Динамический гаситель колебаний как средство управления динамическим состоянием вибро-защитной системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эя №<Ш 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155Н 1994-0408_

Динамический гаситель колебаний как средство управления динамическим состоянием вибро-защитной системы # 08, август 2011 автор: Елисеев С. В.

УДК 652.72

НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования, ИрГУПС,

г. Иркутск eliseev_s@inbox.ru

Введение. В динамике машин вопросам влияния вибраций на обеспечение надежности и безопасности рабочих процессов и созданию условий для операторов уделяется значительное внимание [1, 2], Известны и достаточно широко применяются различные методы построения математические, в том числе на основе мехатронных интерпретаций [3], что создает предпосылки для обобщенных подходов в задачах поиска и разработки соответствующих способов и средств управления динамическим состоянием механических колебательных систем. В этом плане динамические гасители колебаний, как некоторые дополнительные устройства, вводимые в исходные расчетные схемы виброзащитных систем, могут рассматриваться как одно из средств управления состоянием объекта защиты.

I. Рассмотрим динамический гаситель колебаний в составе виброзащитной системы, обеспечивающей защиту объекта от вибраций со стороны основания и сочленение в т.А [4]. На рис. 1 а, б, где приняты следующие обозначения: P(t) - внешнее силовое возмущение; z(t) -внешнее кинематическое возмущение; ml - масса объекта защиты; m2 и mз - массы настраиваемых элементов; k2, ^ - коэффициенты жесткости упругих элементов; ф - угол поворота рычага относительно объекта защиты; Ь, Ь - длины плеч рычага; у1, у2, у3 - координаты массоинер-ционных элементов в абсолютном движении. Предполагается, что колебательные движения в системе относительно положения равновесия достаточно малы, что позволяет использовать упрощенные линейные представления; считается также, что силы трения малы.

II. Постановка задачи. Упрощенный подход. Целью исследования является изучение возможностей создавать в системе режимы динамического гашения, которые могут регулироваться настроечными параметрами, такими как длины плеч рычага и величины масс элементов m2 и mз. Конструктивные варианты построения систем изменения названных параметров представляются вполне реализуемыми, также как и схемы сбора и обработки информации о динамическом состоянии системы. Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий

гл 1 -2 1 -2 1 -2

Т = 2 У + 2 ^2 ^2 + 2 Уз ,

П = 2 к1 (1 - 2 )2 + 2 к2 (2 - У1 )2 + 2 к 3 ( - У1 )2-

(1) (2)

Введем ряд соотношений между координатами у2 = У1 + ф/1, Уз = У1 — ф/2, где учтены особенности рычага второго рода в отношении изменения входного сигнала и по величине и по направлению. Будем полагать, что элементы т2 и т3 имеют вертикальное движения, а изгиб рычага в первом приближении, не принимается во внимание (хотя это не так и конфигурация расположения 11 и 12 имеет значение). С учетом связи между координатами у1, у2, у3 и ф выражения (1) и (2) можно записать в виде

Т = 1 т1У2 + 1 т2 (у1 + ф/1 )2 + 1 т3 (у1 — ф/2 )2 ,

2

2

2

П = 2 к1 (У1 — 2 )2 + 2 к2 (— Ф/1 )2 + 2 к3 (ф/2 )2.

(3)

(4)

Используя обобщенное уравнение Лагранжа 2 рода, получим уравнения движения системы У1(т1 + т2 + т3) + ф(т2/1 — т3/2) + к1 у1 = к12 + Р, (5)

"00 0 0 ф(т2/1 + т3/2) + У1(т2/1 — т3/2) + ф(к2/1 + к3/2) = 0.

(6)

Структурная схема эквивалентной системы автоматического управления (САУ) показана на рис. 1б; из ее анализа следует, что между парциальными системами существует упругая связь, которая при выполнении условий симметрии может «обнуляться» и сделать движения парциальных систем независимыми.

а)

У2 т2 Г к2

4 1

/ /

7

2(1)

б)

(т2/— т3/)Р

1

(п\+ж2+т3)р

—1

1—тк)р'

Г

к/ + к/

%

—1

т

2

к,

т

К

Рис. 1. Расчетная (а) и структурная (б) схемы виброзащитной системы с динамическим гасителем и дополнительными связями

Найдем передаточную функцию системы при кинематическом возмущении

ж = = [(т2/? + тъ122 ^2 + к 2/? + V22 ]• кх 1 2 [( + т 2 + т3))2 + к1 ]х (7)

(т^/? + тз/22))2 + к2/? + кз/22]-(т2/? - тз/2)2р4

х

Из выражения (7) можно найти частоту динамического гашения при кинематическом возмущении

2 к2 l1 + k 3l2 k2 + k3l

^ = —^-72 =-у, (8)

m211 + m3l 2 m2 + m3i

где i = l2/l1 - передаточное отношение рычага второго рода (знак учтен при составлении выражения для потенциальной энергии). Частота собственных колебаний системы может быть найдена из характеристического уравнения

[(m1 + m2 + m3 )) 2 + к1 |(m2 /12 + m3l 2 )p 2 + k2/2 + k3l 2 J- (m211 - m3l2 )2 p 4 = 0. (9)

III. Введение дополнительных связей. С целью расширения возможностей изменения динамического состояния в систему можно ввести дополнительные связи в виде элементарных звеньев двойного дифференцирования, как показано на рис. 2 а, б. Расчетная схема (рис. 2а) имеет также устройства с передаточными функциями L1p2 ^ L3p2 во всех задачах [1].

В этом случае выражения для кинетической энергии примет вид

т 1 -2 1 т /• -\2 1 -2 1 т /• • \2

T = 2m1 -У1 + 2L1(У1 - z) + 2т2У2 + 212(У2 - У1) +

+ 2тзу3 + 21з(Уз - >?)2>

а потенциальная энергия определится из выражения (2).

Учитывая соотношения (з) , запишем выражение для кинетической энергии системы

(10)

1 2 1 2 1 ( ' \2 T=^ m1 y1 + 2 L1(y1- z) + 2 m2 (y1 + ф) +

+ 2 L2(-Ä)2 + 2 m3 ( - ф12)2 + 2 L3 (Ф2 )2.

Система дифференциальных уравнений движения примет вид

y1 (m1 + L1 + m2 + m3) + if>(m211 - m3l2) + k1 y1 = zL1 + k1 z; ^(m2l1 + L2l1 + m3l2 + L^2) + y1(m2l1 - m3l2) + ф(к211 + k3l2) = 0.

(11)

(12)

Структурная схема эквивалентной САУ приведена на рис. 2 б.; из структурной схемы следует, что введение устройств с преобразованием движения Ь1, Ь2, Ь3 изменяют свойства системы: Ь1 влияет на характер внешнего воздействия, а система приобретает дополнительный режим динамического гашения и «запирание» на высоких частотах; введение Ь2 и Ь3 - снижают частоты собственных колебаний парциальных систем.

а)

У2 т2

б)

к2 ¡2

ГГи . 1, 3 У3

к3 ^ У ¡3Р2

4 т.А _ у ✓

/ V ,

-(т./ — т/)2--

-(т/ — т3/2))2—\

1 1

т] + Ь] + тг + т3)р2 6 0— к/ + К/-0— (+¡2/+ ( + ¡3/2 рг

т

! р2

'% +Цр'

—1

—1

2 Ц )

Рис. 2. Структурная схема эквивалентной САУ, соответствующей рис. 3

Передаточная функция системы при кинематическом возмущении системы имеет вид:

у = У1 _(К + ¡1Р2)|(т2 + ¡2 ))12 +(т3 + ¡3У2У2 + к2+ к^ }_ (13)

г [[( + ¡1) + т2 + т3 /р2 + к1 ](т2 + ¡2))) + (т3 + ¡3 )]]2 + к2/12 + к3/2}—(т2 /1 — т3/2 )2 р4

Для исследования преобразуем (13) и получим:

У1 = (к1 + ¡1 р 2 ^ 2 + ¡2 + (т3 + ¡3) 2 ]р 2 + к 2 + к3*2 } (13')

= 4^ =

[[(т1 + ¡1)

+ т2 + т3

] 2 + кх + ^2 +(т3 + ¡3 > 2 ] 2 + к 2 + к 3/2 }—(т2 — т3*2 )2 р 4

где 1 = 12/11 - отношение плеч рычага второго рода. Введем ряд обозначений: пусть г2 = т 2 + ¡2 + (т3 + ¡3)/2, г1 = т1 + т 2 + т 3 + ¡1, г3 = т2 — т3 /2,

= (к1 + ¡1 р2 )(г2 р2 + к2 + к3/2)- числитель (13) .

Исследуем характеристическое уравнение передаточной функции (13')

4 = (Г р2 + кх)(т2 р2 + к2 + к3/2) — Г32 р4 = (гг — Г32) р4 + + [г2 к + тх (к2 + к3/2)] р2 + к (к2 + к3/2) = 0,

откуда найдем частоты собственных колебаний

тогда

2 г2 к + Г1 (к 2 + к3*2)

®1,2 =

+

2(г1г2 — Г3) Ц

[г2 к1 + Г1 (к2 + к^2 )]2 — 4(Г1Г2 — Г32)[к1 (к2 + к^2)

22

4(г1г2 — Г3 )

(13'')

к

к

2

Если г1г2 —г32 = [т2 + Ь2 + (т3 + Ь3)12](т1 + т2 + т3 + -(т2 —т3/)2, то разность будет

2 2 2 2 2 2 иметь вид А = — т^ + 2т2 тз? — тз * + т2 + тз * + ^, где Я - положительный остаток, то

есть всегда выполняется Д > 0. Если подкоренное выражение (13'') будет равно нулю, то частоты собственных колебаний совпадают и АЧХ системы будут иметь вид, характерный для систем с одной степенью свободы. Из выражения (13') следует, что возможен режим когда

Ь1 т2 + Ь2 + (т3 + Ъ3)1'

2 2 к1 к2 + к3* ®дт1 = ®дин2, что выполняется при =---, тогда условие совпадения

частот динамического гашения имеет вид:

2

А(к2 + к3 * )

т2 + Ь2 + (т3 + Ь3)1

к =-, . ч.2 (13''')

Г к1[т2 + 12 + (т3 + 13)12] (14)

или =-к-Т~2-. (14)

к 2 + к 31

При выполнении 1 ^ ю получим предельные соотношения; при этом между значениями параметров должны выполнятся соотношения:

к1 = , (15)

т3 +13

Г к1(т3 + 13) (16)

¿1 =-:-. (16)

к 3

В свою очередь, при 1 ^ 0 получим

к 2

к = 2 1 , (17)

т2 + ¿2

А = Ъ^т^А. 08)

к 2

Если выполняется условия (13''') и (14), то система с двумя степенями свободы будет иметь вид АЧХ, как показано на рис. 5, то есть будет ввести себя как система с одной степенью свободы. Расчетным путем могут быть найдены значения Ь1 (14), соответствующие графикам на

рис. 3 при т1 = 100кг, т2 = т 3 = 10кг, * = 2,4,6 , ^ = 10кг , Ьъ = 10кг , к2 = 600Я / м, к3 = 700Н / м , к1 = 1000Н / м.

В таблице 1 представлены соответствующие значения частот собственных колебаний и динамического гашения. Для оценки динамических свойств системы передаточная функция, которой представлена выражением (13') при параметрах модельной задачи т1 = 100кг, т2 = т 3 = 10кг, * = 4, Ь2 = 10кг, Ьъ = 10кг , к2 = 600Н / м, к3 = 700Н / м , к1 = 1000Н / м.

а) б) в)

Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики при условии равенства выражений (13'") и (14) при соответствующих значениях , в качестве изменяемого параметра

выбрана величина *: а) * = 2; б) * = 4; в) * = 6.

Таблица 1

Значения частот собственных колебаний и динамического гашения

Значение ^ Частота собственных колебаний Частоты динамического гашения

®соб ®дин

Ь1 = 29,412; 1 = 2 2.585 5.855 5.831 5.831

Ь1 = 28,682; 1 = 6 2.586 5.989 5.907 5.907

Ь1 = 28,814; \ = 4 2.587 5.957 5.891 5.891

На рис. 4 приведена диаграмма поведения частот динамического гашения и собственных колебаний. В общем случае, учитывая одинаковый порядок частотных уравнений числителя и знаменателя (13'), можно полагать в зависимости от значений параметров, в частности Ц, что соотношения между частотами, а также формы АЧХ системы, будут * = 2 изменяться существенным образом.

^ = 80

. = ЙО

= 40

• = 20 ■

2 • 4 в

Рис. 4. Диаграмма поведения частот динамического гашения и собственных колебаний

при изменении параметра Ц

На рис. 5 показано, что при изменении Ц возможны характеристики с двумя режимами динамического гашения и двумя резонансами. Однако, в системе возможны случаи совпадения частот динамического гашения между собой, а также совпадение с частотами собственных колебаний. Для расчетов использовались средства программного пакета Matchad 11. В области высоких частот происходит «запирание» системы. Значение коэффициента передачи амплитуды колебаний при увеличении частоты определяется из выражения (13') при условии, что р ^-да. Если обозначить эту величину через а (бесконечность), то значения этого параметра будут зависеть от Ц. На рис. 5 приведена соответствующая информация на вариантах а, б, в, г, д, е, ж. Особенностью амплитудно-частотных характеристик на рис. 5 в ее различных вариантах является то обстоятельство, что система с двумя степенями свободы практически ведет себя как система с одной степенью свободы, что обеспечивается определенными значениями приведенной массо-инерционной характеристикиЦ, находимой из выражения (14). Близость резонансных частот создает зону неустойчивых движений повышенного уровня, за пределами которой система имеет вид АЧХ с одной степенью свободы. В качестве изменяемого параметра было, в частности, выбрано передаточное отношение плеч рычажной связи /. В модельном примере Ц= 29,412 соответствует , Ц= 28,814 соответствует / = 4, Ц= 28,682 соответствует / = 6 (рис. 5). Для АЧХ характерны два участка, на которых коэффициент передачи амплитуды колебаний равен 1 в диапазоне частот 0 + ®1соб 1/ с . В диапазоне частот ю1соб -да коэффициент передачи амплитуды колебаний меньше единицы, что определяет возможное направление использования системы в задачах виброзащиты.

IV. Особенности динамических свойств. Характер внешнего воздействия на объект защиты имеет важное значение, поскольку изменяется система динамических связей. Рассмотрим систему, состоящую из двух массоинерционных элементов т1 и т2, разнесенных с помощью Г-образного рычага с плечами 11 и 12, как показано на рис. 6. Такая расчетная схема может быть отнесена к одному из двух массоинерционных элементов т1 и т2, разнесенных с помощью Г-образного рычага с плечами 11 и 12, как показано на рис. 6. Такая расчетная схема может быть отнесена к одному из вариантов вышерассмотренного динамического гасителя при условии, что такой гаситель может либо прикрепляться, либо сниматься с объекта защиты.

а)

а = 0,079

д) а = 0,29

б)

лш

а = 0,204

Щ^, =1.27

4- 1 =1.41 =

е) а = 0,81

в)

а = 0,23

г)

а = 0,197

ж)

а = 0,98

Рис. 5. АЧХ для выражения (13') при различных значениях 11: а) при 1Л= 10 ; б) при 1 = 13,5 ; в) при 11 = 25 ; г) при 11 = 28,8 - критическое значение (адин1 = а>дин2); д) при 1 = 50 ; е) при 1 = 200; ж) при 1 ^го

а)

б)

-к Л

к,

V

(т1 - т2г2 ^

^ / 1

к1 + к2г2

т1 + т2г2

Ьг

У:

-[-1

Рис. 6. Расчетная (а) и структурная (б) схемы виброзащитной системы с разнесенными массами гасителей

7

2

г

3

2

Конструктивное использование такого присоединения может быть построено на использовании магнитной подставки. Кинетическая и потенциальная энергия системы (рис. 2) может быть записана в виде

1 2 1 2

Т = 2т1(У1 - + 2т2(У2 - 23) ,

2 2 (19)

П = 1 к1 (1 - )2 + 1 к2 (У 2 - 2 2 )2.

2 ^ 17 2 *2

Используя соотношение у2 = -у , где / = /2/11 и представляет собой отношение плеч рычага при малых углах р и без учета наклона стержней, запишем дифференциальное уравнение движения системы

у1 (т1 +12т2 )+ у1 (к1 +12к2 ) = 23 (т1 - т21) + к1 г1 - к21г2. (20)

Структурная схема системы приведена на рис. 6б, откуда может быть найдена частота собственных колебаний

2 к 1 ^ к 2 /

Ссоб =--—• (21)

т1 + т21

Из структурной схемы на рис. 6б можно заметить, что внешние воздействия образуют систему, в которой внешние воздействия в силу конструктивных особенностей может действовать в противофазе и создавать нулевое воздействие на любой частоте при к1 - к21 = 0 при = 22. Кроме того при т1 - т2/2 = 0 для внешнего воздействия создается условие «блокирования». Что касается режимов динамического гашения и собственных частот, то необходимо принять во внимание соотношения параметров внешнего кинематического возмущения. Так, например, если 23 = = 22 = 2, то частота динамического гашения определится по формуле

2 к 1 к 2 / с1н = -1-- • (21')

т1 - т31

Полагая, что режимы динамического гашения связаны с оценкой числителя передаточной функции, получаемой из структурной схемы на рис. 6б, представим возможные варианты в таблице 2.

Таблица 2

Виды передаточных функций при различных видах внешних возмущениях

№ п/ п Сочетание параметра внешнего возмущения Вид передаточной функции Примечание

1 2 3 4

1 2 3 = 2 2 = г1 = 2 W(p) - У - (m1 " m2г> 2 + k1 - k2i z (mi + m2 i2) p 2 + ki + k2 i2 2 к - к 2 г ®дии = . - г

2 г з = 0, г1 = г 2 = г W ( ) У1 k1 - k 2i W(P) - - = 2 2 2 z (mi + m2i )p + ki + k2i спец. режим к1 = к 2г

3 г1 = 0, г 2 = 0, гз ^ 0 Vi (mi -m2i)p2 W(p)-4L -- 12 2 -r - (mi + m2i )p + ki + k2i спец. режим т1 = т2г

4 г1 = 0, гз = гз ^ 0 W(p) yi (mi - m2i)p 2 - k2i - (mi + m2 i2) p 2 + ki + k2i2 „2 к 2г „дии = . т1 - т2 г

5 г2 = 0, г1 = гз ^ 0 W( p)- yi - (mi - m2i)p 2 + ki - (mi + m2 i2) p 2 + ki + k2i2 „2 к 2 „дии = . т1 - т2 г

6 гз = 0, г1 = 0, г 2 ^ 0 W(p)- 2-k2 2 - (mi + m2i )p + ki + k2i Режима динамического гашения нет

7 гз = 0, г2 = 0, г1 ^ 0 W(p) - У = 2 ki2 2 - (mi + m2i )p + ki + k2i Режима динамического гашения нет

Анализ данных, приведенных в таблице 2, позволяет сделать заключение о том, что режимы динамического гашения встречаются достаточно часто, однако, их появление зависит от особенности конструктивного оформления виброзащитной системы и особенностей системы внешних воздействий.

Заключение. Если в виброзащитную систему (рис.3) ввести дополнительные связи Цр2 и Ь2 р2, то есть элементарные звенья с передаточными функциям дифференцирования второго рода, то дифференциальное уравнение движения примет вид

(0 0 \ О О

шх + I Ш2 + Ц + Ц} )р + к1 + 1 к2 = (22)

= гз Ц - т21 )р 2 + (( + Ц р2 р - (¿2 р2 + к2 р2.

Возможный спектр ситуаций, в которых, так или иначе, отражаются свойства режимов динамического гашения, можно оценить, используя уравнение (22). Так, например, при 2з = 21 = 22 = 2, получим, что

k\ k 2 i (m1 - m2*)+(1 - iL2 )

<н =7--— • (23)

Отличие выражения (22) от (23) заключается в том, что режим динамического гашения определяется параметрами L1 и L2 устройств для преобразования движения, что расширяет возможности соответствующей настройки виброзащитных систем. Введение сочленений может существенным образом изменять вид амплитудно-частотных характеристик, в том числе обеспечить несколько режимов динамического гашения, включая режимы динамического гашения, выбираемые в дорезонансной области.

Библиографический список

1. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. - Иркутск: Изд-во Ирк. гос. ун-та, 2008. - 523 с.

2. Галиев И.И., Нехаев В.А., Николаев В.А. Методы и средства виброзащиты железнодорожных экипажей. - М.: ГОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2010. - 340 с.

3. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в динамике упругих колебательных систем. - Новосибирск: Наука. 2010. - 436 с.

4. Елисеев С.В. Возможности сочленения твердых тел в цепных механических системах / С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко, И.В.Фомина // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование - Иркутск: ИрГУПС, №3 (27). - 2010. - С. 146 - 152.