CC BY
22
УДК 631.01:531.12
Постановка задачи о малых колебаниях систем приводов уборочных сельскохозяйственных машин как неголономных систем
В. В. Радин, И. А. Хозяев
(Донской государственный технический университет)
Даны определения, необходимые для построения теоретической модели, описывающей колебания элементов приводов сложных уборочных машин. Кинематические передачи таких машин обусловливают необходимость рассмотрения малых колебаний как п-массы неголономной системы первого порядка. Введено понятие стационарного состояния и реализовано принципиальное положение Боттема о качественном изменении величины потенциальной энергии в нуле.
Ключевые слова: динамика привода, неголономная связь, колебания, модель.
Введение. Для приводов уборочных сельхозмашин, кинематические трансляторы которых реализуются с помощью клиноременных и гидравлических передач, важно так построить аналитические модели движения системы рабочих органов, чтобы можно было с их помощью исследовать малые колебания около состояния установившегося движения. Для чего надо дать некоторые новые определения — они рассмотрены ниже.
Постановка задачи. Рассматривается л-массовая механическая система, на которую действуют в общем случае консервативные и диссипативные силы. Первые не изменяют величину суммы кинетической Т и потенциальной V энергии системы. В приводах уборочных сельхозмашин они обусловлены крутильной и изгибной жёсткостью валов, продольной и поперечной жёсткостью ремней и перетечками жидкости в гидромоторах и насосах, невосполнимым отставанием ведомых элементов от ведущих. Эти обобщённые силы выражаются так:
/ = 1^'
3£7
где ¿7, — обобщённые координаты системы.
Диссипативные силы уменьшают энергию (Г + V) системы. Они обусловлены в приводах уборочных машин силами вязкого трения и выражаются следующим образом:
/ = 1^'
д£7,
где ¿7, — обобщённые скорости системы, Ф — функция рассеяния (обычно описываемая функцией Рэлея).
На систему привода уборочной сельхозмашины действуют также внешние возмущающие силы полезного и вредного сопротивления, движущие силы, обусловленные различными техпроцессами, которые выражаются через независимые ц и зависимые /7 обобщённые координаты, обобщённые скорости и время:
= Ь = (Р+1),п; ¡ = \1 + Р.
Таким образом, выражение для обобщённых сил в приводах уборочных машин имеет вид:
<?,.= о/7+<?;+<?;. ш
Если составляющие <3" \л <3* в выражении (1) положить равными нулю, а (£ ^0, то мы приходим к исследованию основных (больших) движений неголономной системы, при наличии в ней таких связей, которые накладывают ограничения на скорости обобщённых координат. Если
75
Q,л и Qf не равны нулю, мы приходим к исследованию малых колебаний системы (возмущённого движения) относительно основного.
В теории колебаний неголономных систем выделяют малые колебания вокруг положения равновесия и вокруг состояния основного (установившегося) движения [1]. Для приводов уборочных сельхозмашин наибольший интерес представляют колебания около состояния установившегося движения, поскольку это и есть адекватное реальным режимам рабочее состояние всех передач.
Записать уравнение движения приводов уборочных сельхозмашин с обобщёнными силами (1) не удаётся, поскольку нельзя описать неголономные связи при основном и возмущённом движении едиными неинтегрируемыми соотношениями, так как в основном движении дифференциальные уравнения связей могут быть не только линейными, но и нелинейными первого порядка и даже второго порядка [2].
Состояние установившегося движения. Определим, следуя А. Н. Обморшеву [1], из всего многообразия состояний установившегося движения только такие, которые соответствуют стационарным движениям, т. е. имеем:
¿7^=0; qh= const, ц = 1,Р; h = 1,5; /' = 1,Р +5; Р +S = п (2)
Полагаем также для малых колебаний, что
<?;= О, Q? Ф 0; Qf* 0, (3)
т. е. не пренебрегаем упругими свойствами и диссипативными силами в кинематических трансляторах уборочных сельхозмашин, а в качестве основного невозмущённого движения
q,=f{t)) i =ljt (4)
рассматриваем стационарное в общем смысле или в смысле Раута — Кухтенко [2]. Движение, оп-
ределяемое при каких-то иных начальных условиях, например,
Q: = Q/ - U,, (5)
называется возмущённым. Изменения начальных условий называется возмущениями, а разность координат и, в том и другом движении — вариациями этих координат [1].
Уравнения в вариациях для возмущённого движения составляют суть аналитической модели малых колебаний неголономных систем приводов зернокомбайнов около заданного состояния установившегося движения.
Принципиальное отличие динамики малых колебаний неголономных систем от колебаний голономных систем исследовано в работах отечественных учёных [1—3]. Однако впервые его отметил голландский учёный — механик Боттема [4]. В 1949 году он установил, что при наложенных на систему линейных неголономных связях первого порядка потенциальную энергию системы V нельзя вычислять только как квадратичную форму от вариаций обобщённых координат, т. е. использовать лишь только третий член в разложении потенциальной энергии в ряд Маклорена. Действительно, уравнения движения системы с V линейными неголономными связями вида:
п ___ ____
ХА, (£71,...,4я_,)а, =0, /7=1,V- /=1,п; v<n (6)
/ = 1
и неполной диссипацией, когда функция Рэлея
ф = чТ Kk(ch'""'cln-,)QliQkr p = n-v (7)
цЛ=1
не содержит скоростей, соответствующих циклическим (зависимым в данном случае) координатам, имеет вид:
ф = чТ Kk(ch'""'cln-,)QliQkr P = n-v (7)
^ V,k=1
d дН ^ . дН „
rif. + X ^ (Qi'--'Qn-v)Qk _тт'
al °4u v-,k=1 /7=1
/г,ц = 1,/7-к = р) /7=1,к.
d дН
dt dq.
г= X ХлАх' Х = Р+1,Р+^< /7,
(8)
(9)
■'X Х=Р+1
где Н = Т - V — функция Лагранжа, Хл — множители Лагранжа, Ан — функция неголономных связей.
Уравнения движения для голономных систем с функцией Лагранжа Н, у которой п - т последних координат являются циклическими, а функция Рэлея
1 т
ф=тТВ:,]=1 {Я1>->Ят)Я!Я]
£ /,7=1
характеризует неполную диссипацию этой системы, имеют вид:
d дН v- о / ч ■ дН _
+ X вЛЯи -'Ят)Я: - — = О, dt dq, dq.
j =1,2,...,m
d dH
= 0,
k = 1,2,... ,n - m
(10)
dt dqm+k
По определению, стационарным называется такое движение, при котором сохраняют постоянное значение нециклические координаты и циклические скорости, т. е. для неголономной системы справедливы соотношения:
q°= const, q° = 0, q° = const, ц = 1 ,p, /7=1,и, v < п) а для голономной системы стационарные условия имеют вид:
q° = const, q° =0, q° = const, j =l,m, k=l,n-m, m<n.
Подставляя эти соотношения соответственно в выражения (6) — (9) и в систему (10), получаем для голономной системы в состоянии установившегося движения:
дН
dq.
= 0,
j =1,т .
Откуда следует, что для системы роторных масс привода зерноуборочного комбайна с го-лономными связями
51/(0,...,0)
= 0,
(П)
а для неголономной системы уравнения стационарных движении имеют вид:
— + 1>°А° =0
ОЯу, /7=1 р+у
X^°A°x=0 x = p+l,p + v, v<n, ц = 1,р, p<v.
Х = Р+1 p+v
I A°A"=о
X = P+1
(12)
Из первого уравнения системы (12) следует, что для системы роторных масс привода зернокомбайна с неголономными связями первого порядка
а"<°..°>=i>x
dqa Ü h hli
Ц = 1 ,P) /7=1,V, V <П .
(13)
Здесь параметры с нулём в индексе означают выражения для ХЛ и Д после подстановки
в них стационарных условий.
Из уравнений (11) и (13) следует, во-первых, что неголономные связи качественно меняют содержание потенциальной энергии в состоянии установившегося движения (т. е. основного, невозмущённого движения) по сравнению с голономными связями, и, во-вторых, устанавливаем справедливость утверждения Боттема. В самом деле, в теории колебаний, учитывая что величины
¿7, и ¿7, (/ =1 ,л) являются малыми, уравнения (8) — (9) и (10) упрощают, отбрасывая члены второго и выше порядков малости относительно £7, и £7,. Для чего проводят разложение каждого слагаемого в уравнениях в ряды Маклорена, т. е. разлагают Г,1/,б^,Хл, Д для неголономной системы и Т,1/,Вк для голономной системы по степеням q|í,q|í и Я],С1] ■ Для потенциальной энергии
1/(£7,) = 1/(0,...,0) + Х
дН
dq і
■ ',;=i
д2У
dqflj
Q,Qi +•••
(14)
Для голономной системы заключаем, что потенциальная энергия
■ ;='=i
QiQj
задаётся квадратичной формой от обобщённых координат системы, поскольку первый член в выражении (14) отбрасываем, так как он не влияет на уравнения движения [10], а второй член равен нулю на основании уравнения (11).
Для неголономной системы второй член в разложении потенциальной энергии (14) не равен нулю на основании соотношения (13).
Выводы. 1. Смысл утверждения Боттема состоит в том, что неголономные связи при малых колебаниях качественно изменяют содержание потенциальной энергии системы в нуле.
2. Новое определение потенциальной энергии неголономной системы привода уборочной машины приводит к появлению нулевых скоростей характеристического уравнения малых колебаний привода уборочной машины.
3. Матрица характеристических уравнений малых колебаний системы привода рабочих органов уборочной машины становится несимметричной, что свидетельствует о возможной потере устойчивости движения.
Библиографический список
1. Обморшев, А. Н. Колебания и устойчивость неголономных систем / А. Н. Обморшев // Механика. — Москва: Оборонгиз, 1955. — С. 72—97.
2. Кухтенко, А. И. О теории малых колебаний и устойчивости движения систем с неголо-номными связями / А. И. Кухтенко // Прикладная механика. — Киев: АН УССР, 1995. — Т. 1. — Вып. 2. - С. 204-223.
3. Неймарк, Ю. И. Динамика неголономных систем / Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. — Москва: Наука, 1967. — 519 с.
4. Bottema, О. On the small Oscillations of Non-holonomic system / 0. Bottema // Iuagations Mathematical. — Amsterdam, 1949. — Vol. 11. — F. 4. — P. 197—212.
Материал поступил в редакцию 26.12.2011.
References
1. Obmorshev, A. N. Kolebaniya i ustojchivost' negolonomny'x sistem / A. N. Obmorshev // Mexanika. — Moskva: Oborongiz, 1955. — S. 72—97. — In Russian.
2. Kuxtenko, A. I. 0 teorii maly'x kolebanij i ustojchivosti dvizheniya sistem s negolonomny'mi svyazyami / A. I. Kuxtenko // Prikladnaya mexanika. — Kiev: AN USSR, 1995. — T. 1. — Vy'p. 2. —
S. 204—223. — In Russian.
3. Nejmark, Yu. I. Dinamika negolonomny'x sistem / Yu. I. Nejmark, N. A. Fufaev. — Moskva: Nauka, 1967. — 519 s. — In Russian.
4. Bottema, 0. On the small Oscillations of Non-holonomic system / 0. Bottema // Iuagations Mathematical. — Amsterdam, 1949. — Vol. 11. — F. 4. — P. 197—212.
TASK DESCRIPTION ON SMALL OSCILLATIONS OF AGRICULTURAL HARVESTER DRIVE SYSTEMS AS NON-HOLONOMIC SYSTEMS
V. V. Rad in, I. A. Khozyayev
(Don State Technical University)
The definitions necessary for building the theoretical model describing the oscillations of the combine drive components are given. Power transmissions of such machines cause the necessity of considering small oscillations as n-mass of the first-order non-holonomic system. The stationary condition concept is introduced. Bottema's key thesis on the quality change of the potential energy value in zero is realized.
Keywords: drive dynamics, nonholonomic constraint, oscillations, model.
