К ПРОБЛЕМЕ РЕДУКЦИИ В ДИНАМИКЕ ГИРОСТАТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

2022

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

•Математика. Механика. Информатика«

Вып. 1(56)

МЕХАНИКА

УДК 531.381; 531.13

К проблеме редукции в динамике гиростата

Н. Н. Макеев

e-mail: nmakeyev@mail.ru; SPIN-код (РИНЦ): 7373-7840, ORCID: 0000-0003-2807-977Х

Рассматривается движение относительно неподвижного полюса гиростата, происходящее в режиме авторегулирования по Р. Граммелю. На гиростат действует система заданных нестационарных сил, обусловленных внешним воздействием. Приводится описание процедуры редуцирования динамической системы гиростата, для которой необходимо существует первый интеграл, линейный по компонентам угловой скорости его носителя. Редуцирование реализуется в результате построения нелинейного интегродифференциального уравнения, определяющего зависимость одной из компонент вектора абсолютной угловой скорости носителя гиростата. Рассмотрены некоторые частные случаи редуцирования, связанные со структурно-динамическими особенностями гиростата и видами заданной аналитической зависимости компонент вектора гиростатического момента.

Ключевые слова: гиростат; динамическая система; редуцирование системы уравнений; линейный интеграл динамической системы; режим авторегулирования движения

Поступила в редакцию 21.11.2021, принята к опубликованию 27.01.2022

On the problem of reduction in the dynamics of a gyrostat

N. N. Makeyev

e-mail: nmakeyev@mail.ru; SPIN-код (РИНЦ): 7373-7840, ORCID: 0000-0003-2807-977Х

We consider the motion relative to the fixed pole of the gyrostat, which occurs in the automatic control mode according to R. Grammel. The gyrostat is acted upon by a system of specified non-stationary forces caused by the influence of the external environment. A description is given to the procedure for reducing the dynamic system of the gyrostat, for which there must be a first integral linear in the components of the angular sorption of its carrier. The reduction is realized as a result of constructing a nonlinear integrodifferential equation that determines the dependence of one of the components of the absolute angular velocity vector of the gyrostat carrier. Some special cases of reduction associated with the structural and dynamic features of the gyrostat and the types of a given analytical dependence of the components of the gyrostat moment vector are considered.

Keywords: gyrostat; dynamic system; reduction of the system of equations; linear integral of a dynamical system; automatic motion control mode

Received 21.11.2021, accepted 27.01.2022 DOI: 10.17072/1993-0550-2022-1-22-28

1. Основные предпосылки

Кинетически асимметричный (в общем случае) гиростат, присоединенная масса которого (вращающийся ротор) является абсолют-

Эта работа © 2022 Макеев Н. Н. лицензируется под СС БУ 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://crea1ivecommons.Org/licenses/by/4.0/

но твердым телом, движется вокруг неподвижного полюса О, находясь вне воздействия внешних силовых полей природного происхождения. Предполагается, что гироста-тический момент k (О, заданный относительно полюса О, определяется известной управляющей программой, построенной для значений времени I е [0, + да) = Т.

Введем правые координатные ортобази-сы с общим началом в полюсе О: неподвижный Г0, связанный с инерциальным пространством, и базис Г(Охгх2х3), оси координат которого Ох (7 = 1, 2, 3) направлены по главным в полюсе О направлениям тензора инерции J = (А, А, А )•

В дальнейшем все координатные элементы относятся к осям базиса Г и соответствуют указанным номерам ] = 1, 2, 3.

Обозначим: ш (щ) — мгновенная угловая скорость носителя гиростата, к (&.) — ги-

ростатический момент, заданный координатами в базисе Г. Предварительно зададим вектор к (0) = к0, неизменно связанный с базисом Г. Здесь и далее нулевой верхний индекс относится к значениям величин при ^ = 0.

Предполагается, что на гиростат действует система внешних сил с результирующим моментом Ь (?), заданным для t е Т относительно полюса О проекциями Ь. (t) (у =

1, 2, 3) в системе осей координат базиса Г.

Согласно принятым предпосылкам динамическое уравнение гиростата имеет вид [1] Jíb + (ш х Jш) + (ш х к) = Ф, (1)

где

Ф(0 = ь(0 - к^). (2)

В уравнении (1) J обозначает приведенный по Н. Жуковскому [2] тензор инерции гиростата; Ф ^) = Ф (Ф .) — некоторый эффективный силовой момент, отнесенный к полюсу О.

Режим движения гиростата, определяемый уравнением (1) с заданным силовым моментом (2), является режимом авторегулирования [3, 4]. Понятие о данном режиме для твердого тела введено Р. Граммелем [5]; соответствующее ему движение твердого тела рассмотрено в монографии [6, с. 154].

Уравнение (1) эквивалентно динамической системе [4]

Ащ + (А - А+ Кщ - К щ = Ф, (3)

(1,2,3),

где обозначение (1, 2, 3) здесь и всюду далее — символ циклической перестановки величин с индексами у = 1, 2, 3.

В уравнениях (3) заданными считаются аналитические функции

К (t) е С1, Ь (0 е С0, ю (t) е С2,

где обозначение Ср (р = 0, 1, ...) является символом класса функций.

Задача об интегрировании в замкнутом аналитическом виде динамической системы (3) является одной из центральных проблем динамики гиростата. Одним из приемов, способствующих аналитическому решению этой задачи, является редуцирование данной системы, применяемое в случае некоторых определенных ограничений.

Под редуцированием системы уравнений в данной задаче понимается процесс выделения из динамической системы (3) уравнения, являющегося определяющим для одной из величин Юу

Аналогичная трактовка процедуры редуцирования приведена в монографии [7]. Там же отмечено, что "для построения точных решений классической задачи о движении тела, имеющего неподвижную точку, сведение этой задачи к одному уравнению имеет принципиальное значение" [7, с. 26]. При этом редуцированное уравнение может быть как дифференциальным, так и интегродифференциаль-ным уравнением.

Получение этого уравнения формально решает задачу редуцирования, а найденное точное решение данного уравнения обусловливает интегрирование исходной динамической системы в замкнутом конечном виде. Под последним понимается получение аналитического решения без применения разложений в ряды и каких-либо приближенных аналитических методов [8, с. 318].

Таким образом, интегрирование системы уравнений (3) в ряде случаев предварительно сводится к ее редуцированию.

Однако решение задачи редуцирования системы уравнений данного вида в общем виде, допускающем эффективное применение результирующего редуцированного уравнения, до настоящего времени не найдено.

В силу этого далее рассматриваются лишь ограниченное решение поставленной задачи для отдельных случаев исходной динамической системы.

2. Динамическая система с линейным интегралом

Введем линейную форму

^(ш) = (а • ш) а^)||2 * 0) (4)

и определим условия существования для системы уравнений (3) первого интеграла вида

г (ю) = а + а2 ю2 + а аъ= и (5)

в определенном классе функций.

Предварительно отметим, что в соотношениях (4), (5) а(*)(1 = 1,2,3) - функции класса С*(Т); И — постоянная интегрирования.

Обозначим

W = а;1 а,+1 Ц = 1,2),

c = A- 1, m = c (A - A) (1,2,3)

и в силу равенств (6) введем тождества

(6)

ЕтЛ =0, Е=0. (7)

1=1 1=1

В частности, при центральной (полной) кинетической симметрии гиростата имеем

A, = A (j = 1,2,3).

(8)

и тождества (7) становятся тривиальными.

Утверждение. Для того чтобы равенство (5) являлось первым интегралом системы уравнений (3), необходимо, чтобы выполня-

лись условия:

(a- 'a + c2k3wx - c3k2w2)h +

3

+ a1 ZCjФjWj-1 = 0 (Wo = 1),

j = 1

W - c2 k3 W + c3 k2 W w2 +

+ (ha-1 щ + c3kx) w2 - cxk3 = 0,

W2 +C3 k2 W22 - C2 k3 W1 W2 +

+ (ha-1 щ - c2kY)w + cYk2 = 0,

щ - m2wf - m3w2 = 0,

mww = 0 (r = 2,3).

(9)

(10)

(11)

(12) (13)

Доказательство. Полагая а ^ 0 в силу условия (4), выразим компоненту ш\ из равенства (5). Вычисляя величину Г согласно выражению (5) и уравнениям системы (3), с учетом обозначений величин (6), в результате получаем равенство, удовлетворяющееся тождественно по переменным ю2, ю3 при выполнении условий (9)-(13). □

Рассмотрим следствия, вытекающие из данного утверждения.

При заданном первом интеграле (5), когда выполняются условия (9)-(13), для различных заданных ограничений имеют место следующие частные случаи.

1. Если векторы а (/), ю (Г) для t еТ ортогональны, то, согласно равенству (5),

И = 0. (14)

Тогда из условий (9)—(11) следуют уравнения, соответственно

(а • J -1Ф) = 0,

(15)

W - ^^wf + c (k2Wj + k)w2 - cxk3 = 0, (16) W + ^k2w\ - c2(k3w2 + k)w + Ck2 = 0. (17)

В случае, при котором в силу соответствующего условия (13) имеем

w = a (t) = 0,

(18)

ограничения (15)-(17) принимают вид, соответственно,

c Ф^ c3w2 Ф3 = 0, (19)

cYk3 - ckW = 0,

(20)

W + (c3w2 + c ) К = 0. (21)

Из соотношений (12), (20) следует

^^ c k3

W2 =±

c^ k

откуда получаем известное условие [9]:

(22)

kj A( A2 - A3) - k^ A3( A - A) = 0. (23)

Вводя дополнительное ограничение

k2 (t) = 0, (24)

согласно равенствам (21), (22), получаем

w2 (t) = const, a k a - AKa = 0. (25)

В силу условий (23), (24) гиростатиче-ский момент k (kx, 0, k3) ортогонален плоскости кругового сечения гирационного эллипсоида, отнесенного к полюсу О.

Отметим, что структурное условие (20) тождественно удовлетворяется при значениях параметров

ar = Arkr (r = 1,3). (26)

3

3

В силу этого, с учетом условий (14), (18), (24), линейный первый интеграл системы уравнений (3) принимает вид

Ak щ + A3k3 щ = 0,

(27)

идентичный соответствующему интегралу, полученному в другой задаче [9] с однотипной структурно-динамической моделью. При этом, согласно зависимостям (26), второе соотношение (25) обращается в тривиальное тождество.

При условии w2 (/) * 0 для t еТ из соотношений (19), (22) следует

К Ф + К Ф = 0,

откуда при ограничении (24) получаем условие ортогональности векторов к (/), Ф (/) для всех значений t еТ.

При щ = а ) = 0 (а, а) * 0 имеет место случай, структурно симметричный случаю с условием (18).

2. Пусть И Ф 0 и, согласно условиям (13), т2 = т3 = 0 (щщ * 0), откуда непосредственно следует условие полной структурно-кинетической симметрии (8). При этом ограничение (12) становится тривиальным, а уравнения (10), (11) упрощаются.

Согласно зависимостям (26) из условия (9) получаем

hkj + k (k • Ф) = 0,

(28)

а из соотношений (10),( 11) при к Ф 0 следует, соответственно,

ki~ k2 = С^ k k3 = С2,

где (С, С2) ^ 0 - определенные постоянные. Из равенств (29), как следствие, имеем

k-1 k3 = const ^ 0,

а в силу условия (28), согласно равенствам (2), (26), получаем определяющее для k соотношение

hk-1 + Dkx = С + J Qdr.

(30)

В равенстве (30) обозначено:

С = h(k0) 21+ Dk\, D = 1 + С2 + С22,

Q (t) = Li + С1L2 + С2 L3.

Зависимости для величин к2, кз определяются соотношениями (29) согласно определяющему равенству (30).

В силу условий, содержащихся в приведенном утверждении, полная форма (при ааа * 0) линейного интеграла (5) для системы уравнений (3) имеет место лишь при центральной кинетической симметрии, определяемой условиями (8).

3. Редуцирование динамической системы

Получим уравнение, являющееся определяющим для одной из компонент Юу (у = 1, 2, 3) динамической системы (3), имеющей линейный интеграл (5). Для этого представим систему уравнений (3) в канонической форме:

щ = т+ е (Кщ - Кщ + Ф), (31)

(1,2,3),

и рассмотрим уравнения выделенной подсистемы, содержащие величины со2, (Ьъ.

Обозначим

p1 = еК - hmъax , p2 = еъкх + hm3a1- \ р3 = hk3a1- 1 + Ф2, р4 = hm2a1-1 - е (К + КзЩ ),

41 = е3 (Ф3 - hk2a1l), 4 = Р2 + е3К2Щ.

Выразим величину Ю1 из равенства (5) и подставим это выражение в уравнения системы (31).

В результате получим следующую под-

(29) систему уравнений:

щ = p3 - с2k3щщ2 + р4щ -

- щщщщ - m2w2щ

щ = q1 + q2a2 + с3k2щ2щ -

-щщщщ-щщщ .

(32)

(33)

Принимая в дальнейшем ограничения (18), (24), согласно соотношению (33) получаем выражение для со3, в котором используем равенство (32).

В результате получаем ( = еФ3 + (р -т3м>2щ - т3щ2щ)щ +

+ (Р2 -т3Щ2®3)^ (t, щ"). (34)

0

Обозначим

Р^, щ) = р + р4щ - т2щ2щ ,

t

) = ехр [- |(т( + е2К)щёг].

Рассматривая соотношение (32) как линейное дифференциальное уравнение относительно функции Ю2, в результате получаем

ю2 = )[( + :(г,щ ) Р(г,щ )ёг],

0

(35)

где ц — интегрирующий множитель уравнения (32) для Ю2.

Подставляя выражение (35) в уравнение (34), получаем результирующее соотношение для компоненты Ю3 в виде

щ + [т (щ щ^з + щ с)- р ]•

+1 Рйт) = е фФз +

+ (Р2- т3 щ2щ3) Р , щ3).

(36)

Равенство (36) является интегродиффе-ренциальным уравнением, определяющим зависимость вида щ = щ ^0, t). Здесь нулевой

верхний индекс относится к значению величины в начальный момент времени.

Следует отметить, что идея данного приема построения результирующего инте-гродифференциального уравнения для динамической системы твердого тела принадлежит Е.И. Харламовой [7, 10].

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (36). Примем условия (14), (18) и присоединенные к ним дополнительные ограничения

t

К2 (Г) = К2 + |Ь (г)ёг (Г е Т),

0

(а • к) = 0, т = 0 ^ А = А.

Тогда, согласно объединенной системе указанных условий, имеем

/л = 1, р3 = Ф2 = Р = 0,

и соотношение (36) вырождается в линейное дифференциальное уравнение, имеющее вид

с + [т (щ с + щ с) --е3 КЬ]^ ] = е3 Ф 3.

В случае, при котором а)2 = 0, из уравнения (37) получаем

щ ^) = ( + ссз t + е (t),

t

Оз (t) = К0 - К (t) + | Ь (г) ёг.

(38)

Зависимость (38) определяет квазиравномерное движение проекции апекса вектора ю на координатную ось 0x3 базиса Г, в которой величина 03 играет роль нестационарного возмущения, наложенного на равномерное движение апекса.

Рассмотрим теперь случай, при котором

щщ = 0, т * 0 (г = 2, 3), (39)

и тогда в силу условия (4) интеграл (5) принимает вид

(= И. (40)

Согласно соотношению (40) из условия (9) следует

на1 + а2 с ф = 0,

(41)

откуда при ограничении (14) получаем зависимость

t

К(0 = К0 + |Ь(г)ёг * 0 (Г е Т),

0

однотипную зависимости для параметра к2, полученной ранее.

В случае, при котором условие (14) не выполняется, соотношения (39)—(41) приводят к зависимости

t

а- ) = (а0)-1+ еИ-1 |ф (г) ёг,

0

а ограничения (39) в силу условий (10), (11) порождают тождества с К = 0, откуда имеем

К = 0 (г = 2,3).

Если при условии (14) имеет место режим движения гиростата, происходящий согласно соотношению (40), то, в силу уравнений системы (31), путем редуцирования получаем определяющее для компоненты Ю3 уравнение

( - К-1К ( + е2 с К2 ( = О, (0, (42) где обозначено

03 С) = С3 К [С2Ф2 + ^ (К11Ф3 )].

ш

0

0

0

Принимая условие к\ Ф 0 и вводя новые переменные

t

щ (t) = Z (г), т=$к1 (s) ds, (43)

представим уравнение (42) в виде Z" + c2c3Z = к—2Q (г),

(44)

где штрих обозначает производную функцию по переменной т.

Соотношение (44) является уравнением одномерного гармонического осциллятора, колеблющегося в фазовом пространстве по

оси 2 с собственной частотой О = ^с2с3 под

воздействием заданной нестационарной внешней силовой нагрузки.

Получив аналитическую зависимость вида фъ= Z (г), определяемую равенствами

(43) в форме полученного решения уравнения

(44), из системы уравнений (31) при условии (40) находим

к2 щ + Oj схкъ — m щ

(45)

Соотношение (45) имеет место лишь

при условии

съФ - cm- 1къ (A ^ A)•

Список литературы

1. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. 294 с.

2. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью: собр. соч. в 7 т. М.; Л.: Гостехиздат. 1949. Т. 2. С. 152-309.

3. Теория автоматического управления / под ред. А.В. Нетушила. М.: Высшая школа, 1976. 400 с.

4. Макеев Н.Н. Управляемость и стабилизиру-емость вращательного движения космического аппарата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 1999. Вып. 31. С. 97-105.

5. Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика: периодич. сб. перев. иностр. статей. 1958. № 6. С. 145.

6. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 528 с.

7. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегро-дифференциальное уравнение динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1986. 296 с.

8. Харламов П.В. Новые методы исследования задач динамики твердого тела // Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления. М.: Наука, 1975. 344 с.

9. Макеев Н.Н. Интегрируемость гиростати-ческих систем в магнитном поле // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2003. Вып. 35. С. 49-70.

10. Харламова Е.И. Сведение задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, к одному уравнению. Новое частное решение этой задачи // Прикладная математика и механика. 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 784-788.

References

1. Vittenburg J. Dinamika sistem tvyordyh tel. M.: Mir, 1980. 294 s.

2. ZHukovskij N.E. O dvizhenii tvyordogo tela, imeyushchego polosti, napolnennye odnorod-noyu kapel'noyu zhidkost'yu. Sobr. soch. v 7 t. M.; L.: Gostekhizdat. 1949. T. 2. S. 152-309.

3. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya / pod red. A.V. Netushila. M.: Vysshaya shkola, 1976. 400 s.

4. Makeev N.N. Upravlyaemost' i stabilizirue-most' vrashchatel'nogo dvizheniya kosmich-eskogo apparata // Problemy mekhaniki i up-ravleniya. Nelinejnye dinamicheskie si-stemy. Sb. nauch. tr. / Perm. un-t. Perm'. 1999. Vyp. 31. S. 97-105.

5. Grammel' R. Teoriya nesimmetrichnogo giros-kopa s reaktivnym privodom // Mekhanika: Periodicheskij sbornik perevodov inostrannyh statej. 1958. № 6. S. 145.

6. Magnus K. Giroskop. Teoriya i primenenie. M.: Mir, 1974. 528 s.

7. Harlamova E.I., Mozalevskaya G.V.In-tegrodifferencial'noe uravnenie dinamiki tvyordogo tela. Kiev: Naukova dumka, 1986. 296 s.

8. Harlamov P.V. Novye metody issledovaniya zadach dinamiki tvyordogo tela // Problemy analiticheskoj mekhaniki, teorij ustojchivosti i upravleniya. M.: Nauka, 1975. 344 s.

9. Makeev N.N. Integriruemost' girostaticheskih sistem v magnitnom pole // Problemy mek-haniki i upravleniya. Nelinejnye dinamiches-

0

щ = с

kie sistemy. Sb. nauch. tr. / Permskij un-t. Perm'. 2003. Vyp. 35. S. 49-70. 10. Harlamova E.I. Svedenie zadachi o dvizhenii tyazhyologo tvyordogo tela, imeyushchego

nepodvizhnuyu tochku, k odnomu uravneniyu. Novoe chastnoe reshenie etoj zadachi // Pri-kladnaya matematika i mekhanika, 1966. T.30. Vyp. 4. S. 784-788.

Просьба ссылаться на эту статью:

Макеев Н.Н. К проблеме редукции в динамике гиростата // Вестник ПГУ. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 1 (56). С. 22-28. DOI: 10.17072/1993-0550-2022-1-22-28.

Please cite this article as:

Makeev N.N. On the problem of reduction in the dynamics of a gyrostat // Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2022. Vyp. 1 (56). P. 22-28. DOI: 10.17072/1993-0550-2022-1-22-28.