CC BY
1ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2024_Математика. Механика. Информатика_3(66)
МЕХАНИКА
Научная статья
УДК 531.9; 514.853
DOI: 10.17072/1993-0550-2024-3-35-46
https://elibrary.ru/fqyvkc
Динамика гиростата в световом поле полуевклидова пространства
Николай Николаевич Макеев
г. Саратов, Россия e-mail: [email protected]
Аннотация. Исследуется движение гиростата в стационарном поле сил светового давления полуевклидова пространства. Гиростат с кинетической осевой симметрией и постоянным гиростатическим моментом движется так, что его носитель вращается вокруг центра инерции. Поле сил светового давления порождается стационарным световым потоком постоянной интенсивности, образованным параллельными лучами света, и принимается консервативным. На основе усовершенствованной термомеханической модели динамического взаимодействия светового излучения с твердой поверхностью строится динамическая система и рассматривается ограниченная задача исследования маятникового движения особого вида. Получены аналитические зависимости от времени компонент вектора угловой скорости гиростата и параметров его ориентации. Найдены параметрические уравнения подвижного годографа вектора угловой скорости гиростата и явное уравнение его несущей поверхности.
Ключевые слова: гиростат; полуевклидово пространство; поле сил светового давления; маятниковое движение; годограф вектора угловой скорости
Для цитирования: Макеев Н.Н. Динамика гиростата в световом поле полуевклидова пространства // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 202 4. Вып. 3(66). С. 35-46. DOI: 10.17072/ 1993-0550-2024-3-35-46. https://elibrary.ru/fqyvkc.
Статья поступила в редакцию 16.08.2024; одобрена после рецензирования 11.09.2024; принята к публикации 06.10.2024.
MECHANICS
Research article
Gyrostat Dynamics in the Light Field of Semi-Euclidean Space
Nikolay N. Makeev
Saratov, Russia
e-mail: [email protected]
Abstract. The motion of a gyrostat in a stationary field of light pressure forces in semi-Euclidean space is investigated. A gyrostat with kinetic axial symmetry and a constant gyrostatic moment
каКЕН Эта работа О 2024 Макеев Н. Н. распространяется под лицензией СС ВУ 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
moves so that its carrier rotates around the center of inertia. The field of light pressure forces is generated by a stationary light flux of constant intensity, formed by parallel rays of light, and is assumed to be conservative. Based on an improved thermomechanical model of the dynamic interaction of light radiation with a solid surface, a dynamic system is constructed and the limited problem of studying pendulum motion of a special type is considered. Analytical time dependences of the components of the gyrostat angular velocity vector and its orientation parameters are obtained. The parametric equations of the moving hodograph of the gyrostat angular velocity vector and the explicit equation of its bearing surface are found. Keywords: gyrostat; semi-Euclidean space; light pressure force field; pendulum movement; angular velocity vector hodograph
For citation: Makeev, N. N. (2024), "Gyrostat Dynamics in the Light Field of Semi-Euclidean Space", Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, no. 3(66), pp. 35-46. DOI: 10.17072/1993-0550-2024-3-35-46. https://elibrary.ru/fqyvkc.
The article was submitted 16.08.2024; approved after reviewing 11.09.2024; accepted for publication 06.10.2024.
Введение
Рассматривается динамически активная среда - световое поле (поле сил светового давления, СД-поле), порождаемое стационарным однородным потоком светового излучения; оно представляется пучком прямолинейных параллельных лучей постоянной интенсивности. Предполагается, что этот поток индуцируется стационарным источником светового излучения постоянной мощности, генерирующим световую волну, взаимодействующую со средой ее распространения и вызывающую эффект светового давления на твердые поверхности (динамический эффект П.Н. Лебедева).
Световое давление - пондеромоторный эффект светового излучения, обусловленный передачей импульса электромагнитного поля. Это давление реализуется распределенной поверхностной силой, величина которой пропорциональна плотности энергии светового потока и непосредственно зависит от оптических и термомеханических свойств освещаемой поверхности.
Общепринятая модель термомеханического взаимодействия светового потока с твердой поверхностью учитывает только давление подающего и отраженного (рассеянного) светового излучения. Однако реально мощность светового потока, поглощаемая твердой поверхностью, переизлучается в тепловом диапазоне, и это явление оказывает существенное влияние на динамические свойства тела. Установлено, что сила отдачи тепловых фотонов неконсервативна и в результате это приводит к возникновению существенных по влиянию дополнительных динамических эффектов, не улавливаемых общепринятыми термомеханическими моделями. В настоящей работе принята более совершенная термомеханическая модель, предложенная в статье [1], свободная от указанного недостатка.
В цитируемой статье рассматривается задача об устойчивости перманентных вращений абсолютно твердого тела в СД-поле, которое при определенных условиях может быть консервативным [1]. Свойство консервативности поля способствует решению аналитическими методами задачи о нахождении точных частных решений системы уравнений сферического движения тела. Такого рода задачи являются актуальными модельными задачами классической динамики твердого тела.
Несмотря на незначительную по объему аналитическую базу точных частных решений для исследований они имеют существенное значение. Эти решения являются носителями основной информации о характерных особенностях движения данного механического объекта и, вместе с тем, позволяют оценивать возможности применения приближенных методов нахождения решений уравнений его движения.
К настоящему времени не найдены какие-либо общие методы построения видов частных решений систем уравнений движения. В силу этого, как правило, рассматриваются задачи частного характера, решаемые в ограниченной постановке в рамках классической механики.
В настоящей работе решается ограниченная задача о нахождении точных частных решений системы уравнений сферического движения гиростата в стационарном СД-поле неевклидова пространства, поставленная при заданных ограничениях и голономных связях, для определенного класса его движений.
1. Предварительные положения
Согласно классификации, применяемой в проективной геометрии, рассматриваемое здесь полуевклидово пространство является действительным аффинным трехмерным пространством с индексом 2 и дефектом 0. Оно может быть определено и как полугиперболическое пространство с несобственной абсолютной плоскостью.
В данной работе под движением гиростата (в смысле механического движения) понимается перемещение в конфигурационном пространстве его тела-носителя как абсолютно твердого тела. При этом все необходимые геометрические объекты и связанные с ними геометрические построения, вводимые в публикациях различными способами, приняты здесь согласно схеме, установленной в работе [2].
Вследствие существующего гомеоморфизма задача о движении гиростата в плоскости Лобачевского эквивалентна задаче о его вращении вокруг неподвижного полюса в полуевклидовом пространстве с метрическим тензором = (е1 ■ еД отнесенном к пространству конфигураций гиростата, с компонентами д11 = д22 = - 1, д33 = 1 при i = ] и, кроме того, ду = 0 при i ФЗдесь ег- (/' = 1, 2, 3) - орты осей заданной ортогональной координатной системы.
Согласно проективной модели Э. Бельтрами-Ф. Клейна плоскость Лобачевского наглядно представляется в виде внутренних точек абсолюта гиперболической плоскости
^■х^' = -(х1)2- (х2)2+ (х3)2 = 0,
где - контравариантные координаты.
Под гиростатом в полуевклидовом пространстве в общепринятом смысле понимается гиростат, расположенный внутри изотропного конуса этого пространства, а под неподвижным полюсом О, совпадающим с его центром инерции, относительно которого движется гиростат, - вершина данного конуса. Тогда для радиусов-векторов точек гиростата существует условие г2 = д^г/ > 0 и данные векторы, по определению, являются собственными.
Предполагается, что СД-поле светового потока является консервативным, характеризуемым одномерным стационарным квадратичным потенциалом [1]:
и ) = | О ) , (1)
где функция плотности поля О определяется равенством
С(ьз) = П1+ щэз (- ™< Бз< -1), (2)
а функция и определена в открытой регулярной области конфигурационного пространства. Здесь п1, п2 - заданные постоянные термомеханические модельные параметры [1], характеризующие теплофизические и оптические свойства светоотражающей твердой поверхности гиростата.
Движение гиростата вокруг полюса О относительно ортобазиса, связанного с носителем, в силовом поле светового потока с потенциалом, заданным соотношениями (1), (2), согласно принятым предпосылкам, определяется системой уравнений
Аш + шх (Аш + к) = (и,, х з),
£ + (шх я) = 0, (3)
где обозначено
ди
и* =
" дз
Согласно соотношениям (1), (2) для функции и имеем [1]
1 7
и(*з)= + -П2Я(4)
Введем правые координатные ортобазисы с общим началом в неподвижном полюсе О: ортобазис Г0, неподвижный относительно инерциального конфигурационного пространства гиростата, и ортобазис Г(Ох1х2х3), неизменно связанный с телом-носителем гиростата, оси Ох] которого совмещены с его главными в полюсе О осями приведенного (по Н.Е. Жуковскому) тензора инерции данного гиростата.
Обозначим: Л] - диагональные элементы матрицы тензора инерции, являющиеся главными центральными моментами инерции, соответствующими собственным значениям оператора инерции гиростата; К(Щ) - кинетический момент гиростата относительно полюса О; к(к^) — постоянный гиростатический вектор-момент, заданный проекциями ^ на оси ортобазиса Г; главные центральные моменты инерции гиростата А1,А2 -моменты относительно не изотропных (идеальных) главных осей 0x1, 0x2, а момент Аз - относительно собственной главной оси инерции Охз; ш(ш^) - абсолютная угловая скорость тела-носителя. Здесь и всюду далее текущий индекс ] последовательно принимает значения у = 1, 2, 3. В частности, символ (ш^) кратко обозначает всю совокупность допустимых значений (ш1, ш2, ш3).
Пусть в] а = 1, 2, 3) - орты осей базиса Г. Тогда вектор угловой скорости носителя гиростата и его кинетический вектор-момент относительно полюса О представляются в виде, соответственно [2],
ш = ще1 + Ш2в2 - Шзвз, К= К^1+ К2в2- Кзвз.
Для компонент вектора К имеем
К) = А]ш] + к} = (] = 1, 2, 3), (5)
где К = ^ 0, - соответствующие направляющие косинусы, для которых имеет место тривиальное тождество [2]
И2 = - - + ^ = 1. (6)
Система параметров ориентации для твердого тела в неевклидовых пространствах вводится по-разному; здесь единой общепринятой схемы не существует.
Следуя конструкционной схеме построения параметров ориентации собственного базового вектора 8 в полуевклидовом пространстве, принятой в работе [2], введем аналоги классических углов Эйлера А, ф, определяющих ориентацию ортобазиса Г относительно Г0 конфигурационного пространства. Положим, что вектор 52, $3)- орт, определяющий ориентацию однородного параллельного светового потока относительно базиса Г. Этот вектор является направляющим ортом светового потока, ориентированным против направления падающих на поверхность носителя пучка лучей света. Его зависимость от указанных параметров ориентации определяется равенствами [2]
(51, 52, 53) = sh$cos0, - (7)
удовлетворяющими соотношению (6). Здесь параметры ориентации д, ф по аналогии с классическими углами Эйлера будем называть параметрами нутации и собственного вращения. При этом данные параметры (как и их классические аналоги) являются безразмерными величинами.
Для собственного вектора К согласно равенствам (5), (7) получаем [3]
К2, К3) = К( shд sinф, sh0cosф, -ЛЯ). (8)
Вводя 3-вектор с существенной компонентой £123 = 1, переставляем его ин-
^-координата которого определяется равенствами [2]:
(ах Ь)л=
Л 'Ч
дексы по схеме: е/у. = ^¿уг^'^. Тогда векторное произведение вида (ах Ь) - это вектор,
(а х Ь)* = (9)
откуда следует
[в1, в2, 63] = [(63 X 62), (в1 X 63), (в1 х 62)].
Система уравнений (3) согласно соотношениям (1), (2), (5)-(9) и введенным предпосылкам в проекциях на координатные оси ортобазиса Г принимает вид
^¿>1 + (^2 + ^3)^2^3 + + = - 6(53)52,
^2^)2 - + - ^1^3 - ^3^1 = С^^,
^<¿>3 + (^1 - ^2)^1^2 - + ^1^2 = 0, (10)
¿1= ^3- ^3^2, ¿2= ^1- ^3, ¿3= ^251- ^2. (11)
Уравнения (10)—(11) образуют многопараметрическую динамическую систему с квадратичной нелинейностью, в которой подсистема (10) имеет особые точки: точку 5^(0, 0, 1) и множество з^, 52,5р), где критическое значение = - п1/п2соответствует статическому условию С(5р) = 0и является единственным критическим значением.
Для динамической системы (10)—(11) ставится следующая ограниченная задача. Полагая, что при Ь Е Т = [0, + ю) априорно существует точное частное решение {^(Ь), данной системы, удовлетворяющее начальным условиям ы(0) = ы0 (ш°/), 8(0) = б0 (я0/), найти это решение, удовлетворяющее ограничениям, налагаемым на характеристики движения гиростата.
Целью настоящей работы является решение поставленной задачи, получаемое на основе динамической системы (10)—(11) и предпосылок, принятых для данной задачи.
2. Маятниковые движения
Рассмотрим движения гиростата, при которых для Ь Е Т выполняются условия
Л(Ь) = т1Ф 0, ф(Ь) = т2, (12)
где т1, т2 — заданные действительные постоянные. Эти условия определяют сложное движение, составленное из равномерного прецессирования и равномерного собственного вращения носителя гиростата. Совокупность параметров т1, т2, заданных равенствами (12), характеризует множество маятниковых движений гиростата, существующих в СД-поле.
Согласно классификации, приведенной в работе [3], это движение при т2 = 0яв-ляется частным случаем маятникового движения первого рода. Данное движение при дополнительном к (12) условии в(Ь) = 0переходит в регулярную прецессию, порождаемую силами радиационного СД-поля. В определенном смысле движение, подчиненное условиям (12), является полурегулярной прецессией гиростата.
Введем условие осевой структурно-кинетической симметрии гиростата:
А1= А2= А> А3 (13)
и рассмотрим преобразование редуцирования динамической системы (10)—(11).
Обозначим
Р(ш1, ш2) = к1ш1 + к2ш2,
Ф&1, = к151 + к232,
3) = Ьшз + кз, 1
Ь = А + А3, А3 < - Ь < А.
Из третьего уравнения системы (10) в силу остальных уравнений при условиях (13) получаем
АА3Ш3 + Ы(шз)Р(щ, Ш2) + к2шз + в^Ф^, 82) = 0. (14)
Введем геометрическую связь
= - = 0, (15)
которая по предположению реализуется для значений Ь Е Т. Согласно выражениям (7), уравнение связи (15) принимает вид
B(ф)shд = 0, (16)
где обозначено
В(ф) = k1cosф— k2sinф.
Исключая критическое значение 3 = 0, находим, что связь вида (16) для гиростата реализуется в виде
В(Ф) = 0. (17)
Обозначая
N(^3) = + ^3,
^2) = ^1^2 - ^2^1 = - ^<¿>3,
в силу уравнений системы (10) получаем
^2) + N(^3)^(^1, ^2) = - С(53)Х(51, 52),
^2) = - ^2)^3 - ^о^. (18)
Из соотношений (18) на связи (17) следует:
F(u) = а^^Ьи2 + &3и) + С1,
Ф(и) = Л3(ар - и), и= (19)
Здесь С1 — постоянная интегрирования и, с учетом дальнейшего, обозначено:
(а, ар, 03) = (Л- 1, а^3, Л- 1). Согласно выражениям (17)—(19) уравнение (14) принимает вид
где обозначено:
й+ Л2и = - Р(и) + ап2(и- а„)53, (20)
Л2 = + ^2), п = аа3,
3
Р(и) = ^ ^и* ^3 = ^арПЙ2, & = 0
3
= -арЬп&3, = пЬС1 - ап1, #0 = + ^3.
Присоединим к условиям (12) уравнение, являющееся аналогом кинематического уравнения Эйлера, существующего для случая собственного кинетического момента гиростата. Для полуевклидова пространства это уравнение имеет вид [3]
и = т153 - т2, (21)
где зависимость вида 53($) определяется равенством (7).
Согласно зависимости (21), уравнение (20) принимает вид
й + Я2и= @3(и), (22)
где обозначено:
3
&(") = ^ М*, Й3 = - А3, & = 0
¿2 = П„ - ^2, ¿1 = Пр(Ш2 - О«) - ^1,
Й0 = -(арт2Пр + ^0), Ир = 1^2.
Итак, в результате преобразования из системы уравнений (10), (11) выделено определяющее для функции и{Ь) уравнение (22), которое можно рассматривать как квазилинейное, характеризующее стационарные колебания нелинейного осциллятора в одномерном фазовом пространстве с координатой и. В частности, при значениях кинематических параметров
_ 2П2 _ _ 2(п1 + аяк3)
Шг 3аЬк3' т2 3а2Ьк3 '
3 г м ni - i
-а(т.2 - ар)к3 - —, aq= ар 1,
для которых br = 0 (г = 0, 1, 2), уравнение (22) принимает вид специального уравнения Дуффинга (случай жесткой внешней упругой силы) [4, с. 163]. Для уравнения (22) имеет место первый интеграл
й2 = 2Q4(U) (- 1< и< 1) (23)
с полиномом
111 Q4(u)= -¡¡Ъзи4 + -b2U3 + — bru2 + b0u + С2,
где обозначено br = Ь1— П2, C2 - постоянная интегрирования. Из уравнения (23) следует:
+ = t- t0, (24)
причем u0 = ch $0, и далее полагаем to = 0. В равенстве (24) знак левой части выбирается согласно условию t > 0.
Положим, что все корни полинома Q4 - простые. Обозначим через ир один из них. Тогда, обращая квадратурную зависимость (24), получаем решение уравнения (23) в форме
u(t)= ир+ ri[p(t;g2,g3)- Г2]- 1, (25)
где обозначено
11
г1 = 2®4 (uP)1, г2= й (ир)-
Здесь штрих обозначает производную по переменной и, а р - символ эллиптической функции Вейерштрасса [5, с. 322] с инвариантами
1 1 1 _ 92 = 4(^2- зbob2+ j¿b2),
1 1 , 1,1 1 _ Вз= ^g [(ЬЬз - -Ъ2^)С2 - -^Ъ1Ъз+ —b(bob2- -b2)].
В силу соотношений (21), (25) имеем
S3(t) = mi- 1{т2 + ир+ ri[p (Ь;д2,9з) - ГгГ 1}. (26)
Таким образом, параметры ориентации гиростата, согласно соотношениям (12), (21), определяются равенствами
X(t) = m1t + Л0, ф(Ь) = m2t + ф0, а зависимость вида $ (t) - равенством (26), где, согласно соотношению (7), s3 (t) = - ch $ (t).
Зависимость компонент вектора ю (&>7) от параметров его ориентации в случае, при котором вектор К в полуевклидовом пространстве является собственным, устанавливается известными соотношениями [3], согласно которым
+ = ($ + íish$)exp(— ¿0), (г = V- 1).
При этом зависимость вида ^3(£) находится из равенства (25).
Приведем выражение проекции вектора скорости носителя на плоскость, ортогональную оси кинетической симметрии гиростата. Для функции ее квадрата нормы = согласно условиям, получаем
П^ = (т^£)2 + ¿2.
Эта зависимость при заданном значении параметра т1, в случае необходимости, позволяет определить движение гиростата по углу д (нутационное движение).
3. Годограф вектора угловой скорости
Для системы уравнений (10), (11) имеет место интеграл энергии [3]
Л^)- и (53)= к, (27)
где потенциал СД-поля и (53) определяется равенством (4), И — постоянная интегрирования. При условиях (13) и обозначениях (19) интеграл (27) принимает вид
П^ = 2а[У(53) + к] - ари2, (28)
где обозначено Л2 = ^ +
Из третьего уравнения системы (10) при условиях (13) следует:
-а3К(^1, ^2) = и, (29)
где в силу зависимости (25) и соотношения для дифференцирования функции Вейерштрасса р(£) [5, с. 320] имеем
ОД = + Г1[р(0 - ^Г 2 ■ 74^3(0- 020(0- 03, (30)
= ^2, #3).
Представим уравнения (28), (29), соответственно, согласно равенствам (25), (26), (30) в виде
Л^!, Ш2) = Ф^), - Я3Й(Ш1, Ш2)= Ф2(С), (31)
где Ф1, Ф2 — известные функции. Положим Ф 0 и обозначим
= [^(0 - ¿^(О]^, т = к- 1^2.
Тогда для значений величин в области £(£) > 0 (С е Г) фазового пространства
из соотношений (31) следует:
^(0 = к 2[Л3к2Ф2(0±,1Щ], < (Г) = - к~2 [АК Ф (*) + т^^)],
где £(£) — дискриминантная функция, определенная в области фазового пространства, соответствующей области конфигурационного полуевклидова пространства гиростата, расположенной внутри упомянутого изотропного конуса.
Согласно равенствам (32), поле компонент угловой скорости гиростата при Ф 0 характеризуется двузначными значениями их величин. При этом на границе области £ (£) = 0 значения этих компонент однозначны.
Из кинематических уравнений Пуассона (11) и соотношения связи (21) в силу первого определяющего условия (12) имеем:
^2^1 - ^1^2 = (33)
где величины
41(0= т^2 - 1), ?2(С) = т-
определяются соотношениями (25), (26) как известные функции времени В силу этого, согласно зависимостям (32), из системы уравнений (33) при условии
01(0* 0 (се Г) (34)
следует:
= ф- ЧОчКО. (35)
В равенстве (35) обозначены комплекснозначные функции:
= 51 + ^2, 4^(0 = 41 + ^2 О = V-1).
Здесь условие (34) эквивалентно ограничению * 0(£ е Г), исключающему
критические точки из области, содержащей поле компонент угловой скорости гиростата, а знак * — символ комплексного сопряжения. Обозначим:
р = т1п1 + т2п2, р1 = 2р, р0 = (р + т1п1)т2.
Тогда, согласно зависимости (21), для потенциальной функции СД-поля, определяемой равенством (4), имеем
У(и) = (2т2)- 1(п2и2 + р1и+ р0) (36)
и в силу равенств (21), (28), (36) получаем
+ + к2^2 - к1^3 - к0 = 0, (37)
где обозначено
к0 = агр0 + 2ак, к1 = агр1,
к2 = Яр — ЙГИ2, = ЯШ- 2.
Равенство (37) является уравнением несущей поверхности в пространстве переменных щ, на которой расположен годограф вектора ы, отнесенный к базису Г (подвижный годограф вектора ы).
Данный годограф для £ е Т задается параметрическими уравнениями с параметром I (25), (32). При этом, поскольку представления (32) для двухзначны, то при О > 0 в
общем случае имеются два невырожденных годографа данного вектора.
При к2 Ф 0 поверхность (37) является невырожденной центральной, тогда как при к2 = 0 — нецентральной. В частности, для случая, при котором п2 = ^т^ эта поверхность является цилиндрической.
Заключение
Рассмотренная задача относится к классу задач о движении гиростата с радиационным моментно-силовым приводом в стационарном силовом СД-поле.
Движение гиростата, происходящее при ограничениях (12), является состоянием, сформированным из равномерного прецессионного движения и постоянного собственного вращения носителя. Это движение представляет интерес в связи с исследованием состояния гиростата, непосредственно предшествующего возможной последующей стабилизации гиростата по углам Я и ф. В силу этого данное движение можно рассматривать как некоторое заданное переходное состояние, - маятниковое движение, поддерживаемое стационарными силами СД-поля.
Данное состояние гиростата можно интерпретировать как предварительное, на основе которого последующее активное управление движением гиростата, построенное определенным образом, может привести его к требуемому ориентированному финальному состоянию.
Следует отметить, что результирующее уравнение (22), полученное путем преобразования из динамической системы (10), представленное на фазовой плоскости (и, и = ж) в виде
dw
ш— + ¡(и) = О, аи
¡(и)= П2и- Q3(u)'
идентично по структуре уравнению одномерной уединенной стоячей волны горения, находящейся в сплошной среде, в которой не происходит процесс диффузии [6]. Такая идентичность обусловлена изоморфизмом математических моделей, существующим в задачах данного рода.
Помимо упомянутого, это уравнение находит применение при анализе процессов в некоторой биологической проблеме выживаемости определенных биологических видов, в задаче возникновения нервных импульсов, в установлении условий самовоспламенения некоторых горючих веществ.
Моделями этого класса могут являться и некоторые упорядоченные изоморфные структуры различной физической природы. В частности, к ним относятся системы однотипных осцилляторов (решеток), одномерные монокристаллы и ряд других модельных объектов.
Список источников
1. Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. Т. 30, вып. 3. С. 312-320.
2. Косогляд Э.И. Движение твердого тела под действием сил на плоскости Лобачевского // Известия вузов. Математика. 1970, № 9 (100). С. 59-68.
3. Макеев Н.Н. Движение гиростата вокруг центра инерции в полуевклидовом пространстве // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2024. Вып. 2 (65). С. 42-53. DOI: 10.17072/1993-0550-2024-2-42-53.
4. Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276 с.
5. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. В 2 ч. М.: Физматлит. 1963. Ч. 2. 516 с.
6. КолмогоровА.Н., ПетровскийИ.Г., ПискуновН.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества // Вопросы кибернетики. М.: Изд-во Академии наук СССР. 1975. Вып. 12. С. 3-30.
References
1. Kogan, A. Yu., Kirsanova, T. S. (1992), "Termomekhanicheskie yavleniya v dvizhenii otnositelno tsentra mass kosmicheskogo apparata s solnechnym stabilizatorom", Kos-micheskie issledovaniy, vol. 30, issue 3, pp. 312-320.
2. Kosoglyad, E. I. (1970), "Dvizhenie tverdogo tela pod deystviem sil na ploskosti Lo-bachevskogo" Izvestiya vuzov. Matematika, no. 9 (100), pp. 59-68.
3. Makeev, N. N. (2024), "Dvizhenie girostata vokrug tsentra inertsii v poluevklidovom prostranstve", VestnikPermskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika, issue 2 (65), pp. 42-53. DOI: 10.17072/1993-0550-2024-2-42-53. Russia.
4. Obmorshev, A. N. (1965), " Vvedenie v teoriyu kolebaniy", Nauka, Moscow, Russia.
5. Uitteker, E. T. and Vatson, Dzh. N. (1963), "Kurs sovremennogo analiza. V 2 Ch." [A course in modern analysis. In 2 parts], Fizmatlit, Moscow, Russia.
6. Kolmogorov, A. N., Petrovskiy, I. G. and Piskunov, N. S. (1975), "Issledovanie urav-neniya diffuzii, soedinennoy s vozrastaniem kolichestva veshchestva", Voprosy kibernetiki, issue 12, pp. 3-30.
Информация об авторе:
Н. Н. Макеев - доктор физико-математических наук, профессор (410000, Россия, г. Саратов), Au-thorID: 374535.
Information about the author:
Nikolay N. Makeev - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor (Saratov, Russia, 410000), AuthorID: 374535.
