Динамическое гашение в виброзащитных системах с использованием Г-образных рычажных связей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Ермошенко Ю .ВФомина И .В. УДК 531.3

ДИНАМИЧЕСКОЕ ГАШЕНИЕ В ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Г-ОБРАЗНЫХ РЫЧАЖНЫХ СВЯЗЕЙ

Динамическое гашение колебаний в последние годы стало одним из актуальных направлений в практике вибрационной защиты машин и оборудования от действия динамических нагрузок [1]. Известны многочисленные конструктивно-технические формы построения динамических гасителей, способы самонастройки параметров и автоматического управления динамическим состоянием виброзащитных систем [2,3]. В меньшей степени изучены возможности использования в структуре систем дополнительных связей различной природы, в частности, рычажных связей [1]. Такие связи могут быть реализованы на основе рычажных механизмов первого или второго рода, а также и в других конструктивных формах, например, с использованием Г-образных рычажных механизмов.

I. Рассмотрим динамический гаситель колебаний (рис. 1) в составе виброзащитной системы, обеспечивающей защиту объекта от вибраций со стороны основания.

У Щ2

¥

к.

У1

4 т.А К' /

/ /

/

к,

4

2 (I)

Рис. 1. Расчетная схема динамического гасителя колебаний рычажного типа

На рис. 1 приняты следующие обозначения: Р^) - внешнее силовое возмущение; ) - внешнее кинематическое возмущение; щ - масса объ-

екта защиты; т2 и т3 - массы настраиваемых элементов; к1, к2, к3 - коэффициенты жесткости упругих элементов; р - угол поворота рычага относительно объекта защиты; 11, 12 - длины плеч рычага; У1 , У2 , У3 - координаты массоинерцион-ных элементов в абсолютном движении.

Предполагается, что колебательные движения в системе относительно положения равновесия достаточно малы, что позволяет использовать упрощенные линейные представления; полагается также, что силы трения малы.

Целью исследования является оценка возможностей создавать в системе режимы динамического гашения, в которых определяются настроечные параметры. Таковыми могли бы быть длины плеч рычага и величины масс элементов щ1 и т2. Конструктивные варианты построения систем изменения названных параметров представляются вполне реализуемыми, также как и схемы сбора и обработки информации о динамическом состоянии системы. Запишем выражения для кинетической

т = 2 щ1у2 + 2 щ2у2 + 2 щз уз

(1)

и потенциальной энергии

П = 2к1 (У1 - 2)2 + 2к2 (У2 - У1 )2 + 2кз (Уз - У1 )2. (2)

Введем ряд соотношений между координатами

У2 = У1 + р, Уз = У1 Р12 , (3)

где учтены особенности рычага второго рода в отношении изменения входного сигнала и по величине и по направлению Будем полагать, что элементы т2 и т3 имеют вертикальное движения, а изгиб рычага не принимается во внимание (хотя это не так и конфигурация расположения 11 и 12

щ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

имеет значение). С учетом (3) выражения (1) и (2) можно записать в виде

11 2 1 2

т=-ту2 + -т2(у + фк) + ^тз(у -<р/2) , (4)

п=1 к (у1- 2 )2 + 2 к2 (-р/ )2 + "2 к р )2. (5)

Используя обобщенное уравнение Лагранжа 2 рода, получим уравнения движения системы

у т + т2 + тз) + (р(т21х -т^) + к1 у = кхг + Р, ср (т2/12 + т3/2) + у1 (т211 - т3/2) + р(к2/12 + к3/2) = 0.

Структурная схема эквивалентной системы автоматического управления (САУ) показана на Рис. 2.

Р \ у—[(т211 --| .-

] (т211 - т312 ) Р2|~Д ^_

^ + ( +^2 )

тт 1

(т1 + т2 + т3) р2

-ЕИ-

-ЕИ-

Рис. 2. Структурная схема, соответствующая системе на рис. 1

Найдем передаточную функцию системы при кинематическом возмущении

ж = А=

|( т^ + т/2) р2 + к Л + К^2 ] ■ к

+ т2 + т3) р2 + к ]|(т211 + т,/2)р2 + к2/12 + к/^ ] - (т2/ - т3/2 )2 р4

(7)

Из выражения (7) можно найти частоту динамического гашения при кинематическом возмущении

2 к2 /1 + £3/^ к2 + к^Ь

т/ + т3/2 т2 + т3Ь

(8)

т=-2 т1у2 + 2 А(У - 2)2 + 2 т2 у2 + 2 АФ - -У:)2 +

1 2 1 2

+2т3у3 + 2Ь3(У'3 ->

(10)

У2 т2

Ф;

3 А У3

Рис. 3. Расчетная схема системы с дополнительными связями

а потенциальная энергия определится из выражения (2). Учитывая соотношения (3) , запишем выражение для кинетической энергии системы

т = 2 т1у2 + ^АСл - 2)2 + -2 т2 (у + Фк )2 + 2 ^(-РО2 + 1 2 1

+ ^ т3 (У ^ ) + ^ L3С<P/2)2■

(11)

Тогда система дифференциальных уравнений движения примет вид

у1 (т1 + L1 + т2 + т3) - + т2/1 ср - т3/2 Рр + к1 у = 0; у (т1 + L1 + т2 + т3) + ^(т^ - т3/2) + к1у1 = ¿Д + к1 г; <^3(т2/12 + L2/12 + т3/2 + + У (т2/1 - т3/2) + р(к2/12 + к3/22) = 0.

,_, (12)

О \ I—}(т2/1 - т3/2^-Р2[

ДД 1

к1 + р 'Н

(т + Д + т2 + т3) р'

-Е1-

(т,/| - т3/2)р'

—к / + к /

Г(т+А )+("3+Lз ))21 р21К,

-Е1-

где Ь = /2//1 - передаточное отношение рычага второго рода (знак учтен при составлении выражения для потенциальной энергии). Частота собственных колебаний системы может быть найдена из частотного уравнения

[(т1 + т2 + т3 ) р2 + к1 ] [(т2/1 + т3122 ) р2 + к2112 + к3//2 ] - (9)

-(т211 - т312 )2 р4 = 0

II. С целью расширения возможностей изменения динамического состояния в систему можно ввести дополнительные связи в виде элементарных звеньев двойного дифференцирования, как показано на рис. 3 [1]. В этом случае выражения для кинетической энергии примет вид

Рис. 4. Структурная схема эквивалентной САУ, соответствующей рис. 3

Передаточная функция системы при кинематическом возмущении системы определятся:

ш,= Д =

г

(к + Цр2 ){[(т2 + L2 ))2 +(т + Lз )/22 ]р2 + к-/ + £3/2}

[[(т1 + L) + тг + тъ ] р2 + £1 ]{[(т2 + Ь2))) + (т3 + Ъъ )/22 ] р2 + к^2 + к^} - (т2/1 - т3/2) р4

(13)

Частота динамического гашения может быть найдена из частотного уравнения, взятого как числитель (13), однако в данном случае система будет иметь две частоты динамического гашения:

,,2 = к1 Ыдин1

А

к2 /12 + к3/.

(14)

дин2 / 7- \ 72 / 7- \ т2 '

(15)

(т2 + L2 )1 +(т3 + L3) /2 Одна частота динамического гашения создается звеном с передаточной функцией р2, а вто-

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

W = А =

'"1

рая создается действием элементарных звеньев с передаточными функциями Ь2 р2 и Ь3 р2. Отметим характерную особенность поведения систем при малых частотах, полагая р ^ 0 . Так, из (7) следует, что

Щ= & = =1. (16)

г к11 к2/1 + к3/2 I

Такой же результат можно получить из выражения (13). При р ^ ж из выражения (7) следует, что

Конструктивное использование такого присоединения может быть построено на использовании магнитной подставки.

Кинетическая и потенциальная энергия системы (рис. 5) может быть записана в виде

T = 2mi(ji - ¿з)2 + 2m2(У2 -

1 2 1 2

П = 2 k1 (У - ¿1 ) + 2 к2 ( - ¿2 ) •

(19)

(17)

W1 = y ^ 0, z

тогда как выражение (13) дает следующее:

=_¿1 [(2 + L2 ))12 + ( + ¿3 ))22 ]_

(( + ¿1 + m2 + тз + ¿2 ))12 +(m3 + ¿3 ))) ]-(m2l1 - m3l2 )

(18)

то есть на больших частотах при кинематическом воздействии система «запирается», а модуль W принимает некоторое значение, меньшее 1 (например, при m2 = 0,1m , m3 = 0,2m , l2 = 2l1, Ц= 0,5m1, ¿2 = 0,1m , ¿3 = 0,2m1, можно получить, что \W\ « 0,3 )•

III. Характер внешнего воздействия на объект защиты имеет важное значение, поскольку изменяется система динамических связей. Рассмотрим систему, состоящую из двух массоинерцион-ных элементов щи m2, разнесенных с помощью Г-образного рычага с плечами l1 и l2, как показано на рис. 5. Такая расчетная схема может быть отнесена к одному из вариантов вышерассмотрен-ного динамического гасителя при условии, что такой гаситель может либо прикрепляться, либо сниматься с объекта защиты.

m, m

Используя соотношение у2 = — Ьу, где Ь = /2/11 и представляет собой отношение плеч рычага при малых углах р и без учета наклона стержней, запишем дифференциальное уравнение движения системы

у (щ+ Ь2«2) + У1 ( + Ь2к2) = = 23 (т1 — т2Ь ) + к1 г1 — к2Ьг2.

Структурная схема системы приведена на рис. 6, откуда может быть найдена частота собственных колебаний

2 к + к2Ь

(20)

-k2b

+ k,b2 -£-

1_2_ > i

¿1 k1

m1 + m2b2

(m1 - m2b2) P

(21)

У1

-ED-

Рис. 6. Структурная схема механической системы с разнесенными массами

Что касается режимов динамического гашения и собственных частот, то необходимо принять во внимание соотношения параметров внешнего кинематического возмущения. Так, например, если 23 = = г2 = 2, то частота динамического гашения определится по формуле

2 ki кф сод = —1-2—

дин 7

m1 - m3b

(22)

Рис. 5. Расчетная схема системы с разнесенными массами при комплексном кинематическом возмущении

Полагая, что режимы динамического гашения связаны с оценкой числителя передаточной функции, получаемой из структурной схемы на рис. 4, представим возможные варианты в таблице 1.

Анализ данных, приведенных в таблице 1, позволяет сделать заключение о том, что режимы динамического гашения встречаются достаточно часто, однако, их появление зависит от особенно-

z

z

1

2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Виды передаточных функций при различных видах внешних возмущений Табл. 1

№ п/п Сочетание параметров внешнего возмущения Вид передашчной функции Примечание

1 2 3 4

1 _ {щ-тгЬ)рг + К-КЬ : (т, 1 -тгЬ1^р1 \ к1 + к1Ь2 2 кг —к2Ь = , щ -тгЬ

2 г3=0, г, = г2=г г (т, + тф2) рг + + кгЬ2 спец. режим ¡^ =к2Ь

3 г, 0, гг =0, г3 з=0 ¡г V, {п\-т2Ь)р2 2 (ги, + тф1 ^р1 + + кгЬ2 спец. режим щ =щЬ

4 г1 = 0, 23 = гг * 0 ш_}\_ [щ. -т2Ь)рг -к2Ь г [щ-ищЬ2^р2 + к, + кгЬ2 1 к2Ь а*» = г. п.^ -т2о

5 = 0, = г3 =£ 0 ]Г Я (щ-т2Ь)р1+к1 ■о2 ^

2 [щ 4 тф^р1 1 1 кгЬ2 (1щ-щЬ)

6 г3 -0, г, - 0, гг 1Г-У1- -к>ь г (щ + тф' )р2 + к, + к2 Ь1 режима динамического гашения нет

7 0, г2 = 0, г1 ф 0 2 (п\ + т2Ьг \р2 + кг + к2Ь2 режима динамического гашения нет

сти конструктивного оформления виброзащитной системы и особенностей системы внешних воздействий.

IV. Если в механическую систему ввести дополнительные связи Ц р2 и Ь2р2, то есть элементарные звенья с передаточными функциям дифференцирования второго рода [1], то дифференциальное уравнение движения примет вид

у, (т1 + Ь2т2 + Ь+ ЦЬ2) р2 + к1 + Ь2к2 =

1 2 1 ' 2 (23)

= (т1 -т2Ь)р2 + (к1 + Цр2) -(2р2 + к2)хг.

Возможный спектр ситуаций, в которых, так или иначе, отражаются свойства режимов динамического гашения, можно оценить, используя уравнение (23). Так, например, при х3 = 2Х = х2 = х, получим, что

а1ш =

к1 - к2Ь

(т1 - т2Ь ) + (Ц - ЬЬ2)

(24)

Отличие выражения (24) от (23) заключается в том, что режим динамического гашения определяется параметрами Ц и Ь2 устройств для преобразования движения, что расширяет возможности соответствующей настройки виброзащитных систем.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хо-менко А. П., Засядко А. А. Иркутск : Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.

2. Елисеев С. В., Нерубенко Г. П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск : Наука, 1982. 140 с.

3. Коловский М. З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М. : Наука, 1976. 320 с.