вершинам-стокам и смешанным вершинам) — выходные переменные и их производные. Смешанным вершинам инцидентны как входящие, так и исходящие ветви. Минимальное количество смешанных вершин (содержащих максимальное количество входящих и исходящих ветвей),
1587
при разрыве которых рвутся все контуры общего графа, называются существенными точками графа.
Отметим, что в зависимости от выбора существенных точек графа, для одного и того же матричного уравнения (или системы уравнений) можно построить множество равносильных гра-
Используя известные правила связи сигнальных графов с системами линейных и линеаризованных уравнений, представим колебательную систему, описываемую матричным уравнением (2) в виде графа. При этом в качестве существенных точек графа выберем вторые производные выходных переменных системы, а с целью простоты изображения исключим петли (замкнутые ветви, связывающие вершину саму с собой), то есть построим нормализованный сигнальный граф, общий вид которого представлен на рис. 2.
Рис. 2. Общий вид нормализованного сигнального графа нестационарной колебательной системы, матричное уравнение
движения которой представлено на рис. 1
1588
Заключение. Таким образом, математическое моделирование нестационарной динамической системы матричным уравнением типа (2) или соответствующим ему сигнальным графом позволяет решить вопросы как моделирования, так и упрощения этих колебательных систем. Библиографический список
1. Жаров, В. П. Планирование виброизмерений для оценки некоторых параметров и класса колебательных систем сельскохозяйственных машин / В. П. Жаров // Комплексная механизация и автоматизация сельскохозяйственного производства. — Ростов-на-Дону, 1975. — С. 145—153.
2. Оре, О. Теория графов / О. Оре. — Москва: Наука, 1980. — 336 с.
3. Сучилин, А. М. Применение направленных графов к задачам электротехники / А. М. Су-чилин. — Ленинград: Энергия, 1971. — 104 с.
Материал поступил в редакцию 09.12.2011.
References
1. Zharov, V. P. Planirovanie vibroizmerenij dlya ocenki nekotory'x parametrov i klassa kolebatel'ny'x sistem sel'skoxozyajstvenny'x mashin / V. P. Zharov // Kompleksnaya mexanizaciya i avtomatizaciya sel'skoxozyajstvennogo proizvodstva. — Rostov-na-Donu, 1975. — S. 145—153. — In Russian.
2. Ore, 0. Teoriya grafov / O. Ore. — Moskva: Nauka, 1980. — 336 s. — In Russian.
3. Suchilin, A. M. Primenenie napravlenny'x grafov k zadacham e'lektrotexniki / A. M. Suchi-lin. — Leningrad: E'nergiya, 1971. — 104 s. — In Russian.
DYNAMICS AND MODELING OF TRANSPORT TECHNOLOGICAL MACHINES FOR AGRICULTURE
V. P. Zharov
(Don State Technical University)
The scientific basis for the dynamics and mechanicai-mathematic simulation of the transport technological machines for agriculture as the multivariable oscillatory systems with holonomie and nonholonomic constraints under the non-stationary random perturbations is described. It has permitted to represent the output variable dynamic systems of the agricultural machines, on the ground of Lagrange multiplier me-thod, in matrices and graphically.
Keywords: dynamics, modeling, variables, holonomie and nonholonomic constraints, non-stationary random disturbances, Lagrange multipliers, matrices, graphs.
1589
